彭文明

(中國電建集團(tuán)成都勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司 勘測設(shè)計(jì)分公司， 四川 成都 610072)

1 研究背景

在碾壓混凝土(roller compacted concrete，RCC)結(jié)構(gòu)施工過程中，由于碾壓層是逐層連續(xù)澆筑的，任何一個(gè)層合單元都有一個(gè)從空單元到實(shí)單元的過程，即層合單元位于施工面上的生長過程。在數(shù)值計(jì)算中模擬層合單元的上述動態(tài)變化，可以采用并層算法[1-2]、浮動并網(wǎng)[3-4]等技術(shù)手段。也有學(xué)者采用網(wǎng)格重構(gòu)的方式，即混凝土位于施工倉面附近的新澆筑層，采用均質(zhì)小單元劃分網(wǎng)格，隨著齡期變化，新澆混凝土變?yōu)槔匣炷?，將均質(zhì)小單元與原有老混凝土大單元合并，即小單元均質(zhì)網(wǎng)格合并成非均質(zhì)層合單元?；诰W(wǎng)格重構(gòu)的做法，后續(xù)又發(fā)展了虛擬單元[5-6]或?qū)嶓w單元退化[7-8]的方式構(gòu)建虛擬層合單元技術(shù)，同時(shí)也對非線性[9-10]、徐變應(yīng)力[11-13]計(jì)算研究了數(shù)值分析實(shí)現(xiàn)手段。網(wǎng)格重構(gòu)技術(shù)需要對模型重新劃分單元，數(shù)值計(jì)算中并網(wǎng)的過程是人為調(diào)整的，會影響能量守恒，即人為地增加或減少單元能量，會影響計(jì)算精度。為此，學(xué)者們提出了模擬施工面上層合單元的另外一種技術(shù)手段，即生長單元法[14-15]，使用“生長單元”模擬施工面上層合單元的澆筑過程，使得模型網(wǎng)格可以一次生成，較好地解決了網(wǎng)格重構(gòu)問題。

根據(jù)復(fù)合多層材料的單元模擬特點(diǎn)，學(xué)者們針對其層面問題開展了大量研究[16-19]，進(jìn)一步揭示了層合(并層)單元的溫度傳播及力學(xué)機(jī)理，為單元模擬技術(shù)在大體積混凝土溫控研究[20-21]、薄層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[22]等方面的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)，同時(shí)還對接縫或裂縫防控措施進(jìn)行了廣泛研究[23-25]。

從層合單元在數(shù)值模擬中的研究和應(yīng)用實(shí)踐可知，生長單元法可較好地解決網(wǎng)格重構(gòu)的問題。在模擬碾壓混凝土澆筑施工過程中，將碾壓施工增加的混凝土層按次序并入生長單元，作為其實(shí)體單元的組成部分，在不增加單元數(shù)量的同時(shí)實(shí)現(xiàn)單元的“生長”變厚。當(dāng)然，由于單元的材料層數(shù)較多，而且材料屬性差異大，會導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差。與此同時(shí)，生長單元解決了大量網(wǎng)格重構(gòu)的問題，但并入新澆筑層的當(dāng)前單元，其節(jié)點(diǎn)幾何坐標(biāo)以及材料屬性是動態(tài)變化的，并入新澆筑層后的計(jì)算初始值也應(yīng)重置，需要采取相應(yīng)的數(shù)值技術(shù)進(jìn)行處理。

本文根據(jù)上述生長單元數(shù)值模擬的特點(diǎn)，研究多層材料的分段形函數(shù)方法，以及單元“生長”過程中的計(jì)算邊界動態(tài)調(diào)整技術(shù)。

2 多層材料屬性差異及影響分析

生長單元隨著碾壓澆筑層的上升而逐漸生長變大，因此生長單元與層合單元一樣，包含多層材料層的生長單元如圖1所示。

圖1 生長單元示意圖

由于澆筑時(shí)間有先后，生長單元內(nèi)每層材料的混凝土齡期不同，導(dǎo)致各層材料的力學(xué)性能和熱學(xué)性能隨單元生長而變化。以混凝土的絕熱溫升和彈性模量為例，兩者與混凝土齡期的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 混凝土絕熱溫升及彈性模量與齡期的關(guān)系曲線

從圖2可以看出，混凝土性能在早期變化很快，對包含多層不同齡期材料的生長單元而言，會對其有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定影響，下面通過舉例分析說明。

例如，對于包含5個(gè)碾壓層的生長單元，每層單元厚度為0.3 m，根據(jù)施工安排，碾壓3層后進(jìn)行倉面整理，相隔5 d后繼續(xù)施工。對于該生長單元，在施工第5層混凝土?xí)r，下部先施工的3層混凝土齡期已經(jīng)超過5 d。此時(shí)各混凝土層相應(yīng)的齡期及性能指標(biāo)如表1所示。由表1可見，當(dāng)混凝土彈性模量E=E0(1-e-aτb)的參數(shù)取E0=41 GPa、a=0.46、b=0.38時(shí)，齡期5.4 d(第1層)的彈性模量約為24 GPa，與新澆混凝土(第5層)9 GPa的彈性模量相差很大；水化熱溫升按θ=25τ/(4.5+τ)計(jì)算，齡期5 d后各層最大溫差超過11 ℃。當(dāng)倉面上受到一定壓力荷載作用時(shí)，在新澆混凝土兩側(cè)有老混凝土限制的情況下，各碾壓層壓縮變形量將相差較大。不同升程各碾壓澆筑層混凝土的壓縮變形及絕熱溫升如圖3所示。

表1 不同升程各碾壓層混凝土指標(biāo)

圖3 各碾壓澆筑層混凝土的壓縮變形及絕熱溫升

在有限元計(jì)算網(wǎng)格劃分中，一個(gè)單元往往需要包含兩個(gè)升程或更多。兩個(gè)升程之間的間隔時(shí)間與倉面大小、混凝土輸送、施工強(qiáng)度關(guān)系很大，相隔5～10 d是正常的，甚至可能會相隔30 d以上。根據(jù)上述分析，相隔5 d澆筑的混凝土，其材料屬性在早期相差很大，從混凝土結(jié)構(gòu)界面特性以及分層材料變形協(xié)調(diào)機(jī)理分析[26]，屬性差異迥異的分層材料如果同時(shí)存在于一個(gè)單元中，對于有限元計(jì)算而言，須考慮材料屬性差異大可能帶來的計(jì)算問題。

3 分段形函數(shù)方法

由于生長單元內(nèi)包含多層材料，在混凝土早期材料屬性相差較大時(shí)，如果在溫度和應(yīng)力計(jì)算中采用雙線性形函數(shù)表示，對計(jì)算結(jié)果可能影響較大。為此，本文提出生長單元分段形函數(shù)的計(jì)算方法。

計(jì)算中假定生長單元各層材料泊松比均相同，設(shè)為ν；對于厚度為ti的第i層材料，其彈性模量為αiE0(E0為常量)；設(shè)生長單元內(nèi)平均應(yīng)力為σ，每一層內(nèi)應(yīng)變?yōu)棣舏。則對于平面應(yīng)變問題有：

(1)

其中：σz=ν(σx+σy)。

如圖4(a)所示，建立整個(gè)生長單元的局部坐標(biāo)系(ξ,η)，根據(jù)生長單元各層沿厚度方向的應(yīng)變，可求解單元節(jié)點(diǎn)沿厚度方向的位移νi，以及各層界面Ai的位移νAi。

νAi=αiν1+βiν4

(2)

式中：νi為節(jié)點(diǎn)i的豎向位移，mm；αi、βi分別為形函數(shù)N1、N4在點(diǎn)Ai處的值，且αi+βi=1。

如圖4(b)所示，從生長單元中取出第m層材料，以Am-1、Bm-1、Bm和Am為節(jié)點(diǎn)生成一個(gè)新的4節(jié)點(diǎn)等參單元，為區(qū)別于整個(gè)單元的局部坐標(biāo)系(ξ,η)，取第m層材料的新單元局部坐標(biāo)系為 (ξ′,η′)，并任取一點(diǎn)為P(ξ′P,η′P)。

圖4 生長單元局部坐標(biāo)系的建立

設(shè)P點(diǎn)在生長單元的局部坐標(biāo)為(ξp,ηp)。當(dāng)各層材料厚度處處相同時(shí)，局部坐標(biāo)之間有如下關(guān)系：

ξ′P=ξp

(3)

按照常規(guī)4節(jié)點(diǎn)等參單元的位移場求解方法，第m層材料任一點(diǎn)P的位移為：

(4)

(5)

式中：ν′i為第m層材料各節(jié)點(diǎn)的豎向位移。

由公式(2)可得：

(6)

式中：αm-1和αm分別為N1在點(diǎn)Am-1和Am的取值； νi為圖4中單元節(jié)點(diǎn)的豎向位移。

公式(6)可記為：

ν′=α·ν

(7)

由公式(4)、(5)、(7)可得：

(8)

由公式(8)可得：

阻尼系數(shù)比是評價(jià)懸架性能好壞的重要參數(shù)之一，是懸架“軟”或“硬”的標(biāo)志，也是振動衰減快慢的標(biāo)志。為緩沖由不平路面?zhèn)魅氲南蛏蠜_擊，減振器的回彈(拉伸)阻尼力一般大于壓縮阻尼力，其值在6比4-8比2。

(9)

將公式(9)展開得：

(10)

(11)

(η∈[ηAm-1,ηAm])

所以，圖4所示的生長單元用分段連續(xù)函數(shù)表示為：

(12)

4 計(jì)算邊界的動態(tài)調(diào)整

4.1 散熱邊界

生長單元位于當(dāng)前單元網(wǎng)格最頂部，而且隨著澆筑施工生長變厚，其散熱邊界的作用時(shí)間通常比較短，一個(gè)澆筑層頂向空氣中散熱常常僅發(fā)生在澆筑本層的過程中，當(dāng)澆筑層上升時(shí)，原散熱邊界將被覆蓋，同時(shí)又出現(xiàn)新澆筑層的散熱邊界。

在常規(guī)施工模擬中采用的是“生存期”算法，需要細(xì)致到對每個(gè)邊界條件設(shè)定“激活”與“死亡”的時(shí)間，這項(xiàng)工作非常煩瑣。本文針對RCC結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，提出一種搜索替換和自動添加技術(shù)，能方便地解決上述問題。

雖然在RCC結(jié)構(gòu)澆筑層上升過程中的散熱邊界更新替換非常頻繁，但大部分情況下，一個(gè)舊散熱面的消失是因?yàn)樾聺仓炷翆拥母采w，所以同時(shí)必定有一個(gè)新散熱面產(chǎn)生。根據(jù)單元的空間拓?fù)潢P(guān)系，一般情況下總能找到新、舊散熱面之間的關(guān)系，通過這種關(guān)系用新散熱面替換舊散熱面即為散熱邊界的搜索替換。

RCC結(jié)構(gòu)施工過程中，澆筑層的頂面作為新的散熱邊界，是對底面覆蓋的散熱邊界的進(jìn)行替換，新舊澆筑層散熱邊界的演變?nèi)鐖D5所示(如圖5中散熱邊界②替換了散熱邊界①)，而大部分情況下澆筑層的側(cè)面則是新增加的散熱邊界(如圖5中的邊界③和邊界④)。對于一般的結(jié)構(gòu)，散熱邊界往往是相連的。自動添加技術(shù)根據(jù)舊澆筑層的側(cè)面散熱邊界，沿邊界線在新澆筑層中搜索出新澆筑層的側(cè)面，并自動添加到散熱邊界中。對每個(gè)澆筑層進(jìn)行散熱邊界搜索替換和自動添加后，必須重新計(jì)算散熱邊界對荷載向量和熱傳導(dǎo)矩陣的影響。

圖5 新舊澆筑層散熱邊界的演變

4.2 計(jì)算初始值

在生長單元計(jì)算過程中，由于碾壓澆筑施工倉面的抬升，使單元“生長”后部分節(jié)點(diǎn)位置和材料屬性發(fā)生了變化，需要重新賦值，包括節(jié)點(diǎn)的幾何坐標(biāo)、溫度、位移和應(yīng)力等計(jì)算值。

如圖6所示，單元2675新添加一個(gè)澆筑層后，節(jié)點(diǎn)7和5的坐標(biāo)在原節(jié)點(diǎn)7′和5′的基礎(chǔ)上相應(yīng)抬升。在上一步原節(jié)點(diǎn)7′和5′計(jì)算成果的基礎(chǔ)上，根據(jù)計(jì)算的性質(zhì)刷新賦值。對于溫度計(jì)算而言，新澆筑混凝土應(yīng)采用澆筑溫度作為抬升節(jié)點(diǎn)的初始值；而生長的新節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力值，可根據(jù)上一步計(jì)算的位移場和應(yīng)力場進(jìn)行插值，如節(jié)點(diǎn)5，可根據(jù)原節(jié)點(diǎn)5′和節(jié)點(diǎn)3的位移值進(jìn)行內(nèi)插，得到新的節(jié)點(diǎn)5位移和應(yīng)力初始值。但對于臨空面的節(jié)點(diǎn)7，其位移初始值應(yīng)與節(jié)點(diǎn)7′相同，即確保新澆混凝土不因初始位移形成初始應(yīng)力；節(jié)點(diǎn)7的應(yīng)力初始值應(yīng)賦值為0。

圖6 成長過程中的生長單元示意圖

值得注意的是，調(diào)整生長單元初始值后，可能造成能量的損失。如圖7所示，對于第i層界面的節(jié)點(diǎn)7′，上一步的計(jì)算溫度為21.14 ℃，而根據(jù)節(jié)點(diǎn)6的計(jì)算溫度43.46 ℃和節(jié)點(diǎn)7重新賦值的澆筑初始溫度12.50 ℃，節(jié)點(diǎn)7′插值計(jì)算溫度為18.67 ℃，顯然新的溫度場在該點(diǎn)有所降低，將引起局部計(jì)算誤差。同樣的問題，在節(jié)點(diǎn)5也存在。當(dāng)然，根據(jù)圣維南原理，個(gè)別單元節(jié)點(diǎn)的計(jì)算誤差對有限元整體計(jì)算影響不大。

圖7 新增層計(jì)算初始溫度值調(diào)整

4.3 過渡單元

在應(yīng)用生長單元進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)，由于生長單元在成長變化，相鄰單元也要隨之調(diào)整，可設(shè)置過渡單元，比如連接層合單元、接縫單元等。

(1)連接層合單元。在生長單元模擬澆筑施工過程中，與周圍單元采用連接層合單元進(jìn)行連接過渡，通常連接層合單元采用5節(jié)點(diǎn)等參單元，如圖6中的單元12534。作為過渡單元，連接層合單元在生長單元“成長”過程中，代替相應(yīng)位置的原有單元，并與生長單元相連，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析時(shí)有限元網(wǎng)格無“縫隙”。連接層合單元僅存在于相鄰生長單元“生長”過程中，如圖6所示，隨著單元2675上部混凝土逐層澆筑而最終成為層合單元2673后，則連接層合單元12534完成其使命，恢復(fù)為相同位置的層合單元1234。設(shè)置連接層合單元后，計(jì)算過程僅需對有限元網(wǎng)格接縫連接部位進(jìn)行單元替換，避免了網(wǎng)格整體重構(gòu)，簡化了有限元計(jì)算的工作量。

(2)接縫單元。生長單元為齡期較低的混凝土，與相鄰老混凝土或基巖之間的彈性模量可能差異很大，接觸面上由于熱脹冷縮、滲水等影響，導(dǎo)致接縫面或澆筑層面抗拉強(qiáng)度降低甚至不能承受拉應(yīng)力，只能傳遞壓應(yīng)力。為了考慮這一影響，段云嶺等[27]提出材料非線性的接縫數(shù)值模型，通過設(shè)置接縫單元可以模擬混凝土結(jié)構(gòu)工程交界面，而不考慮法向粘結(jié)作用。接縫單元除了可解決相鄰單元材料性能差異大的過渡問題，也可解決生長單元調(diào)整新澆筑層計(jì)算初始值而造成的計(jì)算誤差問題。

連接層合單元和接縫單元對有限元計(jì)算的幾何特征、材料溫度和受力協(xié)調(diào)等方面起到了很好的連接和過渡作用。

5 算 例

5.1 多層材料的擋水墻

圖8為側(cè)向受壓的擋水墻模型，模型尺寸為2 m×4.5 m(寬×高)，底部與地基固定相連，擋水墻左側(cè)受側(cè)向水壓。

圖8 側(cè)向受壓擋水墻模型

設(shè)定擋水墻墻體豎向含50層不同混凝土材料，彈性模量從下到上由50 GPa遞減到23 GPa，泊松比均取0.16，墻體厚度為1 m。對本算例采用兩種網(wǎng)格劃分模型：常規(guī)均質(zhì)單元模型和多層材料的生長單元模型(本例無需計(jì)算生長過程)。用生長單元劃分網(wǎng)格設(shè)定20個(gè)單元(每個(gè)單元10層材料)，30個(gè)節(jié)點(diǎn)(圖8(a))；采用常規(guī)均質(zhì)單元劃分網(wǎng)格共需200個(gè)單元、255個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用3種計(jì)算方案：(1)PATRAN方案，用商業(yè)軟件MSC PATRAN &NATRAN對常規(guī)均質(zhì)單元模型進(jìn)行計(jì)算；(2)SLE方案，采用常規(guī)雙線性形函數(shù)對生長單元模型進(jìn)行計(jì)算；(3)MLE方案，采用分段形函數(shù)對生長單元模型進(jìn)行計(jì)算。

在擋水墻高度分別為2.7和4.5 m處的水平截面D-D和E-E上提取界面各節(jié)點(diǎn)成果，圖9為各節(jié)點(diǎn)不同計(jì)算方案的水平位移計(jì)算成果。

圖9 D-D和E-E截面各節(jié)點(diǎn)不同計(jì)算方案的水平位移計(jì)算結(jié)果

由圖9可以看出，SLE方案計(jì)算成果與其他方案偏離相對較大，是因?yàn)槌Ｒ?guī)雙線性形函數(shù)高估了單元的彈性模量，導(dǎo)致水平位移更?。籑LE方案采用分段形函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與均質(zhì)單元的PATRAN方案計(jì)算結(jié)果更接近。對各計(jì)算方案的各節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì)對比，如表2所示。

表2 與PATRAN方案相比SLE、MLE方案的水平位移計(jì)算結(jié)果誤差

由表2可知，與均質(zhì)單元的PATRAN方案計(jì)算結(jié)果相比，由于單元內(nèi)各層混凝土彈性模量差異較大，SLE方案采用常規(guī)雙線性形函數(shù)產(chǎn)生的平均誤差達(dá)到8.2%；MLE方案采用分段形函數(shù)算法，單元數(shù)量僅為PATRAN網(wǎng)格的1/10，其計(jì)算誤差平均值僅為2.9%，表明分段形函數(shù)對計(jì)算精度有大幅提高。

5.2 多層澆筑塊

多層澆筑塊的計(jì)算模型如圖10所示。模型由兩個(gè)混凝土澆筑塊Ⅰ和Ⅱ組成，每個(gè)澆筑塊的幾何尺寸均為寬3.0 m、高4.5 m。澆筑塊逐層澆筑上升，每個(gè)澆筑層厚0.3 m，共15個(gè)澆筑層，層間間隔0.2 d；Ⅰ和Ⅱ澆筑塊先后澆筑，連續(xù)澆筑上升直到本澆筑塊澆筑完畢，澆筑完Ⅰ后間歇5 d再繼續(xù)澆筑Ⅱ。

圖10 多層混凝土澆筑塊模型

多層混凝土澆筑塊的材料熱學(xué)參數(shù)見表3，絕熱溫升函數(shù)為θ=30τ/(2.3+τ)。假定澆筑塊與地面絕熱接觸，其他面均向空氣散熱，空氣溫度和混凝土的初始溫度均為10 ℃。

表3 多層澆筑塊模型的混凝土熱學(xué)指標(biāo)

對澆筑塊進(jìn)行瞬態(tài)溫度場分析。分別采用均質(zhì)單元(總共60個(gè)單元)和生長單元(總共12個(gè)單元)對澆筑塊進(jìn)行劃分網(wǎng)格計(jì)算(圖10)，并進(jìn)行澆筑過程的溫度分析。圖11為圖10中所示的常規(guī)均質(zhì)模型和生長連接單元中A、B、C 3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的溫度隨時(shí)間變化的曲線。

圖11 多層混凝土澆筑塊模型關(guān)鍵點(diǎn)溫度變化曲線

由圖11可以看出，生長單元模型與常規(guī)均質(zhì)模型的溫度計(jì)算結(jié)果非常接近，但兩種模型的單元數(shù)量相差4倍，生長單元模型的計(jì)算效率高很多。澆筑施工到第9.2 d時(shí)，混凝土塊Ⅱ已經(jīng)澆筑了6層，此時(shí)的溫度場分布如圖12所示。對比兩種網(wǎng)格模型算法，混凝土最高溫度均為29 ℃，溫度場總體分布規(guī)律基本一致。

6 結(jié) 論

(1)生長單元可較好地模擬RCC施工倉面的逐層上升過程，但單元內(nèi)的多層材料對混凝土齡期很敏感。本文分析了生長單元各層碾壓混凝土材料齡期相差5 d的絕熱溫升和彈性模量的差異，以及在外部荷載下的非線性變形特征，結(jié)果表明，此時(shí)采用雙線性形函數(shù)描述生長單元已不合適。針對生長單元各層材料變形特征，對各層材料等厚度分布的碾壓混凝土單元推導(dǎo)出的分段連續(xù)形函數(shù)表達(dá)式，可較好地描述因生長單元內(nèi)材料差異大而導(dǎo)致的非線性變形問題，從而提高了計(jì)算精度。

圖12 多層混凝土澆筑塊模型第9.2 d溫度場分布(單位：℃)

(2)生長單元隨著澆筑層的上升而生長，其計(jì)算邊界需動態(tài)調(diào)整。本文提出生長單元散熱邊界的搜索與替換、新增層節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及計(jì)算初始值重置、新老混凝土的單元連接等數(shù)值模擬技術(shù)，提升了生長單元在有限元計(jì)算中的應(yīng)用范圍。

(3)擋水墻算例驗(yàn)證了分段形函數(shù)方法在計(jì)算精度方面具有明顯的優(yōu)勢，與常規(guī)均質(zhì)單元計(jì)算結(jié)果相比，生長單元常規(guī)雙線性形函數(shù)方法的計(jì)算平均誤差為8.2%，而分段形函數(shù)算法的計(jì)算誤差降低至2.9%。多層澆筑塊算例則表明，應(yīng)用計(jì)算邊界動態(tài)調(diào)整技術(shù)后，生長單元能夠順利完成計(jì)算分析，其計(jì)算精度與常規(guī)均質(zhì)單元基本一致，體現(xiàn)了本文方法的有效性。