譚小容 許江寧 何泓洋 陳 丁 梁益豐 吳 苗

1 海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢市解放大道717號，430033 2 九江學(xué)院電子工程學(xué)院，江西省九江市前進(jìn)東路551號，332005

在全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)GNSS中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報在維持衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)時間同步、優(yōu)化導(dǎo)航電文鐘差參數(shù)、滿足實時動態(tài)精密單點定位需求、提供衛(wèi)星自主導(dǎo)航所需的先驗信息等方面具有重要意義[1]?；疑Ｐ鸵云浔磉_(dá)式簡單、所需建模數(shù)據(jù)較少等優(yōu)勢在鐘差預(yù)報中發(fā)揮著重要作用[2-3]。單變量一階微分模型GM(1,1)是灰色模型的重要組成部分，被廣泛應(yīng)用于GNSS導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報。部分學(xué)者[4-5]采用GM(1,1)模型對GPS、GLONASS等導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報處理，驗證其可行性和有效性，并獲得較高的預(yù)報精度。但經(jīng)過深入剖析GM(1,1)模型的建模機(jī)理發(fā)現(xiàn)，灰微分方程與所擬合的微分方程很難做到嚴(yán)格近似，而且參與建模的初始序列的光滑程度也會影響GM(1,1)模型的預(yù)報精度。針對GM(1,1)預(yù)報模型存在的問題，眾多學(xué)者從初始序列預(yù)處理、背景值重構(gòu)、時間響應(yīng)函數(shù)優(yōu)化以及初始條件優(yōu)化等方面展開研究。

在初始條件優(yōu)化方面，現(xiàn)有的生成方法主要有3類：采用一階累加生成(first-order accumulated generating operation，1-AGO)序列的單個分量作為初始條件、采用1-AGO序列的多個分量進(jìn)行線性組合作為初始條件、將系數(shù)乘以或添加到特定分量中獲得初始條件。上述方法都是基于白化方程的時間響應(yīng)函數(shù)，以1-AGO序列的某個或多個分量進(jìn)行線性組合作為已知參量求解初始條件。這類方法著重強(qiáng)調(diào)參與初始條件計算信息的挖掘和利用以及信息的權(quán)重分配，忽視了建模參數(shù)和表達(dá)形式對模型自身的影響，從而導(dǎo)致模型不穩(wěn)定，預(yù)報效果不佳。本文提出一種利用原始序列生成初始條件的新方法，更注重預(yù)報模型的構(gòu)建和參數(shù)對模型的影響。首先利用1-AGO和最小二乘法估計發(fā)展系數(shù)和灰作用量，然后運用一階累減運算(first-order inverse accumulated generating operation，1-IAGO)將白化方程的時間響應(yīng)函數(shù)還原得到原始序列的擬合模型，最后將原始序列的最新分量代入擬合模型，求解初始條件得到GM(1,1)預(yù)報模型。利用新方法構(gòu)建的GM(1,1)模型對IGS提供的精密衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報實驗，通過與其他方法構(gòu)建的GM(1,1)模型進(jìn)行對比分析來驗證新方法的有效性和優(yōu)越性。

1 GM(1,1)模型及初始條件優(yōu)化

1.1 GM(1,1)基本模型

定義GM(1,1)模型的灰微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b,k=2,3,…,N

(1)

式中，a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，z(1)(k)稱為GM(1,1)模型的背景值，用序列Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(N)}表示。z(1)(k)可由x(1)(k)的緊鄰均值生成，即

k=2,3,…,N

(2)

GM(1,1)模型的白化方程為：

(3)

式(3)為線性微分方程，其通解可近似為：

(4)

n=1,2,…,N,N+1,…

(5)

n=1,2,…,N,N+1,…

(6)

圖1 GM(1,1)模型預(yù)報流程Fig.1 Prediction flow of GM(1,1) model

1.2 初始條件的傳統(tǒng)求解法

(7)

以下為4種利用1-AGO序列求初始條件的方法：

表1 4種方法對應(yīng)的GM(1,1)預(yù)報模型

1.3 初始條件優(yōu)化法

(8)

式中，x0(k)可以取原始序列的某個分量或多個分量的加權(quán)和，本文依據(jù)新信息優(yōu)先原則取其最新分量，將k=N代入式(8)得到初始條件的估計值為：

(9)

N=1,2,…,N,N+1,…

(10)

當(dāng)n>N時，利用式(10)就可以求得優(yōu)化初始條件后的GM(1,1)模型的預(yù)報值。

2 算例分析

為驗證優(yōu)化初始條件后GM(1,1)模型的有效性，采用IGS提供的采樣間隔為5 min的最終精密星歷鐘差作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報，并與傳統(tǒng)初始條件的GM(1,1)模型進(jìn)行對比分析。IGS最終精密星歷鐘差的精度優(yōu)于75 ps，可作為真值用于檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)報精度。假設(shè)采用§1.2中方法1～4獲得的GM(1,1)模型分別為模型1、模型2、模型3和模型4，本文提出的初始條件生成法構(gòu)建的GM(1,1)模型為模型5。采用預(yù)報值與真值的均方根誤差(RMSE)定量分析模型的預(yù)報精度，RMSE越小，說明鐘差預(yù)報精度越高；采用預(yù)報值與真值的殘差圖定性分析模型的預(yù)報誤差，殘差圖偏離0越遠(yuǎn)則誤差越大。RMSE計算公式為：

(11)

2.1 數(shù)據(jù)來源

采用2021-10-17～23采樣間隔為5 min的GPS最終精密星歷鐘差作為實驗數(shù)據(jù)。由于GPS衛(wèi)星鐘絕大部分為銣原子鐘，選取該時間段內(nèi)鐘差數(shù)據(jù)完整性較好的4種類型銣原子鐘各1顆，4顆衛(wèi)星的類型和編號分別為ⅡF Rb G01、Ⅲ Rb G04、ⅡR-M Rb G15和ⅡR Rb G19。其中G01鐘差信號呈遞減趨勢，其余3顆衛(wèi)星的鐘差信號均遞增。除G01鐘差數(shù)據(jù)線性特性極好外，其他衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)均出現(xiàn)不同程度的波動，G15衛(wèi)星波動幅度和頻率最大。

2.2 鐘差預(yù)報及結(jié)果分析

在實際預(yù)報中，首先選取2021-10-17前12 h(00:00～12:00)的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后分別預(yù)報未來6 h和24 h的衛(wèi)星鐘差，并將模型5的預(yù)報結(jié)果與模型1～4進(jìn)行對比分析。表2和表3分別為預(yù)報6 h和24 h的RMSE(單位ns)。

表2 鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報6 h的RMSE

表3 鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報24 h的RMSE

由表2和表3可知：

1)模型2和模型3對4種類型衛(wèi)星的6 h和24 h預(yù)測結(jié)果與傳統(tǒng)GM(1,1)模型(模型1)幾乎相同，說明采用1-AGO序列的最舊分量、最新分量、最新最舊分量加權(quán)和生成初始條件構(gòu)建的GM(1,1)模型進(jìn)行衛(wèi)星鐘差預(yù)報的精度相當(dāng)。經(jīng)多次實驗發(fā)現(xiàn)，衛(wèi)星類型、建模數(shù)量和預(yù)報時間的選擇與3種模型鐘差預(yù)報精度幾乎一致的結(jié)論無關(guān)，這是由衛(wèi)星鐘差序列之間的差值太小所致。對于數(shù)據(jù)差別較大的序列，模型預(yù)報精度完全不同，如文獻(xiàn)[6]中采用模型3對序列值之差為個位數(shù)的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報處理，結(jié)果表明模型3的預(yù)報精度優(yōu)于模型1。

2)模型4與模型1的RMSE雖然不相等，但是除了對G19衛(wèi)星進(jìn)行24 h預(yù)報時模型4的RMSE低于模型1外，其他情況下模型4的RMSE均遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于模型1，尤其是ⅡF和ⅡR-M兩種類型銣鐘。說明在鐘差預(yù)報中用于生成GM(1,1)模型初始條件的分量并不是越多越好，分量過多反而會弱化最新序列與預(yù)報序列之間的關(guān)系，導(dǎo)致預(yù)報效果不佳。

3)相比于模型1和模型4，模型5進(jìn)行鐘差預(yù)報的RMSE最小，精度最高。6 h預(yù)報時模型5的RMSE約為0.3 ns；24 h預(yù)報時，除G15外其余衛(wèi)星鐘差預(yù)報的RMSE均在0.8 ns以內(nèi)。由此可見，采用原始序列生成初始條件的方法具有可行性，在鐘差預(yù)報中能夠獲得較好的預(yù)報效果。

4)除G01外大多數(shù)衛(wèi)星的RMSE均隨著預(yù)報時長的增加而增大，其中G15衛(wèi)星的RMSE變化較為明顯。這是因為G01衛(wèi)星的鐘差信號線性特性極好，而G15衛(wèi)星鐘差波動較為嚴(yán)重。說明5種GM(1,1)模型對衛(wèi)星鐘差的波動都很敏感，波動幅度越大、頻率越高，預(yù)報效果越差。

由于模型1～3的預(yù)報精度相當(dāng)，后續(xù)圖表只給出模型1、模型4和模型5的處理結(jié)果。圖2和圖3分別為采用2021-10-17數(shù)據(jù)預(yù)報未來6 h和24 h的殘差結(jié)果。

由圖2和圖3可見，模型5的誤差基本在0 值附近波動，尤其是6 h預(yù)報時長；而模型1和模型4的誤差值偏離0值相對較遠(yuǎn)，且預(yù)報時間越長該現(xiàn)象越明顯。模型5預(yù)報誤差的變化趨勢與模型1和模型4基本保持一致，隨著預(yù)報時長的增加，絕大部分衛(wèi)星的誤差絕對值均緩慢增大。由此說明，模型4的預(yù)報精度得到很大提升，但穩(wěn)定度還有待改善。

圖2 4種模型6 h預(yù)報誤差Fig.2 The 6 h prediction errors of four models

圖3 4種模型24 h預(yù)報誤差Fig.3 The 24 h prediction errors of four models

為進(jìn)一步驗證模型5預(yù)報性能的優(yōu)越性，將2021-10-17～22連續(xù)6 d的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報處理。由于篇幅有限，圖4只給出G01衛(wèi)星2021-10-17～22的預(yù)報精度，表4(單位ns)為4顆衛(wèi)星6 d預(yù)報結(jié)果的平均值，表5(單位%)為模型5相對于模型1和模型4的平均精度提高率。

圖4 G01衛(wèi)星6 d的預(yù)報精度Fig.4 The 6 d prediction accuracy of G01 satellite

表4 6 d鐘差預(yù)報的RMSE平均值

表5 模型5相對于模型1和模型4的平均精度提高率

由圖4可知，除個別時間段模型5的預(yù)報精度略低于模型1外，其他預(yù)報時長和時間段內(nèi)模型5的預(yù)報精度均遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于模型1和模型4。由表4和表5可知，所有衛(wèi)星6 d的平均預(yù)報精度均有不同程度提升，鐘差信號變化越平穩(wěn)，模型5的預(yù)報精度提升越明顯。由此可見，對2021-10-17～22連續(xù)6 d的鐘差數(shù)據(jù)作與2021-10-17鐘差數(shù)據(jù)同樣的預(yù)報處理，能夠得到與2021-10-17相似的結(jié)論。

3 結(jié) 語

本文提出利用原始序列的最新分量生成初始條件的新方法，該方法既充分利用已知信息，又遵循新信息優(yōu)先原則。理論分析和實驗結(jié)果表明，采用新的初始條件構(gòu)建的GM(1,1)模型可以有效預(yù)報衛(wèi)星鐘差，且預(yù)報精度明顯優(yōu)于利用1-AGO 序列的某個或多個分量加權(quán)和生成初始條件構(gòu)建的GM(1,1)模型。但本文構(gòu)建的GM(1,1) 模型鐘差預(yù)報的穩(wěn)定度相比于傳統(tǒng)GM(1,1)模型并未明顯改善，在以后的研究工作中可以從衛(wèi)星鐘差序列的實際特征出發(fā)，結(jié)合信號預(yù)處理、背景值優(yōu)化及其他輔助手段優(yōu)化GM(1,1)模型，進(jìn)一步提高鐘差預(yù)報的精度和穩(wěn)定性。