鄔明宇，李雪冰，尹 航，呂靖成，危銀濤

（清華大學(xué)車輛與運(yùn)載學(xué)院，北京 100084）

1 概 述

帶附加氣室的空氣彈簧以其優(yōu)良的隔振性能，已經(jīng)在車輛領(lǐng)域（乘用車、地鐵、高速鐵路等）得到了普遍應(yīng)用［1］。對于乘用車來說，空氣彈簧具有可調(diào)高度、質(zhì)量較輕、承載能力高、可有效抑制噪聲等優(yōu)點(diǎn)［2］。圖1展示了乘用車的帶附加氣室膜式空氣彈簧系統(tǒng)初始狀態(tài)及定質(zhì)量工作過程原理圖，該系統(tǒng)主要包括主要承載力的空氣氣囊、用于調(diào)節(jié)剛度的附加氣室、充氣用的儲氣罐以及相關(guān)管路等零部件。在過去的半個(gè)世紀(jì)對車輛用空氣彈簧動力學(xué)的研究層出不窮，主要方法有幾何學(xué)法、等效力學(xué)模型、熱力學(xué)等。

圖1 空氣彈簧充放氣及定質(zhì)量工作原理圖Fig.1 The working principle diagram of air spring

Bruni 等［3］對空氣彈簧的動力學(xué)模型進(jìn)行詳細(xì)總結(jié)。典型的動力學(xué)模型包括在一定頻率下適用的Nishimura model［4］，Simpack model［5］，考慮平方阻尼項(xiàng)的Vampire model［6］，考慮摩擦單元與速度指數(shù)項(xiàng)相關(guān)阻尼的Berg model［7］以及一些相應(yīng)的改進(jìn)模型［2，8］。Quaglia等［9］推導(dǎo)出一個(gè)非線性模型，分析了該模型的頻率特性和階躍響應(yīng)，并利用線性模型討論懸架剛度特性。Zhu等［10］推導(dǎo)出了帶附加氣室的空氣彈簧的動態(tài)剛度，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了理論驗(yàn)證。LIU 等［11］研究了空氣彈簧受諧波位移激勵(lì)時(shí)動態(tài)剛度隨腔室之間連接孔面積的變化，并進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Li等［12］基于幾何學(xué)對鐵路用空氣彈簧進(jìn)行垂向剛度建模，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析和參數(shù)討論。除此之外，Li等［13］還將氣體變化過程假設(shè)成多變過程并進(jìn)行仿真分析，為后續(xù)深入了解空氣氣囊氣體變化過程提供了一定的思路。Lee 等［14］基于Harris 等［15］和Bryan［16］的工作，利用熱力學(xué)、連接管路模型建立雙腔室空氣彈簧動力學(xué)特性，并分析氣體的振蕩過程，為后續(xù)熱力學(xué)建模提供了一定的思路和參考。Facchinetti等［17］研究了空氣彈簧剪切和側(cè)傾變形之間的準(zhǔn)靜態(tài)耦合效應(yīng)對車輪/鐵路接觸力的影響，對行駛安全性和平順性提升有一定指導(dǎo)意義。Docquier［18］基于多體動力學(xué)和氣體動力學(xué)對鐵路用空氣懸架系統(tǒng)進(jìn)行建模，并進(jìn)行了懸架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。除此之外，Docquier 等［19］對熱交換過程進(jìn)行敏感性分析，并深入研究了雙腔室空氣彈簧內(nèi)部的多變過程，研究表明車輛的動力學(xué)特性與熱交換率有很強(qiáng)的相關(guān)性，對后續(xù)建模有一定指導(dǎo)意義。Yin 等［20］提出了一種結(jié)構(gòu)空氣彈簧，利用氣體多變過程推導(dǎo)出動力學(xué)模型并以實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。李芾等［21］對空氣彈簧動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行分析，得出不同參數(shù)對空氣彈簧動力學(xué)特性的影響。陳俊杰等［22］利用線性模型以及試驗(yàn)參數(shù)辨識方法對空氣彈簧關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定研究。目前對空氣彈簧動剛度研究主要是基于氣體多變或絕熱假設(shè)進(jìn)行推導(dǎo)，而沒有從熱力學(xué)角度出發(fā)推導(dǎo)考慮能量耗散的帶附加氣室空氣彈簧的動剛度公式。本文基于熱力學(xué)第一定律，應(yīng)用空氣動力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論推得一套適用于雙腔室空氣彈簧的動力學(xué)模型，并給出各項(xiàng)明確的物理意義及數(shù)學(xué)表達(dá)。

本文結(jié)構(gòu)主要分為以下三個(gè)方面。首先，基于熱力學(xué)第一定律、空氣動力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)提出了一組考慮能量耗散的多腔室空氣彈簧動力學(xué)方程及具有物理特性的抽象模型；其次，針對連接孔較大（不考慮連接孔阻尼）情況進(jìn)行了理論簡化并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)；最后，利用仿真方法進(jìn)行了線性剛度、非線性剛度、考慮阻尼特性的動剛度公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比。結(jié)果表明，本文提出的動剛度公式能在大行程范圍內(nèi)很好地?cái)M合空氣彈簧的動力學(xué)行為，解釋空氣彈簧剛度非線性及其滯回特性。

2 帶附加氣室空氣彈簧動剛度模型

帶附加氣室的空氣彈簧動剛度模型主要基于熱力學(xué)第一定律推導(dǎo)出各氣室的能量交換方程；結(jié)合空氣動力學(xué)理論給出氣室間連接孔的質(zhì)量流量方程；最后結(jié)合四分之一懸架動力學(xué)方程進(jìn)行合理假設(shè)和傅里葉變換，給出動剛度各部分貢獻(xiàn)項(xiàng)的物理意義及數(shù)學(xué)表達(dá)。

2.1 熱力學(xué)方程

帶附加氣室空氣彈簧氣動圖如圖1所示，在結(jié)束充放氣后空氣彈簧內(nèi)部氣體質(zhì)量就確定了。這里首先對全文參數(shù)及正方向進(jìn)行定義：m，p，V，T分別代表質(zhì)量、壓強(qiáng)、體積和熱力學(xué)溫度，下標(biāo)b，t，R代表空氣氣囊、附加氣室和儲氣罐。壓強(qiáng)為絕對壓強(qiáng)；氣體質(zhì)量流量以流入附加氣室為正；氣體壓強(qiáng)、溫度、質(zhì)量、體積變化量以變大為正；位移、力向上為正。對空氣取理想氣體狀態(tài)常數(shù)R= 287 J/(kg ?K)，比熱容比γ= 1.4。并有氣體狀態(tài)方程及其全微分恒成立，熱力學(xué)第一定律恒成立，分別以從外界吸熱、外界對氣體做功和內(nèi)能增加為正。即：

根據(jù)氣動圖建立附加氣室和空氣氣囊部分的熱力學(xué)第一定律方程。對Ⅰ（附加氣室）列寫熱力學(xué)公式，由于附加氣室體積不變，故外界對附加氣室做功為零。根據(jù)氣體流向正方向定義，對附加氣室內(nèi)能部分第一項(xiàng)取負(fù)值代入熱力學(xué)第一定律方程（1）中，并除以時(shí)間步長dt，得到：

式中Kt為與外界熱交換系數(shù)，Tatm為外界大氣溫度，Cp為定壓比熱容，CV為定容比熱容。

結(jié)合式（2）與氣體狀態(tài)方程微分形式（1）消去該氣室溫度的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)熱力學(xué)定律得出的氣體質(zhì)量流量表達(dá)式為：

同理，假設(shè)連接在附加氣室與氣囊之間的管道很短，無質(zhì)量滯后。對Ⅱ（氣囊）列寫熱力學(xué)公式，消去溫度隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得：

帶附加氣室的空氣彈簧熱力學(xué)方程由式（3），（4）進(jìn)行表述。需要說明的是，該方程在進(jìn)行推導(dǎo)的時(shí)候未規(guī)定附加氣室腔室個(gè)數(shù)，故對多腔室的空氣彈簧仍適用。下面根據(jù)空氣動力學(xué)理論推導(dǎo)出連接孔兩側(cè)壓強(qiáng)與質(zhì)量流量之間的關(guān)系。

2.2 空氣動力學(xué)方程

根據(jù)空氣動力學(xué)理論［14］對小孔流動的描述以及氣體狀態(tài)方程，并且考慮對連接孔的有效面積進(jìn)行系數(shù)修正，對不同壓強(qiáng)根據(jù)氣體流向正方向定義得出質(zhì)量流量為：

當(dāng)pt

當(dāng)pt>pb時(shí)，

為了使后續(xù)建模的過程中避免對不同腔室之間的氣體進(jìn)行分類討論，本文引入一些假設(shè)，在不改變空氣動力學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上通過數(shù)學(xué)技巧進(jìn)行模型化簡。首先根據(jù)實(shí)際情況，雙腔室空氣彈簧氣囊與附加氣室之間的壓強(qiáng)比應(yīng)當(dāng)大于0.5283。并取α=min {pb，pt}/max {pb，pt} ≤1。 進(jìn)而做假設(shè)如下：

式中T0為初始狀態(tài)溫度。

將式（6）代入（5），進(jìn)而可以用一個(gè)等式來表示不同情況下空氣氣囊與附加氣室之間的氣體質(zhì)量流量公式：

在確定了附加氣室與空氣氣囊之間連接孔的面積之后，δ(α)就是壓強(qiáng)比的函數(shù)。利用該公式可以將需要分類討論的兩種情況進(jìn)行合并分析。下面結(jié)合動力學(xué)模型進(jìn)行帶附加氣室空氣彈簧模型的構(gòu)建。

2.3 動力學(xué)模型

如前所述，在充放氣過程結(jié)束后，整個(gè)空氣彈簧帶附加氣室內(nèi)部氣體總質(zhì)量就確定了，下面根據(jù)前述熱力學(xué)方程及空氣動力學(xué)方程推導(dǎo)出四分之一空氣懸架的動力學(xué)模型。圖2為根據(jù)車輛四分之一懸架簡化后的模型，空氣彈簧視為彈性元件。

圖2 四分之一空氣懸架模型Fig.2 One-quarter air suspension model

首先需要指出的是，空氣懸架系統(tǒng)具有高度可調(diào)的特性，理論上來說可以在任何初始位置保持平衡狀態(tài)。這是區(qū)別于傳統(tǒng)被動彈簧的重要特征。也是由于這個(gè)特征，在列寫動力學(xué)方程式的時(shí)候就不能用結(jié)構(gòu)動力學(xué)的一般方法（如牛頓第二定律或拉格朗日第二定律等）以重力導(dǎo)致的靜止?fàn)顟B(tài)為初始平衡位置列寫動力學(xué)方程。所以，本文中對空氣懸架系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立均建立在考慮所有重力的基礎(chǔ)上。由結(jié)構(gòu)動力學(xué)知識可知，對圖2所示二自由度動力學(xué)系統(tǒng)，其動力學(xué)方程組為：

需要注意的是式（8）中空氣彈簧傳遞的力特性公式是顯然成立的。其全微分為：

由此看出有效面積變化以及壓強(qiáng)變化均會對力學(xué)傳遞特性有重要影響。后文先基于有效面積不變假設(shè)展開，在最后給出考慮有效面積變化時(shí)的動剛度公式。

通過式（3），（4），（7）以及（8），將流經(jīng)節(jié)流孔的氣體質(zhì)量流量消去。又因?yàn)榭諝鈿饽遗c外界接觸面積比附加氣室大，故不考慮附加氣室與外界的熱量交換（或者可以考慮此熱量通過空氣氣囊與空氣進(jìn)行熱交換）。得到：

再對空氣氣囊溫度與外界大氣溫度差、壓強(qiáng)與空氣氣囊速度耦合項(xiàng)、空氣懸架系統(tǒng)的行程倒數(shù)與原初始高度倒數(shù)進(jìn)行假設(shè)：

式中z1為簧下位置位移，z2為簧上位量位移，h0為初始狀態(tài)懸架高度，下標(biāo)0 表示初始狀態(tài)。

將式（11）代入（10）中得到簡化后的空氣彈簧參數(shù)間的微分關(guān)系：

在式（12）中有時(shí)域變量：pt，pb，（z2-z1）和FAS，對時(shí)域變量進(jìn)行傅里葉變換。又基于式（8）力學(xué)傳遞特性的傅里葉變換及懸架動行程Z（ω）=Z1（ω）-Z2（ω），式（12）變?yōu)椋?/p>

消去附加氣室壓強(qiáng)傅里葉變換可得附加氣室與懸架動行程之間的頻域關(guān)系。根據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)的正方向定義，結(jié)合式（13），帶附加氣室的空氣彈簧總動剛度計(jì)算公式可以表示為：

觀察式（14），擬將其整理成具有物理意義的剛度公式。為此，對其進(jìn)行簡單數(shù)學(xué)變換如下：

式中ω為激勵(lì)圓頻率，j 為虛數(shù)單位，

在等效完之后的動剛度表達(dá)式中，從動力學(xué)等效角度可以將其視為如下三項(xiàng)的串聯(lián)形式：彈簧k1、阻尼器c1、彈簧k2和阻尼器c2的并聯(lián)系統(tǒng)。仍然要強(qiáng)調(diào)的是，上述推導(dǎo)并未考慮有效面積的變化以及其變化對空氣彈簧等效動剛度的影響，因?yàn)橛行娣e的變化對空氣氣囊體積的計(jì)算影響很小。但根據(jù)式（9）可以得知有效面積變化量對剛度的直接影響較大，設(shè)由有效面積變化產(chǎn)生的等效剛度為kA，則有：

式中FAS，2代表由有效面積變化對空氣彈簧力學(xué)傳遞特性的影響。至此，根據(jù)熱力學(xué)、空氣動力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)推導(dǎo)出的多腔室空氣彈簧的動力學(xué)模型可以直觀表示，如圖3所示。

圖3 雙腔室空氣彈簧等效力學(xué)模型Fig.3 Equivalent mechanical model of dual-chamber air spring

所以空氣彈簧的等效動剛度可分為假設(shè)有效面積不變化時(shí)由于熱力學(xué)、空氣動力學(xué)影響的部分與有效面積變化時(shí)對剛度的影響部分。結(jié)合式（15）和（17），動剛度總表達(dá)式為：

需要注意的是，該模型僅為懸架系統(tǒng)中空氣彈簧部件的等效動剛度公式，實(shí)際懸架還存在阻尼器，本文主要聚焦于空氣彈簧的模型建立。

下面對推導(dǎo)出的多腔室空氣彈簧的等效剛度公式（18）進(jìn)行討論。其中由有效面積變化產(chǎn)生的剛度變化部分為kA；由空氣氣囊部分產(chǎn)生的剛度和阻尼項(xiàng)為k1與c1，兩部分串聯(lián)；由附加氣室產(chǎn)生的等效剛度和等效阻尼為k2和c2，與空氣氣囊部分串聯(lián)。根據(jù)式（16）的c1項(xiàng)可知，由空氣氣囊產(chǎn)生的阻尼項(xiàng)中的參數(shù)Kb主要是由空氣氣囊、附加氣室、空氣氣囊的阻尼項(xiàng)三個(gè)因素共同影響產(chǎn)生的。這里忽略了由橡膠氣囊產(chǎn)生的剛度部分，因?yàn)樵摬糠钟绊懯中。?2］，故做忽略的假設(shè)是合理的。

本節(jié)中推導(dǎo)的創(chuàng)新點(diǎn)主要在于明確了多腔室空氣彈簧等效力學(xué)模型中各個(gè)元件的物理意義及影響因素，給出了各部件的明確數(shù)學(xué)表達(dá)式。并且基于熱力學(xué)第一定律綜合考慮了由附加氣室、空氣氣囊以及橡膠?簾線材料產(chǎn)生的阻尼特性導(dǎo)致的滯回特性。

3 模型簡化及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 不考慮連接孔阻尼的空氣彈簧力學(xué)特性簡化

為了證明本文中提出的帶附加氣室空氣彈簧動力學(xué)模型具有普適性，現(xiàn)對其進(jìn)行簡化，假設(shè)附加氣室與空氣氣囊之間的連接孔很大，以至于可以不考慮其阻尼特性［14］。這也與實(shí)際情況相符，因?yàn)楸疚牡闹饕獙ο笫浅擞密囀褂玫目諝鈴椈?，其大部分形式為膜式空氣彈簧。單腔室空氣彈簧的動力學(xué)分析與雙腔室空氣彈簧類似，僅為除去小孔和附加氣室產(chǎn)生的影響［12］。則式（18）變?yōu)椋?/p>

空氣氣囊動剛度公式的剛度部分與Li 等［12］得出的結(jié)論相符。但是從本文中可以看出實(shí)際的動剛度應(yīng)該是動剛度的模，也就是說由于熱交換、氣囊的等效阻尼會使得實(shí)際的動剛度比單純考慮氣體的剛度低。下面針對式（19）進(jìn)行討論分析。根據(jù)Qua?glia 等［9］的工作，本文將有效面積隨高度的變化簡化為線性，則可推得由有效面積變化產(chǎn)生的動剛度表達(dá)式為：

需要指出的是，式（19）對任意空氣彈簧平衡位置處及小振幅情況下均適用。根據(jù)此結(jié)論，可以將式（19）進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)展。下面考慮將阻尼仍看不隨高度、有效面積變化的常數(shù)。將彈性項(xiàng)k1看不隨有效面積變化而變化，但與當(dāng)前狀態(tài)下壓強(qiáng)和氣室體積有關(guān)的變化量，即：

本文主要關(guān)心單腔室空氣彈簧的動力學(xué)特性及力學(xué)傳遞特性，故針對式（21）構(gòu)造出單腔室空氣彈簧的動力學(xué)等效力學(xué)模型及原理圖如圖4所示。

由圖4可以列出其力學(xué)傳遞特性微分方程：

圖4 單腔室空氣彈簧等效力學(xué)模型Fig.4 Equivalent mechanical model of single-chamber air spring

針對式（22），如果假設(shè)k1不變，即為最常見的線性模型；如果將其泰勒展開成高度的一階形式則為非線性模型，即：

本文提出的基于非線性剛度和考慮阻尼滯回特性的模型稱為精確解。

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文搭建了MTS 示功實(shí)驗(yàn)平臺，并采用國內(nèi)某車型使用的后軸空氣彈簧設(shè)計(jì)工裝以及實(shí)驗(yàn)流程。圖5展示了MTS 及空氣彈簧實(shí)驗(yàn)設(shè)備，連接管路采用Φ6 mm 管。利用高壓氣源將空氣彈簧充氣，達(dá)到工作的力值后通過減壓閥進(jìn)行壓強(qiáng)控制。讀出此時(shí)的壓強(qiáng)值并約束管長進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

圖5 空氣彈簧MTS 實(shí)驗(yàn)及原理圖Fig.5 MTS test bench and schematic diagram

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由MTS 傳感器讀取，包括固定采樣頻率的力傳感器值、液壓作動器位移、作動器速度、記錄時(shí)間等數(shù)據(jù)。下面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比及數(shù)據(jù)分析。

4 實(shí)驗(yàn)對比及數(shù)據(jù)分析

本次實(shí)驗(yàn)采用的參數(shù)與空氣彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，利用MTS 設(shè)備產(chǎn)生正弦激勵(lì)波，其表達(dá)式為：

根據(jù)表1及公式（16）可以得到線性模型、非線性模型，利用Simulink 將本文中提出的考慮滯回特性的精確解進(jìn)行仿真并與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論對比Fig.6 Comparison of experimental and theoretical results

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)及取值Tab.1 Experimental parameters and values

可以看出，線性剛度公式在一定小振動幅度范圍內(nèi)（約±5 mm 左右）可以較好地?cái)M合空氣彈簧動力學(xué)行為，但是隨著振幅加大，擬合效果逐漸變差。非線性剛度公式可以在較大振幅范圍內(nèi)對空氣彈簧的動力學(xué)行為進(jìn)行描述，但是其缺點(diǎn)是無法反映空氣彈簧加載卸載的滯回特性。不同設(shè)計(jì)或工況下空氣彈簧的滯回特性可能十分顯著，本例中取實(shí)驗(yàn)值在初始坐標(biāo)范圍附近，其加載、卸載的差值約為150 N，如果忽略此差值可能會對后續(xù)動力學(xué)模型及整車動力學(xué)行為的仿真造成影響。從本文提出的考慮空氣彈簧熱交換、橡膠阻尼的精確解曲線可以看出其能精確描述空氣彈簧在運(yùn)動過程中的滯回特性及動力學(xué)行為，與實(shí)驗(yàn)吻合程度較高。下面針對不同理論公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，并給出誤差量化指標(biāo)的計(jì)算公式。本文中采用的是不同模型與實(shí)驗(yàn)的相對誤差的絕對值，其計(jì)算公式為：

三種模型的理論解與實(shí)驗(yàn)值的比較及合理外推值如圖7所示。

圖7 不同模型相對誤差比較Fig.7 Comparison of relative errors of different models

可以看出線性模型的誤差最大，在振幅最大值時(shí)預(yù)測誤差超過3%；非線性模型比線性模型精度高，且在中間位置誤差較大，振幅最大值處誤差較??；本文給出的精確解精度最高，不論位移大小其相對誤差均可以控制在0.5%以內(nèi)。故可以得出結(jié)論，本文提出的多腔室空氣彈簧動剛度解析計(jì)算公式具有較高的精確性，可以適用于空氣懸架的精確控制。

5 結(jié) 論

提出了一種考慮空氣氣囊熱交換與阻尼滯回特性的多腔室空氣彈簧動力學(xué)模型，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；給出了對應(yīng)等效力學(xué)模型的各部分明確的物理意義及數(shù)學(xué)表達(dá)式，論文結(jié)論如下：

1）所提出的多腔空氣彈簧模型推導(dǎo)過程中未限制氣體狀態(tài)變化，故具有較強(qiáng)的普適性；

2）搭建了空氣彈簧動態(tài)特性試驗(yàn)臺架，實(shí)驗(yàn)比較了線性模型、非線性模型、和本文的精確解，證實(shí)了考慮滯回特性的精確解模型可以很好地反映空氣彈簧的動力學(xué)特性，在大行程下與實(shí)驗(yàn)值的相對誤差小于0.5%。

本文提出的多腔室空氣彈簧動剛度模型對后續(xù)懸架精確控制及整車仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供了很好的基礎(chǔ)。