溫作鵬，樓文娟，姜 雄，2

（1.浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所，浙江杭州 310058；2.杭蕭鋼構(gòu)股份有限公司，浙江杭州 310058）

引 言

導(dǎo)線舞動是一種對輸電線路危害較大的失穩(wěn)振動，準確、清晰地認識舞動激發(fā)機理有助于防治舞動。舞動機理的研究最早是從單自由度系統(tǒng)開始的，隨后的研究逐漸轉(zhuǎn)向二自由度、三自由度系統(tǒng)。早期的Den Hartog 舞動機理［1］解釋了豎向單自由度系統(tǒng)的舞動現(xiàn)象。豎向單自由度系統(tǒng)因其簡單實用，廣泛用于許多舞動研究中［2?3］。三自由度系統(tǒng)的舞動問題則較為復(fù)雜，涉及水平、豎向、扭轉(zhuǎn)三個方向的運動，并且受到系統(tǒng)各向頻率、氣動阻尼、氣動剛度、慣性耦合等多重因素綜合影響。

目前的舞動穩(wěn)定機理研究往往忽略了氣動剛度或慣性耦合的作用［4?6］，但有研究表明，二者均可能對舞動產(chǎn)生顯著影響。Yan 等［7］對考慮慣性耦合的三自由度系統(tǒng)進行研究，發(fā)現(xiàn)慣性耦合顯著改變了系統(tǒng)的舞動穩(wěn)定性。伍川等［8］采用有限元方法研究導(dǎo)線舞動，結(jié)果表明偏心覆冰作用下的導(dǎo)線舞動幅值變大，舞動形態(tài)更為復(fù)雜。但現(xiàn)有研究均未能解釋慣性耦合對舞動的影響機理。樓文娟等［9?11］的研究則發(fā)現(xiàn)，氣動剛度效應(yīng)能夠解釋試驗中觀測到的舞動風(fēng)速區(qū)間，表明氣動剛度對舞動穩(wěn)定判斷的重要性。

利用李雅普諾夫一次近似理論，可通過系統(tǒng)特征值實部正負判斷舞動穩(wěn)定性。對于三自由度系統(tǒng)，其特征值一般難以給出準確的解析解。但在舞動問題中，一般認為結(jié)構(gòu)阻尼、氣動阻尼、慣性耦合對特征頻率影響很小，可以視為小量，從而可采用小參數(shù)攝動理論求得近似解析解，即矩陣特征值攝動法［12］。利用該方法，Luongo 等［13］推導(dǎo)了平動二自由度系統(tǒng)特征值的共振解和非共振解，但并未考慮氣動剛度和慣性耦合。姜雄等［14?15］應(yīng)用矩陣攝動法推導(dǎo)了三自由度系統(tǒng)覆冰輸電導(dǎo)線離散自振頻率下特征值實部一階攝動解，據(jù)此分析了舞動機理，但該攝動解并不能反映慣性耦合的影響。

導(dǎo)線防舞裝置都是依據(jù)已有的舞動機理設(shè)計出來的，但由于舞動問題的復(fù)雜性，目前對舞動機理的認識并不清晰，防舞裝置的應(yīng)用效果不盡如人意。若能獲得更加完備、準確的系統(tǒng)特征值實部解析解，則可對舞動機理有更準確的認識，有助于改進現(xiàn)有防舞器的控制策略，并發(fā)展出更加有效的防舞裝置。

慣性型防舞器是導(dǎo)線上廣泛應(yīng)用的一類防舞裝置，包括雙擺防舞器、偏心重錘、失諧擺、壓重等［16?17］。這類防舞器通過對導(dǎo)線附加慣性質(zhì)量，改變導(dǎo)線結(jié)構(gòu)特性以抑制舞動。雙擺防舞器通過運動方程的Hurwith 穩(wěn)定性判據(jù)來判斷舞動穩(wěn)定狀態(tài)，但這種數(shù)值判據(jù)方法缺乏對防舞機理的分析，而實際運行中雙擺防舞器在某些氣象條件下的控制效果并不好。因此，研究附加慣性質(zhì)量對于結(jié)構(gòu)舞動穩(wěn)定性的影響機理具有重要意義。

本文針對具有離散自振頻率的三自由度系統(tǒng)，采用修正的矩陣一階攝動解方法推導(dǎo)了同時考慮慣性耦合及氣動剛度的特征值實部修正解。以某D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例，驗證該修正解的準確性?；谠撔拚?，分析附加質(zhì)量對舞動穩(wěn)定性影響的機理，并對輸電線路常用的雙擺防舞器的控制效果及適用性進行檢驗。

1 含附加質(zhì)量的導(dǎo)線三自由度系統(tǒng)運動方程

取一段含附加質(zhì)量的導(dǎo)線微元，長度為ds，簡化的三自由度模型如圖1所示。設(shè)導(dǎo)線自身的彈性中心與質(zhì)量中心重合，記為O點，m，J分別為單位長度導(dǎo)線質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量；設(shè)共有np個附加質(zhì)量，mpi，Jpi分別為第i個附加質(zhì)量的單位長度質(zhì)量及其轉(zhuǎn)動慣量，Rpi，αpi分別為附加質(zhì)量中心與中心O的連線距離、連線的偏心角；R為截面等效半徑，水平來流風(fēng)速大小為U；ky，kz，kθ分別為單位長度豎向、水平向和扭轉(zhuǎn)向剛度；記位移向量為U=[v，w，θ]T，v，w，θ分別為豎向、水平向、扭轉(zhuǎn)向位移。

圖1 含附加質(zhì)量的導(dǎo)線三自由度模型Fig.1 3-DOF conductor model with additional mass

對非線性風(fēng)荷載Fw關(guān)于結(jié)構(gòu)速度、位移項進行泰勒展開并保留一階項，去除平均風(fēng)荷載后，運用拉格朗日第二運動方程，并作無量綱和歸一化處理［9］，可求得系統(tǒng)運動方程：

式中s為導(dǎo)線微元沿導(dǎo)線軸向的坐標(biāo)；sp為附加質(zhì)量沿導(dǎo)線軸向的坐標(biāo)；δ為狄拉克函數(shù)分別為原系統(tǒng)、附加質(zhì)量的質(zhì)量矩陣；分別為結(jié)構(gòu)阻尼、氣動阻尼的矩陣；分別為結(jié)構(gòu)剛度、氣動剛度、附加質(zhì)量重力剛度的矩陣。

以上為針對導(dǎo)線微元建立的運動方程，對于整檔導(dǎo)線這樣的連續(xù)系統(tǒng)，采用假設(shè)模態(tài)法，令：

式中 假設(shè)第j階振型為?j=sin(jπs/L)，n為振型數(shù)量，L為導(dǎo)線檔距，qvj，qwj，qθj分別為豎向、水平、扭轉(zhuǎn)廣義位移。

對式（1）乘以?j并沿導(dǎo)線軸向積分可得：

式中各項的表達式為：

?p為附加質(zhì)量位置的振型位移；；g為重力加速度；ξy，ξz，ξθ分別為豎向、水平、扭轉(zhuǎn)向模態(tài)阻尼比；N為導(dǎo)線分裂數(shù)；ρ為空氣密度；D為導(dǎo)線直徑；CL，CD，CM分別為初始風(fēng)攻角α0時導(dǎo)線整體的升力、阻力和扭矩系數(shù)；C′L，C′D，C′M為前述系數(shù)關(guān)于風(fēng)攻角導(dǎo)數(shù)。

對于單導(dǎo)線，Ca矩陣第三列相關(guān)項表達式為：

對于分裂數(shù)為N的多分裂導(dǎo)線，記sk=sin(α0+αck)，ck=cos(α0+αck)，αck為第k根子導(dǎo)線在多分裂導(dǎo)線截面的方位角。參考郭應(yīng)龍等［16］給出的表達式，Ca矩陣第三列相關(guān)項表達式為：式中CLk，CDk，CMsk分別為第k根子導(dǎo)線的升力、阻力和扭矩系數(shù)；C′Lk，C′Dk，C′Msk為前述系數(shù)關(guān)于風(fēng)攻角的導(dǎo)數(shù)。

2 三自由度系統(tǒng)特征值實部修正攝動解

通過矩陣一階攝動法推得的特征值實部能夠體現(xiàn)氣動阻尼、氣動剛度的貢獻［14］，但無法體現(xiàn)慣性耦合的貢獻。通過矩陣二階攝動法［12］得到的特征值實部理論上能反映慣性耦合的作用，但二階攝動法的計算較為復(fù)雜，難以獲得實用的表達式。在文獻［9］的基礎(chǔ)上，本文提出一種修正的攝動解方法，使得一階攝動的特征值實部能反映慣性耦合的作用。

根據(jù)特征值攝動理論，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)參數(shù)可描述為零階項（初始值）與一階項（變化值）之和。按照文獻［9］的取法，式（4）中系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼的矩陣分別表示為：零階項：

一階項：

式中 ε 為小參數(shù)。

式（4）的特征方程滿足：

式中λi為第i個特征值，可表示為按ε展開的冪級數(shù)：

根據(jù)矩陣攝動法，λi的一階攝動解為［9］：

式中vi，0，ui，0為左、右特征向量；記結(jié)合豎向零階特征值λ1，0=i 由式（11）可得豎向一階特征值的實部、虛部分別為：

可見附加質(zhì)量對豎向一階特征值的影響僅體現(xiàn)在其虛部中，而在實部未有體現(xiàn)，即，豎向一階特征值無法反映附加質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

下面采用修正的矩陣一階攝動解方法求特征值實部。將εM1視為零階質(zhì)量矩陣的一部分，得修正的零階質(zhì)量矩陣為：

在此基礎(chǔ)上，通過小參數(shù)展開法求解零階矩陣的特征方程，并忽略高階小量，得修正的零階特征值為：

通過可求得修正的零階左、右特征向量為：

根據(jù)特征向量的正交關(guān)系，有［15］：

式中 項①對應(yīng)的-c11/2 項即單自由度系統(tǒng)的特征值實部［9］，項①+②對應(yīng)原攝動解的表達式（12）［9］；修正攝動解Re()是在原攝動解Re(λ1)的基礎(chǔ)上，新增了慣性耦合相關(guān)的附加項③和④，并且項③和④同時還包含氣動阻尼、氣功剛度，可見慣性耦合作用是與氣動力系數(shù)密切相關(guān)的；附加平動質(zhì)量m11p與項①+②相乘，其作用在于縮放了原攝動解的數(shù)值。此外，假如視附加質(zhì)量為一階小量，則項③和④均為二階小量，這也解釋了式（12）的特征值實部解為何只包含氣動阻尼項，而不含附加質(zhì)量項，因為附加質(zhì)量項僅出現(xiàn)在被舍去的二階小量中。

同上，可得水平向特征值實部為：

pz的表達式可由py中各角標(biāo)1 全部置換為2 得到，便不在此給出。

扭轉(zhuǎn)向特征值實部也可通過上述方法得到，但由于扭轉(zhuǎn)向與兩個平動方向均存在耦合，推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，這里采用一種簡便方法。記矩陣A為：

式中 I 為單位矩陣。給出以下3 個條件：1）本文所求特征值等價為矩陣A的特征值［15］；2）矩陣A所有特征值之和等于矩陣的跡tr（A）；3）特征方程的復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)且互為共軛復(fù)數(shù)。根據(jù)這些條件，扭轉(zhuǎn)向特征值實部可表示為：

由式（17），（18）和（20）可知，特征值實部中涉及多個慣性耦合相關(guān)項，表達式較為復(fù)雜，這表明慣性耦合大大增加了舞動穩(wěn)定問題的復(fù)雜性。但是可以注意到，與包含有正弦、余弦項，意味著當(dāng)附加質(zhì)量位于原系統(tǒng)水平中心線或豎向中心線上，豎向或水平向的特征值可以得到簡化，這能為舞動穩(wěn)定性判斷提供相對簡單的依據(jù)。

3 修正攝動解的驗證

3.1 算例參數(shù)

如圖2所示，以D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例進行算例分析。導(dǎo)線氣動力參數(shù)參見文獻［18］，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。需要說明的是，對于多分裂導(dǎo)線，覆冰一般在截面圓周的各子導(dǎo)線上都有分布，且子導(dǎo)線分裂半徑遠大于覆冰厚度，故在非重覆冰情況下慣性耦合效應(yīng)較為微弱。而慣性型防舞器的質(zhì)量一般集中在導(dǎo)線圓截面上某一側(cè)，慣性耦合效應(yīng)較強。因此可以認為覆冰的慣性耦合效應(yīng)相比于防舞器可以忽略。另外，假設(shè)導(dǎo)線為單一模態(tài)振動，附加質(zhì)量設(shè)在導(dǎo)線跨中，則?p=1。定義附加質(zhì)量的質(zhì)量比為：

表1 D 形覆冰六分裂導(dǎo)線參數(shù)Tab.1 Parameters of the 6-bundled conductor with D-shaped icing

圖2 D 形覆冰六分裂導(dǎo)線Fig.2 6-bundled conductor with D-shaped icing

在單自由度系統(tǒng)的假設(shè)下，式（6）的對應(yīng)扭轉(zhuǎn)向氣動阻尼。易知若各子導(dǎo)線的氣動力?風(fēng)攻角曲線相同，中正余弦相關(guān)項為零，此時滿足3CD+C′L的形式。與Den Hartog 系數(shù)CD+C′L比較易知，3CD+C′L<0的風(fēng)攻角范圍顯著小于CD+C′L<0的風(fēng)攻角范圍。一般情況下各子導(dǎo)線氣動力曲線之間差異不會很大，因此可認為多分裂導(dǎo)線的豎向激發(fā)舞動占主導(dǎo)情況，扭轉(zhuǎn)向激發(fā)舞動較少發(fā)生。由圖3可知，對于該D 形覆冰六分裂導(dǎo)線，CD+C′L<0 的范圍主要為67°～79°，138°～180°，而在全風(fēng)攻角范圍內(nèi)大于0。因此對于該多分裂導(dǎo)線，只需重點關(guān)注其豎向激發(fā)的舞動。

圖3 氣動力相關(guān)參數(shù)曲線Fig.3 Aerodynamic coefficients

3.2 驗 證

下面以單個附加質(zhì)量為例，默認取質(zhì)量比為0.1，偏心角為30o，特征值實部修正攝動解與數(shù)值解的比較如圖4（a）所示。由圖可知，三個方向的修正攝動解總體上與數(shù)值解吻合良好，在高風(fēng)速下開始逐漸偏離。圖4（b）對豎向特征值實部的數(shù)值解、單自由度解、原攝動解Re(λ1)、修正攝動解Re()進行比較。其中單自由度解指的單自由度系統(tǒng)運動方程的特征值實部［9］，與傳統(tǒng)的Den Hartog 舞動機理是一致的。如圖4（b）所示，單自由度解在8 m/s 風(fēng)速左右開始顯著偏離數(shù)值解，攝動解在13 m/s 左右顯著偏離數(shù)值解，而修正攝動解在20 m/s 以內(nèi)都吻合良好。需要說明的是，在不同氣動力條件下，各近似解與數(shù)值解的誤差情況均不相同。由式（17）可知，誤差取決于表達式中附加項的大小。這些附加項在推導(dǎo)過程中被視為小量，但若高風(fēng)速下氣動負剛度過于顯著而使分母接近零，則誤差會明顯增大。

圖4 特征值近似解與數(shù)值解的比較（風(fēng)攻角76o）Fig.4 Approximate solutions and numerical solution of eigen value real parts（76°attack angle）

圖5給出了0°～180°風(fēng)攻角下豎向特征值實部數(shù)值解、原攝動解Re(λ1)、修正攝動解Re()的比較。如圖5所示，在大部分風(fēng)攻角區(qū)域，修正攝動解的精度均顯著高于攝動解。而在某些風(fēng)攻角下，兩種攝動解與數(shù)值解均較為接近，這表明慣性耦合的影響在該風(fēng)速下并不顯著。由于慣性耦合項與氣動剛度、氣動阻尼參數(shù)是密切相關(guān)的，因此慣性耦合能發(fā)揮多大的作用與具體的氣動力參數(shù)相關(guān)。

圖5 豎向特征值實部隨風(fēng)攻角的變化（風(fēng)速20 m/s）Fig.5 Variation of vertical eigenvalue real part with attack angle（U=20 m/s）

4 附加質(zhì)量的防舞機理分析

4.1 附加質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

如式（17）所示，考慮慣性耦合的攝動解表達式很復(fù)雜，涉及多個氣動剛度項、氣動阻尼項，因此難以直接利用式（17）對導(dǎo)線舞動穩(wěn)定性進行分析。但自然界中有一些覆冰是形成于導(dǎo)線的正下方，而一些常用的導(dǎo)線防舞裝置的質(zhì)心也是位于導(dǎo)線的正下方，如失諧擺、雙擺防舞器等。在這種情況下，式（17）中m31p=0，豎向?扭轉(zhuǎn)的慣性耦合作用消失，則特征值實部表達式得以大大簡化，為舞動穩(wěn)定分析提供方便。

取m31p=0，附加質(zhì)量后與原系統(tǒng)的的特征值實部之差為：

式中i=1，2，…，np。注意上式中m11p相關(guān)項已經(jīng)被忽略，因為在舞動臨界風(fēng)速附近，與m11p相乘的阻尼項接近0，對臨界風(fēng)速影響很小。由式（22）可知，附加質(zhì)量前后，特征值實部改變量主要由兩項組成：含m32p的慣性耦合項、含kg的重力剛度項。將m32p，kg表達式代入式（22），則式（22）可等價表達為：

由式（23）可知，慣性耦合、重力剛度這兩項均存在與氣動力參數(shù)的耦合，包括C′L，C′M，CL-C′D等。因此可以推斷附加質(zhì)量對系統(tǒng)舞動穩(wěn)定性的影響強烈依賴于具體的氣動力條件。此外，慣性耦合、重力剛度項均與k13a這個氣動剛度項相乘，可以推斷這兩項在高風(fēng)速下可能會發(fā)揮顯著作用。

式（22）和（23）表明，在附加質(zhì)量引起的慣性耦合與重力剛度作用下，系統(tǒng)的特征值實部可能發(fā)生顯著改變，從而引起系統(tǒng)舞動穩(wěn)定狀態(tài)的變化。利用這一特性，可以使用附加質(zhì)量對導(dǎo)線結(jié)構(gòu)的舞動進行抑制。

4.2 雙擺防舞器控制效果

雙擺防舞器是目前在多分裂導(dǎo)線上應(yīng)用廣泛的防舞裝置，其通過提高導(dǎo)線的動力穩(wěn)定性以實現(xiàn)防舞的效果。雙擺防舞器的簡化結(jié)構(gòu)如圖6所示，兩個擺錘質(zhì)量相等，沿豎向中心線對稱布置。該裝置的設(shè)計優(yōu)化一般針對少數(shù)特定的風(fēng)攻角進行，若選取合適的防舞器參數(shù)，則可以有效控制線路舞動。但從工程應(yīng)用經(jīng)驗來看，若實際冰風(fēng)條件超過設(shè)計范圍，則線路仍可能發(fā)生舞動，這與雙擺防舞器防舞機理不夠明確有一定關(guān)系。本文將從特征值實部正負的角度對雙擺防舞器的防舞機理與控制效果進行分析。

圖6 雙擺防舞器簡化示意圖Fig.6 Schematic of double pendulum anti-galloping device

以文中D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例對雙擺防舞器的控制效果進行計算。設(shè)定風(fēng)攻角為76o，防舞器的質(zhì)量比為0.1，以舞動臨界風(fēng)速為優(yōu)化目標(biāo)對偏心角αp、擺長Rp參數(shù)進行優(yōu)化，優(yōu)化后偏心角定為30o，擺長為700 mm。相關(guān)計算結(jié)果見圖7和8 。

如圖7（a）所示，76o風(fēng)攻角下，附加質(zhì)量后豎向特征值實部在風(fēng)速大于10 m/s 的區(qū)間顯著下降，臨界風(fēng)速從8.5 m/s 提升為15.5 m/s。圖7（b）給出式（23）中重力剛度項與慣性耦合項的曲線，可以發(fā)現(xiàn)二者均為負數(shù)，大小處于同一量級，并且數(shù)值在10 m/s 風(fēng)速以上變得顯著。因此式（23）的重力剛度項與慣性耦合項可以用來解釋附加質(zhì)量后系統(tǒng)特征值實部顯著下降的現(xiàn)象。

采用Newmark?β 法計算該三自由度導(dǎo)線結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程，如圖7（c）和（d）所示，在13 m/s 風(fēng)速下，未受控結(jié)構(gòu)在約90 s 時進入穩(wěn)定舞動狀態(tài)，而受控結(jié)構(gòu)并不舞動?？梢姼郊拥馁|(zhì)量使得系統(tǒng)特征值實部由正變?yōu)樨摚瑥亩菇Y(jié)構(gòu)從原先的舞動狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闅鈩臃€(wěn)定狀態(tài)，有效抑制了舞動。

圖7 在76°風(fēng)攻角下結(jié)構(gòu)受控前后變化Fig.7 Comparison of controlled and uncontrolled structure at 76°attack angle

附加質(zhì)量對于舞動的控制效果實際上取決于具體的氣動力參數(shù)。保持原76o風(fēng)攻角下設(shè)計的雙擺防舞器參數(shù)不變，對167o風(fēng)攻角下的控制效果進行計算。如圖8（a）所示，原結(jié)構(gòu)的特征值實部曲線始終小于0，而附加質(zhì)量后，受控結(jié)構(gòu)的特征值實部在高風(fēng)速區(qū)域顯著抬升并且由負變正，臨界風(fēng)速為10.1 m/s。圖8（b）表明，重力剛度項、慣性耦合項的曲線數(shù)值均大于0。因此對于同樣的雙擺防舞器參數(shù)，當(dāng)風(fēng)攻角從67o變?yōu)?67o時，式（23）的C′L，C′M，CL-C′D等氣動力參數(shù)發(fā)生相應(yīng)改變，重力剛度項、慣性耦合項起到了增大特征值實部的作用，使結(jié)構(gòu)趨向于氣動失穩(wěn)。

圖8 在167°風(fēng)攻角下結(jié)構(gòu)受控前后變化Fig.8 Comparison of controlled and uncontrolled structure at 167°oattack angle

由圖8（c）和（d）結(jié)構(gòu)位移時程可知，在15 m/s風(fēng)速下，未受控結(jié)構(gòu)并未發(fā)生舞動，而受控結(jié)構(gòu)發(fā)生了大幅度舞動?？梢娫?67o風(fēng)攻角下，所施加的雙擺防舞器能夠使導(dǎo)線結(jié)構(gòu)從原先的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槲鑴蛹ぐl(fā)狀態(tài)，這與特征值實部計算結(jié)果一致。

綜上所述，借助慣性耦合、重力剛度的作用，針對某風(fēng)攻角優(yōu)化設(shè)計的雙擺防舞器能夠在該條件下有效地抑制舞動。但若風(fēng)攻角及其氣動力條件發(fā)生改變，雙擺防舞器可能失去效果，甚至使原本穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)發(fā)生舞動。

5 結(jié) 論

本文針對具有離散自振頻率的三自由度系統(tǒng)，采用修正的矩陣一階攝動解方法推導(dǎo)了考慮慣性耦合及氣動剛度的特征值實部修正解。以某D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例，通過與數(shù)值解對比以驗證該修正解的準確性。基于該修正解，分析了附加質(zhì)量對舞動穩(wěn)定性影響的機理，并對輸電線路常用的雙擺防舞器的控制效果進行計算。結(jié)論如下：

1）該修正解相較于原攝動解，附加了水平?豎向、豎向?扭轉(zhuǎn)這兩種慣性耦合項，且慣性耦合作用與氣動力參數(shù)密切相關(guān)。與數(shù)值解的對比表明，該修正解能夠較準確地反映附加質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2）考慮慣性耦合時系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷式較為復(fù)雜，但當(dāng)附加質(zhì)量關(guān)于導(dǎo)線豎向中心線對稱時，僅需考慮水平?扭轉(zhuǎn)慣性耦合作用，豎向特征值實部的表達式大為簡化，可用于舞動穩(wěn)定分析。

3）對修正解的分析表明，附加質(zhì)量主要通過重力剛度、慣性耦合影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種影響與具體的氣動力參數(shù)相關(guān)。通過該修正解可以分析導(dǎo)線舞動與慣性質(zhì)量防舞的機理，為防舞器設(shè)計優(yōu)化提供指導(dǎo)。

4）對雙擺防舞器的計算表明，針對某風(fēng)攻角優(yōu)化設(shè)計的防舞器能有效抑制舞動；但若風(fēng)攻角及氣動力條件發(fā)生改變，則防舞器可能喪失控制效果，甚至使原本氣動穩(wěn)定的線路發(fā)生舞動。