包廣清, 杜赫軒, 祁武剛

(1. 蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州理工大學(xué) 甘肅省工業(yè)先進(jìn)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 甘肅 蘭州 730050; 3. 蘭州理工大學(xué) 電氣與控制工程國家級試驗(yàn)教學(xué)示范中心, 甘肅 蘭州 730050)

交流永磁伺服系統(tǒng)以其優(yōu)異的動態(tài)特性、跟蹤特性以及控制精度,在工業(yè)機(jī)器人、航空航天、數(shù)控機(jī)床等電力傳動領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用.在伺服系統(tǒng)中,電機(jī)和負(fù)載之間常使用聯(lián)軸器、傳動軸、皮帶輪以及滾珠絲杠等作為傳動裝置,由于其剛度有限,當(dāng)伺服系統(tǒng)帶寬覆蓋柔性傳動裝置的固有諧振頻率時(shí),就會引發(fā)機(jī)械諧振[1-3],導(dǎo)致電機(jī)轉(zhuǎn)速波動,影響電機(jī)轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)定性,甚至?xí)斐蓚鲃友b置和電機(jī)軸的斷裂從而引發(fā)安全事故.因此,如何有效抑制伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

目前抑制機(jī)械諧振的方式主要有主動控制方式和被動控制方式兩種.被動控制方式是在速度環(huán)輸出和電流環(huán)給定之間串入陷波濾波器,濾掉系統(tǒng)中的諧振頻段[4-7].楊明[5]通過快速傅里葉變換(FFT)法實(shí)時(shí)分析交軸電流頻率,在線辨識機(jī)械諧振頻率,并以此自動整定陷波濾波器參數(shù),實(shí)現(xiàn)了機(jī)械諧振的在線抑制.但是FFT法檢測諧振頻率速度較慢,而且需要一定的存儲空間存放數(shù)據(jù),不能很好地滿足系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求.

相對而言,主動控制方法具有更好的抑制效果.主動控制方式是通過改變控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來抑制機(jī)械諧振.主要有：

1) 基于極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器參數(shù)[8-9],通過改變系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)得到合適的阻尼系數(shù)從而實(shí)現(xiàn)更好的機(jī)械諧振抑制效果.如王璨[8]采用極點(diǎn)配置法優(yōu)化PI參數(shù),調(diào)節(jié)系統(tǒng)極點(diǎn)位置,減小系統(tǒng)振蕩.然而PI控制器只有2個(gè)可調(diào)參數(shù),無法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的自由配置.

2) 基于狀態(tài)反饋的方法[10-14],通過角位移、角速度、角加速度和軸轉(zhuǎn)矩等狀態(tài)量對電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行反饋補(bǔ)償來抑制諧振.這類方法通過引入狀態(tài)量的反饋,提高了系統(tǒng)極點(diǎn)配置的自由度.咸明輝[11]采用Luenberger觀測器獲取擾動轉(zhuǎn)矩的觀測值,經(jīng)過一個(gè)比例積分環(huán)節(jié)負(fù)反饋到電流給定,并對反饋系數(shù)進(jìn)行了整定,但觀測器的設(shè)計(jì)并未考慮系統(tǒng)中的過程噪聲與測量噪聲.金杰[12]對比研究了電機(jī)側(cè)、負(fù)載側(cè)角加速度以及柔性軸兩側(cè)角加速度之差反饋對柔性系統(tǒng)諧振的影響,并通過合理配置極點(diǎn)保證系統(tǒng)的動態(tài)性能.丁有爽[13]提出了一種狀態(tài)反饋與負(fù)載轉(zhuǎn)矩前饋結(jié)合的控制策略,通過將諧振模態(tài)及其微分進(jìn)行狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的自由配置,并設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)矩前饋控制器實(shí)現(xiàn)了電機(jī)轉(zhuǎn)速與負(fù)載轉(zhuǎn)矩之間的解耦,有效地消除了柔性負(fù)載以及負(fù)載擾動的影響.趙壽華[14]設(shè)計(jì)了一種基于模型的自適應(yīng)觀測器來估計(jì)系統(tǒng)的多個(gè)狀態(tài),并設(shè)計(jì)了速度環(huán)線性二次型調(diào)節(jié)器在線抑制諧振.

3) 基于智能控制算法抑制諧振，如模糊自適應(yīng)控制[15]、模型預(yù)測控制[16]和滑模變結(jié)構(gòu)控制[17]等.這類方法雖然抑制效果好,但是由于算法復(fù)雜,在實(shí)際應(yīng)用中難以推廣.

基于上述分析,本文提出一種基于軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)闹鲃右种品椒?該方法結(jié)構(gòu)簡單,無附加調(diào)節(jié)參數(shù),可以消除柔性環(huán)節(jié)對電機(jī)端轉(zhuǎn)速的影響;采用卡爾曼濾波器對軸轉(zhuǎn)矩進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),避免了噪聲對觀測效果的影響.最后,通過仿真對該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

為簡化分析,在建模時(shí)作如下假設(shè)：

① 忽略鐵心飽和；

② 忽略磁滯損耗；

③ 忽略諧波電流引起的渦流損耗；

④ 電機(jī)中的電流為對稱的三相正弦波電流.

根據(jù)以上假設(shè),建立永磁同步電動機(jī)在d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

(1)

電磁轉(zhuǎn)矩為

Tm=pn[ψriq+(Ld-Lq)idiq]

(2)

式中:ud、uq分別為定子側(cè)d、q軸電壓；id、iq分別為定子側(cè)d、q軸電流；Ld、Lq分別為定子側(cè)d、q軸電感；Rs為定子側(cè)電樞電阻；ωe為電機(jī)轉(zhuǎn)子電角速度；ψr為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；pn為轉(zhuǎn)子極對數(shù).

對采用id=0矢量控制策略的表貼式永磁同步電機(jī),由于Ls=Ld=Lq(Ls為定子側(cè)電感),模型可以進(jìn)一步簡化為

(3)

電磁轉(zhuǎn)矩為

Tm=pnψriq

(4)

1.2 柔性傳動裝置建模

柔性傳動裝置是指通過其柔性部分變形而產(chǎn)生位移和傳動力的機(jī)械裝置.柔性傳動裝置通常可以近似等效為如圖1所示的兩質(zhì)量系統(tǒng)模型[1].圖中:Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量；Jl為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量；Ks為柔性傳動裝置的剛度系數(shù)；Tm為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Ts為柔性傳動裝置的軸扭矩；ωm、ωl分別為電機(jī)與負(fù)載的旋轉(zhuǎn)角速度；θm、θl分別為電機(jī)與負(fù)載的角位移；cm、cl、cs分別為電機(jī)端、負(fù)載端以及柔性傳動裝置的機(jī)械阻尼系數(shù).

圖1 兩質(zhì)量模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of two mass model

由于傳動裝置具有彈性,需要扭轉(zhuǎn)一定的角度才能傳遞扭矩,因此系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)電機(jī)端與負(fù)載端存在角度偏差,且軸扭矩與該角度偏差以及軸的剛度系數(shù)有關(guān).根據(jù)以上分析建立如下微分方程：

(5)

忽略機(jī)械阻尼系數(shù),對式(5)進(jìn)行Laplace變換,得

(6)

由式(6)可以得到簡化的兩質(zhì)量模型系統(tǒng)框圖如圖2所示.

圖2 兩質(zhì)量模型框圖Fig.2 Two mass model block diagram

由圖2可以得到電機(jī)轉(zhuǎn)矩到電機(jī)端轉(zhuǎn)速和負(fù)載端轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)：

(7)

(8)

基于式(6)選取狀態(tài)量x=[ωmωlTs]T.系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可以寫為

(9)

1.3 永磁同步電機(jī)通過柔性傳動裝置驅(qū)動負(fù)載的數(shù)學(xué)模型

結(jié)合式(3，4，9),可以得到永磁同步電機(jī)通過柔性傳動裝置驅(qū)動負(fù)載的數(shù)學(xué)模型.選取狀態(tài)量為x=[iqωmωlθmθl]T,系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫為

(10)

2 柔性傳動對調(diào)速系統(tǒng)的影響

交流永磁伺服系統(tǒng)常采用雙閉環(huán)矢量控制策略,本文通過對比柔性傳動和剛性傳動下電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)的開環(huán)幅頻特性,分析柔性傳動對調(diào)速系統(tǒng)帶來的影響.

由式(2，3，7)可以得到uq和iq之間的傳遞函數(shù)為

(11)

結(jié)合式(4)和式(7),可以得到iq和ωm之間的傳遞函數(shù)為

(12)

雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的控制框圖如圖3所示,其中ωref為轉(zhuǎn)速指令,iq,ref為電流指令,轉(zhuǎn)速、電流調(diào)節(jié)器均采用PI調(diào)節(jié).

圖3 系統(tǒng)控制框圖

2.1 電流環(huán)特性分析

對于剛性傳動,電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(13)

對于柔性傳動,電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(14)

可以發(fā)現(xiàn),柔性傳動通過電機(jī)的轉(zhuǎn)速振蕩影響永磁同步電機(jī)的反電勢,從而將振蕩分量引入調(diào)速系統(tǒng)電流內(nèi)環(huán).對比式(13)和式(14),發(fā)現(xiàn)柔性傳動在電流環(huán)傳遞函數(shù)中的反電勢項(xiàng)中引入了二階項(xiàng),為

(15)

由式(15)可知,柔性傳動在系統(tǒng)中引入了一對共軛零點(diǎn)和共軛極點(diǎn),共軛零點(diǎn)為反諧振頻率ωarf,共軛極點(diǎn)為諧振頻率ωrf：

(16)

零極點(diǎn)的存在使得系統(tǒng)對于特定頻率產(chǎn)生較強(qiáng)的響應(yīng),造成機(jī)械諧振現(xiàn)象.

電流內(nèi)環(huán)的開環(huán)幅頻特性如圖4所示.由圖4可以看出,柔性傳動在諧振頻段處引起幅值衰減和相位變化.電流環(huán)幅值響應(yīng)在反諧振頻率點(diǎn)出現(xiàn)較大的反向諧振峰值,在諧振頻率點(diǎn)出現(xiàn)較小的諧振峰值.而且系統(tǒng)的諧振頻率落在電流環(huán)帶寬邊界,因此柔性傳動對調(diào)速系統(tǒng)電流內(nèi)環(huán)影響較小.

圖4 電流環(huán)開環(huán)幅頻特性Fig.4 Open loop Bode diagram of current loop

2.2 轉(zhuǎn)速環(huán)特性分析

在雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)中,電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)大于速度環(huán)帶寬.通常認(rèn)為轉(zhuǎn)速外環(huán)在調(diào)節(jié)時(shí),電流內(nèi)環(huán)已經(jīng)調(diào)節(jié)完成.因此可以忽略電流環(huán)的影響.此時(shí)調(diào)速系統(tǒng)可等效為圖5.

圖5 轉(zhuǎn)速環(huán)控制框圖Fig.5 Control block diagram of speed loop

對于柔性傳動,轉(zhuǎn)速環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(17)

對于剛性傳動,轉(zhuǎn)速環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(18)

轉(zhuǎn)速外環(huán)的開環(huán)幅頻特性如圖6所示，可以看出,系統(tǒng)的諧振頻率在轉(zhuǎn)速環(huán)的帶寬范圍內(nèi).從幅頻特性可以看出,系統(tǒng)在諧振頻率處會發(fā)生幅值較大的諧振,因此轉(zhuǎn)速外環(huán)受到柔性傳動的影響較大.

圖6 轉(zhuǎn)速環(huán)開環(huán)幅頻特性

3 軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)闹C振抑制方法

3.1 軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償原理

(19)

式中：Kt=pnψr.忽略軸轉(zhuǎn)矩狀態(tài)量估計(jì)值與實(shí)際值之間的誤差,轉(zhuǎn)速環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)可近似寫為

(20)

圖7 基于軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)挠来潘欧到y(tǒng)控制框圖Fig.7 Control block diagram of permanent magnet servo system based on shaft torque compensation

由式(17)和式(20)對比,可以發(fā)現(xiàn)引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償可以消除轉(zhuǎn)速環(huán)中的二階振蕩環(huán)節(jié),即消除了柔性傳動對電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響,在電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)中體現(xiàn)出了剛體傳動特性,提高了電機(jī)轉(zhuǎn)速的動態(tài)性能和抗干擾性能.由式(18)與式(20)對比,發(fā)現(xiàn)相較于剛性傳動環(huán)節(jié),引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后分母項(xiàng)的等效轉(zhuǎn)動慣量由Jm+Jl變?yōu)镴m,因此引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償可以提升轉(zhuǎn)速的動態(tài)特性.

3.2 基于卡爾曼濾波器的軸轉(zhuǎn)矩估計(jì)

對伺服系統(tǒng)而言,在系統(tǒng)工作過程中,會受到各種非確定性因素的干擾,因此由傳感器測得的信號中含有隨機(jī)噪聲,為了保證觀測精度,需要使用卡爾曼濾波器對軸轉(zhuǎn)矩進(jìn)行估計(jì).卡爾曼濾波是一種基于系統(tǒng)狀態(tài)方程,通過觀測系統(tǒng)輸入輸出,對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的遞推算法.其基本思想是：考慮模型噪聲,以最小均方誤差為最佳估計(jì)原則,利用上一時(shí)刻的估計(jì)值與當(dāng)前時(shí)刻的測量值更新狀態(tài)變量的估計(jì)值.系統(tǒng)離散化的狀態(tài)方程和量測方程為

(21)

x(k)=[ωm(k)ωl(k)Ts(k)

u(k)=Tm(k),y(k)=ωm(k)

式中:F為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;G為控制矩陣;H為量測矩陣;x(k)為k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值;y(k)為k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值;u(k)為系統(tǒng)控制輸入量;w(k-1)為過程噪聲;v(k)為量測噪聲；w(k-1)和v(k)是相互獨(dú)立且滿足高斯分布的白噪聲.

卡爾曼濾波主要包括預(yù)測和校正兩個(gè)過程.預(yù)測是利用時(shí)間更新方程對當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì),得到當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)量和誤差協(xié)方差的估計(jì)值;校正是利用量測值對當(dāng)前先驗(yàn)估計(jì)值校正的后驗(yàn)估計(jì).卡爾曼濾波的基本步驟如下：

1) 狀態(tài)進(jìn)一步預(yù)測：

(22)

2) 狀態(tài)估算計(jì)算：

(23)

3) 濾波增益矩陣：

K(k)=P(k)-HT(k)[H(k)P(k)-HT(k)+R]-1

(24)

4) 更新協(xié)方差矩陣：

P(k)-=F(k)P(k)FT(k)+Q

(25)

5) 進(jìn)一步預(yù)測協(xié)方差矩陣：

P(k)=[I-K(k)H(k)]P(k)-

(26)

6) 卡爾曼濾波器初始化：

(27)

(28)

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償方法對機(jī)械諧振抑制的有效性,搭建了含有柔性傳動的永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)仿真模型.仿真參數(shù)為：電機(jī)額定功率為0.75 kW；額定電流為4.2 A；額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min；額定轉(zhuǎn)矩為2.9 N·m2;極對數(shù)為4對極；永磁磁鏈為0.119 4 Wb；定子電阻為0.048 5 Ω；定子電感為3.95 mH；軸的剛度系數(shù)為626 N·m/rad；電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量為1.1×10-3kg·m2；負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量為1×10-3kg·m2；系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速為100 rad/s.

電機(jī)轉(zhuǎn)速和柔性傳動軸的軸轉(zhuǎn)矩抑制前的仿真波形如圖8所示.圖中虛線為卡爾曼觀測器的狀態(tài)估計(jì)值,實(shí)線為狀態(tài)實(shí)際值.由圖8可以看出,在穩(wěn)態(tài)時(shí),電機(jī)轉(zhuǎn)速和柔性傳動軸的軸轉(zhuǎn)矩存在小幅發(fā)散震蕩.

圖8 電機(jī)轉(zhuǎn)速和軸轉(zhuǎn)矩抑制前的仿真波形

電機(jī)轉(zhuǎn)速和柔性傳動軸的軸轉(zhuǎn)矩抑制后的仿真波形如圖9所示.由圖9可以看出,引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后,系統(tǒng)中的機(jī)械諧振得到了有效的衰減,由此可以驗(yàn)證軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償對機(jī)械諧振抑制的有效性.

圖9 電機(jī)轉(zhuǎn)速和軸轉(zhuǎn)矩抑制后的仿真波形Fig.9 Simulation waveforms of motor speed and shaft torque after suppression

通過對比圖8和圖9可以發(fā)現(xiàn),引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后,電機(jī)轉(zhuǎn)速的上升時(shí)間由0.5 s變?yōu)?.3 s,超調(diào)量由18%變?yōu)?1%.即引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后,系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)能力得到了提升,超調(diào)量也隨之增加.

圖10和圖11分別為在1s和1.5s發(fā)生負(fù)載突變時(shí)的軸轉(zhuǎn)矩響應(yīng)與電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng).可以看出,引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后系統(tǒng)具有良好的抗擾動能力.

圖10 負(fù)載突變下的軸轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

圖11 負(fù)載突變下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.11 Speed response under sudden load change

當(dāng)轉(zhuǎn)速指令為2+sin(40π)的正弦信號時(shí),電機(jī)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖12所示.圖中虛線為轉(zhuǎn)速指令,實(shí)線為電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為3.3%,表明引入軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償后系統(tǒng)對給定信號有較好的跟蹤效果.

圖12 對轉(zhuǎn)速指令的跟蹤效果Fig.12 Follow effect of speed command

5 結(jié)論

針對柔性傳動在永磁伺服系統(tǒng)中引發(fā)的機(jī)械諧振問題,本文提出了一種基于軸轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)囊种品椒?并得出如下結(jié)論：

1) 通過將永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型和柔性傳動軸的兩質(zhì)量模型結(jié)合,建立了永磁同步電機(jī)通過柔性傳動軸驅(qū)動負(fù)載的數(shù)學(xué)模型.

2) 根據(jù)建立的系統(tǒng)模型,得到調(diào)速系統(tǒng)電流環(huán)以及轉(zhuǎn)速環(huán)的傳遞函數(shù),通過分析其開環(huán)幅頻特性,發(fā)現(xiàn)柔性傳動對轉(zhuǎn)速環(huán)影響較大.

3) 針對柔性傳動對轉(zhuǎn)速環(huán)的影響,采用卡爾曼濾波器對軸轉(zhuǎn)矩狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償?shù)诫娏鳝h(huán)給定,消除柔性傳動對轉(zhuǎn)速環(huán)的影響.

仿真結(jié)果表明,該方法可以有效抑制永磁伺服系統(tǒng)中的機(jī)械諧振,同時(shí)提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和跟蹤特性,使系統(tǒng)具有較好的控制性能.