謝福起,巫世晶,李小勇,王曉筍

(武漢大學(xué) 動力與機(jī)械學(xué)院，湖北 武漢 430072)

0 引言

齒輪箱是風(fēng)電機(jī)組核心部件之一，在低速、重載、復(fù)雜多變的工況下運(yùn)行時，其齒輪容易發(fā)生齒面點(diǎn)蝕、齒根裂紋等失效問題，從而導(dǎo)致齒輪傳動系統(tǒng)可靠性逐漸降低，甚至造成風(fēng)電齒輪箱故障。因此，研究故障與征兆之間的聯(lián)系，對風(fēng)電齒輪箱狀態(tài)評估和故障診斷有重要意義。

WAN等[1]考慮齒根圓和基圓不重合問題，對勢能法計(jì)算嚙合剛度進(jìn)行改進(jìn)，研究了齒根裂紋對定軸齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響；MOHAMMED等[2]建立含故障的齒輪嚙合剛度計(jì)算模型，研究了含裂紋故障齒輪傳動系統(tǒng)振動特性[2]，對含故障齒輪建模和動力學(xué)分析的相關(guān)研究進(jìn)行了總結(jié)[3]；孟宗等[4]研究了裂紋深度對時變嚙合剛度和定軸齒輪傳動系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響；MA等[5-6]改進(jìn)含裂紋直齒輪時變嚙合剛度計(jì)算模型，總結(jié)歸納了含裂紋齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)的研究進(jìn)展；DOAN等[7]用有限元法計(jì)算含裂紋齒輪時變嚙合剛度，研究了裂紋對齒輪系統(tǒng)動態(tài)傳遞誤差的影響；劉杰等[8]計(jì)算太陽輪單齒裂紋故障對齒輪副時變嚙合剛度和系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，揭示了行星齒輪傳動系統(tǒng)裂紋故障機(jī)理；桂勇等[9]計(jì)算含裂紋齒輪副的時變嚙合剛度，分析了太陽輪、行星輪、內(nèi)齒圈分別發(fā)生單齒裂紋時，系統(tǒng)響應(yīng)的包絡(luò)譜結(jié)構(gòu)和頻譜特征；CHEN等[10]研究了考慮齒圈柔性和單齒根裂紋時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和頻譜特征；LIANG等[11]研究了裂紋對行星齒輪傳動系統(tǒng)時變嚙合剛度的影響；王一凡等[12]通過試驗(yàn)研究了行星輪系不同部件單一故障下系統(tǒng)的時域特征和頻譜特征；LIU等[13]研究了時變輸入轉(zhuǎn)矩作用下太陽輪含單齒裂紋時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和階次譜特征；JIANG等[14]考慮振動信號時變?nèi)嵝詡鬟f路徑，基于行星齒輪系動力學(xué)模型揭示了裂紋故障機(jī)理；HAN等[15]計(jì)算了含裂紋齒輪副的時變嚙合剛度，考慮行星輪的通過效應(yīng)，研究了含裂紋故障行星輪系的特征；CHEN等[16]研究了軸承間隙和齒根裂紋對行星齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響;舒斌等[17]和張振等[18]研究了多齒裂紋對時變嚙合剛度的影響。上述研究主要集中在恒定輸入轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩下含單齒根裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)，而對時變輸入轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和雙齒根裂紋工況的研究較少。

本文以風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)為對象，利用風(fēng)速功率譜密度模型描述時變風(fēng)速，結(jié)合風(fēng)力機(jī)運(yùn)行特性，計(jì)算系統(tǒng)時變輸入轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩，綜合考慮時變嚙合剛度、嚙合阻尼、軸承支撐剛度和阻尼、齒側(cè)間隙、綜合誤差等內(nèi)激勵，采用集中參數(shù)法建立考慮行星架旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合非線性動力學(xué)模型，并通過仿真對比分析了定載荷、變風(fēng)載作用下同側(cè)雙齒沿齒厚貫穿型齒根裂紋對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，探究了雙齒根裂紋與系統(tǒng)征兆之間的聯(lián)系，為裂紋診斷與定位提供了理論基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

某半直驅(qū)風(fēng)電機(jī)組采用NGW式行星齒輪傳動系統(tǒng)，建立內(nèi)齒圈r固定、行星架c輸入、太陽輪s輸出、3個行星輪pi(i=1,2,3)的行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1中：kn、knt(n=c,s,r,cp)分別為各構(gòu)件的平移支撐剛度和扭轉(zhuǎn)剛度；kj、cj、ej(j=spi,rpi)分別為各齒輪副的嚙合剛度、嚙合阻尼和綜合誤差。

1.1 綜合誤差和齒側(cè)間隙

齒輪在制造、安裝過程中，不可避免地會產(chǎn)生齒廓偏差、偏心誤差和徑向圓跳動等，這些誤差均會對系統(tǒng)振動產(chǎn)生激勵。可將綜合誤差表述為[19]：

ej(t)=E0j+Ejsin(ωmt+φj)。

(1)

由于潤滑的需要，以及輪齒在長時間使用過程中的磨損，嚙合輪齒對之間會存在齒側(cè)間隙。通常使用分段函數(shù)來描述輪齒形變[20]：

(2)

式中：b為單側(cè)齒側(cè)間隙，δj為相對嚙合位移。

1.2 系統(tǒng)動力學(xué)微分方程

假定圖1中標(biāo)明的逆時針方向?yàn)楦鳂?gòu)件運(yùn)動方向，構(gòu)件振動使嚙合線處于壓縮狀態(tài)時，符號為正。各構(gòu)件之間的相對位移如下：

太陽輪-行星輪沿嚙合線相對位移：

(3)

行星輪-內(nèi)齒圈沿嚙合線相對位移：

(4)

行星輪-行星架沿x、y方向相對位移：

(5)

其中：xii、yii、uii(ii=s,c,r,pi)分別為構(gòu)件ii的平移線位移和扭轉(zhuǎn)位移；φspi=ψpi-α、φrpi=ψpi+α分別為太陽輪-行星輪pi、內(nèi)齒圈-行星輪pi的嚙合角；ψpi為行星輪pi在坐標(biāo)系中的相對位置角；α為壓力角。取各構(gòu)件的平移和扭轉(zhuǎn)共18個自由度為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動勢L如式(6)所示。

(6)

由第二類Lagrange方程得行星輪系非線性動力學(xué)微分方程組如式(7)～式(10)所示。

太陽輪s非線性運(yùn)動微分方程：

(7)

行星架c非線性運(yùn)動微分方程:

(8)

行星輪pi非線性運(yùn)動微分方程:

(9)

內(nèi)齒圈r非線性運(yùn)動微分方程:

(10)

2 含裂紋齒輪副時變嚙合剛度計(jì)算

本文采用改進(jìn)勢能法計(jì)算時變嚙合剛度[1]，考慮了齒根圓和基圓尺寸不一致的情況，計(jì)算齒輪副嚙合時的赫茲接觸剛度kh、彎曲剛度kb、剪切剛度ka、徑向壓縮剛度ks和輪齒基體柔性剛度kf，單齒嚙合時的嚙合剛度可表示為：

(11)

含齒根裂紋的齒輪示意圖如圖2所示。圖中:q為裂紋深度，γ為裂紋方向與輪齒中心線夾角，rf、rb分別為齒根圓和基圓半徑，2hr為齒頂高，hx為x處到輪齒中線的距離，hd為漸開線與基圓交點(diǎn)到輪齒中心線距離，hc為裂紋等效點(diǎn)到輪齒中心線距離。

本文考慮的輪齒裂紋，寬度很小，裂紋處材料并未減少，可忽略裂紋對赫茲接觸剛度、徑向壓縮剛度和輪齒基體柔性剛度的影響，主要考慮對彎曲剛度和剪切剛度的影響[4]。在實(shí)際工程中，裂紋超過齒根圓處厚度一半，輪齒將會快速斷裂，因此主要研究hx小于hd的情況。裂紋的存在會導(dǎo)致距離齒根x處的有效慣性矩Ix和截面積Ax發(fā)生變化，其計(jì)算如式(12)和圖3所示。

(12)

圖3中:Ix1和Ix2分別為含故障和正常輪齒的有效慣性矩，Ax1和Ax2分別為含故障和正常輪齒的截面積，其計(jì)算如式(12)所示，式中B為輪齒寬度。

本文研究的風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)中，太陽輪出現(xiàn)故障的概率較高[8]，本文以太陽輪裂紋故障為例研究。工況如表2所示，其中裂紋角度均為45°[4]，均為沿齒厚貫穿型裂紋，q2～q6為單齒裂紋，q7～q9為雙齒裂紋齒，且雙齒裂紋為兩個齒同側(cè)的同參數(shù)裂紋。

表1 風(fēng)機(jī)行星齒輪箱主要參數(shù)

表2 計(jì)算工況

2.1 單齒裂紋

以太陽輪裂紋齒進(jìn)入嚙合為起始，計(jì)算工況q1～q6的嚙合剛度如圖4所示?？梢钥闯?，輪齒存在裂紋時，齒輪副時變嚙合剛度減小；裂紋齒進(jìn)入嚙合時，嚙合點(diǎn)距離齒根部分較遠(yuǎn)，嚙合剛度明顯下降，隨著嚙合不斷進(jìn)行，嚙合點(diǎn)逐漸靠近齒根，裂紋對嚙合剛度的影響減小。裂紋深度變大，嚙合剛度下降幅值變大。

2.2 雙齒裂紋

計(jì)算工況q7～q9的時變嚙合剛度如圖5所示。

從圖5可看出，同一裂紋深度和角度下，兩裂紋齒相鄰時，裂紋在2.5個嚙合周期內(nèi)對時變嚙合剛度均有影響，且在Δt內(nèi)有較大跌落，這是因?yàn)閮蓚€裂紋齒同時參與嚙合；兩裂紋齒不相鄰時，齒輪副的時變嚙合剛度減少值與單齒裂紋時一致，且在27Tm內(nèi)，不相鄰雙齒裂紋會出現(xiàn)2次剛度減小，間隔時間為nTm(n為裂紋齒間間隔的正常齒個數(shù)，0

3 動力學(xué)特性計(jì)算與分析

根據(jù)表1中風(fēng)電行星齒輪系統(tǒng)的主要參數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)特征參數(shù)如表3所示，表中fm、Om分別為嚙合頻率和嚙合階次[25]，且行星架對應(yīng)階次為1，fsc、Osc分別為太陽輪局部故障頻率1/3倍和太陽輪局部故障階次1/3倍。采用龍格庫塔法計(jì)算系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，齒輪誤差激勵參數(shù)按GB/T 10095—2008選取，太陽輪和行星輪為5級精度，內(nèi)齒圈為6級精度。行星齒輪系統(tǒng)振動信號的激勵主要為太陽輪-行星輪嚙合副和行星輪-內(nèi)齒圈嚙合副的嚙合力[21]，為探究裂紋對系統(tǒng)振動的影響規(guī)律，計(jì)算并分析太陽輪—行星輪p1振動位移響應(yīng)。

表3 行星齒輪傳動系統(tǒng)特征參數(shù)

3.1 定載荷激勵

計(jì)算定轉(zhuǎn)速下工況q1、q3、q5、q7～q9的太陽輪—行星輪p1的振動位移響應(yīng)如圖6所示。

由圖6可以看出，系統(tǒng)振動位移響應(yīng)具有明顯的周期性，當(dāng)裂紋齒參與嚙合時，嚙合剛度下降，系統(tǒng)出現(xiàn)沖擊現(xiàn)象。單齒裂紋時，相鄰沖擊之間間隔為27Tm，這是因?yàn)樘栞喰D(zhuǎn)一周，太陽輪的裂紋齒與行星輪p1嚙合一次；隨著裂紋深度變大，嚙合剛度不斷減小，沖擊幅值越大。雙齒裂紋時，工況q7的齒輪副嚙合剛度明顯下降，沖擊幅值明顯增大，相鄰沖擊間間隔為27Tm；工況q8下，沖擊時間變長，沖擊幅值與工況q5下的一致，相鄰沖擊間間隔為27Tm；工況q9下，太陽輪旋轉(zhuǎn)一周，系統(tǒng)產(chǎn)生了兩次沖擊，間隔為5Tm，沖擊幅值均與工況q5下的一致，第一次沖擊和第三次沖擊間間隔為27Tm。

為進(jìn)一步分析裂紋對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，對圖6中各工況的振動響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析，并將嚙合頻率附近和低頻部分進(jìn)行細(xì)化，如圖7所示。

從圖7可以看出，正常狀態(tài)下，系統(tǒng)的頻率成分主要為嚙合頻率fm及其2～7倍頻；當(dāng)太陽輪存在裂紋時，頻譜圖中出現(xiàn)低頻成分，嚙合頻率及其倍頻附近存在邊頻帶，譜線間隔約為1.25 Hz，與fsc相等。太陽輪單齒裂紋時，裂紋深度變大，低頻成分和邊頻帶的幅值變大。工況q7，在同一周期內(nèi)存在兩裂紋齒同時參與嚙合的時段，嚙合剛度下降幅度較大，邊頻帶和低頻成分的幅值明顯變大；將工況q8與q9和q5對比，兩裂紋齒進(jìn)入嚙合的時刻不同，邊頻帶和低頻成分的幅值有明顯變化：工況q8，低頻成分中頻率為nfsc(n= 1,2)和邊頻帶中頻率為fm±nfsc(n= 1,2,3)的幅值變大，低頻成分中頻率為nfsc(n= 7,8)和邊頻帶中頻率為fm±nfsc(n= 7,8)的幅值變小；工況q9，低頻成分中頻率為nfsc(n= 1,5,6)和邊頻帶中頻率為fm±nfsc(n= 1,5,6)的幅值變大，低頻成分中頻率為nfsc(n=3,8)和邊頻帶中頻率為fm±nfsc(n= 3,8)的幅值變小。

3.2 變風(fēng)載激勵

風(fēng)電齒輪箱所受激勵為自然風(fēng)，具有時變性。目前，模擬風(fēng)速的方法有很多，如威布爾分布模型、瑞利分布模型和自回歸線性濾波模型等。本文采用風(fēng)速功率譜密度模型[22]描述自然風(fēng)Vw(t)，該模型考慮平均風(fēng)速Vm和湍流部分Vr(t)，與風(fēng)電場實(shí)際情況更吻合，模型可表示為：

Vw(t)=Vm+Vr(t)。

(13)

某風(fēng)場的平均風(fēng)速為12 m/s，本文研究的半直驅(qū)風(fēng)電機(jī)組的設(shè)計(jì)參數(shù)為風(fēng)機(jī)葉輪直徑為90 m。計(jì)算500 s風(fēng)速時程曲線如圖8所示。

根據(jù)風(fēng)力機(jī)運(yùn)行特性[23]：當(dāng)風(fēng)速小于風(fēng)機(jī)切入風(fēng)速或大于切出風(fēng)速時，風(fēng)機(jī)停止運(yùn)行，輸入轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩為0；風(fēng)速大于切入風(fēng)速小于額定風(fēng)速時，齒輪傳動系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速可表示為：

(14)

式中：Tr為額定轉(zhuǎn)矩；vr為額定風(fēng)速；ωr為額定轉(zhuǎn)速。

計(jì)算得到風(fēng)輪輸入轉(zhuǎn)速和輸入轉(zhuǎn)矩如圖9所示。

將計(jì)算得到的輸入轉(zhuǎn)速和輸入轉(zhuǎn)矩進(jìn)行多階傅里葉擬合，引入所建立的動力學(xué)微分方程。階次分析作為一種分析變轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件故障的重要方法[25]，適用于工況q1、q3、q5、q7～q9的太陽輪—行星輪p1的振動位移響應(yīng)的分析，結(jié)果如圖10所示。

從圖10可以看出，正常狀態(tài)下，振動位移響應(yīng)的峰值階次主要為嚙合階次Om及其2～7倍諧次。當(dāng)太陽輪存在齒根裂紋時，嚙合階次及其諧次無明顯變化；受太陽輪局部故障階次調(diào)制，嚙合階次的邊帶階次中出現(xiàn)Om±nOsc(n= 1,3…8)，低階成分出現(xiàn)nOsc(n= 1,3…8)。太陽輪單齒裂紋時，裂紋深度增加，低階成分中Osc及其諧次、嚙合階次的邊帶階次Om±nOsc(n= 1,3…8)的幅值變大，其中裂紋深度為6 mm時，嚙合剛度小幅下降，故障引起的沖擊較小，與故障相關(guān)的階次幅值也較小。工況q7，低階成分中Osc及其諧次、嚙合階次的邊帶階次Om±nOsc(n= 1,3…8)的幅值明顯變大，這是因?yàn)樵谕恢芷趦?nèi)存在兩裂紋齒同時參與嚙合的時段，嚙合剛度下降較明顯，故障導(dǎo)致的沖擊較大。將工況q8和q9與q5對比，兩裂紋齒進(jìn)入嚙合時刻不同，邊帶階次和低階成分的幅值有所區(qū)別：工況q8，低階成分中nOsc(n= 1,2,3)、嚙合階次的邊帶階次Om±nOsc(n= 1,2,3)的幅值變大，低階成分中nOsc(n= 6,7,8)、嚙合階次的邊帶階次Om±Osc(n= 6,7,8)的幅值變??；工況q9，低階成分中nOsc(n= 1,4,5,6)、嚙合階次的邊帶階次Om±nOsc(n= 1,4,5,6)幅值變大，低階成分中nOsc(n= 3,8)、嚙合階次的邊帶階次Om+nOsc(n= 3,±8)幅值變小。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文在圖11所示的裝置上開展實(shí)驗(yàn)。所試齒輪箱為2K-H行星齒輪箱，輸入端為行星架，輸出端為太陽輪。采用B&K數(shù)據(jù)采集儀和4 534-B-001型加速度傳感器采集系統(tǒng)振動信息，共布置7個測點(diǎn)。

因?qū)嶒?yàn)條件有限，更換太陽輪成本較高，故采用更換行星輪的方式，模擬行星輪1 mm裂紋和3 mm裂紋故障(均為沿齒厚貫穿型齒根裂紋)，以驗(yàn)證動力學(xué)模型的正確性，如圖12所示。

設(shè)置工況為：輸入轉(zhuǎn)速50 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩100 N·m，采集點(diǎn)7的信號頻譜圖如圖13所示，系統(tǒng)嚙合頻率和局部故障特征頻率如表4所示。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)工況，利用所建立的動力學(xué)模型仿真分析行星輪分別含1 mm裂紋和3 mm裂紋時的系統(tǒng)響應(yīng)，得到頻譜圖如圖14所示。

從圖13和圖14可看出，系統(tǒng)主要頻率成分為嚙合頻率及其2～5倍頻；裂紋的存在會導(dǎo)致系統(tǒng)振動加劇，頻率成分相互調(diào)制，嚙合頻率及其倍頻處出現(xiàn)邊頻帶，頻率為fm±nfpc(n=±2)，且隨著裂紋變深，與故障頻率相關(guān)的邊頻帶的幅值變大。理論仿真和實(shí)驗(yàn)分析的系統(tǒng)域分布規(guī)律基本一致，驗(yàn)證了該動力學(xué)模型的正確性。

5 結(jié)束語

風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)長期在復(fù)雜交變載荷作用下運(yùn)行，不可避免地會出現(xiàn)齒輪裂紋故障，針對此問題，本文結(jié)合風(fēng)電裝備變速變載的工作特點(diǎn)，建立了風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，探究了雙齒根裂紋對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型和結(jié)果的正確性，得到如下結(jié)論：

(1)齒根裂紋的存在會導(dǎo)致時變嚙合剛度局部下降，且裂紋深度增加，剛度下降幅度變大；相鄰兩齒存在裂紋時，剛度下降幅度比單齒裂紋大。

(2)太陽輪存在齒根裂紋時，階次譜圖中會出現(xiàn)低階成分，嚙合階次及其諧次附近出現(xiàn)間隔為Osc的邊帶階次；裂紋深度增加，低階和邊帶階次幅值變大；

(3)相鄰兩齒存在裂紋時，低階和邊帶階次幅值明顯變大；兩裂紋齒間間隔n(1

后續(xù)針對風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的研究，可加入雙饋感應(yīng)電機(jī)的數(shù)學(xué)描述，建立風(fēng)電傳動系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)模型。進(jìn)一步研究、對比不同齒輪出現(xiàn)故障時系統(tǒng)的動態(tài)特性，同時考慮振動傳遞路徑的影響，深入分析含故障齒輪傳動系統(tǒng)振動信號的調(diào)幅-調(diào)頻機(jī)理，提取故障特征，為風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的在線監(jiān)測與故障診斷提供理論依據(jù)。