姚云鵬,陳曉霞,2+,邢靜忠,2

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387)

0 引言

諧波減速器因其獨(dú)特的柔性件和多齒嚙合特性而具有一定的誤差均衡補(bǔ)償，相較于其他類型的減速器一般具有更高的傳動(dòng)精度。因此，在高性能精密伺服機(jī)構(gòu)尤其是機(jī)器人領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用[1]。諧波齒輪在精密儀器中的應(yīng)用也對(duì)其傳動(dòng)誤差和回程誤差提出了更高的要求。因此，為進(jìn)一步改進(jìn)傳動(dòng)精度提高控制質(zhì)量，需要對(duì)諧波齒輪傳動(dòng)誤差產(chǎn)生的來源進(jìn)行分析。

諧波傳動(dòng)系統(tǒng)中的主動(dòng)件一般為波發(fā)生器，因此除剛輪和柔輪的齒輪誤差[2]是其傳動(dòng)誤差的重要來源之外，波發(fā)生器也是主要貢獻(xiàn)者。由于諧波齒輪傳動(dòng)比大，盡管其基頻很低，但其傳動(dòng)誤差依然表現(xiàn)出與波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻相關(guān)的高頻特性[3]。因此，對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行頻域分析[4]是有效分析誤差來源的方法，并在損傷分析[5]、故障診斷[6-7]和振動(dòng)抑制[8-9]研究中有突出作用。

MASAFUMI等[10]在角度傳達(dá)誤差建模和補(bǔ)償研究中將傳動(dòng)誤差考慮為隨輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)的同步分量和由柔輪非線性彈性變形引起的滯后分量；JIA等[11]則將純運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差分為非勻速運(yùn)動(dòng)分量和滯后分量；裴欣等[12]從諧波齒輪傳動(dòng)的誤差源入手分析了傳動(dòng)誤差產(chǎn)生的原因，研究了轉(zhuǎn)速、載荷對(duì)諧波減速器傳動(dòng)誤差的影響；趙琳娜等[13]建立了基于瑞利分布的傳動(dòng)誤差多因素耦合預(yù)判模型，提出一種重新優(yōu)化分配傳動(dòng)誤差的逆向分析方法。諧波減速器傳動(dòng)精度的理論計(jì)算影響因素多，實(shí)際測(cè)量是誤差研究的重要手段，為傳動(dòng)方式選擇或減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考[14]。

動(dòng)態(tài)誤差能體現(xiàn)出傳動(dòng)系統(tǒng)更詳細(xì)的信息，動(dòng)態(tài)測(cè)量主要由測(cè)量系統(tǒng)高、低速軸上的光柵[15]識(shí)別。曹科等[16]利用動(dòng)態(tài)齒輪傳動(dòng)誤差原理和虛擬儀器技術(shù)，集成高精密光柵角度傳感器，搭建一套測(cè)量單齒嚙合和整箱傳動(dòng)誤差的綜合測(cè)量實(shí)驗(yàn)臺(tái)；吉強(qiáng)等[17]研究齒輪傳動(dòng)誤差系統(tǒng)信號(hào)的采集、計(jì)算和處理過程。在諧波齒輪檢測(cè)方面，郝宏海等[18]利用增量式光柵傳感器設(shè)計(jì)了一種諧波減速器傳動(dòng)精度測(cè)試儀；萬筱劍等[19]針對(duì)諧波齒輪減速器的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、效率、溫升、振動(dòng)和傳動(dòng)精度等參數(shù)進(jìn)行了虛擬測(cè)試系統(tǒng)的研究和設(shè)計(jì)。

傳動(dòng)誤差體現(xiàn)了諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的角度傳達(dá)精度，回程誤差則體現(xiàn)了系統(tǒng)的重復(fù)定位精度。回程誤差測(cè)試有兩種方法，即使用遲滯曲線評(píng)估的靜態(tài)測(cè)量法和使用雙向傳動(dòng)誤差評(píng)估的動(dòng)態(tài)測(cè)量法。石照耀等[20-21]從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)方面綜合論述了精密減速器回程誤差的測(cè)量原理和方法。因?yàn)檫t滯曲線僅能表示出回程誤差的大小而無法給出更加詳細(xì)的信息，所以動(dòng)態(tài)測(cè)量雙向傳動(dòng)誤差是分析和評(píng)價(jià)回程誤差更有效的測(cè)量方法。

本文從諧波齒輪主要構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)分析其綜合偏差引起的傳動(dòng)誤差頻率，構(gòu)造主成分余弦波疊加的傳動(dòng)誤差，并對(duì)各頻率余弦成分及其組合特性進(jìn)行分析，尋找傳動(dòng)誤差拍頻特征與各構(gòu)件的關(guān)系。給出傳動(dòng)誤差試驗(yàn)分析方法，分別進(jìn)行一體式凸輪和滑塊式凸輪兩種波發(fā)生器的雙向傳動(dòng)誤差動(dòng)態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)。通過傅里葉變換將傳動(dòng)誤差在頻域分離，驗(yàn)證其在理論誤差頻率上的響應(yīng)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，篩選出主成分余弦進(jìn)行疊加，重構(gòu)傳動(dòng)誤差曲線以驗(yàn)證主成分的作用?；趯?duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證波發(fā)生器對(duì)傳動(dòng)誤差的影響。最后，在頻域討論雙向傳動(dòng)誤差中幅值和相位的變化，揭示回程誤差產(chǎn)生的原因。

1 傳動(dòng)誤差基礎(chǔ)頻率成分

諧波減速器的誤差頻率與其運(yùn)動(dòng)有關(guān)。如圖1所示為諧波齒輪傳動(dòng)的減速運(yùn)動(dòng)傳遞示意圖。當(dāng)剛輪固定時(shí)，波發(fā)生器以角速度ωb輸入順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，柔輪輸出端產(chǎn)生角速度為ωt的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。ωb與ωt的比值即為該傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)減速比。理論上減速比是常數(shù)z1/(z2-z1)，其中z1和z2分別為柔輪和剛輪的齒數(shù)。受設(shè)計(jì)、加工和裝配誤差的影響，實(shí)際減速比往往在某個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)。

傳動(dòng)比的波動(dòng)具體表現(xiàn)為輸出端實(shí)際轉(zhuǎn)過的角度與理想角度之間存在差異，即角度傳達(dá)誤差也稱作傳動(dòng)誤差。諧波齒輪傳動(dòng)誤差具有波發(fā)生器、剛輪和柔輪3種主要來源。造成誤差的主要因素包括剛輪、柔輪副的偏差和波發(fā)生器部件的偏差[3,11-12]。

1.1 波發(fā)生器來源的誤差頻率

源于波發(fā)生器的傳動(dòng)誤差有兩種：①由隨波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的偏差(隨動(dòng)偏差)，如凸輪形狀的偏差，凸輪中心相對(duì)回轉(zhuǎn)中心的偏心等(如圖2a)引起的誤差；②由不隨波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的偏差(定向偏差)，如波發(fā)生器回轉(zhuǎn)中心與剛、柔輪回轉(zhuǎn)中心的偏心等(如圖2b)引起的誤差。

圖2中，橢圓代表波發(fā)生器，圓環(huán)代表柔輪，圓點(diǎn)代表輸入軸回轉(zhuǎn)中心。ωb為波發(fā)生器的角速度，則波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)頻率為fwg=ωb/2π。假設(shè)剛輪和柔輪處于理想工況，雙波諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，隨動(dòng)偏心e1隨波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，剛輪和柔輪的嚙合狀態(tài)均一致。因此，僅考慮隨動(dòng)偏心時(shí)將只產(chǎn)生一個(gè)常量誤差[11]。僅考慮定向偏心e2時(shí)，由于波發(fā)生器結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，其在旋轉(zhuǎn)180°后即開始重復(fù)，將導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)頻率為2fwg的誤差。綜合考慮隨動(dòng)偏心e1和定向偏心e2時(shí)，在波發(fā)生器完成一轉(zhuǎn)時(shí)也將產(chǎn)生一個(gè)誤差頻率，即波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻fwg。

由波發(fā)生器的隨動(dòng)偏心e1和定向偏心e2引起的誤差可以通過結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有效消除。如圖3所示為一種十字滑塊式波發(fā)生器工作的示意圖。圖中實(shí)線圓環(huán)代表柔輪，虛線圓環(huán)代表輪轂，橢圓代表凸輪，粗實(shí)線“十”字代表十字滑塊。工作時(shí)輸入軸與輪轂直連，輪轂和凸輪上有滑道并通過十字滑塊相連，凸輪裝配于柔輪內(nèi)部。o1為輸入軸回轉(zhuǎn)中心，o2為輸出軸回轉(zhuǎn)中心，o3為凸輪內(nèi)孔回轉(zhuǎn)中心。由圖3可以看出，盡管凸輪回轉(zhuǎn)中心和輸出軸之間存在隨動(dòng)偏心e1且輸入軸和輸出軸之間存在定向偏心e2，但在柔輪對(duì)稱約束和十字滑塊兩個(gè)互相垂直的滑動(dòng)副的作用下，凸輪的幾何中心與輸出軸回轉(zhuǎn)中心重合。當(dāng)輪轂隨輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在十字滑塊的調(diào)節(jié)下，凸輪等同于繞其幾何中心回轉(zhuǎn)且與輸出軸同心。此時(shí)，波發(fā)生器存在的隨動(dòng)偏心e1和定向偏心e2被消除了，由波發(fā)生器引起的傳動(dòng)誤差也會(huì)被有效的減少或消除。

1.2 剛輪柔輪副來源的誤差頻率

剛輪和柔輪也存在兩種誤差源：①幾何偏心、裝配偏心和切向綜合累積偏差等每周圈循環(huán)一次的綜合偏差;②齒形誤差等單齒距內(nèi)即出現(xiàn)一次的偏差。對(duì)于剛輪的綜合偏差，柔輪與之完成一次錯(cuò)齒運(yùn)動(dòng)則重復(fù)一次誤差周期，因此在雙波諧波傳動(dòng)中其頻率為2fwg。柔輪的綜合偏差影響的誤差有兩個(gè)頻率：①與柔輪轉(zhuǎn)動(dòng)同頻的誤差，其頻率為2fwg/z1；②柔輪與剛輪完成一次錯(cuò)齒運(yùn)動(dòng)則重復(fù)一次的誤差頻率2fwgz2/z1[3]。

齒形誤差影響剛輪與柔輪的實(shí)際嚙合狀態(tài)，其引起的傳動(dòng)誤差頻率與齒數(shù)有關(guān)。雙波諧波傳動(dòng)中剛輪與柔輪的齒形誤差的頻率均為2z2fwg。但諧波齒輪齒數(shù)大且具有多齒嚙合特性，這種超高頻的齒頻誤差忽略不計(jì)。除此之外，還有一些超高頻：如由軸承滾動(dòng)體誤差導(dǎo)致誤差頻率k1fwg(k1為滾動(dòng)體數(shù)目)、由凸輪多棱度導(dǎo)致的誤差頻率k2fwg(k2為凸輪棱數(shù))等。通常滾動(dòng)體的誤差較小，凸輪的多棱度也很小，這些超高頻誤差也忽略不計(jì)[3]。

因此，雙波諧波齒輪中誤差頻率的基礎(chǔ)成分主要有：柔輪轉(zhuǎn)頻2fwg/z1(固定柔輪使剛輪輸出時(shí),該頻率為2fwg/z2)、波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻fwg、剛輪嚙頻2fwg和柔輪嚙頻2fwgz2/z1。

2 傳動(dòng)誤差余弦重構(gòu)表達(dá)及基礎(chǔ)主頻成分疊加特性

2.1 傳動(dòng)誤差的余弦重構(gòu)表達(dá)式

盡管傳動(dòng)誤差的采集信號(hào)實(shí)際上是一段離散的有限長(zhǎng)數(shù)組，但由前述分析可知其本質(zhì)是連續(xù)的三角函數(shù)波的疊加組合。根據(jù)余弦曲線的一般表達(dá)式

C=Acos(2πft+φ)，

(1)

構(gòu)造理論傳動(dòng)誤差

(2)

式(2)表示傳動(dòng)誤差由Q個(gè)余弦波疊加一個(gè)常量E0構(gòu)成。其中Aq、fq和φq分別為余弦波Cq的幅值、頻率和相位。

2.2 基礎(chǔ)主頻余弦波的疊加特性

由于波發(fā)生器的定向偏差和剛輪的綜合偏差都將導(dǎo)致頻率為2fwg的誤差，相同頻率不同幅值和相位的余弦波疊加后依然是此頻率的余弦波。因此取Q=4，關(guān)注4個(gè)不同基礎(chǔ)主頻的誤差曲線。假設(shè)波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻fwg=0.5 Hz，剛輪齒數(shù)z2=162，柔輪齒數(shù)z1=160。此時(shí)Cq的頻率如表1所示。不失一般性，先將余弦曲線Cq的幅值A(chǔ)q都設(shè)為1″(角秒)，相位φq都設(shè)為π。此時(shí)，余弦Cq的曲線如圖4所示，其局部圖如圖5所示。

表1 傳動(dòng)誤差的理論基礎(chǔ)主頻成分

圖4顯示了諧波齒輪傳動(dòng)各理論誤差頻率上的簡(jiǎn)諧曲線。可以看出，C1的頻率最小而周期最長(zhǎng)，在柔輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈后完成一個(gè)周期。因此C1將影響整個(gè)傳動(dòng)誤差的大周期特征。C3的頻率是C2的兩倍，C4的頻率近似是C2的兩倍。

由于存在倍數(shù)和近似存在倍數(shù)關(guān)系，圖4中C2與C3或C4疊加將產(chǎn)生局部“大小波”的現(xiàn)象(如圖5a和圖5b)。C3與C4頻率接近，兩者疊加后的波形在有限長(zhǎng)的局部近似呈簡(jiǎn)諧波形狀(如圖5c)。波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻、剛輪嚙頻和柔輪嚙頻誤差疊加后的綜合特征如圖5d所示?？梢?，具有二倍關(guān)系頻率的誤差疊加將引起“大小波”現(xiàn)象。

2.3 基礎(chǔ)主頻余弦波疊加的拍頻現(xiàn)象

圖5中，C2與C3頻率呈倍數(shù)關(guān)系，其疊加后除“大小波”外，不具有拍頻特征。而頻率沒有倍數(shù)關(guān)系的組合，如C2+C4、C3+C4都將產(chǎn)生周期性拍頻現(xiàn)象。如圖6所示為不同疊加組合下的拍頻特征。宏觀上看，C2+C3確實(shí)不具有拍頻特征(如圖6a)，C2+C4具有波浪形拍頻特征(如圖6b)，C3+C4則具有紡錘形拍頻特征(如圖6c)?？梢姡òl(fā)生器綜合偏心與剛輪綜合偏差疊加將不會(huì)產(chǎn)生拍頻，波發(fā)生器綜合偏心與柔輪綜合偏差疊加將產(chǎn)生波浪形拍頻，剛輪綜合偏差與柔輪綜合偏差疊加將產(chǎn)生紡錘形拍頻。在波發(fā)生器綜合偏心、剛輪綜合偏差和柔輪綜合偏差的綜合影響下，拍頻也會(huì)疊加(如圖6d)。在柔輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的周期內(nèi)，拍頻特征重復(fù)兩次。

如前文所述，圖4～圖6中各余弦波的幅值均為1″，相位均為π，是對(duì)余弦波疊加特性的數(shù)學(xué)分析，所得結(jié)論具有一定的普適性。但實(shí)際工況下，各誤差的余弦波幅值和相位都不相同，與其誤差源的偏差分布有關(guān)，如波發(fā)生器、剛輪和柔輪的偏心大小與方向等。因此實(shí)際疊加結(jié)果與圖5和圖6上的細(xì)節(jié)有所區(qū)別，但其大小波、拍頻等形貌特征是一致的。除此之外，在諧波齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，基礎(chǔ)頻率成分互相影響也將疊加出更多的頻率成分。例如，波發(fā)生器偏心將影響剛輪嚙頻誤差的幅值，此時(shí)幅值由常數(shù)變?yōu)橹芷诤瘮?shù)從而形成頻率疊加后的信號(hào)。因此，實(shí)際傳動(dòng)誤差的成分更多，拍頻現(xiàn)象也更復(fù)雜?？傮w來說，波發(fā)生器、剛輪和柔輪的綜合偏差越小，傳動(dòng)誤差也會(huì)越小。

3 采樣誤差的傅里葉頻域離散

為驗(yàn)證前述理論分析的準(zhǔn)確性，對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中的采集信號(hào)是一段在時(shí)域上離散的有限長(zhǎng)數(shù)組，它包含了所有誤差影響因素的作用信息。在采集數(shù)據(jù)量足夠的條件下，可利用傅里葉分析，計(jì)算在頻域上等間隔分布的所有頻率上的響應(yīng)，響應(yīng)的相關(guān)性大小由各頻率的幅值和相位來評(píng)估。

設(shè)傳動(dòng)誤差E(t)是時(shí)域上周期為T的連續(xù)曲線。它由常量a0/2和N個(gè)余弦函數(shù)疊加組成，則式(2)可擴(kuò)充表達(dá)為：

(3)

式中An、n/T和φn分別為第n次余弦波的幅值、頻率和初相。

將式(3)中的余弦波分解為正交的正弦分量和余弦分量。即

(4)

其中：an=Ancosφn，bn=-Ansinφn。

在t0到t0+T對(duì)式(4)進(jìn)行積分，根據(jù)三角函數(shù)的正交性得a0、an、bn與傳動(dòng)誤差E(t)的關(guān)系分別為：

(5)

3.1 誤差的傅里葉變換

根據(jù)歐拉公式，式(4)中正弦分量和余弦分量可表達(dá)為：

(6)

將其代入式(4)并整理得：

(7)

由式(5)可知，a-n=an，b-n=-bn。當(dāng)n=0時(shí)an=a0，bn=0。 因此，由式(7)可整理出傳動(dòng)誤差E(t)的傅里葉級(jí)數(shù)：

(8)

令復(fù)數(shù)cn=(an-ibn)/2，結(jié)合式(5)和式(6)可得：

(9)

由于實(shí)際采集的誤差信號(hào)在時(shí)域上離散無法積分，設(shè)Ek為E(t)連續(xù)曲線上等間隔采樣的點(diǎn)數(shù)為N的誤差序列，其時(shí)間特性以采樣頻率fs體現(xiàn)。在未知Ek周期的情況下，將其周期視為采樣點(diǎn)數(shù)N。于是，基波頻率

f=fs/N。

(10)

設(shè)Fn為N倍復(fù)數(shù)cn，并將式(9)以求和的方式給出，即

(11)

式中n和k均為1到N的正整數(shù)。

3.2 余弦波成分的幅值與相位

Fn對(duì)應(yīng)的頻率為(n-1)f，即Fn確定了n-1次余弦波。設(shè)Fn的實(shí)部為Rn，虛部為In。當(dāng)n=1時(shí)，對(duì)應(yīng)頻率為0，此時(shí)F1=R1是實(shí)常數(shù)，即誤差常量；當(dāng)n>1時(shí)，F(xiàn)n的模為cn的N倍，即n-1次余弦波幅值A(chǔ)n-1的N/2倍。Fn的相位角即n-1次余弦波初相φn-1。因此，

(12)

φn-1=argFn=tan-1(In/Rn)。

(13)

由式(11)可知FN-n=F-n，它與Fn共軛，即模相等，相位相反。因此，傅里葉變換后的Fn具有負(fù)頻率結(jié)果，且與正頻率結(jié)果左右對(duì)稱。負(fù)頻率是共軛復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果，不具備實(shí)際物理意義[22]。將負(fù)頻率與正頻率幅值合并考慮才是該頻率余弦波的實(shí)際貢獻(xiàn)(如式(12))。根據(jù)式(11)，傅里葉變換能識(shí)別的最大頻率為Nf/2，為采樣頻率fs的一半，遵循奈奎斯特采樣定理。通過快速傅里葉變換方法(Fast Fourier Transform,FFT)對(duì)式(11)進(jìn)行計(jì)算，然后由式(12)和式(13)即可確定各頻率下的幅值響應(yīng)與相位信息。

4 實(shí)驗(yàn)算例與分析

4.1 傳動(dòng)誤差實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用志方ZRT-II機(jī)器人減速器性能測(cè)試系統(tǒng)(如圖7)測(cè)試ZSHF17-80-2SO諧波減速器(如圖8)。角度傳感器采用HEIDENHAIN-ERA4 282C系列的圓形光柵，采集系統(tǒng)采用NI-R系列PCI-e7 842采集板卡。減速器主機(jī)由環(huán)形剛輪和禮帽形柔輪裝配在交叉滾子軸承兩端構(gòu)成。剛輪和交叉滾子軸承外圈固定在臺(tái)架上，實(shí)現(xiàn)波發(fā)生器輸入、柔輪輸出的傳動(dòng)方式。剛輪齒數(shù)z2=162，柔輪齒數(shù)z1=160，約束剛輪時(shí)其傳動(dòng)比為80。

波發(fā)生器采用兩種方案：方案一，一體式凸輪波發(fā)生器，其中凸輪直連電機(jī)軸；方案二，滑塊式凸輪波發(fā)生器，其中凸輪與直連電機(jī)的輪轂之間裝配十字滑塊。兩個(gè)凸輪長(zhǎng)短軸尺寸偏差均小于5 μm。設(shè)置輸入軸轉(zhuǎn)速n1=30 rpm，此時(shí)fwg=0.5 Hz。其主要關(guān)注頻率如表1所示。采樣間隔0.1s，即采樣頻率fs=10Hz。系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)后記錄實(shí)時(shí)時(shí)間t、輸入軸轉(zhuǎn)速n1、輸出軸轉(zhuǎn)速n2、輸入軸轉(zhuǎn)角r1和輸出軸轉(zhuǎn)角r2。參考標(biāo)準(zhǔn)要求[23]對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)試。在輸出端轉(zhuǎn)動(dòng)370°后輸入軸反向運(yùn)轉(zhuǎn)。通過輸入軸轉(zhuǎn)速與輸出軸轉(zhuǎn)速的比值計(jì)算實(shí)時(shí)傳動(dòng)比。實(shí)時(shí)傳動(dòng)誤差X(j)=r1/80-r2。

4.2 雙向誤差測(cè)試結(jié)果

如圖9a所示為方案一的傳動(dòng)誤差測(cè)試結(jié)果?？梢钥闯觯?77.3 s反轉(zhuǎn)的瞬間，傳動(dòng)誤差曲線出現(xiàn)跳躍，前后兩段曲線對(duì)稱相似。將信號(hào)以輸出端轉(zhuǎn)角為軸繪制空域傳動(dòng)誤差如圖9b所示。傳動(dòng)誤差曲線在輸出端轉(zhuǎn)角為360°位置改變方向。在圖9b中，轉(zhuǎn)角對(duì)齊的情況下對(duì)正反向傳動(dòng)誤差曲線求差，獲得空域回差曲線如圖9c所示。

4.3 誤差信號(hào)的頻域分離

根據(jù)第3章所述方法分別對(duì)圖9a所示的兩段傳動(dòng)誤差進(jìn)行計(jì)算。得到在頻域上表達(dá)的幅度譜(如圖10a)和相位譜(如圖10b)。圖10a中反向幅值亦為正數(shù)，為便于觀察，取負(fù)數(shù)進(jìn)行顯示以與正向幅值進(jìn)行分開對(duì)比。

從圖10a可以看出，在0 Hz、0.5 Hz、1 Hz附近出現(xiàn)較大的幅值，與表1數(shù)據(jù)大致對(duì)應(yīng)，說明第1章的誤差源分析基本準(zhǔn)確。但圖10a還顯示出傳動(dòng)誤差信號(hào)在2 Hz、3 Hz附近也有較大的相關(guān)性，這些頻率是剛輪嚙頻的2倍頻和3倍頻。

由于回程誤差是在正向傳動(dòng)誤差與反向傳動(dòng)誤差空域上作差，反向傳動(dòng)誤差從時(shí)域轉(zhuǎn)到空域時(shí)改變了延伸方向，因此對(duì)反向傳動(dòng)誤差的時(shí)域信號(hào)的相位乘-1后進(jìn)行分析。將余弦波信號(hào)的相位在頻域展開，如圖10b所示。關(guān)于正反向的結(jié)果對(duì)比將在第5章中進(jìn)行詳細(xì)討論，這里先對(duì)反向傳動(dòng)誤差曲線進(jìn)行分析。

表2中列出了其所有響應(yīng)頻率中幅值大于2″的成分。與表1對(duì)比，表2中0Hz對(duì)應(yīng)誤差常量，0.006 22 Hz對(duì)應(yīng)柔輪轉(zhuǎn)頻2fwg/z1，1.000 62 Hz對(duì)應(yīng)剛輪嚙頻2fwg，1.013 05 Hz對(duì)應(yīng)柔輪嚙頻2fwgz2/z1。波發(fā)生器輸入轉(zhuǎn)頻fwg(0.5 Hz)處的幅值響應(yīng)較小，未列于表中。0.559 35 Hz是以波發(fā)生器輸入轉(zhuǎn)頻fwg為主導(dǎo)的疊加頻率。除此之外，剛輪嚙頻的兩倍頻率4fwg處的響應(yīng)幅值達(dá)到了4.86″，除誤差常量外該幅值是所有余弦波的最大值。

表2 反向傳動(dòng)誤差主要頻率成分

4.4 傳動(dòng)誤差余弦函數(shù)重構(gòu)

結(jié)合表1給出該誤差曲線理論基礎(chǔ)主頻成分余弦波參數(shù)如表3所示。分別由表2和表3中的成分根據(jù)式(2)對(duì)傳動(dòng)誤差E(t)進(jìn)行重構(gòu)，該誤差還包含常量E0=13.98″，結(jié)果如圖11所示。

圖11中，重構(gòu)方案(I)為表3中基礎(chǔ)主頻成分疊加的效果，可以看出基礎(chǔ)主頻成分的誤差成分組合已經(jīng)能夠反映出傳動(dòng)誤差的整體趨勢(shì)，但在幅值和細(xì)節(jié)上與真實(shí)傳動(dòng)誤差還存在較大的差異。因此，重構(gòu)方案(II)為表2中實(shí)際主頻成分的疊加效果。可以看出，實(shí)際主頻成分重構(gòu)誤差與原始誤差基本重合，已能夠反映出實(shí)際傳動(dòng)誤差的幅值大小和大部分細(xì)節(jié)。圖11結(jié)果表明，第1章和第2章中的理論分析準(zhǔn)確，理論誤差來源引起的頻率確實(shí)存在。理論基礎(chǔ)主頻成分的疊加準(zhǔn)確反映出實(shí)際傳動(dòng)誤差的整體拍頻特征，但在幅值和細(xì)節(jié)上沒有反映實(shí)際傳動(dòng)誤差的大小和形貌特征。理論基礎(chǔ)主頻頻率疊加后形成的主要頻率成分在構(gòu)成傳動(dòng)誤差的幅值和細(xì)節(jié)形貌特征上具有重要作用。

5 討論

5.1 波發(fā)生器結(jié)構(gòu)對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

滑塊式凸輪波發(fā)生器通過十字滑塊連接凸輪和輪轂起到了聯(lián)軸節(jié)的作用，一定程度上能夠調(diào)節(jié)凸輪的回轉(zhuǎn)偏心和幾何偏心(如圖3)，進(jìn)而可能對(duì)傳動(dòng)誤差產(chǎn)生影響。保持主機(jī)工況和測(cè)試參數(shù)不變，更換滑塊式凸輪波發(fā)生器，重新測(cè)試。如圖12所示為方案二的傳動(dòng)誤差測(cè)試結(jié)果。

比較圖12a和圖9b可以看出，在滑塊裝配間隙的影響下正反向的傳動(dòng)誤差曲線在空域上明顯分離，且曲線形態(tài)特征顯著變化。比較圖12b和圖9c，可以看出回程誤差明顯增大且形態(tài)顯著變化。

如圖13所示為方案二傳動(dòng)誤差的頻譜結(jié)果，其處理方法與圖10一致。圖13a中顯示出誤差在0 Hz、1 Hz、2 Hz和3 Hz位置附近擁有較大的響應(yīng)，而在0.5 Hz附近沒有顯著響應(yīng)。根據(jù)圖9和圖11中的測(cè)試數(shù)據(jù)，方案一與方案二的誤差結(jié)果總結(jié)如表4所示?？梢钥闯觯鄬?duì)于方案一，方案二中正反向傳動(dòng)誤差分別降低了5″和10″，回程誤差增大近8″。

表4 不同方案的誤差測(cè)試結(jié)果

根據(jù)4.4節(jié)內(nèi)容，對(duì)實(shí)際主要頻率下的誤差幅值進(jìn)行比較，結(jié)果如表5所示。表中差值由方案二結(jié)果減去方案一結(jié)果獲得，對(duì)誤差常量做絕對(duì)值處理以分析其大小的變化。從正向結(jié)果可以看出，方案二中的誤差常量減小了0.96″，約33%。波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻位置附近沒有幅值響應(yīng)。剛輪嚙頻位置幅值減小了1.18″，接近27%。剛輪嚙頻二倍頻位置幅值減小了1.46″，接近30%。反向結(jié)果與正向結(jié)果大體相近，但誤差常量比方案一增大了約10″，這是由滑塊的間隙引起的。

表5 不同方案的頻域幅值結(jié)果

表5中0.559 35Hz是以波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻為主導(dǎo)疊加而成的頻率，因此其對(duì)誤差形貌的影響與波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻接近。根據(jù)第1章中分析，凸輪隨動(dòng)偏差將引起一個(gè)誤差常量，凸輪定向偏差將引起其二倍轉(zhuǎn)頻2fwg下的偏差，凸輪的綜合偏差將引起其轉(zhuǎn)頻fwg下的偏差。根據(jù)第2章中分析，頻率接近的剛輪嚙頻余弦和柔輪嚙頻余弦疊加將使得傳動(dòng)誤差整體呈紡錘形拍頻，再疊加波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻fwg余弦成分后，傳動(dòng)誤差整體將呈現(xiàn)出紡錘形加波浪形的綜合拍頻形貌特征。圖9中正反向誤差均具有圖6d所示的紡錘形加波浪形拍頻特征，圖11中的正反向誤差更接近于圖6c所示的紡錘形拍頻特征。

方案二中滑塊式波發(fā)生器可以有效地消除凸輪誤差的影響，即更換滑塊式波發(fā)生器后，傳動(dòng)誤差的常量部分將減小，波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻處的幅值響應(yīng)將消失，剛輪嚙頻處的幅值響應(yīng)將減弱。拍頻特征將由波浪加紡錘的組合形狀轉(zhuǎn)為更接近紡錘。表4和表5的結(jié)果驗(yàn)證了第1章和第2章中波發(fā)生器偏差對(duì)傳動(dòng)誤差大小和形狀影響分析的準(zhǔn)確性。

5.2 正反向頻域結(jié)果對(duì)回程誤差的影響

前述分析中圖9和圖11體現(xiàn)出減速器連續(xù)正反向運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其傳動(dòng)誤差在時(shí)域和空域上存在著一定的差異，這也導(dǎo)致了回程誤差的出現(xiàn)。圖10和圖13在頻域顯示了雙向傳動(dòng)誤差的幅值和相位的變化。可以看出，正反向運(yùn)轉(zhuǎn)中的傳動(dòng)誤差主要頻率沒有變化。對(duì)實(shí)際主要頻率的幅值響應(yīng)和相位進(jìn)行分析，結(jié)果如表6和表7所示。

表6 方案一的雙向幅值相位

表7 方案二的雙向幅值相位

表6和表7中反向相位依然乘-1進(jìn)行分析，差值是反向結(jié)果減去正向結(jié)果獲得，其中相位差值在±π內(nèi)進(jìn)行評(píng)價(jià)體現(xiàn)誤差源的偏差方向變化。表6和表7中顯示，反向誤差常量相對(duì)正向有較大增加是由于減速器各組件間的間隙引起的，尤其滑塊式凸輪波發(fā)生器的間隙導(dǎo)致方案二中的反向誤差常量增幅一體式凸輪的2倍以上。各頻率成分幅值變化較小，但其相位差異顯著。因此，相位變化是導(dǎo)致各余弦波疊加后最終結(jié)果差異的主要原因，表現(xiàn)為圖9b和圖11a中正反向傳動(dòng)誤差整體形態(tài)的差異。相位變化進(jìn)一步也影響了圖9c和圖11b中回程誤差的結(jié)果，是除間隙帶來的誤差常量變化外產(chǎn)生回程誤差的另一主要因素。

除此之外，可以關(guān)注到波發(fā)生器定向偏差和剛輪綜合偏差引起的傳動(dòng)誤差頻率相同。盡管這兩個(gè)誤差源疊加后的誤差頻率不變，但不同的相位差將導(dǎo)致不同的疊加效果。相位相同時(shí)，疊加誤差為兩幅值之和；相位相差π時(shí)，疊加誤差為兩幅值之差。可知，不僅可以通過改善波發(fā)生器和剛輪的偏差來減小傳動(dòng)誤差，合理的偏差方向組合也可以通過相位調(diào)整起到減小傳動(dòng)誤差的作用。因此，誤差相位有進(jìn)一步研究的價(jià)值。

6 結(jié)束語

本文進(jìn)行了諧波齒輪誤差來源及頻率特性分析，給出了傳動(dòng)誤差主成分余弦表達(dá)式，并對(duì)不同成分組合下的拍頻效果進(jìn)行了分析。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。主要結(jié)論如下：

(1) 諧波齒輪的傳動(dòng)誤差主要由波發(fā)生器、柔輪、剛輪的綜合偏差造成。理論基礎(chǔ)主頻成分包括柔輪轉(zhuǎn)頻、波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻、柔輪嚙頻和剛輪嚙頻等。

(2) 波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻誤差與剛輪嚙頻誤差形成了二倍關(guān)系，是導(dǎo)致傳動(dòng)誤差出現(xiàn)大小波現(xiàn)象的因素之一；波發(fā)生器轉(zhuǎn)頻誤差與柔輪嚙頻誤差形成了近似二倍關(guān)系，是導(dǎo)致傳動(dòng)誤差在大小波現(xiàn)象基礎(chǔ)上出現(xiàn)波浪形拍頻特征的因素之一；剛輪嚙頻與柔輪嚙頻非常接近，是導(dǎo)致傳動(dòng)誤差具有紡錘形拍頻特征的因素之一。

(3) 理論主頻成分余弦疊加僅反映了實(shí)際傳動(dòng)誤差的整體拍頻特性，而幅值響應(yīng)顯著的理論主頻成分及其影響下的實(shí)際主頻成分余弦疊加能夠重構(gòu)出傳動(dòng)誤差的整體拍頻特征和近似幅值大小。因此，分析理論主頻成分改善其誤差來源是改進(jìn)諧波齒輪傳動(dòng)誤差的有效手段。

(4) 往復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)各余弦成分幅值變化不大，但相位變化明顯，相位變化導(dǎo)致雙向傳動(dòng)誤差的形貌差異，是產(chǎn)生回程誤差的主要因素之一。

后續(xù)可繼續(xù)對(duì)傳動(dòng)誤差各主頻余弦波相位的形成機(jī)理展開研究，結(jié)合波的疊加特性，進(jìn)一步改善諧波齒輪的傳動(dòng)誤差和回程誤差。