周延鋒，李寧洲，衛(wèi)曉娟

（1 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院，上海 201418）

近年來，機(jī)車黏著控制問題一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-3］。受各種因素的影響，軌面條件復(fù)雜多變，導(dǎo)致機(jī)車在運(yùn)行過程中的牽引力/制動(dòng)力的充分發(fā)揮受到了很大的限制。此外，重載機(jī)車的發(fā)展，加大了輪軌間的動(dòng)力沖擊載荷，不僅會(huì)影響正常的行車安全，還會(huì)導(dǎo)致輪軌關(guān)系進(jìn)一步惡化和相關(guān)設(shè)備使用壽命降低。為改善輪軌關(guān)系、提高機(jī)車黏著利用率，需對(duì)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩不斷進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)機(jī)車最優(yōu)黏著控制。

為獲得相對(duì)最優(yōu)的機(jī)車黏著利用，大量學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了積極地探索與研究。文獻(xiàn)［2］建立了全維狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)黏著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合遞推最小二乘法與最速梯度法實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)蠕滑速度的遞推搜索，進(jìn)而依據(jù)蠕滑速度控制環(huán)實(shí)現(xiàn)了對(duì)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩的動(dòng)態(tài)調(diào)整。文獻(xiàn)［3］基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF），提出了一種滑模控制算法，并依據(jù)所設(shè)計(jì)搜索算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)最優(yōu)蠕滑速度的遞推搜索，實(shí)現(xiàn)了較好的黏著利用。文獻(xiàn)［4］將模糊邏輯和多級(jí)卡爾曼濾波相結(jié)合，對(duì)軌面黏著實(shí)時(shí)狀況加以識(shí)別，進(jìn)而達(dá)到對(duì)機(jī)車黏著控制的目的。文獻(xiàn)［5］基于全維狀態(tài)觀測(cè)器和滑模極值搜索算法，實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)蠕滑速度的動(dòng)態(tài)追蹤，然后依據(jù)所設(shè)計(jì)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器動(dòng)態(tài)調(diào)整地鐵列車牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩，取得了良好的控制效果。文獻(xiàn)［6］表明，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化量較小時(shí)，利用擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)軌面黏著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，能夠取得較好的觀測(cè)效果。文獻(xiàn)［7］構(gòu)造的級(jí)聯(lián)形式的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩導(dǎo)數(shù)觀測(cè)器，可同時(shí)獲得黏著系數(shù)及其變化規(guī)律，為黏著預(yù)測(cè)控制提供了依據(jù)。文獻(xiàn)［8］采用容積卡爾曼濾波對(duì)車速、輪速及黏著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)為提高濾波估計(jì)精度，其將濾波異常的閾值進(jìn)行提高，降低了漸消因子的產(chǎn)生概率。既有文獻(xiàn)對(duì)黏著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，大多采用全維狀態(tài)觀測(cè)器、EKF、CKF 以及多級(jí)卡爾曼濾波器，但全維狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)數(shù)學(xué)模型精度要求較高，且需進(jìn)行極點(diǎn)配置，EKF 需要先求解Jacobi 矩陣，來實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性函數(shù)的線性化處理，其過程會(huì)忽略高階項(xiàng)，導(dǎo)致求解精度降低，CKF 采用球面—徑向容積準(zhǔn)則，具有三階泰勒級(jí)數(shù)精度，但對(duì)狀態(tài)突變自適應(yīng)跟蹤能力較差，級(jí)聯(lián)形式的濾波器引入?yún)?shù)較多，存在整定困難的缺點(diǎn)。

文中首先采用奇異值分解的無跡卡爾曼濾波器（SVD-UKF）對(duì)機(jī)車黏著系數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，然后結(jié)合帶遺忘因子遞推最小二乘法，遞推得到軌面最優(yōu)參考蠕滑速度，進(jìn)而利用所設(shè)計(jì)的基于趨近律的滑模魯棒控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)車的最優(yōu)黏著控制。

1 機(jī)車動(dòng)力學(xué)模型及黏著特性

1.1 機(jī)車單輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

牽引工況下，機(jī)車牽引力來源于牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。牽引電機(jī)通過齒輪箱等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)將電機(jī)轉(zhuǎn)矩傳遞給輪對(duì)，由于輪軌間的黏著作用，致使輪對(duì)力矩轉(zhuǎn)化為黏著力使車輪沿鋼軌滾動(dòng)前行，機(jī)車單輪對(duì)牽引力傳遞模型如圖1 所示。

圖1 機(jī)車單輪對(duì)牽引力傳遞模型

對(duì)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩、齒輪箱傳動(dòng)特性以及輪對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得到輪對(duì)側(cè)的等效動(dòng)力學(xué)方程為式（1）、式（2）：

式中：Tm為牽引電機(jī)力矩；TL為牽引電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Jequ為輪對(duì)側(cè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Rg為齒輪箱傳動(dòng)比；ωw為輪對(duì)角速度；R為輪對(duì)半徑；μ(vs)為軌面黏著系數(shù)；W為軸重；ηgear為齒輪箱傳遞效率，各參數(shù)單位見后續(xù)仿真參數(shù)表1。

對(duì)機(jī)車運(yùn)行動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，可得機(jī)車動(dòng)力學(xué)方程為式（3）、式（4）：

式中：Fu為輪軌黏著力；M為整車質(zhì)量；Nm為動(dòng)軸數(shù)目；vt為 車體速度；Fd為 基 本運(yùn)行阻力；a0、b0、c0為基本阻力系數(shù)。

1.2 輪軌黏著特性

動(dòng)輪在鋼軌上滾動(dòng)時(shí)，車輪與鋼軌的接觸面上會(huì)產(chǎn)生彈性變形，進(jìn)而出現(xiàn)“蠕滑”現(xiàn)象。由于蠕滑作用，動(dòng)輪的圓周滾動(dòng)速度小于車體前進(jìn)速度，將其兩者差值定義為蠕滑速度，經(jīng)過大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，輪軌黏著經(jīng)驗(yàn)公式為式（5）：

式中：vs為蠕滑速度；a、b、c、d為軌面黏著參數(shù)。

幾種典型工況下的黏著特性曲線如圖2 所示。

圖2 黏著特性曲線對(duì)比

由圖2 可以看出，幾種曲線均存在穩(wěn)定區(qū)、最優(yōu)黏著區(qū)和非穩(wěn)定區(qū)。在穩(wěn)定區(qū)，斜率ku＞0，隨著牽引力矩的增加，蠕滑速度逐漸增加，黏著系數(shù)隨之增大，直至到達(dá)峰值；在非穩(wěn)定區(qū)，斜率ku＜0，黏著系數(shù)隨著蠕滑速度的增加而減小，輪對(duì)發(fā)生空轉(zhuǎn)，致使輪軌表面擦傷，影響設(shè)備使用壽命，嚴(yán)重情況下將危及行車安全；在最優(yōu)黏著區(qū)，斜率ku≈0，黏著系數(shù)接近黏著峰值，機(jī)車黏著力得到充分利用。因此，機(jī)車最優(yōu)黏著控制的目的在于維持蠕滑速度在最優(yōu)黏著區(qū)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)相對(duì)較高的黏著利用。

2 SVD-UKF 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

2.1 SVD-UKF

無跡Kalman 濾波（UKF）以無跡變換為基礎(chǔ)，采用合適的采樣策略逼近狀態(tài)變量分布，由于其無需明確的函數(shù)表達(dá)式，可處理非線性系統(tǒng)函數(shù)不可導(dǎo)的情況，且非線性變換后的均值和協(xié)方差精度至少具有2 階精度，諸多優(yōu)點(diǎn)使其在許多非線性濾波應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用［9-10］。

針對(duì)非線性系統(tǒng)有式（6）：

式中：k為離散時(shí)間；X（k）∈Rn為k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)；Z∈Rm為觀測(cè)信號(hào)；W（k）∈Rr為輸入白噪聲；V（k）∈Rm為觀測(cè)白噪聲。

式（6）中的狀態(tài)變量X在任意時(shí)刻k的無跡卡爾曼濾波算法基本步驟如下：

第1 步：用式（7）、式（8）計(jì)算狀態(tài)向量的初始值及方差：

第2 步：用式（9）計(jì)算Sigma 點(diǎn)集：

即得式（10）：

第3 步：用式（11）計(jì)算2n+1 個(gè)Sigma 點(diǎn)集的一步預(yù)測(cè)：

第4 步：計(jì)算2n+1 個(gè)采樣點(diǎn)相應(yīng)的權(quán)值為式（12）：

式中：上標(biāo)i為各個(gè)采樣點(diǎn)，下標(biāo)m、c分別為均值、協(xié)方差，而采樣點(diǎn)分布狀態(tài)取決于a，參數(shù)β≥0，參數(shù)λ為縮放比例參數(shù)，用來降低總的預(yù)測(cè)誤差，參數(shù)λ表示為式（13）：

式中：κ為待選參數(shù)，其取值應(yīng)使得（n+λ）P為半正定矩陣，狀態(tài)向量多維時(shí)，可取κ=3-n。

第5 步：求解狀態(tài)向量一步預(yù)測(cè)和協(xié)方差陣為式（14）、式（15）：

第6 步：根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)量一步預(yù)測(cè)值，再次利用UT 變換計(jì)算新的Sigma 點(diǎn)集為式（16）：

第7 步：計(jì)算預(yù)測(cè)的觀測(cè)量為式（17）：

第8 步：計(jì)算系統(tǒng)預(yù)測(cè)均值及協(xié)方差為式（18）、式（19）、式（20）：

第9 步：計(jì)算Kalman 增益矩陣為式（21）：

第10 步：計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)更新和協(xié)方差更新為式（22）、式（23）：

UKF 采用Cholesky 分解法，對(duì)所采集樣本的協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，但該方法僅能夠分解正定矩陣，對(duì)非正定矩陣，其計(jì)算過程將出現(xiàn)病態(tài)問題。為了避免其矩陣分解病態(tài)問題，增強(qiáng)更新迭代過程中協(xié)方差矩陣的穩(wěn)定性，文中采用對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)不敏感、穩(wěn)定性強(qiáng)的矩陣奇異值分解（SVD），對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計(jì)［11］。

對(duì)于m×n階的矩陣A，其奇異值分解表示為式（24）：

式中：矩陣U為m×m階正交矩陣，其列向量u1，u2，…，um為AAT的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，稱為左奇異向量；矩陣V為n×n階正交矩陣，其列向量v1，v2，…，vn為ATA的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，稱為右奇異向量…σr≥0，σi為奇異值，σ2i為矩陣AAT的特征值。

矩陣A是否奇異并不影響分解的正常進(jìn)行，且解具有唯一性。因此對(duì)UKF 算法的第2 步與第6 步進(jìn)行改寫，將其寫為式（25）：

式中：ρ∈［1，］為尺度參數(shù)；σi和Ui分別為矩陣A的第i個(gè)奇異值和其相對(duì)應(yīng)的左奇異向量。

2.2 基于SVD-UKF 的黏著系數(shù)估計(jì)

機(jī)車運(yùn)行過程中，軌面黏著狀態(tài)實(shí)時(shí)變化，導(dǎo)致黏著系數(shù)不斷變化，但由于技術(shù)條件有限，目前無法對(duì)其直接測(cè)量。因此，文中將使用SVD-UKF對(duì)其估計(jì)。

由牽引電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩式（2）可知，軌面黏著系數(shù)μ（vs）與負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL間呈線性關(guān)系，因此可以通過對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的估計(jì)，來間接計(jì)算黏著系數(shù)，即得式（26）：

由式（1）可建立系統(tǒng)狀態(tài)方程、觀測(cè)方程分別為式（27）、式（28）：

選擇車輪角速度ωw、電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，則在k時(shí)刻有式（29）：

取車輪角速度為觀測(cè)量y（k），則觀測(cè)量方程為式（30）：

將式（29）、式（30）離散化，并引入過程噪聲W（k）和測(cè)量噪聲V（k），可寫成式（31）：

因此，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL估計(jì)流程如圖3 所示。

圖3 負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL 估計(jì)流程圖

3 基于指數(shù)趨近律的滑模魯棒控制器設(shè)計(jì)

基于式（26）估計(jì)得到的黏著系數(shù)，結(jié)合遞推最小二乘法［12］，可估計(jì)得到黏著特性曲線斜率，進(jìn)而可根據(jù)式（32）計(jì)算得到最優(yōu)參考蠕滑速度：

談思想送政策、談表現(xiàn)送動(dòng)力、談困難送溫暖。中國石化青工委乘勢(shì)而上，鞏固“走訪尋”工作成果，建立“與基層青年面對(duì)面”常態(tài)化交流溝通機(jī)制，做好青年思想狀況調(diào)查研究，定期向黨政報(bào)告青年思想狀況和動(dòng)態(tài)，用心傾聽青年心聲，及時(shí)反映青年呼聲，有效解決青年實(shí)際問題和困難。活動(dòng)共解決青年實(shí)際困難上萬件，各單位共推送優(yōu)秀案例326個(gè)，推送“走訪尋”工作和“尋找最美”典型2300多期。

式中：ku為黏著特性曲線斜率。

機(jī)車黏著控制的目的在于實(shí)現(xiàn)機(jī)車黏著的最大利用，因此依據(jù)搜索得到的最優(yōu)參考蠕滑速度，不斷動(dòng)態(tài)調(diào)整牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩，使機(jī)車黏著特性始終穩(wěn)定保持在黏著峰值點(diǎn)附近?；？刂谱鳛樽兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略，具有較好的抗干擾能力和魯棒性，其在控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［13］。故文中采用基于趨近律的滑模魯棒控制來實(shí)現(xiàn)機(jī)車的黏著控制。

定義滑模函數(shù)為式（33）：

其導(dǎo)數(shù)為式（34）：

為改善滑模控制中趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，采用指數(shù)趨近律來進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，有式（35）：

定義Lyapunov 函數(shù)為式（36）：

對(duì)式（36）進(jìn)行求導(dǎo)得式（37）：

由式（34）、式（35）得式（39）：

則滑模控制率為式（40）：

為降低控制器滑動(dòng)模態(tài)快速切換時(shí)的抖振，采用雙曲正切函數(shù)tanh()代替切換函數(shù)sgn（s），該控制率可使被控系統(tǒng)穩(wěn)定地運(yùn)行在滑模面上，控制率u可表達(dá)為式（41）：

4 仿真與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)SVD-UKF 觀測(cè)器及黏著控制器的正確性及有效性，在Matlab 中建立相關(guān)的仿真模型，機(jī)車動(dòng)力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 機(jī)車動(dòng)力學(xué)參數(shù)

文中采用的SVD-UKF 算法參數(shù)為：x（0）=［0，0］，P（0）=αE（α=105），采樣時(shí)間Ts=0.01 s，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差Q=diag［0.000 001，10 000 000］，尺度參數(shù)ρ=1；控制器參數(shù)設(shè)置：ε1=0.1，ε2=0.025，k=0.5，參數(shù)調(diào)整過程中，為保證快速趨近滑模面的同時(shí)削弱抖振，應(yīng)在增大k的同時(shí)減小ε1。

單一工況下的黏著系數(shù)曲線與電機(jī)牽引力矩曲線分別如圖4、圖5 所示。從圖4 可以看出，所設(shè)計(jì)的SVD-UKF 觀測(cè)器具有良好的觀測(cè)性能，黏著系數(shù)觀測(cè)值始終在實(shí)際值附近波動(dòng)，觀測(cè)噪聲較小。與圖4 相對(duì)應(yīng)，圖5 中的牽引電機(jī)力矩迅速在2 s 左右達(dá)到5 120 N?m，在機(jī)車運(yùn)行工況不變的條件下，所設(shè)計(jì)控制器能夠使黏著系數(shù)穩(wěn)定在最大值0.265 左右，并維持牽引電機(jī)力矩不變，有效地提高了機(jī)車的黏著利用率。

圖4 單一工況下的黏著系數(shù)

圖5 單一工況下的牽引力矩

不同工況下機(jī)車運(yùn)行的車速與輪速曲線如圖6 所示，從圖中可以看出在20 s 和40 s 時(shí)，機(jī)車運(yùn)行工況發(fā)生了改變，速度曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，斜率發(fā)生變化，但輪速與車速的差值始終保持在合理的范圍內(nèi)，避免了輪對(duì)空轉(zhuǎn)的發(fā)生。

圖6 機(jī)車車速和輪速曲線

機(jī)車在不同工況下的黏著系數(shù)與電機(jī)牽引力矩曲線分別如圖7、圖8 所示。由圖7、圖8 可知，機(jī)車啟動(dòng)后，狀態(tài)觀測(cè)器迅速搜索軌面黏著系數(shù)峰值點(diǎn)，0～20 s，與機(jī)車在單一工況下的運(yùn)行特點(diǎn)類似，能夠獲得較優(yōu)的黏著利用。20 s 時(shí)，軌面工況發(fā)生變化，黏著控制器迅速調(diào)整牽引電機(jī)力矩，搜索得到當(dāng)前軌面黏著系數(shù)峰值點(diǎn)為0.14，當(dāng)軌面條件不變時(shí)，牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩始終保持在2 850 N?m左右。40 s 后，軌面條件轉(zhuǎn)換為機(jī)車啟動(dòng)時(shí)的軌面條件，機(jī)車始終能夠?qū)崿F(xiàn)較高的黏著利用，同時(shí)對(duì)峰值點(diǎn)的搜索速度較機(jī)車啟動(dòng)時(shí)快，其符合機(jī)車啟動(dòng)時(shí)，輪軌黏著利用率較低的實(shí)際情況。

圖7 不同工況下的黏著系數(shù)

圖8 不同工況下的牽引力矩

5 結(jié) 論

在分析了機(jī)車動(dòng)力學(xué)原理及輪軌黏著特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，建立了機(jī)車單輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了采用奇異值分解的UKF 觀測(cè)器對(duì)軌面黏著系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合遞推最小二乘法和蠕滑速度遞推公式，實(shí)現(xiàn)了當(dāng)前軌面最優(yōu)參考蠕滑速度的實(shí)時(shí)搜索，設(shè)計(jì)了基于指數(shù)趨近律的滑模魯棒控制器，不斷對(duì)機(jī)車牽引電機(jī)力矩進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，并在不同工況下對(duì)其進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明，文中提出的黏著控制策略具有一定的可行性，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)觀測(cè)器及控制器的正確性及有效性，有效提高了機(jī)車的黏著利用率。