◇李佳豐（江蘇：蘇州市工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校）

在進(jìn)行某個(gè)單元或某節(jié)課的復(fù)習(xí)過(guò)程中，不少教師往往只是講解書(shū)本上的習(xí)題，也有些教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在一道題上出錯(cuò)率很高，就重點(diǎn)講解一下。但這樣的行為，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在今后遇到同類(lèi)型題目時(shí)，還是很容易出錯(cuò)。因?yàn)閷W(xué)生只是單獨(dú)地記憶了一道題，沒(méi)有前后知識(shí)之間的聯(lián)系，沒(méi)有對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)架構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)練習(xí)題不是簡(jiǎn)單地重復(fù)練習(xí)，而要有針對(duì)性，要通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生將學(xué)到的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，并進(jìn)行總結(jié)、歸納，最終形成健全的知識(shí)體系。

平均數(shù)在書(shū)本上僅有兩課時(shí)，但平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念，它所涵蓋的知識(shí)內(nèi)容不容忽視。如果把這些習(xí)題分分類(lèi)，我們可以發(fā)現(xiàn)無(wú)外乎這三大類(lèi)：平均數(shù)的意義、平均數(shù)的范圍、平均數(shù)的求法。其中平均數(shù)的范圍一般來(lái)說(shuō)是兩種問(wèn)法，一種是“這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)在（ ）至（ ）之間”，還有一種是“這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不低于（ ），不高于（ ）”。學(xué)生只要抓住本質(zhì)“平均數(shù)在最小的數(shù)與最大的數(shù)之間”，做這類(lèi)題是比較容易的。但另兩類(lèi)題，學(xué)生的出錯(cuò)率明顯高很多。平均數(shù)的意義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，平均數(shù)的求法可以衍生出很多類(lèi)型的習(xí)題，因此在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，要把握知識(shí)體系，幫助學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的架構(gòu)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

一、分層次，加深理解重難點(diǎn)

在教學(xué)“平均數(shù)的意義”時(shí)，學(xué)生比較容易理解的是從“移多補(bǔ)少”的操作層面或者“求和平分”的計(jì)算層面求平均數(shù)的方法，而對(duì)于“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一本質(zhì)屬性的感悟就比較困難。因此可以有針對(duì)性地、分層次地設(shè)計(jì)練習(xí)，從平均數(shù)的取值范圍、與某一具體數(shù)據(jù)的聯(lián)系與差異、統(tǒng)計(jì)推斷的意義、極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響等角度，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系。

習(xí)題（判斷對(duì)錯(cuò)）：小強(qiáng)身高145 厘米，他到一個(gè)平均水深110 厘米的池塘里游泳，不會(huì)有危險(xiǎn)。這種是最常見(jiàn)的題型，要讓學(xué)生意識(shí)到，這里只給了池塘水深的平均數(shù)，并不能確定池塘的最大深度和最淺深度。因此小強(qiáng)的身高雖然大于平均水深，但不一定大于最大深度，還是可能有危險(xiǎn)，所以題目中的這句話是錯(cuò)誤的。在這里還可以接著拋一個(gè)生活化的問(wèn)題：現(xiàn)實(shí)中池塘邊牌子上應(yīng)該給什么信息，是平均水深嗎？讓學(xué)生意識(shí)到應(yīng)該給出的是最大深度，因?yàn)槿绻o的是平均水深，數(shù)據(jù)可能高于平均數(shù)、低于平均數(shù)或者正好等于平均數(shù)，有很大的不確定性，從而無(wú)法判斷下水是否安全。

二、設(shè)對(duì)比，類(lèi)化提高促發(fā)展

在求平均數(shù)方法的選擇上，“移多補(bǔ)少”一般只適用于數(shù)據(jù)少、數(shù)量相差不大的情況，“求和平分”則基本適用于所有情況。在講解“求和平分”時(shí)要助于學(xué)生理解“總數(shù)量是怎么來(lái)的”“份數(shù)是怎么一一對(duì)應(yīng)的”等問(wèn)題，再適時(shí)地引導(dǎo)總結(jié)出數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)。這樣的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，不僅可以幫助學(xué)生掌握關(guān)系式，更可以加深學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)由來(lái)的理解，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的同時(shí)，為后面的練習(xí)鋪墊基礎(chǔ)。在平均數(shù)求法的練習(xí)上，以對(duì)比的形式，力求讓學(xué)生逐步形成一定的知識(shí)體系。

對(duì)比題：某單位食堂去年四個(gè)季度用水情況如下表。

季度一二三四用水量（立方米）123 178 196 163

問(wèn)題（1）：食堂去年平均每季度用水多少立方米？

問(wèn)題（2）：食堂去年平均每月用水多少立方米？

這兩個(gè)問(wèn)題都在求平均數(shù)，但列的數(shù)量關(guān)系式是不一樣的，第一問(wèn)是求平均每季度的用水量，份數(shù)是4，而第二問(wèn)是求平均每月用水量，份數(shù)是12。這類(lèi)題除了是讓學(xué)生找準(zhǔn)份數(shù)外，也是在培養(yǎng)學(xué)生的一一對(duì)應(yīng)意識(shí)。

三、創(chuàng)情境，融合生活元素

進(jìn)入小學(xué)階段之后，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成數(shù)學(xué)思維，只有站在整體角度開(kāi)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能夠提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，其在開(kāi)展系統(tǒng)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同時(shí)也在進(jìn)行著數(shù)學(xué)知識(shí)體系的完善與構(gòu)建，其對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知將會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變。知識(shí)體系的構(gòu)建能夠促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化與理解，這種內(nèi)化將幫助學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的解決中靈活應(yīng)用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。教師在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系的時(shí)候應(yīng)抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，從身邊的生活場(chǎng)景入手，在課堂教學(xué)中融入更多生活元素，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的探索欲，最終構(gòu)建全面完善的知識(shí)體系。

比如，當(dāng)教師在進(jìn)行平均數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的時(shí)候，就可以結(jié)合平均數(shù)的概念與計(jì)算要點(diǎn)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)相應(yīng)的生活情境，引發(fā)學(xué)生的探索興趣，使其能夠跟上教師的教學(xué)節(jié)奏，在教師的引導(dǎo)下構(gòu)建與平均數(shù)相關(guān)的知識(shí)體系。教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)景，如考試時(shí)A 學(xué)生分?jǐn)?shù)為96 分，B 學(xué)生分?jǐn)?shù)為86 分，C 學(xué)生分?jǐn)?shù)為76分，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算出三人的平均分是多少。有的學(xué)生本身對(duì)于平均數(shù)的概念定義不夠清晰，但是通過(guò)生活場(chǎng)景的建立就能夠?qū)⑵骄值母拍钛由熘疗骄鶖?shù)，進(jìn)一步深化自身對(duì)平均計(jì)算的認(rèn)知，并有層次地整理平均數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)體系。再比如，可以給出兩張條形統(tǒng)計(jì)圖，分別是某家水果店上星期五天賣(mài)出蘋(píng)果和橘子數(shù)量的統(tǒng)計(jì)圖。先讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)能獲取哪些信息，再讓學(xué)生代入水果店老板的身份，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息決定該如何經(jīng)營(yíng)。在學(xué)生發(fā)散如何經(jīng)營(yíng)水果店的基礎(chǔ)上提問(wèn)：為下周銷(xiāo)售做準(zhǔn)備，是該多批發(fā)些蘋(píng)果還是橘子呢？由此引出可以計(jì)算比較蘋(píng)果和橘子的總數(shù)或平均數(shù)。學(xué)生在這樣的生活情境中，有利于提高學(xué)習(xí)興趣，也能加深對(duì)平均數(shù)的理解。通過(guò)生活化數(shù)學(xué)情境的融入，學(xué)生能夠從各方面了解和探索課堂知識(shí)點(diǎn)，深入了解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系。小學(xué)生性格活潑，對(duì)于趣味性、生活化的情境更感興趣，因此在開(kāi)展其他知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的時(shí)候也可以構(gòu)建相應(yīng)的生活情境，發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生整理零散的知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

四、畫(huà)導(dǎo)圖，構(gòu)建思維體系

思維導(dǎo)圖是幫助學(xué)生整理知識(shí)點(diǎn)、明確各知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的重要工具，因此數(shù)學(xué)教師可以在課堂教學(xué)中引入思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生建立自身的知識(shí)體系。小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間都存在相互聯(lián)系，沒(méi)有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是獨(dú)立于其他知識(shí)點(diǎn)而單獨(dú)存在的，很多難度較大的數(shù)學(xué)題中都融合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此數(shù)學(xué)知識(shí)往往體現(xiàn)出整體性、系統(tǒng)性、豐富性等特征。尤其是到小學(xué)高年級(jí)的學(xué)習(xí)階段之后，機(jī)械、單一的練習(xí)已經(jīng)不能滿足學(xué)生發(fā)展的需求，只有系統(tǒng)性、技巧性的教學(xué)才能夠幫助學(xué)生整理零散的知識(shí)點(diǎn)，明確知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)體系，深化知識(shí)理解與應(yīng)用。

比如，當(dāng)教師進(jìn)行平均數(shù)單元教學(xué)時(shí)，就應(yīng)關(guān)注平均數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究的方法梳理整個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)，并嘗試?yán)盟季S導(dǎo)圖的方法將知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系表示出來(lái)。教師應(yīng)發(fā)揮自己的引導(dǎo)作用，為學(xué)生思維導(dǎo)圖的構(gòu)建提供思路。如教師可以提示學(xué)生寫(xiě)出平均數(shù)的概念，并使用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言進(jìn)行標(biāo)注；對(duì)比各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的難度，使用不同顏色進(jìn)行區(qū)分等。學(xué)生可以根據(jù)自己的習(xí)慣以及知識(shí)掌握情況設(shè)計(jì)不同形式的思維導(dǎo)圖，如樹(shù)形圖、括號(hào)圖、箭頭圖等。通過(guò)思維導(dǎo)圖的繪制，學(xué)生將深入理解平均數(shù)單元內(nèi)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，將原本零散的知識(shí)整合成為一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼w，這樣就能夠深化知識(shí)理解，構(gòu)建自己的知識(shí)體系。

五、論錯(cuò)題，加強(qiáng)反思總結(jié)

錯(cuò)題從某種程度上來(lái)說(shuō)體現(xiàn)了學(xué)生進(jìn)步的空間，如果學(xué)生的成績(jī)是一百分，那么其在當(dāng)前階段進(jìn)步的空間就比較有限，需要進(jìn)入下一個(gè)階段的學(xué)習(xí)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確看待學(xué)生的錯(cuò)題現(xiàn)象，將重點(diǎn)放在錯(cuò)題資源利用方面，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)錯(cuò)題反思自己的問(wèn)題，改正錯(cuò)誤，學(xué)會(huì)舉一反三，實(shí)現(xiàn)進(jìn)步。小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)中的很多題目都需要學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，只有靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)思想與方法，才能夠快速解答數(shù)學(xué)題。小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源可以應(yīng)用于學(xué)生解題思路總結(jié)方面，通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤題目的講解，讓學(xué)生掌握正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，使其在遇到類(lèi)似題目的時(shí)候能夠舉一反三，自己解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

比如，當(dāng)教師在進(jìn)行平均數(shù)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，可以設(shè)計(jì)開(kāi)放性情境與問(wèn)題進(jìn)行提問(wèn)：“班級(jí)男生和女生人數(shù)分別為25人、20人，男女生組隊(duì)開(kāi)展踢毽子比賽，男生隊(duì)積分為110 分，女生隊(duì)積分為100 分，請(qǐng)問(wèn)男生隊(duì)和女生隊(duì)誰(shuí)的成績(jī)更好？”教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何對(duì)比兩組的成績(jī)。此時(shí)有的學(xué)生提出使用總成績(jī)對(duì)比，這樣的想法是比較局限的，教師可以提出題目中男生女生人數(shù)不同的條件，讓學(xué)生再次思考。此時(shí)就會(huì)有學(xué)生提出使用平均分對(duì)比兩組的成績(jī)，這樣就能夠達(dá)到公平的對(duì)比效果。在面對(duì)不同類(lèi)型錯(cuò)題的時(shí)候，教師首先應(yīng)糾正學(xué)生的計(jì)算結(jié)果以及解題思路，同時(shí)還應(yīng)指出學(xué)生思考欠缺的地方，讓學(xué)生在面對(duì)同樣情境的時(shí)候能夠應(yīng)用平均數(shù)的思維進(jìn)行分析，提升學(xué)生的解題正確率。在錯(cuò)題的基礎(chǔ)上，教師可以拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平均數(shù)相關(guān)知識(shí)，從平均數(shù)的條件、性質(zhì)以及計(jì)算方式方面整理自己的思路。這樣，就能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的鞏固，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，構(gòu)建完善的知識(shí)體系。

在進(jìn)行練習(xí)課、復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，如果僅僅靠題海戰(zhàn)術(shù)或做一題講一題，那么，學(xué)生很難做到對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理。因此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)課、復(fù)習(xí)課時(shí)，應(yīng)該分層次、有對(duì)比地設(shè)計(jì)，將知識(shí)建構(gòu)成一個(gè)完整的體系，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，使之做到舉一反三，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)。