安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 朱賢良 246700

安徽省樅陽(yáng)縣教育教學(xué)研究室 徐維武 246700

“解三角形”這一板塊知識(shí)涵蓋了求三角形的邊、角、面積、三角函數(shù)值以及諸多知識(shí)的綜合運(yùn)用等問(wèn)題，既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)和平面向量知識(shí)考查的重要載體，同時(shí)也是解決三角形中的數(shù)量關(guān)系以及天文、地理及航海等生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具.

解三角形問(wèn)題能很好地考查三角函數(shù)中的基本概念、公式、定理，并有效檢測(cè)考生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，因而在歷年高考中都占有重要地位.綜觀高考中的解三角形試題，其命題形式豐富多樣，既體現(xiàn)基礎(chǔ)性又突出綜合性，題目的類型、所用到的方法、所體現(xiàn)的規(guī)律是非常值得總結(jié)的.結(jié)合對(duì)近些年高考試題的分析，本文擬對(duì)解三角形中常見問(wèn)題的類型與求解方法作一初步的歸納，力求達(dá)到以少勝多、提高效率的目的.

1 知三求三問(wèn)題

三角形有三條邊與三個(gè)角等六個(gè)要素，根據(jù)邊角中的三個(gè)可求其余三個(gè)（已知三角除外），此即解三角形中的知三求三問(wèn)題.具體來(lái)說(shuō)，知三求三問(wèn)題可根據(jù)已知條件的不同分為以下五類：（1）已知三邊求三角，先由余弦定理求某一角，再由余弦定理或正弦定理求其余兩角.（2）已知兩邊及夾角求其余要素，先由余弦定理求第三邊，再由余弦定理或正弦定理求其余兩角.（3）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角求其余要素，先由余弦定理求第三邊，或先由正弦定理求第二個(gè)角，再由余弦定理或正弦定理求其余邊與角.需要注意的是，此類問(wèn)題最多會(huì)有兩組解.（4）已知兩角及公共邊求其余要素，先由三角形內(nèi)角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余兩邊.（5）已知兩角及其中一角的對(duì)邊求其余要素，同上一類問(wèn)題，先由三角形內(nèi)角和定理得到第三角，再由正弦定理求其余兩邊.

例1（2018 年高考全國(guó)Ⅰ卷·理17）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求 cos ∠ADB；（2）若，求BC.

圖1

評(píng)注：在求解知三求三類型的問(wèn)題時(shí)，需要搞清楚已知什么，需要求的是什么，以便選擇合適的求解思路.

例2（2013 年高考全國(guó)Ⅰ卷·理17）如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°.（1）若，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan ∠PBA.

圖2

評(píng)注：當(dāng)圖形中的三角形較多時(shí)，要注意分析條件，觀察哪些三角形可解，哪些三角形不可解，由此探尋求解思路.

2 邊角互化問(wèn)題

三角形中的邊角轉(zhuǎn)化原則是通過(guò)統(tǒng)一邊與角實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知.一方面考慮化邊為角，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題；另一方面考慮化角為邊，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)變形問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)題目條件所給的是邊或者正弦為齊次式時(shí)，可以運(yùn)用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；當(dāng)出現(xiàn)邊的二次或者兩邊之積時(shí)，符合余弦定理的特征，則可考慮用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.

例3（2017 年高考全國(guó)Ⅱ卷·文16）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B= _____.

解析：條件中的已知式“2bcosB=acosC+ccosA”既可以考慮化邊為角，也可以考慮化角為邊，因此有兩個(gè)思路.

思路1：化邊為角

由正弦定理化邊為角：2bcosB=acosC+ccosA?2 sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2 sinBcosB=sin(A+C)，即2 sinBcosB=sinB，即cosB=，故B=.

思路2：化角為邊

評(píng)注：遇到邊角關(guān)系式，到底是統(tǒng)一成邊（代數(shù)恒等變形），還是統(tǒng)一成角（三角恒等變換），可以根據(jù)題目的設(shè)問(wèn)進(jìn)行適當(dāng)選擇，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題.

例4（2019 年高考全國(guó)Ⅰ卷·理17）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.（1）求A；（2）若a+b=2c，求sinC.

解析：注意到條件式“(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC”中的正弦為齊次式，應(yīng)當(dāng)考慮化角為邊.

評(píng)注：利用邊角轉(zhuǎn)化解題的關(guān)鍵是要仔細(xì)分析題目條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，先預(yù)判，再選擇合理的轉(zhuǎn)化策略.

3 三角形面積問(wèn)題

三角形面積的計(jì)算途徑較多，如割補(bǔ)法、海倫-秦九韶公式等，但在高考數(shù)學(xué)試題中的考查主要有二個(gè)：一是小學(xué)時(shí)即熟知的“底與高乘積的一半”；二是用三角形的邊角表示面積.在具體問(wèn)題中，要結(jié)合題目的已知條件來(lái)選擇合適的面積公式.

例5（2018 年高考全國(guó)Ⅰ卷·文16）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為_____.

解析：本題是求△ABC的面積，這就需要對(duì)已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，以確定三角形面積的計(jì)算公式.

評(píng)注: 本題選擇公式S=bcsinA來(lái)計(jì)算三角形的面積，是基于對(duì)條件中的兩個(gè)等式的變形分析.

例6（2015 年高考全國(guó)Ⅱ卷·理17）如圖3，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長(zhǎng).

圖3

解析: 本題的條件中未給出邊長(zhǎng)與角度及其關(guān)系，僅給出了角平分線分割出的兩個(gè)三角形面積之間的關(guān)系S△ABD=2S△ADC.如何理解這一面積間的關(guān)系并作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.

思路2：用邊與角來(lái)表示面積

評(píng)注: 在本題的求解過(guò)程中，合理地選擇了三角形面積的計(jì)算方法，就是找到了正確的切入點(diǎn)與突破口.

4 最值范圍問(wèn)題

在解三角形的背景下，設(shè)置與邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積等相關(guān)的最值與取值范圍問(wèn)題，成為十分常見的命題角度.這類問(wèn)題注重與函數(shù)、不等式和幾何等知識(shí)的交匯融合，求解時(shí)需要充分利用正余弦定理、面積公式、三角形的內(nèi)角和定理，并結(jié)合平面幾何、基本不等式以及函數(shù)值域與最值等知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)破解.

例7（2011年高考全國(guó)課標(biāo)卷·理16）在△ABC中，B=60°，，則AB+2BC的最大值為________ .

評(píng)注: 運(yùn)用函數(shù)思想解決此類問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵步驟，一是合理選擇自變量以建立函數(shù)關(guān)系；二是準(zhǔn)確求解函數(shù)值域或最值.

例8（2019 年高考全國(guó)Ⅲ卷·理18 文18）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin=bsinA.（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

評(píng)注: 先根據(jù)正弦定理化角為邊，再利用余弦定理和均值不等式，求得cosC的最小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

例10（2015 年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·理16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_____.

解析: 作為一道解三角形問(wèn)題，首要的問(wèn)題是弄清“三角形”在哪里，即解哪一個(gè)三角形，故考慮連接四邊形的任一對(duì)角線.如圖4，在△ABC中，BC=2，∠B=75°，用解三角形知識(shí)與函數(shù)思想可求AB的取值范圍.換個(gè)角度，我們也可以嘗試從畫圖的角度來(lái)確定AB的變化規(guī)律.如圖5，先畫定線段BC=2，繼而以BC為公共邊作∠B=∠C=75°，再在∠B的另一邊上選一點(diǎn)A，作∠BAD=75°交∠C另一邊于點(diǎn)D，即得與題意相符的四邊形ABCD.顯然點(diǎn)A在線段A1A2上運(yùn)動(dòng)（不含兩端點(diǎn)）.

圖4

圖5

評(píng)注: 取值范圍與最值問(wèn)題最普遍的求解方法是利用函數(shù)思想，如思路1，關(guān)鍵在于合理選擇自變量，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，解法厚重而大氣；思路2從運(yùn)動(dòng)的角度入手，著重理清點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀而輕盈.

5 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

在生產(chǎn)和社會(huì)生活中，很多時(shí)候都需要測(cè)量距離、高度和角度等數(shù)學(xué)量，尤其是在物理、航海和工程技術(shù)方面，均有解三角形的運(yùn)用.求解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們可抽象出數(shù)學(xué)模型，然后正確使用正余弦定理去解決.

例11（2009 年高考海南寧夏卷·理17）為了測(cè)量?jī)缮巾擬,N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A,B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖6)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示,并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M,N間的距離的步驟.

圖6

解析: 計(jì)算M,N間的距離，首要的是以MN為邊構(gòu)建三角形.結(jié)合飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)包括俯角和A,B間的距離，故考慮連接AM,AN,BM,BN,MN，如圖7 所示.這樣，通過(guò)解圖7中的三角形即可求得M,N間的距離.①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)：點(diǎn)A到點(diǎn)M,N的俯角α1,β1，點(diǎn)B到點(diǎn)M,N的俯角α2,β2，A,B兩點(diǎn)間的距離d.②計(jì)算M,N間距離的步驟：

圖7

評(píng)注: 本題讓考生擬定測(cè)量方案，與傳統(tǒng)計(jì)算型問(wèn)題相比，更能有效考查考生分析、解決問(wèn)題的能力，讓人耳目一新.

例12（2013 年高考江蘇卷·18）如圖8，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A 處下山至C 處有兩種路徑.一種是從A 沿直線步行到C，另一種是先從A 沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A 處下山，甲沿AC 勻速步行，速度為50mmin，在甲出發(fā)2 min 后，乙從A 乘纜車到B，在B處停留1 min 后，再?gòu)腂 勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130mmin，山路AC 長(zhǎng)為1260 m，經(jīng)測(cè)量，cosA=，.（1）求索道AB 的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C 處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

圖8

評(píng)注: 本題來(lái)源于生活，來(lái)源于教材，但又髙于教材，考査學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.在解三角形和分式不等式、絕對(duì)值不等式交匯處命題，同時(shí)要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力.