江蘇省邳州市明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李克民 221399

“一題一課”就是教師深入研究一道習(xí)題或者數(shù)學(xué)材料，透過材料的表面現(xiàn)象，抓出問題所隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容，進(jìn)行細(xì)致分析，多角度、多維度對(duì)問題進(jìn)行解析，特別是對(duì)于一些核心知識(shí)要進(jìn)行發(fā)散式講解，不局限于知識(shí)本身，要進(jìn)行深度拓展，把與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容都引申出來(lái)，使學(xué)生的知識(shí)面得到拓寬、加深，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到完善.本文以“一題一課”的幾種教學(xué)方式為例，談它們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略.

1 一題多解，讓學(xué)生的解題思維得到拓展

所謂“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習(xí)題的解答.教師在教學(xué)過程中實(shí)施一題多解和學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中嘗試一題多解，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且通過一題多解能使學(xué)生達(dá)到“思考一道習(xí)題，通曉一片知識(shí)”，讓知識(shí)在學(xué)生腦袋中形成一條知識(shí)鏈.另外，教師出示題目后，不要過多的給與提示，避免學(xué)生的思維被老師過早的給定了方向，應(yīng)讓學(xué)生自由思考，讓學(xué)生原生態(tài)的想法得到暴露，思維得到有效的拉伸.

例1 如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是線段BC和AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F.求證：

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，通過在某個(gè)拐點(diǎn)處添加平行線，構(gòu)造“A”型或者“X”型的相似三角形，借助基本圖形中對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)解決的典型問題.

1.1 構(gòu)造“ A”型基本圖形

圖2

解法2：過點(diǎn)B在三角形外構(gòu)造“A”型基本圖如圖3，過點(diǎn)B作BG∥CF交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,所以∠DCE＝∠DBG，因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=CD，又因?yàn)椤螧DG＝∠CDE，所以△BDG≌△CDE，所以DE=DG，因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE，所以AE=DE=DG，所以，在△ABG中EF∥BG，所以△AEF∽△AGB，有

圖3

解法3：過點(diǎn)A在三角形外構(gòu)造“A”型基本圖如圖4，過點(diǎn)A作AG∥CF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,在△ADG中CE∥AG,所以△DCE∽△DGA,所以,因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE=DA,所以DC=CG=DG,因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC，所以.在△ABG中CF∥AG，所 以△BCF∽△BGA，所以,所以

圖4

1.2 構(gòu)造“X”型基本圖形

解法4：過點(diǎn)D在三角形內(nèi)構(gòu)造“X”型基本圖如圖5，過點(diǎn)D作DG∥AB交CF于點(diǎn)G.因?yàn)镈G∥AB，所以∠EAF＝∠EDG，因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE,又因?yàn)椤螦EF＝∠DEG,所 以△AEF≌△DEG(ASA)，所以AF=DG.因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=CD,在△BCF中DG∥BF，所以，所以

圖5

解法5：過點(diǎn)C在三角形外構(gòu)造“X”型基本圖如圖6，過點(diǎn)C作CG∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，因?yàn)镃G∥AB，所以∠ABD＝∠GCD，因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=CD,又因?yàn)椤螦DB＝∠GDC，所以△ABD≌△GCD(ASA),所以AB=GC，AD=GD.因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE=，所以GE=3AE，因?yàn)镃G∥AB，所以△AEF∽△GEC，所以,所以

圖6

解法6：過點(diǎn)A在三角形外構(gòu)造“X”型基本圖如圖7，過點(diǎn)A作AG∥CB交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,因?yàn)锳G∥CB，所以∠AGE＝∠DCE，因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE,又因?yàn)椤螦EG＝∠DEC，所以△AEG≌△DEC(ASA),所以AG=CD，因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)锳G∥CB,所 以 △AGF∽△BCF，所以,所以

圖7

1.3 借助面積求線段的比

解法7：如圖8，連接DF，設(shè)△AEF的面積為m，△ACE的面積為n，因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE，所以△AEF與△DEF，△AEC與△DEC的面積相等，都是等底等高，所以△DEF的面積是m，△DEC的面積是n,所以△DFC的面積是m+n，因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=CD所以△BDF與△DFC的面積相等為m+n，所以△ABC的面積是3(m+n)，所以

圖8

本題是在學(xué)生學(xué)完相似三角形的性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上進(jìn)行考查的.學(xué)生已具備初步利用相似三角形解決問題的能力，好奇心和表現(xiàn)欲都非常強(qiáng)，讓學(xué)生根據(jù)題目給出的已知條件，結(jié)合自身情況，靈活地選擇解題切入點(diǎn)，去追求更獨(dú)特、更快捷的解題方法，要給予學(xué)生足夠的時(shí)間去活躍思路，使學(xué)生不滿足僅僅得出一道習(xí)題的答案，更重要的是積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題方法，學(xué)會(huì)如何綜合運(yùn)用已有的知識(shí)不斷提高解題能力，這樣有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維.

2 一題多變，讓學(xué)生的思維能力得到提升

教師在試題評(píng)析時(shí)，不要單純地就題論題，而要盡量對(duì)試題隱含的知識(shí)、思想方法、解題的思路等進(jìn)行深度的挖掘，拓寬試題的廣度，讓試題有效的輻射相近知識(shí)點(diǎn).把類似的知識(shí)有效的穿成一條知識(shí)鏈，通過一題的解決，讓學(xué)生通曉一大片的知識(shí).

例2 如圖9，已知點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACM、△CBN都是等邊三角形.求證：AN=BM.

圖9

解：因?yàn)椤鰽CM、△CBN都是等邊三角形，所以AC=MC,NC=BC,∠ACM=∠BCN=60°所以∠MCN=60°，所以∠ACN=120°，∠MCB=120°，所以∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，所以△ACN≌△MCB，所以AN=BM(SAS).

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題證明線段相等，學(xué)生不難想到證△CAN≌△MCB，利用三角形全等，對(duì)應(yīng)的邊相等，從而證明結(jié)論.在評(píng)講本題時(shí)，沒有局限于結(jié)論的證明，而是利用圖形，進(jìn)行一系列的變式探究，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

2.1 變式：改變結(jié)論

例3 如圖10，已知點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACM、△CBN都是等邊三角形.求證：△ACD≌△MCE.

圖10

解：因?yàn)椤鰽CM、△CBN都是等邊三角形，所以AC=MC,NC=BC,∠ACM=∠BCN=60°，所以∠MCN=60°，所以∠ACN=120°，∠MCB=120°，所以∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，所以△ACN≌△MCB，所以∠CAN=∠CMB,在△ACD和△MCE中，∠CAN=∠CMB,CA=CM，∠ACD=∠MCE,所以△ACD≌△MCE(ASA).

2.2 變式：變圖拓展

本題還可以在例題2 的基礎(chǔ)上，將問題設(shè)置為：（1）連結(jié)DE，求證△CDE為 等邊三角形；或者是證明DE∥AB；（2）連接AN與BM交于點(diǎn)O，求∠MOA的度數(shù).上述問題，對(duì)于問題的廣度和深度都進(jìn)行了深度挖掘，通過解決問題訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，對(duì)圖形進(jìn)行變化，可以得到下面的拓展題.

例4 如圖11，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連接PC.（1）求證：△ACE≌△DCB;（2）請(qǐng)判斷△AMC與△DNP的形狀有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）求證：∠APC=∠BPC.

圖11

3 幾點(diǎn)教學(xué)啟示

“問題”是建構(gòu)課堂的“腳手架”，亦是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的起始.新課程標(biāo)準(zhǔn)旨在以轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式為突破口，倡導(dǎo)以問題為中心的教學(xué)，基于“問題”的教學(xué)已經(jīng)作為一種課堂教學(xué)的新模式被廣泛應(yīng)用于教學(xué)活動(dòng)之中.實(shí)踐證明，研究“問題”設(shè)計(jì)的有效性對(duì)提高課堂教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展至關(guān)重要.充分整合課程教學(xué)資源，對(duì)于“一題一課”的課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，關(guān)注“核心問題”的設(shè)計(jì)尤為重要.在“核心問題”的設(shè)置中要關(guān)注以下方面.

3.1 “核心問題”具有適當(dāng)?shù)乃季S深度和廣度

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，面對(duì)教師提出的富有挑戰(zhàn)性的問題，心理會(huì)引發(fā)強(qiáng)烈的探究欲望.核心問題富有思維含量和思維張力，核心問題的提出讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間，帶著探求的興趣，激活已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，或獨(dú)立探索、或與同伴合作，自由地思考、積極地討論，從而設(shè)計(jì)合理的解決路徑，找到解決問題突破口.高質(zhì)量的核心問題，是改進(jìn)課堂教學(xué)的關(guān)鍵，也是學(xué)生從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)探索、從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)的關(guān)鍵因素.

3.2 核心問題具有鮮明的指向性和高度的整合性

對(duì)教學(xué)內(nèi)容反復(fù)肢解而成的“碎”問，容易讓學(xué)生把握不準(zhǔn)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，搞不清一堂課的主要學(xué)習(xí)任務(wù).而中考數(shù)學(xué)課堂中的核心問題，則是從這節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，針對(duì)這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，高度提煉而成的，它是一節(jié)課的核心任務(wù)，是貫穿課堂教學(xué)的主線，課堂中派生出的其他問題、任務(wù)，都與之有著相關(guān)的邏輯關(guān)系，教師的教、學(xué)生的學(xué)都圍繞它而展開，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)更明確、更清晰.

3.3 適當(dāng)分解問題坡度成問題串

核心問題需要給學(xué)生留下充分的思考和探索的空間，但有時(shí)單一的核心問題可能會(huì)使挑戰(zhàn)性過大，讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒而退縮，特別是對(duì)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，高難度的問題不僅不能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，反而會(huì)挫傷他們的學(xué)習(xí)積極性，產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng).面對(duì)不同能力的學(xué)生，要體現(xiàn)一定層次的需求差異，根據(jù)不同需求將一個(gè)核心問題分解細(xì)化成若干個(gè)子問題，或者分層設(shè)計(jì)問題，設(shè)置一些臺(tái)階以便讓更多的學(xué)生跳一跳能夠得著.