孔凡國，李肇星，柯子旭

(五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東江門 529000)

0 前言

Delta系列機(jī)器人的工業(yè)需求日益增大，使其研究與應(yīng)用呈現(xiàn)輕量化、高速、高精度、高靈活性等趨勢。由于設(shè)計時要同時考慮的各項性能指標(biāo)數(shù)量較多，基于Pareto 排序的傳統(tǒng)算法在處理目標(biāo)數(shù)為4個或以上的問題時(即高維目標(biāo))效果并不理想，并且會產(chǎn)生較高的計算費用。

文獻(xiàn)[2]基于雅克比矩陣，對機(jī)器人運動性能的影響因素進(jìn)行了研究，并分析了工作空間的主要影響因素。文獻(xiàn)[3]針對三自由度Delta機(jī)器人控制精度問題進(jìn)行研究，詳細(xì)分析了機(jī)器人各結(jié)構(gòu)誤差源對控制精度的影響。文獻(xiàn)[4]對三自由度 Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計空間、空間點位置及雅克比矩陣條件數(shù)3個目標(biāo)建立懲罰函數(shù)，并采用遺傳算法進(jìn)行尺度綜合。文獻(xiàn)[5]研究了三自由度Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)和定向能力，定向能力與尺寸參數(shù)之間的關(guān)系表明，尺寸參數(shù)不會影響奇異位置運動的輸出運動特性。文獻(xiàn)[6]根據(jù)工作空間、速度、加速度和慣性力的要求，建立了4個目標(biāo)函數(shù)，選取NSGA-2 算法，基于iSIGHT平臺DOE方法，對3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，最終得到了Pareto解集。

本文作者針對運動學(xué)、動力學(xué)的多個目標(biāo)，考慮機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)的影響，選取合理的優(yōu)化策略，在滿足性能要求的基礎(chǔ)上對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺度綜合，在控制計算費用的同時，使機(jī)器人具有良好的性能。

1 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)

以3-DOF Delta機(jī)器人為例，對如圖1(a)所示的三維模型進(jìn)行抽象與簡化，建立其機(jī)構(gòu)簡圖，如圖1(b)所示。將靜、動平臺簡化為2個等邊三角形，外接圓半徑分別為、。以靜平臺中心為原點建立靜坐標(biāo)系-，以動平臺中心′為原點建立動坐標(biāo)系′-′′′；兩坐標(biāo)系軸均為豎直向上,軸指向中點,軸指向中點。

圖1 Delta機(jī)器人模型及機(jī)構(gòu)簡圖

設(shè)為各主動臂長度，為各從動桿長度，為從動桿直徑,為主動臂與靜平臺軸銳角夾角，(=1,2,3)為各驅(qū)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動角度。

2 動力學(xué)模型

計算閉鏈機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的經(jīng)典方法：考慮等效樹結(jié)構(gòu)，使用Lagrange乘數(shù)或D′ Alembert原理實現(xiàn)運動學(xué)約束。

常用動力學(xué)建模方法包括虛功原理法、拉格朗日法、密哈爾頓原理法和牛頓-歐拉法。其中，建立牛頓動力學(xué)方程需要分析質(zhì)點系的約束力，消去非獨立坐標(biāo)，然后消去未知的約束力，以求得一個盡可能簡單的微分方程組。

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，動力學(xué)模型通常比較復(fù)雜不易求解，且坐標(biāo)間的耦合程度會影響其運動性能和控制性能，因此需對模型進(jìn)行簡化以消除桿件之間的耦合。將從動桿的質(zhì)量慣量分為2份，1份分給主動臂，1份分給動平臺。將從動桿的慣量分為3份，2份分配給主動臂，1份分配給動平臺。由虛功原理可知系統(tǒng)受力包括動平臺受力和主動臂受力，所有非慣性力之和等于慣性力。如圖2所示，動平臺僅平動，受到自身重力和慣性力的影響；主動臂僅轉(zhuǎn)動，受到自身重力、電機(jī)轉(zhuǎn)矩和主動臂自身轉(zhuǎn)動慣量的影響。

圖2 Delta機(jī)器人系統(tǒng)受力樹狀圖

簡化后動平臺等效平動慣量及等效慣性質(zhì)量分別表示為

(1)

(2)

式中：為動平臺質(zhì)量；為動平臺負(fù)載質(zhì)量；為從動桿質(zhì)量。

簡化后主動臂等效質(zhì)量為

(3)

式中：為主動臂質(zhì)量；為主動臂上的球鉸質(zhì)量。

模型簡化后，主動臂慣性質(zhì)量的質(zhì)心位置為

(4)

主動臂重力等效轉(zhuǎn)矩為

=···[cos]

(5)

主動臂總轉(zhuǎn)動慣量b為輸出軸轉(zhuǎn)動慣量與主動臂自身轉(zhuǎn)動慣量的和：

b=+=1，2，3

(6)

=(+)

(7)

(8)

式中：為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量;為減速器轉(zhuǎn)動慣量;為減速器減速比。

令主動臂等效轉(zhuǎn)動慣量為

(9)

由虛功原理可得Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆動力學(xué)方程為

(10)

(11)

3 優(yōu)化策略

對于低速并聯(lián)機(jī)構(gòu)，僅考慮工作空間、雅克比條件數(shù)、奇異值等基本動力學(xué)指標(biāo)即可得到較好的優(yōu)化結(jié)果。上述指標(biāo)可經(jīng)基本代換變?yōu)閱文繕?biāo)問題解決，優(yōu)化過程較簡單。

由于機(jī)械手不停向高速度、高精度方面發(fā)展，機(jī)械手的設(shè)計優(yōu)化既要滿足運動學(xué)要求，還需有良好的動態(tài)特性。對于運動構(gòu)件的慣量、逆動力學(xué)方程中坐標(biāo)間的耦合程度以及驅(qū)動機(jī)構(gòu)運動所需的驅(qū)動力矩與驅(qū)動功率等性能指標(biāo)，要建立準(zhǔn)確的動力學(xué)方程進(jìn)行優(yōu)化。

考慮到機(jī)構(gòu)所處的位形不同，桿件的長度、截面積不同均會影響上述指標(biāo)，高速并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化問題常常較為復(fù)雜。

本文作者以非支配排序遺傳算法NSGA-II 對Delta并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化策略：進(jìn)行試驗設(shè)計，依據(jù)試驗結(jié)果規(guī)定設(shè)計變量及其取值范圍；選取試驗結(jié)果中趨勢相似的響應(yīng)變量，整合后建立新的目標(biāo)函數(shù)；在加以約束的情況下，借助NSGA-II完成機(jī)構(gòu)運動學(xué)、動力學(xué)多目標(biāo)尺度綜合。

3.1 設(shè)計變量

為研究多因子與響應(yīng)變量之間的關(guān)系，進(jìn)行試驗設(shè)計。選取最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計方法獲得數(shù)據(jù)樣本，設(shè)置樣本為1 000組，令為局部剛度,為局部動力學(xué)靈巧度,+為驅(qū)動力矩和功率的和,為最小奇異值,為可操作度，得出自變量、、、、與響應(yīng)變量的關(guān)聯(lián)度如表1所示。

表1 因子與響應(yīng)變量的關(guān)聯(lián)度

假設(shè)各桿截面形狀規(guī)則，桿質(zhì)量與桿長、截面尺寸成正比關(guān)系，依據(jù)試驗結(jié)果選取動平臺半徑、靜平臺半徑、驅(qū)動臂長度、從動桿長度、從動桿直徑作為設(shè)計變量，以使機(jī)械手在給定范圍的工作空間中整體尺寸最小。

3.2 優(yōu)化目標(biāo)

由于具有高維目標(biāo)的最優(yōu)解求解時不易收斂，且可視化較差，所以本文作者將Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)、動力學(xué)的常見性能指標(biāo)綜合為3個優(yōu)化目標(biāo)。所涉及到的指標(biāo)包括：可操作度、全局剛度、全局動力學(xué)靈巧度、功率及力矩、雅克比全局條件數(shù)。

3.2.1 運動學(xué)目標(biāo)

在機(jī)械手的優(yōu)化設(shè)計中，由于可達(dá)工作空間的體積并不能成為評價機(jī)器人在工作空間中的整體運動學(xué)性能的唯一判據(jù)，需引入其他性能指標(biāo)。對于一個并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其靈巧度可以用來反映輸入輸出運動或力之間的傳遞精度，通過求解機(jī)構(gòu)速度雅克比矩陣可得出3種可影響靈巧度的指標(biāo)：全局條件數(shù)指標(biāo)、最小奇異值指標(biāo)1/()、可操作度指標(biāo)1/。將3個指標(biāo)歸一化處理后求和形成綜合指標(biāo)，用于評價機(jī)構(gòu)全局靈巧度特性。

(1) 全域條件數(shù)指標(biāo)。GOSSELIN等定義了全局指標(biāo)全域條件數(shù)指標(biāo)(Global Condition-number Index,GCI)評估機(jī)械手在工作區(qū)上的條件數(shù)分布，當(dāng)=1時，機(jī)構(gòu)處于運動學(xué)各向同性狀態(tài)。表達(dá)式為

(12)

為局部條件數(shù)(Local Condition-number Index,LCI)，在可達(dá)工作空間內(nèi)的均值，反映機(jī)構(gòu)條件數(shù)在全域范圍內(nèi)的各向同性。

(13)

(2)最小奇異值指標(biāo)。雅克比矩陣的最小奇異值()體現(xiàn)了輸入與輸出之間的最小傳遞放大倍數(shù)。()越大執(zhí)行端對運動傳遞越快。令最小奇異值指標(biāo)為1()。

(3) 可操作度指標(biāo)。按YOSHIKAWA的定義，機(jī)器人雅克比矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣乘積的行列式值的開方體現(xiàn)了機(jī)構(gòu)距離奇異形位和不定形位的程度，為機(jī)器人的可操作度：

(14)

當(dāng)=0，機(jī)構(gòu)處于奇異形位；當(dāng)=∞，機(jī)構(gòu)處于不定形位；當(dāng)≠0且≠∞時，機(jī)構(gòu)處于非奇異形位。令1/為可操作度指標(biāo)。

(4)綜合靈巧度指標(biāo)。先將、1()、1/進(jìn)行歸一化處理；再根據(jù)該機(jī)構(gòu)的各向同性和響應(yīng)速度，配置權(quán)重系數(shù)，設(shè)定=0.4、=0.4、=0.2，構(gòu)造綜合評價指標(biāo)：

=[+()+]→min

(15)

3.2.2 動力學(xué)目標(biāo)

對Delta機(jī)構(gòu)的動力學(xué)逆解進(jìn)行數(shù)值分析，假設(shè)動平臺運動軌跡為典型門字軌跡，對機(jī)構(gòu)剛度和靈巧度進(jìn)行分析。

(1)剛度指標(biāo)。當(dāng)外力作用在末端執(zhí)行器上時，機(jī)構(gòu)發(fā)生形變，形變量關(guān)系著機(jī)器人動力學(xué)性能和位置精度，尤其對于并聯(lián)機(jī)床或某些需要高精度的并聯(lián)機(jī)械手，靜態(tài)剛度(或剛度)是設(shè)計時的首要考慮因素。

在文中，僅考慮驅(qū)動機(jī)構(gòu)的剛度(其他部分看作是剛體)，通過應(yīng)用動態(tài)和靜態(tài)方程，得到局部剛度指標(biāo)(Local Stiffness Index,LSI):

(16)

(17)

其中:為并聯(lián)機(jī)器人的剛度矩陣。為全局剛度指標(biāo)(Global Stiffness Index,GSI)；由LSI在可達(dá)工作空間內(nèi)的均值表示。優(yōu)化時應(yīng)滿足：→min。

質(zhì)量矩陣為

=()

(18)

設(shè)定局部動力學(xué)靈巧度指標(biāo)(質(zhì)量矩陣條件數(shù))在可達(dá)工作空間內(nèi)的均值，為全局動力學(xué)靈巧度指標(biāo),→min。、表達(dá)式為

(19)

(20)

(3) 綜合動力學(xué)指標(biāo)。根據(jù)DOE的結(jié)果，、趨勢相近，則令動力學(xué)目標(biāo)函數(shù)為

=(+)→min

(21)

(4)控制性能指標(biāo)。在執(zhí)行門字形軌跡運動時，機(jī)器人驅(qū)動力矩和功率的最大值越小越好。令性能控制目標(biāo)函數(shù)為

=(+)→min

(22)

3.3 約束條件

3.3.1 結(jié)構(gòu)尺寸約束

Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間受到靜平臺和動平臺鉸接點分布圓半徑差、主動臂、從動桿直徑以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的約束。本文作者采用極坐標(biāo)搜索法對進(jìn)行取點，由圖3可知，為頂部帶有尖角的不規(guī)則幾何體。

圖3 Delta機(jī)器人可達(dá)工作空間

對旋轉(zhuǎn)副轉(zhuǎn)角進(jìn)行約束：

min ≤≤max =1,2,3

(23)

對球副轉(zhuǎn)角進(jìn)行約束：

min≤≤max=1,2,3

(24)

連桿的干涉約束：

≥

(25)

其中：為任意相鄰兩桿間最短距離。

在實際應(yīng)用中，所要求的設(shè)計工作空間一般是規(guī)則的(如長方體、圓柱體等)，文中以圓柱體為設(shè)計空間，要求設(shè)計空間包含于可達(dá)工作空間,即∈。

3.3.2 運動學(xué)約束

在可達(dá)工作空間內(nèi)，給定≤5且≥0.2的約束條件，以保證機(jī)構(gòu)的各向同性，提高末端動平臺的響應(yīng)速度，同時避免奇異位形。

3.3.3 動力學(xué)約束

3.4 優(yōu)化模型

該機(jī)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表述為

設(shè)計變量：,,,,

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件1：

約束條件2：

4 非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)

4.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

NSGA-II算法多用于解決多目標(biāo)問題，NSGA-II在NSGA的基礎(chǔ)上，增加了精英保留策略、計算擁擠距離值作為密度估計策略和快速非支配排序策略。該算法比NSGA效率更高，且不必選取參數(shù)。

4.2 算法流程

NSGA-II算法流程如圖4所示。

圖4 NSGA-II算法流程

5 優(yōu)化結(jié)果

5.1 具體應(yīng)用過程

NSGA-Ⅱ算法流程中參數(shù)設(shè)定：種群大小為24，運行代數(shù)為200代，交叉概率0.9，變異概率0.1。

步驟4中機(jī)器人各構(gòu)件均質(zhì)且為剛性,運動過程中不考慮摩擦因素影響，采用5次多項式構(gòu)造門運動軌跡函數(shù)如圖5所示。圖中，起點(-100,0,-380)、中間點(-100,0,-330)、中間點(100,0,-330)、終點(100,0,-380)。

圖5 末端動平臺的運動軌跡

5.2 運算結(jié)果

通過iSIGHT軟件迭代計算后得到Pareto前沿解，如圖6所示。如表2所示，選取其中各項目標(biāo)值較優(yōu)的8組解，其中第0組為初始值作為參考；第1組為軟件給出的最優(yōu)解。

表2 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

圖6 Pareto 最優(yōu)解

為驗證優(yōu)化策略的可行性，設(shè)計不同維度的目標(biāo)函數(shù),對比的優(yōu)化解集，對比方案中僅將拆分為2個單獨目標(biāo)=、=。結(jié)果表明：在使用同種算法、相同迭代次數(shù)下，方案1(3個目標(biāo)函數(shù))生成可行解624個、最優(yōu)解13個，方案2(4個目標(biāo)函數(shù))生成可行解62個、最優(yōu)解1個。

6 結(jié)論

本文作者通過DOE選定設(shè)計變量并建立目標(biāo)函數(shù)，利用控制關(guān)鍵變量控制整體優(yōu)化過程；通過整合趨勢相近的目標(biāo)，將目標(biāo)數(shù)降為3個，相對于更高維度的目標(biāo)數(shù)，文中的優(yōu)化策略收斂性好，可視化程度強(qiáng)，計算費用大大降低，驗證了優(yōu)化策略的合理性。Pareto前沿圖表明NSGA-Ⅱ算法在此次設(shè)計優(yōu)化過程中，在保證機(jī)構(gòu)滿足設(shè)計空間和特定軌跡的條件下，能保持良好的綜合性能，減小了整體尺寸，體現(xiàn)了優(yōu)化策略的有效性。給出了部分Pareto前沿解供設(shè)計人員參考，后續(xù)還可加入模態(tài)分析、誤差分析等使優(yōu)化策略更加完善。