季佳雯 李昌成

(1.江蘇省海門中學(xué) 226199；2.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

比較大小的高考題比比皆是，通?？疾橹笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)的大小.一般可以通過函數(shù)性質(zhì)、特殊點(diǎn)、特殊值牽線搭橋，并適度放縮就可以判定大小.但是近兩年高考、?？贾斜容^大小的試題風(fēng)格發(fā)生了翻天覆地的變化，難度陡然上升，甚至作為壓軸題出現(xiàn)，很多考生見到考題茫然失措.2022年全國新高考Ⅰ卷第7題就是一個(gè)典型例子，下面研究它的解法.

1 題目再現(xiàn)

A.a

C.c

2 分析題目

從a=0.1e0.1，c=-ln0.9看，本題應(yīng)該是考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小.但從三個(gè)數(shù)的形式看，很難發(fā)現(xiàn)它們之間的深層次的具體關(guān)系,所以我們應(yīng)打破常規(guī)，不能單一考慮某個(gè)知識(shí)、某個(gè)技巧，希望速戰(zhàn)速?zèng)Q，這已經(jīng)不現(xiàn)實(shí).只有綜合考慮高中數(shù)學(xué)的知識(shí)，在數(shù)據(jù)形式上做足文章，還可以聯(lián)系相關(guān)高數(shù)知識(shí)，多方聯(lián)合作戰(zhàn)也許能突破這個(gè)難題.

3 解法探究

策略1 以0.1為媒介，聯(lián)系三個(gè)數(shù)，作差構(gòu)造函數(shù).

=ln0.1+lne0.1-ln0.1+ln(1-0.1)

=0.1+ln(1-0.1)，

所以構(gòu)造函數(shù)p(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],

故p(x)在(0,0.1] 上單調(diào)遞減.

可得p(0.1)

即lna-lnb<0.所以a

因?yàn)閍-c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1-0.1)，

所以構(gòu)造函數(shù)m(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1].

令n(x)=(1-x2)ex-1，

所以n′(x)=(1-x2-2x)ex>0.

所以n(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增.

即m′(x)>0.

所以m(x)在(0,0.1] 上單調(diào)遞增.

可得n(x)>n(0)>0.

可得m(0.1)>m(0)=0.

即a-c>0.所以a>c.

故c

評(píng)注本解法充分利用了0.1，將其上升為自變量，構(gòu)造出高中生利用導(dǎo)數(shù)能夠處理的函數(shù).通過兩次作差比較，判定出三者的大小.這是高考中最常見的處理的辦法.

解析2 首先研究正數(shù)a,b.

所以令h(x)=(1-x)ex.則h′(x)=-xex.

那么h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減.所以h(x)≤h(0)=1.

所以a

其次研究b,c.

所以構(gòu)造函數(shù)m(x)=ln(1+x)-x(x>0)，

于是m(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

所以m(x)

因此b>c.

最后研究a,c.以下同解法1.

評(píng)注本解法三次構(gòu)造函數(shù)，過程稍長，但是函數(shù)思維符合學(xué)生的認(rèn)知，在解題過程中真實(shí)存在.對(duì)于自變量的認(rèn)定，靈活多變，這也是函數(shù)的一個(gè)特征.對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)大有裨益.

策略3 利用教材結(jié)論，輔以切線放縮和對(duì)數(shù)均值關(guān)系.

引理1ex>1+x(x≠0).

引理2 lnx≤x-1(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.

于是f(x)≤f(1)=0.

所以lnx≤x-1(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

故f(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以f(t)

解析3由引理1，得

a=0.1e0.1>0.1(0.1+1)=0.11.

綜上c

評(píng)注本解法利用了教材習(xí)題結(jié)論以及教材外的二級(jí)結(jié)論.我們?cè)诮虒W(xué)中要高度重視教材上的習(xí)題，這是我們學(xué)習(xí)的基本要求，也是知識(shí)衍生的基礎(chǔ).

策略4 高數(shù)助力，用泰勒展開式估算.

對(duì)于一些參加過奧賽培訓(xùn)的學(xué)生而言，他們知道泰勒展開式可以近似計(jì)算一些常見函數(shù)值：

……

所以a=0.1e0.1≈0.1×1.105=0.1105.

所以c

評(píng)注本解法可以感覺到高等數(shù)學(xué)視角下的高考題顯得那么自然，那么“渺小”.高考要為高校選拔優(yōu)秀人才，所以有一定的高數(shù)基礎(chǔ)在考試中受益也是符合人才選拔要求的，也是有利于學(xué)生在大學(xué)的深造和發(fā)展.

4 解后反思

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是有限的，但是由有限的知識(shí)點(diǎn)發(fā)掘出的創(chuàng)新命題點(diǎn)是無限的.只有養(yǎng)成自覺思考、深入研究、善于總結(jié)的習(xí)慣，才能把握問題的本質(zhì)，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能在高考中展示自己的能力.這類考題有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是通過觀察、運(yùn)算、拆分找到數(shù)據(jù)的鏈接點(diǎn)(某個(gè)常數(shù))；二是合理構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)并不唯一，能解決問題的都是科學(xué)的；三是積累一些結(jié)論，包括高中教材二級(jí)結(jié)論、簡單高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等；四是需要堅(jiān)強(qiáng)的自信心，遇事沉著冷靜，培養(yǎng)適應(yīng)新環(huán)境，處理新問題的能力.