張志剛
(山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) 271400)
題目(2022年1月廣東省華附、省實、廣雅、深中高三四校聯(lián)考第7題)在足球比賽中,球員在對方球門前的不同位置起腳對球門的威脅是不同的,出球點對球門的張角越大, 射門的命中率就越高.如圖1為室內(nèi)5人制足球場示意圖,設(shè)球場(矩形)長BC大約為40米,寬AB大約為20米,球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點M處射門(假設(shè)球貼地直線運行),為使∠PMQ最大,則BM大約是( ).(精確到1米)
圖1
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
本題通過設(shè)置鮮活的生活情境,考查一類最大張角問題,重點考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),內(nèi)蘊豐富,具有較高的挖掘價值.
通過對典型習(xí)題的深度挖掘,有利于我們發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)涵和本質(zhì),“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源,概括歸納深藏其中的思維主線,以此為中心推而廣之,可以收到以一敵百的良好成效.本題源于歷史上經(jīng)典的米勒問題.1471年,德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒(Johannes,miller)向諾德爾(Chri-stian,roder)教授提出了如下有趣的問題:在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(即可視角最大)?上述最大視角問題因米勒首先提出,故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實際問題,例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點等,成為世界數(shù)學(xué)史上100個著名極值問題的第一個極值問題.歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間.作為實際問題,我們首先抽象出數(shù)學(xué)模型.如圖2所示,相對于懸桿而言,地球的體積是相當(dāng)大的,我們可視地球表面為平面,為了簡化模型,同時忽略觀察者身高的影響,即觀察者的身高視為0,且懸桿在地面上的投影也為0,因為懸桿垂直于地面,所以到點O距離相同的點所得可視角相同.
圖2 圖3 圖4
將上述問題一般化:如圖3,設(shè)M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點,試在邊OB上找一點P,使∠MPN最大.
對于上述問題,我們有如下定理:
米勒定理設(shè)M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點,點P是射線OB上異于點O的一動點,則當(dāng)且僅當(dāng)△MNP的外接圓與射線OB相切于點P時,∠MPN最大.
證明如圖4,在射線上任取異于點P的一點P′,連接MP′,NP′,NP′與圓相交于點C.易知∠MCN>∠NP′M.又因為∠MCN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N,得證.
普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書《數(shù)學(xué)必修5》(人民教育出版社2007年1月第3版,A版)第101頁習(xí)題3.4B組第2題:如圖5,樹頂A離地面am,樹上另一點B離地面bm,在離地面cm的C處看此樹,離此樹多遠(yuǎn)時視角最大?
圖5 圖6
思路1 幾何視角,由圓的幾何性質(zhì)探求張角最大值.
解法1如圖6所示,易知無論點M是前行還是后退到點M′,過點P,Q,M′的圓必與直線BC相交,此時∠PM′Q必小于圓內(nèi)的角∠PMQ.
思路2代數(shù)視角,由探求張角的三角函數(shù)值的最值求張角最大值.
解法2 如圖6所示,PB=8,QB=12,設(shè)BM=x(0≤x≤40).
所以tan∠PMQ=tan(∠QMB-∠PMB)
本題還可討論∠PMQ的正弦或余弦的最值進(jìn)行求解,不再贅述.
以米勒問題為背景的最大張角問題在歷年高考中屢見不鮮,經(jīng)久不衰,現(xiàn)枚舉幾例.
例1(1986年高考全國卷理科第5題)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸正半軸(坐標(biāo)原點除外)上給定兩定點A,B,試在x軸正半軸(坐標(biāo)原點除外)上求一點C,使∠ACB取得最大值.
圖7 圖8 圖9
例2(2005年高考浙江卷理科第17題)如圖8,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點F1,F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l1:x=m(|m|>1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(biāo)(用m表示).
例3(2010年高考江蘇卷第17題)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m),如圖9所示,垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)該小組已經(jīng)測得一組α,β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,請據(jù)此算出H的值;
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為125 m,問d為多少時,α-β最大.
限于篇幅,以下僅給出例3(2)的解答:
解法1 由題設(shè)知d=AB,得
解法2由題設(shè)知α-β=∠DEB.
特別值得關(guān)注的是,近年來,米勒問題在競賽數(shù)學(xué)中也頻頻亮相,需要引起足夠的重視.
例4(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,給定點M(-1,2),N(1,4),點P在x軸上移動,當(dāng)∠MPN取最大值時,點P的橫坐標(biāo)為____.
解析設(shè)直線MN與x軸交于點Q,易得Q(-3,0),圓H過點M,N且與x軸相切于點P,則點P即為所求.
由切割線定理,得
所以|PQ|=4.
易得P(1,0)或P′(-7,0).
而∠MPN>∠MP′N,故點P的橫坐標(biāo)為1.
則∠APF1=∠AF2P,|AP|2=|AF1|·|AF2|.
又由△APF1∽△APF2,可得
解析由已知得A(a,0),F(xiàn)1(-1,0),F2(1,0).
首先考慮點P在x軸上方的情形.
設(shè)P(a,t)(t>0),則
解得a2=2,即t=1.
評注例6中,點P在x軸上方時,其位置可由米勒定理直接確定:經(jīng)過點F1,F2且與直線l相切的圓的切點,由切割線定理,可知 |AP|2=|AF1|·|AF2|.
通過以上分析可以看出,以米勒問題為背景命制的試題在高考、競賽和模擬試題中頻頻亮相,常常以解析幾何、平面幾何和實際應(yīng)用為載體進(jìn)行考查.若能突破思維瓶頸,從題設(shè)中挖掘出隱含其中的米勒問題模型,并能直接運用米勒定理解題,無疑會降低思維難度、大幅減少運算量,加快解題進(jìn)程,促使問題順利解決.