肖 涵，李苑青

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)〔深圳〕 實(shí)驗(yàn)與創(chuàng)新實(shí)踐教育中心，廣東 深圳 518055）

一、課程實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)介

“數(shù)字信號(hào)處理”課程是通信工程、電子科學(xué)、信息工程等專業(yè)的核心課程，具有知識(shí)點(diǎn)多、理論性強(qiáng)、應(yīng)用性強(qiáng)特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在工程實(shí)踐及科學(xué)研究中。數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是“數(shù)字信號(hào)處理”課程的一個(gè)重要內(nèi)容，是圖像處理、模式識(shí)別等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，國(guó)內(nèi)外高校一般會(huì)在理論教學(xué)的同時(shí)，配置相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)字濾波器的理解與學(xué)以致用的能力。

數(shù)字濾波器的性能與濾波器的零極點(diǎn)分布密切相關(guān)，濾波器頻響特性曲線的形態(tài)是所有極點(diǎn)和零點(diǎn)共同作用的結(jié)果。系統(tǒng)的極點(diǎn)分布多用于判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)。系統(tǒng)的零點(diǎn)分布影響濾波器的相頻特性，例如，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)則為“最小相位系統(tǒng)”。在實(shí)際應(yīng)用中，零極點(diǎn)分布圖除可以用于判斷系統(tǒng)因果性與穩(wěn)定性外，與系統(tǒng)的其他性能（濾波器類型、通頻帶位置等）之間同樣聯(lián)系緊密。對(duì)于零極點(diǎn)的計(jì)算，若系統(tǒng)函數(shù)的分母、分子多項(xiàng)式階數(shù)較高，手工計(jì)算極點(diǎn)與零點(diǎn)比較麻煩，可采用MATLAB中的求根函數(shù)roots來(lái)計(jì)算。在“數(shù)字信號(hào)處理”的實(shí)驗(yàn)部分，對(duì)于已知系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)字濾波器，分析零極點(diǎn)分布主要用到MATLAB中的zplane函數(shù)。我校針對(duì)信號(hào)處理類實(shí)驗(yàn)，配備了虛擬儀器平臺(tái)，通過(guò)在平臺(tái)上直接輸入數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)，可以直接得到零極點(diǎn)分布圖。本文圍繞零極點(diǎn)分布與濾波器類型、通頻帶特性，結(jié)合虛擬儀器平臺(tái)與軟件仿真，探討零極點(diǎn)特性在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。

二、極點(diǎn)與零點(diǎn)在濾波器實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用

根據(jù)濾波器結(jié)構(gòu)是否存在反饋，數(shù)字濾波器可以分為FIR濾波器和IIR濾波器。FIR濾波器為非遞歸型濾波器，具有嚴(yán)格的線性相頻特性且由于其單位脈沖響應(yīng)為有限長(zhǎng)度的，F(xiàn)IR濾波器為穩(wěn)定的系統(tǒng)。IIR濾波器結(jié)構(gòu)中存在反饋回路，其對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)是無(wú)限延續(xù)的，IIR濾波器可能是不穩(wěn)定的。

（一）濾波器零點(diǎn)分布與阻帶中心頻率

N階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

FIR濾波器的極點(diǎn)在圓心處，在MATLAB仿真中利用zplane（B,1）來(lái)繪制FIR濾波器的零點(diǎn)分布，其中B為表示b的數(shù)值序列。圖1為軟件計(jì)算及虛擬儀器平臺(tái)得到的3階FIR濾波器零點(diǎn)分布，右圖中顯示了零點(diǎn)的極坐標(biāo)及零點(diǎn)-圓心連線長(zhǎng)度、與實(shí)軸正向夾角。

為了得到FIR濾波器的頻率響應(yīng)特性，一種方式是在MATLAB中直接計(jì)算，另一種方式是在虛擬儀器平臺(tái)上搭建濾波器，將離散時(shí)間信號(hào)輸入至濾波器來(lái)得到濾波器的頻率特性。圖2是學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器，通過(guò)掃頻法或逐點(diǎn)法得到濾波器的幅頻響應(yīng)。函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生模擬信號(hào)輸入至采樣保持器，采樣時(shí)鐘由數(shù)字輸出模塊提供，在一個(gè)采樣脈沖時(shí)刻對(duì)模擬信號(hào)采樣，信號(hào)幅度在下一個(gè)采樣脈沖前處于穩(wěn)定狀態(tài)，采樣保持器輸出的離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)入濾波器。通過(guò)掃頻或逐點(diǎn)測(cè)量，可以得到圖1系數(shù)下濾波器的阻帶中心頻率。

圖1 軟件（左）與虛擬儀器平臺(tái)（右）計(jì)算零點(diǎn)分布（b0=1，b1=-1.3，b2=0.902）

圖2 虛擬儀器平臺(tái)搭建的3階FIR濾波器

（二）濾波器零點(diǎn)分布與濾波器類型

N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其中在c和d分別為濾波器的零點(diǎn)與極點(diǎn)。采用幾何方法研究IIR濾波器零點(diǎn)與極點(diǎn)分布對(duì)頻率特性的影響，系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、且極點(diǎn)越靠近單位圓，幅度特性的峰值越高越尖銳；系統(tǒng)函數(shù)在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值，且零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零。因此，可以根據(jù)z平面上零點(diǎn)與極點(diǎn)的位置，對(duì)給定頻率范圍內(nèi)濾波器的類型進(jìn)行快速判斷。

在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的預(yù)習(xí)部分，學(xué)生通過(guò)IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項(xiàng)式系數(shù)初步判斷濾波器的類型，圖3是實(shí)驗(yàn)中虛擬儀器平臺(tái)計(jì)算的三種3階濾波器的零極點(diǎn)分布圖（綠色x為極點(diǎn)，紅色○為零點(diǎn)）。三種濾波器的2階極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)，即濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定。其中（1）所示對(duì)應(yīng)的濾波器的2階零點(diǎn)位于z平面實(shí)軸-1位置處，由此判斷（0，2）范圍內(nèi)濾波器類型為低通；（2）中濾波器的2階零點(diǎn)位于z平面實(shí)軸1位置處，因此可以判斷（0，2）范圍內(nèi)濾波器類型為高通；（3）中濾波器有兩個(gè)1階零點(diǎn)，分別位于z平面實(shí)軸-1位置與1位置處，由此判斷濾波器在（0，2）范圍內(nèi)為高通濾波器。此外，若給出對(duì)模擬信號(hào)采樣的頻率，可估計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)。

圖3 三種濾波器z平面的零極點(diǎn)圖

（三）濾波器極點(diǎn)位置與峰值頻率

圖4 虛擬儀器平臺(tái)搭建的3階IIR濾波器

三、采樣頻率與濾波器的特性

在實(shí)踐應(yīng)用中，對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理的過(guò)程可能會(huì)涉及采樣頻率的改變，采樣頻率改變后濾波器的通阻帶位置將發(fā)生偏移。為了在改變采樣頻率后保持?jǐn)?shù)字濾波器的通頻帶位置不變，一種方式是重新設(shè)計(jì)濾波器，而另一種方式則是通過(guò)改變極點(diǎn)位置得到新的濾波器參數(shù)。數(shù)字濾波器的中心頻率和阻帶截止頻率可通過(guò)軟件仿真計(jì)算準(zhǔn)確得到，而基于虛擬儀器平臺(tái)搭建數(shù)字濾波器則有助于學(xué)生理解濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的實(shí)際問(wèn)題。虛擬儀器平臺(tái)搭建的數(shù)字濾波器，模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣保持器離散化后輸入濾波器。若加倍采樣頻率，濾波器的中心頻率將改變，理論上將極點(diǎn)相位調(diào)整為原相位的一半，可保持濾波器的中心頻率不變。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，利用虛擬儀器平臺(tái)可求出零極點(diǎn)位置，但濾波器的中心頻率可能需要微調(diào)才能達(dá)到設(shè)計(jì)參數(shù)指標(biāo)。

需引起學(xué)生注意的是，如果只改變極點(diǎn)位置而系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)不變，由于采樣信號(hào)的頻譜與采樣頻率成正比關(guān)系，采樣頻率提高后濾波器幅頻響應(yīng)的峰值幅度將增大，考慮到虛擬儀器平臺(tái)硬件條件的限制，在實(shí)驗(yàn)中信號(hào)可能由于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)飽和而造成濾波器輸出信號(hào)信噪比降低，因此，在采樣頻率發(fā)生變化后除需關(guān)注輸出端的幅頻響應(yīng)，還需關(guān)注濾波器的中間節(jié)點(diǎn)。綜上，在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)極點(diǎn)與單位圓的距離要適當(dāng)，如果距離單位圓過(guò)近，濾波器系統(tǒng)具有非常高的增益，容易導(dǎo)致濾波器節(jié)點(diǎn)的信號(hào)發(fā)生飽和；而零點(diǎn)位于單位圓上，可使濾波器的幅頻響應(yīng)在阻帶具有最大的衰減。

結(jié)語(yǔ)

本文從零極點(diǎn)特性出發(fā)，在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中利用虛擬儀器平臺(tái)及仿真軟件繪制了零極點(diǎn)在z平面上的分布，分析了零極點(diǎn)分布對(duì)濾波器類型、通頻帶特性的影響，并探索了模擬信號(hào)離散化過(guò)程中采樣頻率對(duì)濾波器通頻帶位置及增益的影響。教學(xué)實(shí)踐表明，通過(guò)本文所述實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有助于學(xué)生對(duì)零極點(diǎn)特性與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)形成直觀的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與應(yīng)用。