◎郎偉偉 楊繼真(指導(dǎo)老師) 李彩云

(河南省洛陽市洛陽師范學(xué)院，河南 洛陽 471000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”數(shù)學(xué)課程在數(shù)學(xué)課堂上的實施不僅包含學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)果，還包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和教學(xué)過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法因此，數(shù)學(xué)教師“如何教、教什么、怎樣教”，學(xué)生“如何學(xué)、學(xué)什么、怎樣學(xué)”，以及學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中又收獲到了什么，就成了評價一節(jié)數(shù)學(xué)課的質(zhì)量的關(guān)鍵而授課過程中是否揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生又意會到了怎樣的數(shù)學(xué)思想，成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的一個重要研究方向因此，數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透是每一位教師都應(yīng)該關(guān)注的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”著名數(shù)學(xué)家華羅庚的這首小詩，精練地向我們展示了數(shù)與形之間的密切關(guān)系數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想常用的兩種形式，它們之間相輔相成，搭建起一架通向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橋梁，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展

一、多角度分析教材，把握數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要點

該案例選自人教版九年級數(shù)學(xué)的第二十一章第二節(jié)第二課時新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”板塊中明確指出：“理解配方法，能用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”因此，如何使學(xué)生更好地理解配方法成為教師教學(xué)設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)教材是保證課堂教學(xué)有效實施的具體材料，數(shù)學(xué)教材包括顯性結(jié)構(gòu)和隱性結(jié)構(gòu)，顯性結(jié)構(gòu)即學(xué)生在教材上可以直接讀到的公式、圖形、定理等明確需要解決的數(shù)學(xué)知識；隱性結(jié)構(gòu)即隱藏在教材背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神等具有豐富內(nèi)涵的數(shù)學(xué)價值因此，如何準(zhǔn)確分析數(shù)學(xué)教材的顯性結(jié)構(gòu)，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容的隱性結(jié)構(gòu)，是每一位數(shù)學(xué)教師必須做到的為了使學(xué)生更好地理解配方法，在對蘇教版中的“數(shù)學(xué)實驗室”欄目教學(xué)有了一定的認(rèn)識之后，教師可以利用圖形與代數(shù)來描述和分析一元二次方程的配方問題本著這樣的思路，對一元二次方程的配方法的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了以下探究

二、初探——著眼于“代數(shù)運(yùn)算”

在新課標(biāo)的要求下，為更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，下面對 “解一元二次方程”的教學(xué)設(shè)計展開探究

片段一：

教師引導(dǎo)學(xué)生欲解方程+6+4=0，可以嘗試用降次的思想來求解該如何降次？請學(xué)生解答大屏幕上的習(xí)題問題如下：

根據(jù)完全平方公式的特征，完成填空

(1)+10+( )=(+ );

(2)+( )+36=[+( )];

(3)-4-5=(- )-9

師：對，在上述習(xí)題中，可以看出等號右邊都是依據(jù)完全平方公式由等號左邊變形得出的那么，你能想到什么呢？(微笑出示+6+4)

生1：可以先看+6，用完全平方公式變形

生2：(搶答)先加上一次項系數(shù)的一半的平方，再同時減去一次項系數(shù)的平方，也就是+6+4變?yōu)?6+9-9+4，根據(jù)完全平方公式得出(+3)-5這樣的話，方程轉(zhuǎn)化成(+3)-5=0了，就能解這個方程了

片段二：

師：很好，像這樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法在這里，配方的目的是什么呢？(數(shù)學(xué)抽象)

生1：把方程化成(+)=的形式

生2：這還是降次，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解

師：對，配方法的核心仍然是用降次的方法來解一元二次方程(學(xué)生出題，各小組進(jìn)行練習(xí))

師：我們再想一下，如果一元二次方程的二次項系數(shù)不是1，怎么解呢？比如方程2+2=5,可以小組討論(引導(dǎo)學(xué)生解答，并對解一元二次方程的解題步驟及方程根的情況做出總結(jié))

在“一元二次方程的解法——配方法”的教學(xué)設(shè)計的“初探”中，主要是使學(xué)生明確解一元二次方程的根本思路在于將“二次化為一次”的降次的思想

三、再探——著眼于“幾何”與“代數(shù)”的結(jié)合

教師在進(jìn)行第一輪的教學(xué)設(shè)計后，且知道在后續(xù)二次函數(shù)的教學(xué)中學(xué)生會通過二次函數(shù)的圖像更直觀地去理解一元二次方程的相關(guān)知識點，巧妙地將數(shù)與形結(jié)合在一起但在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，教師能否將一元二次方程的解法通過其他形式展示給學(xué)生呢？在蘇教版九年級數(shù)學(xué)上冊的教材中，“數(shù)學(xué)實驗室”的設(shè)置突出在“做數(shù)學(xué)”中“學(xué)數(shù)學(xué)”，通過“做數(shù)學(xué)”，旨在使學(xué)生感受數(shù)學(xué)新知的生成過程，在親身經(jīng)歷中去探索、質(zhì)疑、反思、感悟等，由此，激發(fā)出結(jié)合數(shù)學(xué)實驗室的內(nèi)容，以及重新設(shè)計教案的想法

眾所周知，實驗可以極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生直觀感知知識的生成過程下面，我們來看如何結(jié)合“數(shù)學(xué)實驗室”把一元二次方程的配方問題變得更直觀、形象以下為第二次增加的教學(xué)設(shè)計部分

片段一：

師：上節(jié)課，我們布置了一個思考題：怎樣解方程+6+4=0呢？帶著這個問題，我們一起走進(jìn)花園，先來做個小實驗，在這塊長為(+6)、寬為的花坪中，因?qū)嶋H需求，要使它變成一個正方形的花坪，該怎么辦呢？(小組討論，有的學(xué)生嘗試畫一畫，有的嘗試剪一剪)制圖過程如下：

圖1 配方法的制圖過程

師：在這個環(huán)節(jié)，你可以發(fā)現(xiàn)什么呢？

生：這個長為(+6)、寬為的長方形，不管是通過畫正方形，還是剪正方形，得出的大正方形都缺失了一塊邊長為3的小正方形

師：所以，這個長方形花坪的面積是？(緩慢、反問的語氣)

生1：不變的，可以是(+6)

生2：也可以是(+3)-3

生3：所以(+6)=(+3)-3

師：現(xiàn)在再來看方程+6+4=0，你有什么想法呢？(生沉思，接下來紛紛舉手發(fā)言)

生4：把方程左邊的+6替換為(+3)-3，得出(+3)-3+4=0，整理為(+3)=5

生5：將(+3)=5直接開方，進(jìn)行求解就行了

師：非常好，我們通過將矩形“割、拼、補(bǔ)”為正方形，非常輕松地解答了+6+4=0這個方程，也實現(xiàn)了將長方形花坪改拼為正方形花坪的需求，解決了實際問題再來觀察方程+6+4=0中的+6，你們還能想到什么呢？

片段二：

師：可以看出，配方是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解(此時，班級里發(fā)出了“咦”的反問信號)

生1：花坪問題是把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這里運(yùn)用配方法也是把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程

生2：用求正方形面積的方法解方程和用完全平方公式進(jìn)行配方解方程有沒有什么聯(lián)系呢？

生3：應(yīng)該是一樣的吧

師：數(shù)學(xué)上可以說應(yīng)該或者差不多嗎？(生紛紛搖頭)請大家回憶一下我們將長方形轉(zhuǎn)化為正方形時，是如何操作的？

生1：先剪出一個邊長為的正方形，剩余的圖形為長為、寬為6的小矩形，再一分為二，拼得一個缺了一部分(邊長為3的小正方形)的大正方形，拼前、拼后的面積始終是不變的

生2：那就是(+6)=(+3)-3

生3：這不就是用完全平方公式配方的那一步嗎

師：非常好其實，花坪問題中由長方形到正方形的面積轉(zhuǎn)化過程就是運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方的過程(進(jìn)行對比)

拼圖過程配方過程 x(x+6)(x+3)2-32x(x+6)=(x+3)2-32 x(x+6)=x2+6x+32-32=(x+3)2-9注:32為一次項系數(shù)一半的平方

師：請同學(xué)們嘗試一下如何用拼圖的方法來描述一下方程+2-24=0的配方過程這時，缺少的小正方形的面積是多少呢？(小組邊通過畫圖、剪圖的方法操作，邊進(jìn)行思考、討論)

生：得到一個邊長為(+1)的正方形，這個正方形缺了一個邊長為1的小正方形所以，缺少的小正方形的面積是1(操作過程較之前更嫻熟了)

師：在拼圖的時候，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？

生：其實缺少的這個小正方體的面積就是一次項系數(shù)一半的平方

師：確定第一個正方形時，剪去矩形的一邊長為一次項系數(shù)，另一邊長等于第一個正方形的邊長，再將這個矩形一分為二，進(jìn)行拼組，空缺的小正方形的邊長等于一次項系數(shù)一半的平方(邊說邊展示)

教師通過設(shè)置如上環(huán)節(jié)，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程的趣味性，學(xué)生在直觀的動手操作、動腦思考中感受一元二次方程的配方過程，“數(shù)”與“形”的結(jié)合自然而不失生動有趣學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中，進(jìn)行直觀想象，潛移默化地培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力與數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生不斷地進(jìn)行思考，逐步地滲透數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

四、教學(xué)設(shè)計整體的對比分析

錢珮玲教授曾說過，數(shù)學(xué)思想方法是隱形的本質(zhì)的知識內(nèi)容因此，在教學(xué)中，教師必須深入鉆研教材，充分挖掘教材中的有關(guān)思想方法而直觀想象素養(yǎng)的核心表現(xiàn)就是數(shù)形結(jié)合思想的形為真正理解蘇教版 “數(shù)學(xué)實驗室”的設(shè)置目的與實際意義，并更好地在運(yùn)用配方法解一元二次方程中融入數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，下面對上述兩個教學(xué)設(shè)計的環(huán)節(jié)和教學(xué)設(shè)計理念進(jìn)行分析，縱向挖掘兩個教學(xué)設(shè)計之間的本質(zhì)區(qū)別，通過對圖形直觀操作與對應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算的強(qiáng)調(diào)，旨在通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)系能力和培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣，同時增進(jìn)他們對乘法公式的理解與記憶，進(jìn)而謀求在設(shè)計理念方面緊緊圍繞新課標(biāo)中“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育”，創(chuàng)設(shè)學(xué)生主動進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的情境，在“會說、會辯、會用”的前提下，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的提升，讓學(xué)生在快樂中學(xué)數(shù)學(xué)，在學(xué)數(shù)學(xué)中尋找快樂

(一)教學(xué)設(shè)計理念對比

第一次第二次教學(xué)目的以會用配方法解一元二次方程為目的關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)學(xué)生從多角度分析問題、思考問題的能力教學(xué)方式以講解、引導(dǎo)為主.舊知引入新知,進(jìn)而總結(jié)相關(guān)概念,使學(xué)生會解答常規(guī)的運(yùn)算問題,概念性較強(qiáng),內(nèi)容顯得枯燥,學(xué)生容易缺乏學(xué)習(xí)興趣以探究、引導(dǎo)為主.課前,以“數(shù)學(xué)實驗”創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中去“學(xué)數(shù)學(xué)”,在實際的動手操作中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,通過對一元二次方程的配方法進(jìn)行數(shù)與形之間的聯(lián)結(jié),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)教學(xué)活動無引入“花坪問題”,貼近學(xué)生的生活實際.通過畫一畫、剪一剪、拼一拼的形式,學(xué)生可以更好地理解、思考并探究解一元二次方程的配方法教學(xué)過程設(shè)計在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù),達(dá)成課程目標(biāo)的要求在創(chuàng)設(shè)的“花坪問題”情境中,通過對圖形的動手操作,不斷激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.在教學(xué)中,積極引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,進(jìn)而解決問題

(二)教學(xué)環(huán)節(jié)對比

第一次第二次設(shè)計意圖新課導(dǎo)入PPT出示:根據(jù)完全平方公式的特征,解答習(xí)題,引出課題由花坪問題引入課題.創(chuàng)設(shè)實際情境,使學(xué)生在動手操作中激發(fā)思考,引發(fā)認(rèn)知沖突調(diào)動學(xué)生的積極性,在“做”中“學(xué)”,激發(fā)學(xué)生的求知欲,旨在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)新課教學(xué)無通過對矩形進(jìn)行剪、畫,得出缺失一個小正方形的大正方形,從而直觀地進(jìn)行一元二次方程的解法探究讓學(xué)生動手進(jìn)行具體操作,利用圖形深入理解“數(shù)與代數(shù)”,感知新知的生成過程依據(jù)完全平方公式的特征將等號左邊變形進(jìn)而探究一元二次方程x2+6x+4=0的求解過程觀察方程中x2+6x,引發(fā)學(xué)生思考,根據(jù)完全平方公式的特征對方程進(jìn)行變形在舊知的基礎(chǔ)上,引發(fā)認(rèn)知沖突,建立新舊知識之間的聯(lián)系新課教學(xué)無引導(dǎo)學(xué)生對兩種解一元二次方程的方法進(jìn)行對比分析,挖掘解一元二次方程的核心就是配方通過直觀操作,建立起幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系,直觀意會到解一元二次方程的根本思路是“化二次為一次”的“降次”的思想,深入挖掘蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì),增加學(xué)生的學(xué)習(xí)印象

五、結(jié)束語

俗話說，授人以魚不如授人以漁知識的傳授也是如此在教學(xué)過程中，單單教給學(xué)生數(shù)學(xué)顯性層面的知識，只要求學(xué)生在一元二次方程的代數(shù)運(yùn)算方面有所提高，不符合新課標(biāo)的教學(xué)理念，于學(xué)生來說，也不利于他們的長足發(fā)展因此，在本節(jié)課第二輪的教學(xué)設(shè)計中的圖形操作的環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生通過“剪、畫、拼”的動手操作形式，直觀感受一元二次方程的配方過程中數(shù)學(xué)知識的生成過程，將“數(shù)”與“形”充分結(jié)合起來，不但極大地激發(fā)了學(xué)生主動探究的興趣，而且學(xué)生直觀操作的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于教師對數(shù)學(xué)知識直接講授的效果在這里，蘇教版中“數(shù)學(xué)實驗室”欄目的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中“學(xué)數(shù)學(xué)”，在“做”中“感悟”因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要緊緊圍繞新課標(biāo)的具體要求，要以學(xué)生的發(fā)展為本，在教學(xué)過程中，提倡學(xué)生主動進(jìn)行思考與探索，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，在“三會”的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，并注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)這是每一位教師成長生涯的“標(biāo)配”在此基礎(chǔ)上，教師仍需要不斷地進(jìn)行個人“充電”，跟緊時代的步伐，勇于創(chuàng)新，從而提升個人的專業(yè)能力