馮 謠， 武吉梅， 邵明月

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 陜西 西安 710048；3.浙江交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車學(xué)院， 浙江 杭州 311112)

柔性電子薄膜因其“薄”、“柔”的優(yōu)良特性而被廣泛應(yīng)用于各類電子產(chǎn)品中，伴隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，柔性電子薄膜的需求量逐年加大。在柔性電子薄膜的印刷過程中，烘干機(jī)會(huì)對(duì)其進(jìn)行加熱烘干，而溫度變化會(huì)影響柔性電子薄膜的振動(dòng)特性，造成高速運(yùn)動(dòng)的柔性電子薄膜劇烈抖動(dòng)，影響柔性電子薄膜的套印質(zhì)量。因此，研究熱彈耦合作用下運(yùn)動(dòng)柔性電子薄膜的振動(dòng)特性，得到不同參數(shù)下受溫度影響的柔性電子薄膜的振動(dòng)規(guī)律，對(duì)柔性電子薄膜印刷機(jī)的設(shè)計(jì)、制造以及穩(wěn)定性分析具有重要意義。

目前，很多學(xué)者研究了熱彈耦合作用下運(yùn)動(dòng)梁、板、扇形板的振動(dòng)特性，但對(duì)熱彈耦合作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)穩(wěn)定性研究較少。Lin等[1]采用非線性板方程，描述了橫向荷載作用下具有小彎曲剛度的寬幅軸向移動(dòng)腹板的運(yùn)動(dòng)，該模型可以模擬紙或塑料板。Jiang等[2]使用解析解方法，研究了軸向熱應(yīng)力作用下非局部Euler梁的自由振動(dòng)。Saksa等[3]采用線性Kirchhoff板理論，用復(fù)變函數(shù)法分析了正交各向異性薄板的軸向運(yùn)動(dòng)。Saini等[4]在經(jīng)典Kirchhoff板理論基礎(chǔ)上，利用Hamilton原理得到了熱彈性平衡和振動(dòng)控制方程以及前三階模態(tài)的熱位移和頻率。Xin等[5]建立了一個(gè)考慮兩種典型梯度熱環(huán)境的簡(jiǎn)支板，采用模態(tài)分解法求解熱聲響應(yīng)控制方程。Yang等[6]利用Hamilton原理建立了隨從力作用下扇形板熱彈耦合微分方程，使用微分求積法得到了扇形板前三階的無量綱復(fù)頻率。Wu和 Shao等[7-8]基于Von Karman大撓度理論建立了運(yùn)動(dòng)薄膜非線性強(qiáng)迫振動(dòng)方程組，研究了薄膜無耦合工況的振動(dòng)。Dan等[9]開發(fā)了MATLAB非線性有限元程序，用于預(yù)測(cè)柔性電子薄膜運(yùn)行過程中的溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。Lee等[10]通過考慮輥對(duì)輥系統(tǒng)干燥過程中溫度波動(dòng)引起的熱應(yīng)變，擴(kuò)展了Shin提出的運(yùn)動(dòng)板張力數(shù)學(xué)模型，提出了一種新的基于擴(kuò)展模型的控制方案，以消除干燥過程中由于熱應(yīng)變引起的張力擾動(dòng)。Li等[11]研究了功能梯度夾層板在熱載荷作用下的彎曲響應(yīng)，得到了體積分?jǐn)?shù)、幾何參數(shù)和熱載荷對(duì)功能梯度夾層板的撓度的影響。文獻(xiàn)[12]利用微分求積法研究了梯度多孔圓板的熱振動(dòng)特性，得到了空隙分布模式、空隙率系數(shù)、溫升等因素對(duì)固有頻率的影響。Mirtalaie[13]使用微分求積法研究了功能梯度扇形薄板在熱環(huán)境中的自由振動(dòng)特性，得到了溫度場(chǎng)、體積分?jǐn)?shù)、半徑比和扇形角對(duì)功能梯度扇形薄板自由振動(dòng)的影響。Zhao等[14]研究了軸向運(yùn)動(dòng)微納梁的熱彈耦合強(qiáng)迫振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)軸向運(yùn)動(dòng)微納梁的固有頻率隨軸向速度、小尺度參數(shù)和高長(zhǎng)比的增大而減小。

綜上，上述文獻(xiàn)鮮見對(duì)熱載荷作用下運(yùn)動(dòng)矩形薄膜橫向振動(dòng)特性的研究。因此，本文將建立考慮溫度作用的運(yùn)動(dòng)薄膜橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，使用微分求積法對(duì)該動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行離散化處理，并分析熱彈耦合作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)特性。

1 振動(dòng)模型的建立

圖1為對(duì)邊張力作用下熱彈耦合振動(dòng)柔性電子薄膜的動(dòng)力學(xué)模型。圖中v為縱向移動(dòng)速度，a、b為印刷機(jī)構(gòu)導(dǎo)向輥之間柔性電子薄膜的長(zhǎng)度和寬度，柔性電子薄膜高為h，密度為ρ，彈性模量為Ε，泊松比為μ，柔性電子薄膜線膨脹系數(shù)為αT，設(shè)橫向振動(dòng)位移為w(x,y,t)，Tx與Ty為單位長(zhǎng)度張力，T0為柔性電子薄膜的初始溫度，假設(shè)柔性電子薄膜溫度變化為T=T(x,y,z,t)。

根據(jù)Hamilton原理，熱彈耦合薄板的振動(dòng)方程為：

(1)

如圖2所示，取柔性電子薄膜的一個(gè)微元體dxdy進(jìn)行分析，柔性電子薄膜變形后的等效合力為：

(2)

(3)

根據(jù)D’Alembert原理，含有對(duì)邊張力作用的柔性電子薄膜的熱彈耦合振動(dòng)方程為：

(4)

(5)

式(4)中變量MT含有溫度T，式(5)中含有撓度w，得到方程組：

(6)

(7)

將下列量無量綱化：

并代入式(6)、(7)得到其無量綱化的形式：

(8)

(9)

其中，

設(shè)式(8)、(9)的解為：

(10)

將式(10)代入式(8)、(9)，得到無量綱化的運(yùn)動(dòng)柔性電子薄膜的振動(dòng)微分方程：

(11)

(12)

對(duì)式(12)進(jìn)行求解，得：

(13)

其中，c1，c2為待定系數(shù)。將式(13)代入式(11)，化簡(jiǎn)得：

(14)

柔性電子薄膜在運(yùn)動(dòng)的過程中，四周有滾軸和毛刷的支撐，因此其邊界條件可簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支：

(15)

2 方程求解

使用微分求積法對(duì)式(14)進(jìn)行離散，得到復(fù)特征值方程：

(16)

運(yùn)動(dòng)薄膜的邊界條件為：

(17)

將式(16)、(17)合并成矩陣形式，得到運(yùn)動(dòng)柔性薄膜熱彈耦合振動(dòng)的特征方程：

|ω2R+ωG+K|=0

(18)

式中：R為單位矩陣；G、K為包含長(zhǎng)寬比的熱彈耦合系數(shù)的矩陣。

3 數(shù)值分析

以陜西北人FR400ELS精密涂布機(jī)為例，分析不同熱彈耦合系數(shù)?、張力比k對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)特性的影響。凹版印刷機(jī)的基本參數(shù)如表1所示。

表1 陜西北人FR400ELS凹版印刷機(jī)的基本參數(shù)

為驗(yàn)證微分求積法應(yīng)用于本例的有效性，令?=0，此時(shí)式(14)退化為無熱風(fēng)作用的薄膜橫向振動(dòng)方程，設(shè)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=11，分別求出長(zhǎng)寬比r0=1.0、r0=2.0時(shí)的運(yùn)動(dòng)薄膜的復(fù)模態(tài)，并將此復(fù)模態(tài)與文獻(xiàn)[15]進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

表2 本文解與文獻(xiàn)[15]解析解的對(duì)比(?=0,k=0.2,c=0.164)

由表2可知，微分求積法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[15]解析解得到的結(jié)果有很好的一致性，說明可以使用此方法研究運(yùn)動(dòng)薄膜的熱彈耦合振動(dòng)特性。

3.1 熱彈耦合系數(shù)對(duì)柔性電子薄膜振動(dòng)的影響

圖3給出了r0=1.0，k=1.0，?=0.1時(shí)，柔性電子薄膜運(yùn)動(dòng)的復(fù)模態(tài)隨無量綱速度c的關(guān)系曲線。當(dāng)c<2.505時(shí)，前三階復(fù)模態(tài)的實(shí)部為實(shí)數(shù)，虛部為0；當(dāng)2.505≤c≤2.705時(shí)，第一階模態(tài)的實(shí)部為0，虛部向兩邊發(fā)散，說明運(yùn)動(dòng)柔性電子薄膜此時(shí)發(fā)散失穩(wěn)，這時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)c=2.904時(shí)，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)發(fā)生耦合，此時(shí)柔性電子薄膜運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生耦合顫振。

圖4給出了r0=1.0，k=1.0，?=0.3時(shí)，柔性電子薄膜運(yùn)動(dòng)的復(fù)模態(tài)隨無量綱速度c的關(guān)系曲線。與圖3相比，當(dāng)c<3.802時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階復(fù)模態(tài)的實(shí)部增大，說明隨著熱彈耦合系數(shù)的增加，運(yùn)動(dòng)薄膜處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的區(qū)間增大；當(dāng)3.802≤c≤4.401時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)4.401≤c時(shí)，系統(tǒng)重新恢復(fù)穩(wěn)定；當(dāng)c=4.706時(shí)，前兩階模態(tài)發(fā)生耦合，此時(shí)運(yùn)動(dòng)柔性電子薄膜發(fā)生耦合顫振。比較圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著熱彈耦合系數(shù)的增加，運(yùn)動(dòng)薄膜的前三階復(fù)頻率增大，且第一階復(fù)頻率的臨界速度同時(shí)增加。

3.2 張力比對(duì)柔性電子薄膜振動(dòng)的影響

圖5和圖6給出了r0=1.0，?=0.3，k分別取0.5和1.0時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階復(fù)模態(tài)與無量綱速度c之間的關(guān)系曲線。由圖5可以看出，當(dāng)c<3.702時(shí)，第一階模態(tài)的實(shí)部為實(shí)數(shù)，運(yùn)動(dòng)薄膜處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)；當(dāng)3.702≤c≤4.401時(shí)，第一階模態(tài)的實(shí)部為0，虛部向兩邊發(fā)散；當(dāng)c=4.700時(shí)，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)耦合。

圖6給出了張力比k增加到1.0時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜前三階復(fù)模態(tài)與無量綱速度c之間的關(guān)系曲線。當(dāng)張力比k增加時(shí)，第一階模態(tài)的實(shí)部處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的區(qū)間增大。當(dāng)3.802≤c≤4.401時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)c=4.700時(shí)，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)耦合?？梢?，張力比的增加會(huì)使薄膜穩(wěn)定工作的區(qū)間增加。

4 結(jié) 論

本文研究了運(yùn)動(dòng)柔性電子薄膜熱彈耦合振動(dòng)下的振動(dòng)特性?；贒’Alembert原理構(gòu)造了熱風(fēng)作用下的運(yùn)動(dòng)薄膜振動(dòng)方程，使用微分求積法進(jìn)行求解，并分析了運(yùn)動(dòng)薄膜前三階復(fù)模態(tài)與各參數(shù)之間的關(guān)系曲線。

1) 當(dāng)熱彈耦合系數(shù)?=0時(shí)，動(dòng)力學(xué)模型退化為不含熱風(fēng)作用的振動(dòng)方程，將本文解的前三階復(fù)頻率與文獻(xiàn)解析解的前三階復(fù)頻率進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了微分求積法的有效性。

2) 運(yùn)動(dòng)薄膜在烘干機(jī)的熱風(fēng)作用下會(huì)產(chǎn)生耦合振動(dòng)，當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，增大熱彈耦合系數(shù)，運(yùn)動(dòng)薄膜的前三階復(fù)頻率會(huì)增大，同時(shí)，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)將產(chǎn)生耦合共振，此時(shí)運(yùn)動(dòng)薄膜會(huì)發(fā)生褶皺、裂紋甚至斷裂，因此，需要控制精密涂布機(jī)的烘箱溫度，以避免耦合顫振的發(fā)生。

3) 當(dāng)其他參數(shù)不變，張力比k由0.5增大到1.0時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜第一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)時(shí)的臨界速度增大，表明適當(dāng)增加運(yùn)動(dòng)薄膜的張力比，能使運(yùn)動(dòng)薄膜穩(wěn)定工作的區(qū)間增大。