冀明飛，李 濤，廖佳文，楊 欣

（南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210016）

近年來，隨著計算機(jī)和通訊網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，無人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)編隊控制問題引起了學(xué)者的廣泛興趣，并取得了許多優(yōu)秀的成果[1-2]。UAV編隊控制方法主要分為領(lǐng)航-跟隨法、虛擬結(jié)構(gòu)法、基于行為法和基于一致性理論法四大類。領(lǐng)航-跟隨法由于其穩(wěn)定性好和靈活性強的優(yōu)點被廣泛采用，并取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)[3]利用領(lǐng)航-跟隨法，研究了具有開關(guān)拓?fù)涞亩嘀悄荏w的可控性問題。

UAV飛行環(huán)境極其復(fù)雜，因此外部干擾的影響是不可忽視的。針對控制系統(tǒng)中存在的干擾，學(xué)者們開展了大量的研究[4-5]。文獻(xiàn)[6]研究了外部擾動下編隊系統(tǒng)軌跡跟蹤控制問題，采用滑?？刂破骷夹g(shù)保證了系統(tǒng)的魯棒性。同時，編隊內(nèi)各UAV間的通信總會受到通信帶寬、電磁干擾、設(shè)備故障等因素的影響。因此，為了避免過量的數(shù)據(jù)傳輸造成網(wǎng)絡(luò)波動，研究人員提出切換事件觸發(fā)機(jī)制[7]和動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制[8等事件觸發(fā)機(jī)制[9]，并進(jìn)行了大量改進(jìn)。然而，大量的數(shù)據(jù)丟失可能會降低系統(tǒng)性能。為了取得數(shù)據(jù)傳輸量和控制性能之間的平衡，文獻(xiàn)[10]提出了包含更多已傳輸數(shù)據(jù)的記憶事件觸發(fā)機(jī)制。此外，通訊時延會造成網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制性能下降甚至失穩(wěn)。為此，學(xué)者開展了大量研究，文獻(xiàn)[11-12]通過構(gòu)造滑模面來補償通訊時延，并提出了滑?？刂圃O(shè)計方案。因此，需要將記憶事件觸發(fā)和滑?？刂平Y(jié)合以解決通訊網(wǎng)絡(luò)中存在的時延與干擾等影響。

本文考慮通訊時延和有界外部干擾，采用領(lǐng)航-跟隨法實現(xiàn)期望的UAVs編隊控制；通過引入控制輸入反饋，設(shè)計了一個包含動態(tài)閾值的自適應(yīng)記憶事件觸發(fā)機(jī)制；針對通訊時延和有界干擾設(shè)計了滑?？刂破?，達(dá)到了補償時延影響、對干擾保持較強魯棒性的目的。

1 問題描述

在研究編隊控制問題時，設(shè)n架固定翼UAV為相同類型，借鑒文獻(xiàn)[13]的模型，建立UAV的位置子系統(tǒng)、姿態(tài)子系統(tǒng)模型，如式（1）-（2）所示。

本文采用領(lǐng)航-跟隨法，將選用5架固定翼UAV組成編隊，并確定1架為領(lǐng)導(dǎo)者，采用分布式編隊控制策略，鄰居UAV之間可以保持相互通訊，而領(lǐng)導(dǎo)者可與每架UAV進(jìn)行通訊。為了描述簡單，將每一架UAV都視為編隊系統(tǒng)中一個節(jié)點，并設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者UAV編號為0，將4架跟隨者UAV依次編號為1、2、3、4。無人機(jī)編隊通信拓?fù)鋱D如圖1所示。

圖1 無人機(jī)編隊通信拓?fù)鋱D

有向圖G=(N,S)代表UAV之間的通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中N={v1,v2,…,vN}代表節(jié)點集，S={(vi,vj)∣vi,vj∈N}為邊集。根據(jù)圖論原理，定義C2=[cij]N×N為鄰接矩陣，其中cij代表節(jié)點vi和節(jié)點vj之間的通信權(quán)重，如果節(jié)點vi能接收到節(jié)點vj的信息，則cij＞0；否則cij=0。定義度矩陣D2=diag{c1,…,cN},其中拉普拉斯矩陣可以表示為L=D2-C2。進(jìn)一步，可以定義擴(kuò)展矩陣H=C1+L,其中C1=diag{c10,c20,…,cN0}。如果第i個跟隨者UAV可接收到領(lǐng)航者UAV的信息，則ci0=1；否則ci0=0。

假設(shè)1假設(shè)本文的有向圖G是連通的，即領(lǐng)導(dǎo)者UAV和跟隨者UAV之間至少有一條通道，則C1為單位矩陣。

引理1[14]如果有向圖G是連通的，則矩陣H是對稱且正定的。

引理2[14]假設(shè)矩陣R＞0，常數(shù)標(biāo)量r＞0，k＞0，u∈(0,1)，定義向量其 中如 果 存 在 矩 陣Yi∈Rn×n，則不等式成立。其中，ψ(t)=

引理3[15]根據(jù)引理1，存在一個能滿足條件UTU=I的酉矩陣U可以使給定等式UTHU=Λ=diag{λ1,…,λN}成立。其中，I是單位矩陣；λi是矩陣H的特征值，且滿足λN≥…≥λ3≥λ2＞λ1＞0。

2 控制器設(shè)計

在UAVs編隊存在外部干擾和通訊時延的情況下，針對位置子系統(tǒng)和姿態(tài)子系統(tǒng)分別設(shè)計了控制器，使整個無人機(jī)系統(tǒng)能實現(xiàn)編隊飛行。

2.1 位置子系統(tǒng)控制器設(shè)計

基于文獻(xiàn)[2]研究方法，利用質(zhì)點運動來簡化UAV在編隊中的運動軌跡，同時在輸入端考慮外部干擾的存在。定義和擴(kuò)展向量即第i個跟隨者UAV的運動模型可以描述為：

定義第i個跟隨者UAV的期望狀態(tài)為xdi(t)，且滿足(t)=Axdi(t)，則跟蹤誤差可以表示為(t)=xi(t)-xdi(t)，并通過應(yīng)用矩陣Kronecker積策略，進(jìn)一步可以獲得：

2.1.1 記憶事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計 為了降低UAVs跟隨者之間的通訊壓力，引入控制輸入反饋，設(shè)計一種新型記憶事件觸發(fā)機(jī)制。定義采樣周期為h，觸發(fā)時刻均為采樣周期的整數(shù)倍，因此假設(shè){ti0h,ti1h,…,tikh,tik+1h,…}是第i個跟隨者UAV的觸發(fā)時間序列，則設(shè)計事件觸發(fā)條件為：

式中，S為已傳輸數(shù)據(jù)的數(shù)量為狀態(tài)觸發(fā)誤差為控制輸入誤差為S個已傳輸狀態(tài)量的均值；Ω為正定矩陣；?i(t)為動態(tài)觸發(fā)閾值；標(biāo)量ε＞0；μs∈(0,1]為預(yù)設(shè)的參數(shù)，且滿足針對時變閾值?i(t)設(shè)計如下的調(diào)節(jié)條件：

式中，δs(s=1,…,S)為預(yù)設(shè)參數(shù)，其取值與觸發(fā)時刻在時間尺度的遠(yuǎn)近相關(guān)，且滿足和ρ為正值且滿足(δ+ρ)∈(0,1]；σs＞0(s=1,…,S)，?＞0為可調(diào)常數(shù)?？烧{(diào)參數(shù)取值可以確保時變觸發(fā)閾值?i(t)∈(0,δ+ρ]?(0,1]。

2.1.2 滑?？刂破髟O(shè)計 在時間區(qū)間t∈[mh,mh+h)中，可定義通訊時延為η(t)=t-mh，則η(t)∈[0,h)?；谑剑?）-（6）中記憶事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計，引入控制輸入反饋，定義滑模方程hi(t)為：

式中，C為給定的常數(shù)矩陣；K為控制器增益。需要特別指出的是，因為B為列滿秩矩陣，所以必定存在合適矩陣C使CB存在逆矩陣。

根據(jù)式（7）可知，當(dāng)觸發(fā)誤差和控制輸入誤差的和大于已傳輸狀態(tài)量的均值時，滿足觸發(fā)條件，此時的采樣值會通過通訊網(wǎng)絡(luò)傳輸，并更新存儲的已傳輸量，為下次判定做準(zhǔn)備?？刂戚斎敕答伒囊肟梢栽黾佑|發(fā)的靈敏度。

定義ωi1(t)=xi(tki h)-x(mh)為最近一次的觸發(fā)誤差，通過應(yīng)用Kronecker-product策略，式（7）可轉(zhuǎn)化為：

同時，設(shè)計滑?？刂破鳛椋?/p>

當(dāng)式（10）得到滿足時，即滑模面的可達(dá)性條件達(dá)成，系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面。另一方面，當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面時，h(t)=0，結(jié)合式（9）可得控制器的等效控制項為：

將式（11）代入式（4）可得整個閉環(huán)系統(tǒng)在滑模面上的閉環(huán)系統(tǒng)模型為：

由于系統(tǒng)已滿足滑模面可達(dá)性條件，為了保證穩(wěn)定性，只需要選取合適的控制器增益K和觸發(fā)參數(shù)Ω，使式（12）中閉環(huán)系統(tǒng)滑動模態(tài)穩(wěn)定。

定理1基于式（5）-（6）中記憶事件觸發(fā)機(jī)制，給定矩陣H和正值參數(shù)α、β、δ、ρ、ε、h、μs(s=1,…,S)，如果存在適當(dāng)矩陣K、Y1、Y2和正定矩陣P、Q、R、Ω，滿足矩陣不等式（13），則式（12）中閉環(huán)系統(tǒng)滑動模態(tài)在H∞擾動抑制水平φ下是穩(wěn)定的。

式中，*為對稱矩陣中的對稱項；i=1,…,N，j=1,2。矩陣Φj(λi)的各項分別為：

證明考慮輸入端具有有界外部干擾時，式（12）的閉環(huán)系統(tǒng)滑動模態(tài)的漸近穩(wěn)定條件和魯棒性能指標(biāo)為：

構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為：

對V(t)進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

為了保證式（12）的閉環(huán)系統(tǒng)可以達(dá)成在H∞擾動抑制水平φ下穩(wěn)定，要求式（17）成立：

通過運用引理2，引入式（5）和式（12），并給定β，可以進(jìn)一步得到：

矩陣Σ可表示為：

定 義F=[F1,F2,…,FN]，其 中，F(xiàn)1=[f1,fN+1,…,fN2-N+1]，F(xiàn)2=[f2,fN+2,…,fN2-N+2]，…，F(xiàn)N=[fN,f2N,…,fN2]。fi∈RN2(i=1,…,N2)代表第i個元素為1而其余元素均為0。

對于t∈[0,∞)，V(t)＞0和α＞0是確定性條件，所以當(dāng)式（19）成立時，可保證式（18）成立。因而，進(jìn)一步可得：

在定理1中，控制器增益K并不能直接求解，因為未知矩陣K和P相互耦合。另外，矩陣H所有特征值都參與矩陣不等式的求解，求解難度太大。因此提出定理2以克服上述兩個缺點。

定理2基于設(shè)計的記憶事件觸發(fā)機(jī)制，給定矩陣H和正值參數(shù)α、β、δ、ρ、ε、h、μs(s=1,…,S)，如果存在適當(dāng)矩陣Y、Y1、Y2和對稱矩陣滿足以下線性矩陣不等式，則式（12）的閉環(huán)系統(tǒng)滑動模態(tài)在H∞擾動抑制水平φ下是穩(wěn)定的。

式中，i,j∈{1,2}；u1=λ1；u2=λN，且矩陣Γj(ui)的各項分別為

特別是，控制器增益K和觸發(fā)參數(shù)Ω可以分別由K=YX-1和Ω=X-1ΩˉX-1得出。

證明首先，基于式（13）的矩陣不等式，引入下列新的矩陣其中，X=P-1。

根據(jù)引理3可知，滿足λi≤λN，因此可以驗證如果式（22）成立，則式（13）一定成立。定理2證畢。

2.2 姿態(tài)子系統(tǒng)控制器設(shè)計

對姿態(tài)子系統(tǒng)設(shè)計姿態(tài)跟蹤控制器。首先，將位置子系統(tǒng)得到的虛擬控制量與當(dāng)前采樣的姿態(tài)信息結(jié)合，求解得到姿態(tài)的設(shè)定值。根據(jù)式（1）和式（2）可得姿態(tài)的設(shè)定值分別為：

式中，vih、γih、χih分別為速度、航跡傾角和航向角的采樣值；vid、γid、χid分別為速度、航跡傾角和航向角的設(shè)定值。在實際飛行過程中，UAV的姿態(tài)是有限的。因此，設(shè)定vid≤vmax，γid≤γmax，χid≤χmax。

由于3個姿態(tài)對應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)類似，因此只給出速度的跟蹤控制器。設(shè)計一階低通濾波器為：

對式（25）進(jìn)行求導(dǎo)，并將式（2）代入，可得：

本文采用動態(tài)面的控制方法，只需要對vid進(jìn)行定性分析。由于vid是有界的，因此，v?id也是有界的量，可以假設(shè)其上界為Mdv＞0，則滿足：

同時，可以進(jìn)一步得：

式中，θ1是正值參數(shù)。

由式（24）解得：

實際控制量為vic，設(shè)計vic的控制器為：

式中，系數(shù)kvi＞0。

將式（28）-（30）代入式（26），整理可得：

當(dāng)選取k1、θ1足夠大時，可保證＜0，則Vvi趨向于一個足夠小的值，表明姿態(tài)跟蹤控制器可以確保跟蹤誤差足夠小。

3 仿真算例

為了驗證本文設(shè)計控制方法的有效性，利用Matlab軟件進(jìn)行編隊飛行仿真分析。

記憶事件觸發(fā)機(jī)制的參數(shù)設(shè)置為δ1=0.030，δ2=0.010，δ3=0.005，δ4=0.005，δ=0.050，ρ=0.05，σ1=1，σ2=1，σ3=1，σ4=1，?=0.5，ε=0.001，μ1=0.80，μ2=0.10，μ3=0.05，μ4=0.05。采樣周期和整個采樣時間分別設(shè)置為h=0.05 s，T=30 s，同時閉環(huán)系統(tǒng)模型參數(shù)C、D和有向圖的相關(guān)矩陣C1、H分別為：

基于上述設(shè)定參數(shù)，選取α=0.1、β=0.1和魯棒性能φ=0.5，對定理2中的線性矩陣不等式進(jìn)行聯(lián)合求解，可得到所需結(jié)果：

定義領(lǐng)導(dǎo)者UAV的狀態(tài)為x0(t)，滿足x?0(t)=Ax0(t)，則跟隨者UAV的期望狀態(tài)分別為：

同時，所有UAVs初始狀態(tài)在表1中給出。

表1 無人機(jī)的初始狀態(tài)

假 設(shè)外部干擾 分 別 為：w1(t)=[0.1 0.2 0.3]Tsin(t)，w2(t)=[-0.1 0.1 0.2]Tsin(t)，w3(t)=[0.1-0.2-0.3]Tsin(t)，w4(t)=[-0.1-0.2 0.3]Tsin(2t)。

在UAV動力學(xué)模型式（2）中，時間常數(shù)分別為：τv=2.0 s，τγ=0.5 s，τχ=0.5 s；由于各個無人機(jī)采用的姿態(tài)控制器相同，所以這里只給出UAV1的控制參數(shù)。速度v1、航跡傾角γ1和航向角χ1的濾波器和控制器參數(shù)分別為：τ1=0.005，τ2=0.005，τ3=0.005，kv1=100，kγ1=50，kχ1=50。

利用上述設(shè)定值完成仿真，跟隨者UAV的位置跟蹤誤差如圖2所示。從圖2可以看出，隨著時間的推移，跟蹤誤差趨向于零。UAV1的姿態(tài)跟蹤誤差如圖3所示。從圖3可以看出，在控制初期誤差曲線會出現(xiàn)震蕩，最后會穩(wěn)定在足夠小，保證了UAVs編隊飛行的達(dá)成。

圖2 跟隨者無人機(jī)的位置跟蹤誤差

圖3 UAV1的姿態(tài)跟蹤誤差

為了更直觀地觀察編隊過程，圖4顯示了UAV三維空間運動軌跡。圖5-6分別給出了滑模面的變化曲線和UAV1的事件觸發(fā)瞬間和觸發(fā)間隔。仿真總時間為30 s，采樣周期為0.05 s，信號原本應(yīng)該傳輸600次，由于記憶事件觸發(fā)機(jī)制的引入，4個跟隨者UAV實際傳輸次數(shù)分別為184、161、182、280，這表明本文設(shè)計的記憶事件觸發(fā)機(jī)制維持了系統(tǒng)穩(wěn)定和信號傳輸量之間的平衡，可以在不破壞系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下降低跟蹤者UAV之間的通訊壓力。

圖4 無人機(jī)編隊軌跡

圖5 滑模面的變化曲線

為了進(jìn)一步表明引入記憶事件觸發(fā)機(jī)制的必要性，進(jìn)行了時間觸發(fā)機(jī)制的比較仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。由于過多采樣與傳輸，導(dǎo)致通訊時延影響被累積放大，延緩了控制的速度。上述分析結(jié)果表明，本文設(shè)計的控制方法可有效完成期望的UAVs編隊控制目標(biāo)。

圖6 UAV1的記憶事件觸發(fā)時間間隔

圖7 時間觸發(fā)機(jī)制下的位置跟蹤誤差

4 結(jié)論

考慮UAV編隊過程中存在通訊時延和有界外部干擾的實際問題，完成了控制器的設(shè)計。首先，建立了UAV的二階模型，并采用領(lǐng)航-跟隨法實現(xiàn)了UAVs的編隊飛行。其次，通過引入控制反饋設(shè)計了一種新型的自適應(yīng)記憶事件觸發(fā)機(jī)制，并應(yīng)用滑?？刂萍夹g(shù)，不僅保證了控制性能，而且相應(yīng)地解決了通訊時延和干擾的不利影響。再次，應(yīng)用Lyapunov理論和H∞控制理論給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明，并給出了便于滑?？刂破髟鲆婧陀|發(fā)參數(shù)求解的策略。從次，設(shè)計了姿態(tài)跟蹤控制器將虛擬控制量轉(zhuǎn)化為實際控制指令。最后，通過數(shù)值仿真驗證了所提控制算法的有效性和可行性。