李韻涵，王春彥

（北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081）

目前，關(guān)于航天器編隊飛行的研究已有很多。與單航天器相比，高可靠性和適應(yīng)性是多航天器系統(tǒng)的主要優(yōu)勢。為了使帶有多個領(lǐng)隊的航天器系統(tǒng)實現(xiàn)編隊飛行，需要設(shè)計編隊包含控制算法。

隨著深空探測任務(wù)的不斷深入，多航天器系統(tǒng)的安全性和可靠性越來越受到重視，容錯控制成為了目前的研究熱點，出現(xiàn)了一系列研究成果。文獻[1-2]針對上界已知擾動下的多航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，提出了無抖振全階滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了有限時間一致。文獻[3]設(shè)計了無需角速度信息的固定時間控制算法，實現(xiàn)了對上界已知擾動下航天器姿態(tài)角和角速度的一致性控制。文獻[4-5]針對存在上界未知干擾的航天器系統(tǒng)，設(shè)計了基于分布式觀測器的自適應(yīng)控制系統(tǒng)。文獻[6]針對存在上界未知擾動和輸入飽和的航天器系統(tǒng)，將自抗擾和滑模控制方法結(jié)合，使航天器的姿態(tài)達(dá)到穩(wěn)定。文獻[7]針對存在轉(zhuǎn)動慣量不確定和上界未知干擾的多航天器系統(tǒng)，設(shè)計自適應(yīng)有限時間控制器實現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤。文獻[8-9]研究了在轉(zhuǎn)動慣量不確定、上界未知干擾和控制輸入飽和條件下系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)調(diào)問題，設(shè)計了魯棒自適應(yīng)控制算法。文獻[10]對自身及一階導(dǎo)數(shù)有界的執(zhí)行器故障影響下的航天器系統(tǒng)，設(shè)計了分布式快速非奇異終端滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了姿態(tài)同步。文獻[11]針對存在執(zhí)行器故障和輸入飽和的航天器系統(tǒng)，設(shè)計了自適應(yīng)終端滑?？刂破?，實現(xiàn)了姿態(tài)一致性。文獻[12]考慮航天器系統(tǒng)存在上界已知的外界干擾和傳感器故障的情況，利用濾波器抑制傳感器故障，并設(shè)計了輸出反饋容錯控制器，實現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤。

目前，對多航天器系統(tǒng)協(xié)同控制的研究多專注于姿態(tài)一致性控制，對編隊控制算法的研究較少。文獻[13]研究了多航天器在平衡點的位姿同步問題，考慮了系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性和外界干擾，設(shè)計了與模型無關(guān)的無量綱串級位姿反饋自抗擾控制器。文獻[14]通過引入一種新的濾波器，設(shè)計了無需速度信息的有限時間輸出反饋控制器，實現(xiàn)了多航天器編隊。文獻[15]將航天器的相對位置和姿態(tài)表示在非線性流形李群上，姿態(tài)一致性和編隊問題被轉(zhuǎn)化為與線性空間李代數(shù)相關(guān)的誤差動力學(xué)的局部穩(wěn)定問題得以解決。文獻[16]考慮存在輸入飽和的多航天器系統(tǒng)，設(shè)計了固定時間非奇異終端滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了固定編隊。文獻[17]考慮存在外界干擾的多航天器系統(tǒng)，設(shè)計的編隊控制器，實現(xiàn)了固定及時變編隊。

本文首先對航天器軌道動力學(xué)系統(tǒng)建模并線性化，然后設(shè)計自適應(yīng)廣義觀測器估計系統(tǒng)狀態(tài)及故障，在此基礎(chǔ)上設(shè)計編隊包含控制器并分析給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，最后通過仿真驗證所提算法的有效性。

1 問題描述

1.1 航天器軌道動力學(xué)模型

考慮一組包含N個航天器的系統(tǒng)，將每個航天器視為一個剛體，多航天器系統(tǒng)在圓軌道上運行，且航天器之間的距離遠(yuǎn)小于航天器與地心之間的距離，可給出第i個航天器軌道動力學(xué)的C-W方程為[18]：

式中，xi、yi和zi分別為航天器在本體坐標(biāo)系三個軸上的坐標(biāo)，i=1,2,…,N；x?i、y?i和z?i分別為航天器在三個軸上的速度；x?i、y?i和z?i分別為航天器在三個軸上的加速度；axi、ayi和azi分別為航天器在三個軸上的控制輸入加速度；ω0為航天器沿軌道運行的平均速率。

令系統(tǒng)狀態(tài)為Xi=[xi,yi,zi,x?i,y?i,z?i]T，控制輸入為ui=[axi,ayi,azi]T，系統(tǒng)輸出為Yi=[xi,yi,zi,0,0,0]T，則式（1）可表示為：

其中，

1.2 航天器軌道動力學(xué)系統(tǒng)

考慮由N個跟隨航天器和M個領(lǐng)隊航天器組成的系統(tǒng)，第i個跟隨航天器的動態(tài)方程為：

式中，Xi∈Rn、Yi∈Rq分別為跟隨航天器的系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸出；fai∈Ra為執(zhí)行器故障；fsi∈Rs為傳感器故障；Da∈Rn×a、Ds∈Rq×s分別為執(zhí)行器和傳感器的常數(shù)矩陣。

第k個領(lǐng)隊航天器的動態(tài)方程為：

式中，Xk∈Rn、Yk∈Rq分別為領(lǐng)隊航天器的系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸出，k=1,2,…,M。

航天器之間的通信拓?fù)鋱D由G(ν,E)表示，其中ν表示航天器，E表示兩個航天器之間的連線。對于包含N個航天器的系統(tǒng)，鄰接矩陣定義為A=[aij]N×N∈RN×N。若存在從航天器j向航天器i的連線，則aij=1；否則aij=0。拉普拉斯矩陣L=[lij]N×N定義為，當(dāng)i≠j時lij=-aij。

假設(shè)1：航天器之間通過有向圖進行信息交互，通信拓?fù)鋱D是連通的，并且領(lǐng)隊航天器至少與一個跟隨航天器單向通信。

假設(shè)2：執(zhí)行器故障fa是未知但有界的，一階導(dǎo)數(shù)滿足

假設(shè)3：傳感器故障fs是未知但有界的。

定義1[19]對于多航天器系統(tǒng)（3）,當(dāng)滿足以下條件時，此系統(tǒng)可利用控制器u(t)=KX(t)實現(xiàn)L2干擾抑制。

（1）當(dāng)fa(t)≡0且fs(t)≡0時，系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的。

（2）當(dāng)fa(t)和fs(t)不 為0時，對 于 任 意t≥t0≥0，存 在 標(biāo) 量κx使

其中，正標(biāo)量(t0)由t0時刻系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，并且增益方程(·)是正定的。

引 理1[20]對 于 一 個 正 定 矩 陣P，以 及 系 統(tǒng) 狀 態(tài)x:[a,b]→Rn，其 中a,b∈R并 且b＞a，則：成立。

引理2[21]對于一個正定矩陣P，以下等式成立，其中，α＞0是一個標(biāo)量，并且R=-AT P-PA+αP。

在此基礎(chǔ)上，如果R是一個正定矩陣，那么對于?t＞0有eATt PeAt≤eat P。

本文的控制目標(biāo)是為多航天器系統(tǒng)設(shè)計基于自適應(yīng)廣義觀測器的編隊包含控制算法，使跟隨航天器能夠?qū)︻I(lǐng)隊航天器實現(xiàn)編隊跟蹤和包含。

2 編隊包含協(xié)同控制算法

2.1 自適應(yīng)廣義觀測器設(shè)計

自適應(yīng)廣義觀測器設(shè)計為：

由此可知：

根據(jù)式（5）中的第一個方程和式（7）中的第一個方程，可得：

定義第i個觀測器的觀測器誤差為：

式中，exi(t)是第i個觀測器的系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差；eωi(t)是第i個觀測器的傳感器故障估計誤差。

定義第i個觀測器的執(zhí)行器故障估計誤差為：

根據(jù)式（8）-（9），可得：

由于ω(t)和f.(t)是有界的，通過選擇增益矩陣L，使為Hurwitz矩陣，觀測器誤差可以收斂到零的鄰域，并且通過增大M矩陣和αa的值能夠提高觀測器性能。

2.2 編隊包含協(xié)同控制器設(shè)計

編隊跟蹤誤差定義為：

式中，hi(t)為隊形向量；σk為大于零的常數(shù)且滿

χi(t)的導(dǎo)數(shù)可表示為：

基于觀測器輸出的系統(tǒng)狀態(tài)估計值，編隊包含協(xié)同控制器設(shè)計為：

式中，K∈Rq×n為控制器增益矩陣；vi(t)滿足Bvi(t)+Ahi(t)-h?i(t)=0。

基于上述定義的觀測器誤差和編隊跟蹤誤差，式（15）可進一步表示為：

將控制器（16）代入式（14）得：

引理3[22]由假設(shè)1可得，Lˉ為正定矩陣，并且可以構(gòu)造一個正定對角矩陣G=diag{α1,α2,…,αN}滿足不等式其中為大于零的常數(shù)。

控制器增益矩陣K設(shè)計為：K=-BTP1，其中P1為正定矩陣。

2.3 算法一致性與穩(wěn)定性分析

在給出算法一致性分析之前，給出如下引理，便于后續(xù)的證明。

引理4式（17）中‖Δ‖2項的上界為其中ρ滿足以下不等式：

定理1在滿足假設(shè)1、2和3的條件下，如果存在正定矩陣P1、P2以及常數(shù)κi,κx＞0，i=1,2,…,8，使矩陣不等式式（19）-（22）成立，多航天器系統(tǒng)（3）和（4）可在自適應(yīng)廣義觀測器（6）和編隊包含協(xié)同控制器（15）下實現(xiàn)L2容錯編隊包含控制。

證 明Lyapunov函 數(shù) 設(shè) 計 為V=V1+V2+V3，其 中V1=χT(G?P1)χ，V2=eT(I?P2)e，V3=

將V1對時間求導(dǎo)可得：

根據(jù)引理3可得：

將V2對時間求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（22），將V3對時間求導(dǎo)可得：

將V對時間求導(dǎo)可得：

根據(jù)Schur補引理，不等式（23）可被轉(zhuǎn)化為H1＜-κx I。結(jié)合矩陣不等式（19）-（21），可得：

（1）當(dāng)執(zhí)行器和傳感器不存在故障時，fi(t)≡0,ωi(t)≡0，可得且ι=0，故(t)＜0。由此可知，系統(tǒng)編隊跟蹤誤差收斂到零。

（2）當(dāng)執(zhí)行器和傳感器存在故障時，fi(t)∈Lm2[0,∞)和ωi(t)∈Lm2[0,∞)不為零，對不等式（24）積分可得:

3 仿真研究

多航天器系統(tǒng)由兩個編號為5、6的領(lǐng)隊航天器和四個編號為1-4的跟隨航天器組成。航天器之間的通信拓?fù)鋱D如圖1所示。

圖1 航天器之間的通信拓?fù)鋱D

領(lǐng)隊智能體與跟隨智能體的通信矩陣為B=diag{2,0,0,0}。領(lǐng)隊航天器和跟隨航天器的初始狀態(tài)設(shè)定為：

初始狀態(tài)前三項表示航天器在三個軸上的坐標(biāo)，后三項表示航天器在三個軸上的速度。

航天器質(zhì)量均為40 kg，在高度為1 000 km的近地圓軌道運行，平均速率設(shè)定為ω0=0.001。航天器采用反作用力飛輪作為執(zhí)行器，采用加速度計作為傳感器。執(zhí)行器和傳感器故障的系數(shù)矩陣設(shè)定為Da=[0,0,0,0.05,0.05,0.05]T，Ds=[0,0,0,1,1,1]T。

為了便于控制算法的驗證，選取滿足假設(shè)2的執(zhí)行器漂移故障fa(t)=0.2sin(t)，以及滿足假設(shè)3的傳感器測量噪聲均值為0，且方差為0.5的隨機信號。

編隊跟蹤誤差中的參數(shù)設(shè)定為σ5=0.75，σ6=0.25，即航天器5的狀態(tài)信息對跟隨者更重要。隊形向量設(shè)定為

隊形向量前三項表示航天器在三個軸上相互之間的距離，后三項表示航天器在三個軸上速度的差值。多航天器系統(tǒng)在X-Y平面進行編隊包含控制，由于航天器在Z軸上的坐標(biāo)各不相同，故不存在碰撞的可能性。

非奇異矩陣設(shè)置為M=100×I6，并且選擇適當(dāng)?shù)腖矩陣使是Hurwitz的，即特征值實部均為負(fù)數(shù)。設(shè)定學(xué)習(xí)速率矩陣為αa=100，通過求解定理1中的矩陣不等式條件，可得Ka=0.1，并且控制器增益矩陣為：

航天器的運動軌跡如圖2所示。圖2中，標(biāo)記了t∈{0,200,300,400,500}s處的位置，領(lǐng)隊的位置用星號標(biāo)記，隊形的中心用三角形標(biāo)記，跟隨者的位置用圓圈標(biāo)記。航天器的執(zhí)行器故障及其估計值如圖3所示。從圖2可以看出，基于自適應(yīng)廣義觀測器的編隊包含協(xié)同控制算法下，隊形的中心更靠近航天器5，并且領(lǐng)隊與跟隨者可以實現(xiàn)并保持預(yù)定隊形。從圖3可以看出，估計的執(zhí)行器故障與真實值在短時間內(nèi)達(dá)到一致。

圖2 航天器的運動軌跡

圖3 航天器的執(zhí)行器故障及其估計值

自適應(yīng)廣義觀測器下航天器位置和速度的估計誤差如圖4-5所示。從圖4-5可以看出，在選擇適當(dāng)觀測器參數(shù)的情況下，估計誤差可以達(dá)到有界收斂。

圖4 航天器位置估計誤差

航天器的控制力曲線如圖6所示。從圖6可以看出，控制力在短時間內(nèi)收斂到了零的鄰域，為了保持時變編隊，航天器的控制力矩不為零。

圖6 航天器的控制力曲線

當(dāng)多航天器系統(tǒng)存在執(zhí)行器和傳感器故障時，采用基于自適應(yīng)廣義觀測器的編隊包含協(xié)同控制算法，使跟隨航天器跟蹤并包圍領(lǐng)隊航天器，實現(xiàn)魯棒控制的目的。

圖5 航天器速度估計誤差

4 結(jié)論

針對執(zhí)行器和傳感器故障下的多航天器編隊飛行問題，提出了基于自適應(yīng)廣義觀測器的編隊包含協(xié)同控制算法，實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)和故障的估計，進而使航天器形成并保持預(yù)設(shè)編隊的包含關(guān)系。通過仿真案例，驗證了所提出算法在多航天器系統(tǒng)協(xié)同控制中的有效性。