石美麗

延安大學數(shù)學與計算機科學學院 陜西延安 716000

1 概述

變點問題淵源已久，可以追溯到1954年Page關于連續(xù)抽樣檢驗的討論。自20世紀70年代以來，對于變點問題的探討以及對變點性質的研究一直是統(tǒng)計界的熱門話題。比如，在工業(yè)自動控制中的質量檢測、在經濟與金融中的數(shù)據(jù)分析、氣象中的天氣預測、流行病學中傳染率的研究以及導航系統(tǒng)分析和心電圖中的韻律分析等方面有大量的應用背景。而進入21世紀以來，隨著科技的發(fā)展，我們所關心的問題面臨著大規(guī)模數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)，這種數(shù)據(jù)往往以張量的形式呈現(xiàn)。因此，變點問題的研究又迎來了一個高峰時期，而對于變點的研究，我們首先關心的是存在與否的問題。所以，應用數(shù)理統(tǒng)計方法對于變點進行檢驗是十分必要的。

Quandt(1958)最早提出來兩階段回歸模型，即至多含有一個變點(AMOC)模型，利用最大似然法對簡單回歸模型中的參數(shù)進行估計，并在1960年利用似然比檢驗對于變點的存在性進行檢測。而Quandt有關變點的估計與假設檢驗問題是基于小樣本的。Kim(1989)利用似然比檢驗研究了AMOC的一元線性模型中的截距項的變點問題，并于1994年使用似然比檢驗統(tǒng)計量研究了一般線性回歸模型中變點的檢測問題。陳希孺1991年的變點統(tǒng)計分析簡介中，討論了包含多個變點的研究是在含有一個基礎上的“量變”。并且Bai(1998)將純參數(shù)變點問題推廣到局部參數(shù)變點，對線性模型中的變點問題研究做了很好的補充。因此，對于AMOC模型的變點問題研究具有更廣泛的意義。

Kolda(2006)，Kolda和Bader(2009)，Lu(2019)，Zhang(2019)等對張量分解進行大量研究，并且在此基礎上運用于我們生活當中，如衛(wèi)星健康監(jiān)測問題[馬友等(2020)]，信息工程自動化控制[Zhang等(2016)，Li等(2018)，Zhang等(2019)，Zhang等(2020)，Wang等(2020)]，醫(yī)學診斷問題[Crainiceanu等(2011)；Allen等(2011)；Hoff(2011)；Aston和Kirch(2012)；Zhou等(2013)，Kilmei13等(2013)，Li等(2018)]。后者Zhou等與Li等分別基于張量的CP分解和Tucker分解構造出神經成像與臨床結果之間的廣義線性模型，并研究了點估計量及其大樣本性質。并且基于張量的CP分解以及Tucker分解，我們(2020)以及徐常青等(2021)進一步探討了參數(shù)張量的估計，給張量變點問題提供了大量的研究基礎。

本論文從變點理論的研究背景出發(fā)，基于正態(tài)分布假設，對最多含有一個參數(shù)變點的線性回歸模型的參數(shù)變點進行統(tǒng)計推斷和預測估計。若變點位置已知，關于變點位置是否存在的檢驗問題，在正態(tài)假設的基礎下，我們可以用F檢驗，因此以下的討論過程中，我們只考慮變點位置不知道的情形。并且由于正態(tài)假設，可以證明LR方法、方法以及LM方法在檢驗和估計問題上是等價的，所以本文中我們僅僅討論LR方法分別在一般線性回歸模型以及張量線性回歸模型中的運用。

2 參數(shù)變點檢驗

2.1 向量情形

對于一元線性回歸模型，即=+(=1，…，)，Kim和Siegmund(1989)考慮了至多一個變化點的似然比檢驗，并推導出檢驗顯著性水平的解析近似。并且Kim(1994)進一步將其推廣在多元的情況，研究其檢驗和統(tǒng)計推斷問題。這里我們討論多元情況，模型如下：

(2.1)

其中表示可能的變點位置，=(1，，1，…，，-1)一般假設是i.i.d.的，且服從均值為(|)=0，方差為(|)=的正態(tài)分布。

變點是否存在等價于如下假設檢驗問題：

：=?：≠.

當=時，令:

則模型(2.1)矩陣形式等價于：

=+.

令=(1，-1)，上述假設檢驗等價于:

：=0?：≠0

由LR檢驗構造似然比檢驗統(tǒng)計量

由于是未知的，所以檢驗統(tǒng)計量為:

其中是一個維的布朗橋，1<<<，Kim和Cai有關于，的具體討論。

2.2 張量情形

考慮到張量分解結構的復雜性，以及類比矩陣的譜分解，我們對D階張量∈×…×做如下設定，

對于一般的張量線性回歸模型:

其中是截距項，∈是向量系數(shù)，是張量系數(shù)。關于以及在AMOC模型中的討論，具體辦法(2.1)及概述中已涉及，這里不再贅述。我們這里只討論最簡單的情況，即=1時，模型如下，

(2.2)

由于本質仍然是D階張量，作為變化參數(shù)相對復雜，所以這里我們將看成冗余參數(shù)，只考慮半?yún)⒆兓?，即關于模型(2.2)有如下假設檢驗，

模型(2.2)的矩陣形式為:

=+，

：=0?：≠0

由正態(tài)假設下，LR檢驗的特殊性，有:

由于是未知的，所以檢驗統(tǒng)計量為:

當>時，我們就可以拒絕原假設，接受備擇假設。

這里需要明白，關于判定是否接受原假設，更好的辦法是，知道統(tǒng)計量的極限分布，然后給定置信區(qū)間。這也是我們接下來要研究的部分，以及將其推廣到廣義線性，更進一步可以結合張量Tucker分解進行討論。

結語

本文總結了AMOC線性回歸模型中參數(shù)的統(tǒng)計性質，以及將變量從向量擴展到張量的形式，給出LR檢驗對應的檢驗統(tǒng)計量，給我們進一步的工作打下基礎。接下來我們可以考慮其大樣本性質，以及張量中其他參數(shù)或多個參數(shù)作為結構變化的影響者的情形。進一步可以結合張量的Tucker分解將其擴展到廣義線性模型。