蔣益強(qiáng)， 方亞林， 趙文君， 楊永明， 劉行謀， 李 星

(1. 國(guó)網(wǎng)四川省電力公司宜賓供電公司， 四川 宜賓 644002； 2. 中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)安徽省電力設(shè)計(jì)院有限公司， 安徽 合肥 230601； 3.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)(重慶大學(xué))， 重慶 400044)

1 引言

隨著電力電纜在輸配電工業(yè)中的大量應(yīng)用，其安全和穩(wěn)定運(yùn)行顯得越發(fā)重要。在電纜的生產(chǎn)、安裝和運(yùn)行過(guò)程中，由于工藝缺陷、操作不當(dāng)和環(huán)境影響等，難免使電纜內(nèi)部產(chǎn)生缺陷[1]。缺陷嚴(yán)重的電纜在運(yùn)行過(guò)程中的電場(chǎng)作用下，會(huì)惡化產(chǎn)生電樹枝[2,3]、水樹枝[4]，導(dǎo)致絕緣加速老化以至擊穿[5]。針對(duì)電纜缺陷，一方面應(yīng)當(dāng)提高生產(chǎn)質(zhì)量、規(guī)范化施工和運(yùn)行；另一方面應(yīng)當(dāng)研究行之有效的缺陷診斷方法，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)對(duì)電纜缺陷，降低電纜故障造成的電力事故發(fā)生率。

電纜的內(nèi)部缺陷難以通過(guò)直接的方式進(jìn)行檢測(cè)，目前比較有效的檢測(cè)方法主要是通過(guò)定期預(yù)防性實(shí)驗(yàn)，例如tanδ檢測(cè)法[6]、局部放電法[7]、直流漏電流檢測(cè)法[8]等，測(cè)量表征電纜絕緣性能的電參數(shù)進(jìn)行缺陷分析。傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)方法積累了大量數(shù)據(jù)，豐富了對(duì)缺陷的判斷準(zhǔn)則，但也存在一些弊端：大多數(shù)實(shí)驗(yàn)需要停電進(jìn)行，降低了供電質(zhì)量，并且過(guò)度實(shí)驗(yàn)往往會(huì)對(duì)電纜本身有一定“損傷”，加速絕緣老化。也有學(xué)者通過(guò)研究提出一些電纜故障的定位方法，如行波法[9]、阻抗法[10]等，能夠在一定精度內(nèi)定位電纜故障點(diǎn)，但對(duì)具體缺陷判斷還存在一定困難?？傊?，針對(duì)電纜內(nèi)部缺陷的檢測(cè)，現(xiàn)有技術(shù)還存在一些局限，還亟需一些操作簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確可行的檢測(cè)手段。

電力電纜在內(nèi)部存在缺陷時(shí)，其熱導(dǎo)率的分布勢(shì)必與正常狀態(tài)有所差異，從而導(dǎo)致運(yùn)行中由電流熱效應(yīng)產(chǎn)生的電纜本體溫度場(chǎng)分布變化?；诖耍疚慕碾娎|表面溫度場(chǎng)分布逆推電纜內(nèi)部熱導(dǎo)率分布的逆問(wèn)題模型，通過(guò)計(jì)算并對(duì)比電纜徑向熱導(dǎo)率分布圖像，對(duì)電纜缺陷進(jìn)行表征，實(shí)現(xiàn)電纜內(nèi)部缺陷的檢測(cè)。

2 電纜溫度場(chǎng)逆問(wèn)題建模與求解

2.1 溫度場(chǎng)有限元算法

在建立電纜缺陷診斷的溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型之前，需要對(duì)已知電纜熱導(dǎo)率分布和熱激勵(lì)條件下的溫度場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算。

圖1為電纜在電流負(fù)荷的焦耳熱作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)后會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定溫度場(chǎng)分布，不考慮電纜材料熱參數(shù)在電纜軸向上的差異，可將電纜溫度場(chǎng)計(jì)算簡(jiǎn)化為徑向二維溫度場(chǎng)分布計(jì)算問(wèn)題。由固體傳熱學(xué)理論[11]可得電纜徑向場(chǎng)域穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的控制方程為：

▽·[λ(x,y)▽T(x,y)]=-Φ(x,y)∈Ω

(1)

式中，λ為熱導(dǎo)率分布，W·(m·K)-1；T為溫度場(chǎng)分布，K；Φ為內(nèi)熱源功率體密度，W·m-3。

圖1 電纜徑向二維溫度場(chǎng)模型Fig.1 2D radial temperature field model of cable

纜芯和電纜表面邊界條件分別為第二類和第三類邊界條件，即：

(2)

電纜內(nèi)部不同介質(zhì)層上的分界面銜接條件為：

(3)

式中，q為焦耳熱的熱通量，W·m-2；h為電纜表面與外界環(huán)境的對(duì)流系數(shù)，W·m-2·K-1；T1、T2、Tf分別為介質(zhì)1、介質(zhì)2中和環(huán)境的溫度，K；λ1、λ2分別為介質(zhì)1、介質(zhì)2的熱導(dǎo)率；n1、n2、n均為分界面的外法向單位向量。式(1)～式(3)即為電纜穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型。

熱通量q可通過(guò)電纜載流量I、纜芯周長(zhǎng)l和纜芯單位長(zhǎng)度有效電阻R[12]計(jì)算得到，即：

(4)

在工程問(wèn)題中，對(duì)式(1)～式(4)一般采用數(shù)值算法求解，本文將采用有限元法[13,14]對(duì)電纜徑向的溫度場(chǎng)分布進(jìn)行仿真和計(jì)算。

2.2 溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型

通過(guò)已知的電纜載流量和電纜各部分材料的熱導(dǎo)率參數(shù)，可以通過(guò)求解傳熱學(xué)方程得到電纜的溫度場(chǎng)分布，這一過(guò)程為溫度場(chǎng)正問(wèn)題計(jì)算。與之對(duì)應(yīng)的溫度場(chǎng)逆問(wèn)題可以表述為：在已知溫度場(chǎng)分布和載流量大小的情況下，對(duì)場(chǎng)域的熱導(dǎo)率分布進(jìn)行求解。電纜溫度場(chǎng)正逆問(wèn)題模型如圖2所示。

圖2 溫度場(chǎng)正逆問(wèn)題模型Fig.2 Forward and inverse problem model of temperature field

在電纜的缺陷檢測(cè)中，如果電纜內(nèi)部存在局部嚴(yán)重老化、水樹枝或其他缺陷，缺陷部分的熱導(dǎo)率勢(shì)必會(huì)與其處于正常狀態(tài)下的熱導(dǎo)率產(chǎn)生差異，從而導(dǎo)致缺陷狀態(tài)和正常狀態(tài)下的電纜溫度場(chǎng)分布差異。因此，如果在實(shí)際中能夠通過(guò)測(cè)量的溫度場(chǎng)和載流量數(shù)據(jù)，反推出電纜的熱導(dǎo)率分布，再與電纜正常狀態(tài)的熱導(dǎo)率分布進(jìn)行對(duì)比，即可對(duì)電纜的缺陷狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)。

在電纜徑向溫度場(chǎng)的正問(wèn)題計(jì)算中，在載流量一定的情況下，只要給定一種電纜徑向熱導(dǎo)率分布，就可以通過(guò)正問(wèn)題計(jì)算得到一種溫度場(chǎng)分布。逆問(wèn)題的模型建立即尋求一種熱導(dǎo)率分布λ使正問(wèn)題計(jì)算得到的溫度場(chǎng)分布Tc與測(cè)量溫度值T相等。實(shí)際中，這一關(guān)系難以精確滿足，因此利用最小二乘法尋求最優(yōu)解，建立溫度場(chǎng)逆問(wèn)題計(jì)算模型為：

(5)

式(5)是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題，最優(yōu)解為一階微分駐點(diǎn)，在有限元模型中，即為：

(6)

為表述方便，用Fi(λ)表示誤差函數(shù)E(λ)對(duì)λi的偏導(dǎo)數(shù)，即：

(7)

假設(shè)整個(gè)求解場(chǎng)域剖分為u個(gè)有限元單元，則逆問(wèn)題求解共有u個(gè)同類的方程(式(7))，構(gòu)成一組非線性方程組，即：

F(λ)=0

(8)

式中

(9)

運(yùn)用牛頓迭代法[15]對(duì)式(9)進(jìn)行求解，得到迭代公式：

(10)

式中，H為Hessen矩陣。

(11)

式(11)中忽略第二項(xiàng)高階項(xiàng)后，得到：

H=JTJ

(12)

式中，J為表面溫度值對(duì)有限元單元熱導(dǎo)率的雅克比矩陣[16]。

2.3 逆問(wèn)題模型求解

在進(jìn)行逆問(wèn)題的牛頓迭代法求解過(guò)程中，需要對(duì)Hessen矩陣進(jìn)行求逆。實(shí)際電纜溫度場(chǎng)的測(cè)量點(diǎn)只能布置在電纜表面，因此表面溫度測(cè)量點(diǎn)n相對(duì)于場(chǎng)域剖分的單元數(shù)u非常有限，即n?u，因此逆問(wèn)題是一個(gè)欠定問(wèn)題，由矩陣?yán)碚摚?/p>

rank(H)=rank(JTJ)=rank(J)≤min{u,n}

(13)

式中，rank()為矩陣的秩；min{ }為取其中元素中的最小值。因此，Hu×u是一個(gè)非滿秩矩陣，不能夠直接進(jìn)行求逆，使逆問(wèn)題具有嚴(yán)重的病態(tài)性。為了克服矩陣的病態(tài)性，將對(duì)逆問(wèn)題施加正則化提高求解的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

在病態(tài)問(wèn)題的求解中，正則化方法通過(guò)增加罰項(xiàng)來(lái)對(duì)范數(shù)或者偏離初始值較大的解進(jìn)行懲罰，對(duì)逆問(wèn)題模型施加典型的Tikhonov正則化[17]，有：

minE(λ)=‖Tc(λ)-T‖2+α‖L(λ-λ(0))‖2

(14)

式中，α為正則化參數(shù)；L為正則化矩陣(Tikhonov正則化中取單位陣)；λ(0)為熱導(dǎo)率初始值。

再對(duì)施加正則化后的逆問(wèn)題運(yùn)用牛頓迭代法求解式(14)得到：

(15)

式(15)的迭代結(jié)果即為電纜缺陷檢測(cè)溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型的解。電纜溫度場(chǎng)逆問(wèn)題的整個(gè)求解流程如圖3所示。

圖3 電纜溫度場(chǎng)逆問(wèn)題求解流程圖Fig.3 Flow chart to solve inverse problem of power cable temperature field

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.1 電纜溫度場(chǎng)仿真分析

從傳熱學(xué)角度看，電力電纜在缺陷狀態(tài)下，其熱導(dǎo)率分布會(huì)與正常狀態(tài)有所差異，從而導(dǎo)致溫度場(chǎng)的分布差異，這為電纜的缺陷檢測(cè)提供了契機(jī)。電纜水樹枝缺陷在電纜運(yùn)用中時(shí)常發(fā)生，水樹枝的存在會(huì)使其周圍絕緣材料在電場(chǎng)作用下加速老化，熱導(dǎo)率會(huì)有所增大。本節(jié)將對(duì)電纜典型水樹枝缺陷下的溫度場(chǎng)分布和基于溫度場(chǎng)逆問(wèn)題計(jì)算的缺陷檢測(cè)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析，其他缺陷狀態(tài)分析與之類似。

以YJLW 64/110 kV單芯電纜[18]為例進(jìn)行仿真分析，由于電纜的鎧裝和屏蔽層熱導(dǎo)率較大，幾何厚度較薄，熱阻小，對(duì)溫度場(chǎng)分布影響較小，因此在物理建模中，進(jìn)行了忽略簡(jiǎn)化。電纜水樹枝形態(tài)呈不規(guī)則樹枝狀，在仿真模型中通過(guò)不規(guī)則細(xì)長(zhǎng)的橢圓來(lái)模擬水樹枝及其周圍老化的絕緣材料，并設(shè)定為水的熱學(xué)參數(shù)。通過(guò)查閱電力電纜手冊(cè)和相關(guān)材料的物性參數(shù)，得到仿真模型的相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 YJLW 64/110 kV電纜仿真模型參數(shù)Tab.1 Simulation model parameters of YJLW 64/110 kV cable

在溫度場(chǎng)仿真計(jì)算中，分別對(duì)電纜絕緣層含有單個(gè)和多個(gè)水樹枝缺陷下的電纜表面溫度場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算，其三角形有限元模型剖分規(guī)模含有單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)均在104數(shù)量級(jí)(例如含有單個(gè)缺陷的模型三角形剖分包含10 394個(gè)單元、5 278個(gè)節(jié)點(diǎn))，仿真模型坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在電纜中心，例如正常狀態(tài)電纜的仿真模型和有限元剖分模型如圖4所示。仿真模型中，設(shè)環(huán)境溫度303.15 K(27 ℃)，空氣自然對(duì)流系數(shù)h= 5 W·m-2·K-1(在自然無(wú)強(qiáng)制對(duì)流環(huán)境下，一般為3～10 W·m-2·K-1)，電纜在載流量1 000 A下，溫度場(chǎng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 單芯電纜仿真模型與剖分模型Fig.4 Simulation and FEM mesh models of single core cable

從溫度場(chǎng)的仿真結(jié)果看出，正常狀態(tài)下，電纜表面溫度場(chǎng)均勻分布(圖5中近似水平直線)，數(shù)據(jù)近似為定值，約為318.27 K。當(dāng)電纜在內(nèi)部存在水樹枝典型缺陷時(shí)，電纜溫度場(chǎng)分布發(fā)生畸變，電纜表面溫度與正常電纜有明顯差異，在缺陷附近的表面溫度較高，表面溫度分布的最高最低溫度差達(dá)2 K左右。明顯的溫度分布差異可以為逆問(wèn)題缺陷檢測(cè)提供足夠的數(shù)值精度。

圖5 電纜徑向溫度場(chǎng)及電纜表面溫度分布Fig.5 Radial temperature field and surface temperature distribution of cable

3.2 電纜缺陷檢測(cè)仿真分析

基于3.1節(jié)中的仿真結(jié)果，將電纜表面的溫度數(shù)據(jù)代入溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型，通過(guò)迭代求解得到電纜徑向的熱導(dǎo)率分布如圖6所示。

圖6 電纜徑向熱導(dǎo)率分布Fig.6 Radial thermal conductivity distribution of cable

對(duì)比逆問(wèn)題計(jì)算得到的電纜熱導(dǎo)率分布，當(dāng)電纜絕緣層中存在典型水樹枝缺陷時(shí)，熱導(dǎo)率分布圖像中會(huì)呈現(xiàn)高于周圍正常絕緣層熱導(dǎo)率的局部高熱導(dǎo)率區(qū)域(圖6中黑色虛線圈內(nèi))，表明此處存在局部缺陷，通過(guò)對(duì)比無(wú)缺陷狀態(tài)下的熱導(dǎo)率分布圖像，可大致判斷缺陷的位置和大小。隨著缺陷的增多，逆問(wèn)題計(jì)算得到的熱阻率圖像分辨率有所下降，但其分辨率仍能夠?qū)θ毕葸M(jìn)行判斷。在實(shí)際中，存在多處缺陷的電纜一般較少，因此該方法能夠滿足對(duì)電纜的缺陷檢測(cè)需求。

通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了當(dāng)電纜內(nèi)部存在局部缺陷時(shí)，會(huì)導(dǎo)致電纜溫度場(chǎng)分布的畸變，通過(guò)電纜表面溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)建立的逆問(wèn)題模型能夠?qū)崿F(xiàn)電纜內(nèi)部缺陷的有效檢測(cè)。

圖7 電纜缺陷檢測(cè)模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Setup of defect detection on simulated cable

圖8 不同負(fù)荷電流下模擬電纜的表面溫度分布Fig.8 Temperature distribution of simulated cable under different load current

4 模擬實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證通過(guò)溫度場(chǎng)逆問(wèn)題計(jì)算進(jìn)行電纜缺陷檢測(cè)方法的準(zhǔn)確性和可行性，在實(shí)驗(yàn)室搭建了模擬電纜實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)中，利用石墨棒模擬電纜導(dǎo)體，填充硅膠作為絕緣材料，使用恒流源為模擬電纜提供負(fù)荷，同時(shí)采用FLIR SC7000紅外熱像儀(熱靈敏度< 0.025 K)對(duì)電纜表面溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械氖珜?dǎo)體和填充硅膠具有與實(shí)際電纜的銅芯導(dǎo)體和絕緣層材料局域非常近似的熱特性參數(shù)，且?guī)缀纬叽珙愃疲谙嚓P(guān)研究中已證明該“石墨-硅膠”模型能夠?qū)?shí)際電纜的熱特性分布進(jìn)行良好模擬[19]。

為了模擬電纜局部缺陷和激勵(lì)電流大小對(duì)缺陷檢測(cè)結(jié)果的影響，在絕緣層中預(yù)植單個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)橢球形水樹枝缺陷，并分別提供負(fù)荷電流10 A、15 A和30 A進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)，整個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與模擬電纜結(jié)構(gòu)如圖7所示。

實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得環(huán)境溫度約20 ℃，分別設(shè)置恒流源電流為10 A、15 A和30 A給模擬電纜提供負(fù)荷，并分別對(duì)正常段和預(yù)植缺陷段的電纜表面溫度進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集，當(dāng)電纜表面溫度達(dá)到穩(wěn)定后，測(cè)得溫度數(shù)據(jù)如圖8所示。

從采集的實(shí)驗(yàn)室模擬電纜表面溫度數(shù)據(jù)看出，在電纜內(nèi)部存在缺陷時(shí)，溫度場(chǎng)分布發(fā)生畸變。不同負(fù)荷電流激勵(lì)下的溫度場(chǎng)分布曲線特點(diǎn)類似，但數(shù)值大小有所差異，這是由于僅僅改變了熱激勵(lì)大小，而其他熱參數(shù)保持不變。當(dāng)負(fù)荷電流越大時(shí)，電纜表面的溫度值也越高，為逆問(wèn)題求解提供的數(shù)據(jù)數(shù)值精度也越高。

將上述采集到的溫度數(shù)據(jù)導(dǎo)入溫度場(chǎng)逆問(wèn)題檢測(cè)程序進(jìn)行缺陷診斷計(jì)算得到的電纜熱導(dǎo)率分布圖像如圖9所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)室模擬電纜缺陷檢測(cè)結(jié)果Fig.9 Defect detection results of simulated cable in laboratory

從模擬實(shí)驗(yàn)溫度場(chǎng)逆問(wèn)題計(jì)算得到的電纜熱導(dǎo)率分布結(jié)果看出，通過(guò)對(duì)比無(wú)缺陷段和預(yù)植缺陷段的電纜徑向熱導(dǎo)率分布圖像，可以明顯發(fā)現(xiàn)熱導(dǎo)率圖像的異常，從而判斷局部缺陷的大致范圍和缺陷類型。對(duì)比分析不同負(fù)荷電流條件下的熱導(dǎo)率分布圖像可以看出，當(dāng)負(fù)荷電流較大時(shí)，熱導(dǎo)率圖像各部分的對(duì)比度更高，能夠更加清晰地判斷缺陷的大小和位置，因此在實(shí)際條件允許的情況下，應(yīng)當(dāng)盡量增大負(fù)荷電流以提高圖像的分辨率，從而提高檢測(cè)的準(zhǔn)確度。

5 結(jié)論

電力電纜在局部缺陷狀態(tài)下運(yùn)行，其溫度場(chǎng)分布會(huì)與正常狀態(tài)的電纜有所差異，本文通過(guò)提取電纜表面溫度場(chǎng)的差異信息，建立溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型計(jì)算電纜的熱導(dǎo)率分布，進(jìn)而反映電纜缺陷狀態(tài)。仿真和模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，電纜徑向溫度場(chǎng)逆問(wèn)題模型能夠有效判斷電纜內(nèi)部局部缺陷的大致范圍和大小，實(shí)現(xiàn)電纜缺陷檢測(cè)。該方法無(wú)侵入、無(wú)需大型實(shí)驗(yàn)，作為一種新興技術(shù)將對(duì)現(xiàn)有檢測(cè)方法進(jìn)行有力補(bǔ)充。