王洪申，連亞東，黃忠金

（蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050）

精密高速數(shù)控機(jī)床在機(jī)械、航空航天、電氣、軍工、自動(dòng)化等行業(yè)發(fā)揮著廣泛的作用。電主軸是數(shù)控機(jī)床領(lǐng)域出現(xiàn)的將機(jī)床主軸與主軸電動(dòng)機(jī)融為一體的新技術(shù)產(chǎn)品，電主軸的性能很大程度上決定了數(shù)控機(jī)床的性能。為了提高電主軸的性能指標(biāo)，有必要對(duì)電主軸的結(jié)構(gòu)和性能進(jìn)行仿真和優(yōu)化研究[1]。

目前，針對(duì)電主軸的仿真優(yōu)化國內(nèi)外一些專家學(xué)者都做了相應(yīng)的研究，郭維祺等[2]以穩(wěn)定性裕度為優(yōu)化目標(biāo)，將電主軸軸向尺寸作為設(shè)計(jì)變量，采用高效微型遺傳算法實(shí)現(xiàn)高速靜壓內(nèi)置式電主軸系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)化。閆如忠等[3]運(yùn)用模態(tài)理論和響應(yīng)面法分析了高速磨削電主軸的預(yù)應(yīng)力模態(tài)特性和模態(tài)可靠性，并且利用六西格瑪概率分析得到電主軸振動(dòng)可靠度指標(biāo)。Lin[4]將遺傳算法和蒙特卡洛法結(jié)合，提出了一種同時(shí)優(yōu)化高速電主軸-軸承系統(tǒng)公稱值和軸承位置公差值最佳的方法，并驗(yàn)證了該方法的有效性。Jiang和Zheng[5]利用傳遞矩陣法和包含離心力和陀螺力矩的滾動(dòng)軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型，建立了主軸-拉桿-軸承組合的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)主軸的臨界轉(zhuǎn)速和動(dòng)剛度進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并采用優(yōu)化方法進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。 Lin[6]通過建立主軸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型以求得固有頻率，采用遺傳算法尋找軸承的最佳安裝位置以使第1階固有頻率達(dá)到最大，并通過算法驗(yàn)證了有效性和合理性。徐磊等[7]采用遺傳算法對(duì)高液靜壓無心磨床砂輪主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過MATLAB編制程序?qū)δＰ瓦M(jìn)行計(jì)算并且通過相關(guān)迭代分析了砂輪主軸的體積和剛度的變化情況。孟曙光等[8]使用有限體積法研究了各參數(shù)對(duì)動(dòng)靜壓軸承承載特性的影響特性，采用正交實(shí)驗(yàn)法得到了工作參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的最佳組合，并驗(yàn)證了其正確性。

上述研究均取得了一定的成果，但都是針對(duì)電主軸輸出參數(shù)中的某單一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，并未對(duì)電主軸的綜合性能進(jìn)行優(yōu)化，針對(duì)以上不足，本文利用響應(yīng)面法研究電主軸的尺寸參數(shù)對(duì)其靜剛度、振型頻率以及質(zhì)量進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化分析設(shè)計(jì)。

1 主要結(jié)構(gòu)及參數(shù)化三維建模

電主軸實(shí)體簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示，軸承選用NSK角接觸球軸承，并采用一端固定，一端游動(dòng)的支承方式。電動(dòng)機(jī)型號(hào)為GE1073-4WJ61，額定轉(zhuǎn)速為6000 r/min,最大轉(zhuǎn)速為18000 r/min。

圖1 電主軸實(shí)體簡化模型

為了便于仿真分析和確定主軸系統(tǒng)的最佳結(jié)構(gòu)，在建模時(shí)對(duì)實(shí)體進(jìn)行了合理必要的簡化[9]，將主軸懸伸量、前后軸承組之間的跨距、前端外半徑和前端內(nèi)半徑設(shè)置為優(yōu)化參數(shù)，如圖2所示。

圖2 主軸參數(shù)化模型

主軸參數(shù)、初始值以及各個(gè)設(shè)計(jì)因子的變化范圍如表1所示, 尺寸參數(shù)變化范圍為初始值的±10%。

表1 尺寸參數(shù)、初始值及變化范圍 mm

運(yùn)用SolidWorks進(jìn)行三維建模,接著在方程式中相應(yīng)的的尺寸變名前輸入前綴DS_,可對(duì)4個(gè)尺寸進(jìn)行參數(shù)化，完成后通過CAD接口導(dǎo)入到Workbench中。

2 靜力學(xué)分析與模態(tài)分析

電主軸的材料采用20Cr2Ni4優(yōu)質(zhì)合金鋼，有良好的綜合力學(xué)性能。該材料密度ρ =7850 kg/m3，彈性模量E= 206 GPa，泊松比μ= 0.3。根據(jù)本電主軸的電機(jī)功率為11 kW，主軸在該功率下的額定轉(zhuǎn)矩T額= 17.5 Nm，作用在主軸上的最大切削力FC的計(jì)算公式為

式中：d0為主軸前端半徑，d0= 35 mm。

將d0= 35 mm，T額= 17.5 Nm代入式（1），可得FC= 500 N。銑削時(shí)作用在主軸上的徑向力Fr可分解為水平徑向力Fh和垂直徑向力Fv，工作時(shí)采用順銑的方式，F(xiàn)h/Fc的取值范圍為0.35～0.40，F(xiàn)v/Fc的取值范圍為0.80～0.90，本次計(jì)算經(jīng)驗(yàn)值分別取0.37和0.85，通過計(jì)算可得水平徑向力Fh=185 N，垂直徑向力Fv= 425 N。作用在主軸上的徑向力Fr為

主軸上用于支承的前后軸承組均為NSK角接觸球軸承，其中前軸承型號(hào)為7014C/TYNDFDLP4，后軸承型號(hào)為7010C/TYNSULP4，其中L表示預(yù)緊力的等級(jí)為輕度預(yù)緊，SU表示的是自由配組。單個(gè)角接觸球軸承預(yù)緊后的徑向剛度計(jì)算公式為[10]

式中：Fa0為軸向預(yù)緊力，根據(jù)角接觸球軸承預(yù)緊力大小的估算方法[11]，輕負(fù)荷時(shí)軸承預(yù)緊力=額定動(dòng)載荷/100。

由公式（3）計(jì)算出前后軸承組的徑向剛度為：

2.1 靜力學(xué)有限元分析

靜力學(xué)分析主要是確定主軸的靜剛度，將計(jì)算得到作用在主軸上的徑向切削力作為載荷條件施加在主軸前端；前后軸承組采用COMBI214單元模擬，前軸承組約束其全部自由度，后軸承組釋放其軸向自由度，加載約束求解模型后，得到如圖3所示的主軸靜態(tài)變形圖。

圖3 主軸靜態(tài)變形圖

主軸前端的最大變形量為0.8736 μm 。則電主軸的靜態(tài)剛度為

高于一般電主軸所要求的300 N/μm剛度值，所以靜剛度符合要求。

2.2 模態(tài)分析

動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)是模態(tài)分析，其主要內(nèi)容是得到系統(tǒng)的一些固有特性（固有頻率和振型等）。動(dòng)力低階模態(tài)的剛度一般來說比較弱，在受到同樣大小的激勵(lì)作用下，相應(yīng)所占的權(quán)重相對(duì)大一些[12]。所以，在工程實(shí)際中低階模態(tài)比較受人們的關(guān)注，用來了解結(jié)構(gòu)的共振區(qū)域。對(duì)電主軸進(jìn)行模態(tài)分析，網(wǎng)格劃分和邊界條件的加載同靜力學(xué)分析一致，求解完成后提取電主軸的前6階固有頻率和振型，由n= 60f可得各階的臨界轉(zhuǎn)速，見表2。

表2 前6階固有頻率、振型及臨界轉(zhuǎn)速

分析可得前兩階固有頻率很接近，振型表現(xiàn)為正交，可以避免耦合現(xiàn)象的發(fā)生，同理3階4階和5階6階也表現(xiàn)為正交。由計(jì)算可知，1階固有頻率對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速為62922 r/min，即為主軸的1階臨界轉(zhuǎn)速，本電主軸的最高工作轉(zhuǎn)速為18000 r/min，遠(yuǎn)低于其1階臨界轉(zhuǎn)速的75%，可以有效避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。

3 參數(shù)敏感性分析與響應(yīng)面建立

3.1 敏感性分析

對(duì)于一個(gè)輸出參數(shù)，輸入?yún)?shù)對(duì)它的重要性是其與這些輸入?yún)?shù)之間的相關(guān)性所決定，而這類相關(guān)性是通過ANSYS DX的參數(shù)相關(guān)性模塊研究所得到。為了研究電主軸的軸承跨距P1（表1中的L1）、主軸懸伸量P2（表1中的L2）、前端外半徑P3（表1中的D1）、前端內(nèi)半徑P4（表1中的D2）、楊氏模量P5這5個(gè)參數(shù)對(duì)最大總變形量P6、1階固有頻率P7、質(zhì)量P8的影響，在Parameters Correlation優(yōu)化模塊中分析得到尺寸參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的靈敏度。計(jì)算方法采用Spearman's Rank Correlation，該方法被認(rèn)為是更精確的方法，適用于具有非線性單調(diào)函數(shù)關(guān)系的變量之間的相關(guān)性。靈敏度分析結(jié)果如圖4所示，靈敏度值為負(fù)數(shù)時(shí)表示隨著輸入?yún)?shù)值的增加，輸出參數(shù)的值在減小。

圖4 敏感性分析

由分析結(jié)果可知，主軸前端外半徑和楊氏模量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響最大，此外主軸前端內(nèi)半徑、軸承跨距和懸伸量對(duì)目標(biāo)函數(shù)均具有相對(duì)較大的影響，因此將這4個(gè)尺寸設(shè)計(jì)參數(shù)均作為優(yōu)化參數(shù)。

3.2 響應(yīng)面建立

響應(yīng)面方法（Response surface method，RSM）是利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法安排實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表，將統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論引入到優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通過構(gòu)建擬合代理模型來模擬各個(gè)設(shè)計(jì)變量和性能指標(biāo)之間的隱式關(guān)系，它的基本思想是通過大量的確定性試驗(yàn)，在目標(biāo)函數(shù)的下降方向?qū)?yōu)[13]，尋找預(yù)測(cè)的最優(yōu)解及相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)條件。

選擇最佳填充空間（OSF）算法構(gòu)建實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表，其優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)點(diǎn)分布均勻,可以避免聚集現(xiàn)象的出現(xiàn)。設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)為4個(gè)，樣本點(diǎn)數(shù)量為100組，通過完全二次多項(xiàng)式擬合方法構(gòu)建響應(yīng)面，部分響應(yīng)面如圖5所示。

圖5 響應(yīng)曲面

查看響應(yīng)面的擬合程度，由圖6可看到，樣本點(diǎn)幾乎均在45°線上，可見響應(yīng)面預(yù)測(cè)的值與實(shí)際計(jì)算值符合程度較好。

圖6 Goodness of Fit擬合曲線

4 多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化是在得到響應(yīng)面結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行驅(qū)動(dòng)優(yōu)化，可以從響應(yīng)面結(jié)果中自動(dòng)獲取近似的響應(yīng)點(diǎn)作為最優(yōu)的設(shè)計(jì)備選方案[14]，其優(yōu)點(diǎn)是整個(gè)計(jì)算時(shí)間比較短，缺點(diǎn)是優(yōu)化結(jié)果依賴于建立響應(yīng)面的質(zhì)量。

4.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

通過響應(yīng)面方法得到顯函數(shù)后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型為[15]

式中： find 函 數(shù)為求解的最優(yōu)解；X表示設(shè)計(jì)變量；xn為 第n個(gè) 設(shè)計(jì)變量元素；Rn為設(shè)計(jì)變量的可行域；f(X)為 目標(biāo)函數(shù)；s.t.為 約束函數(shù)； σi(X)為 第i個(gè)不等式約束，δl(X)為 第l個(gè)不等式約束。

電主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)通常是在滿足正常工作性能的前提下達(dá)到高剛度、高頻率、輕量化的目的，在所建立的實(shí)驗(yàn)樣本中，以最大變形量最小為目標(biāo)函數(shù)，1階固有頻率越大、質(zhì)量越輕為約束函數(shù)，建立的電主軸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

式中：Pn為 主軸設(shè)計(jì)尺寸參數(shù)；δ為主軸前端最大變形量；f0為 1階固有頻率初始值；f為1階固有頻率實(shí)驗(yàn)值；W為實(shí)驗(yàn)質(zhì)量，W0為初始質(zhì)量。

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)，選用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）進(jìn)行優(yōu)化，得到的一系列Pareto解如圖7所示，其中Feasible points表示的是可行解。

圖7 3個(gè)輸出參數(shù)的Tradeoff圖

表3為分析后所給出的3組候選點(diǎn)，根據(jù)候選優(yōu)化點(diǎn)，綜合考慮優(yōu)化方案的合理性，選擇第3組候選參數(shù)作為優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化后靜剛度由原來的530.58 N/μm變?yōu)?52.89 N/μm，優(yōu)化了4.2%，1階固有頻率由原來的1048.7 Hz變?yōu)?056.5 Hz，優(yōu)化了7.4%，質(zhì)量由原來的9.7979 kg變?yōu)?.2823 kg，優(yōu)化了5.3%。

表3 優(yōu)化后的3組候選點(diǎn)

5 結(jié)論

通過對(duì)電主軸的主要結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行研究分析，對(duì)模型進(jìn)行合理必要的簡化，首先進(jìn)行靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，得到前端最大變形量、固有頻率及振型情況，在此基礎(chǔ)上對(duì)一些關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行敏感性分析并建立響應(yīng)面優(yōu)化模型。通過多目標(biāo)遺傳算法對(duì)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后各個(gè)參數(shù)均得到了一定的改善，為相關(guān)的軸類零部件優(yōu)化研究提供參考。