張建宇，王國峰

(1.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部，先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

作為工業(yè)設(shè)備的關(guān)鍵支撐部件，滾動軸承的運(yùn)行狀態(tài)，對于設(shè)備整體性能的重要性不言而喻.一旦發(fā)生軸承故障，設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)行將無法保證，甚至造成嚴(yán)重的設(shè)備停機(jī).因此，針對滾動軸承開展?fàn)顟B(tài)監(jiān)測與故障診斷，已成為業(yè)界共識.

然而，隨著一些高速、超高速設(shè)備的不斷涌現(xiàn)，給監(jiān)測數(shù)據(jù)(包括振動、噪聲等)的采集、傳輸與存儲帶來了新的挑戰(zhàn).囿于傳統(tǒng)采樣定理的限制，必須設(shè)置足夠高的采樣頻率，才能滿足高速設(shè)備的診斷需求，因此監(jiān)測數(shù)據(jù)源源不斷地產(chǎn)生，因應(yīng)了“大數(shù)據(jù)”時代的到來.為了克服香農(nóng)采樣定理對信號采集與傳輸?shù)南拗?，Donoho等[1]于2006年提出了一種全新的數(shù)據(jù)處理理論——壓縮感知(compressed sensing，CS)[2-3].自誕生之日起，壓縮感知就受到了信號處理學(xué)界的廣泛關(guān)注，同樣，在故障診斷領(lǐng)域也獲得了良好的應(yīng)用效果.Chen等[4]基于壓縮感知策略和自適應(yīng)的字典學(xué)習(xí)方法，實(shí)現(xiàn)了從變速箱信號提取脈沖分量的目的；Wang等[5]將峰值保持和壓縮感知相結(jié)合，對滾動軸承信號進(jìn)行降采樣處理，實(shí)現(xiàn)了滾動軸承的故障診斷；王強(qiáng)等[6]為了改進(jìn)信號的重構(gòu)效果，提出了針對機(jī)械振動信號的自適應(yīng)分塊壓縮感知算法；郭俊鋒等[7]提出了基于雙稀疏字典的壓縮感知方法，獲得了較高的壓縮比和精確的重構(gòu)性能.這些方法雖然降低了數(shù)據(jù)傳輸和儲存的壓力，但是信號精確重構(gòu)的難度較大，噪聲干擾嚴(yán)重的情況下更是如此，而且重構(gòu)過程消耗大量的計算資源，成本較高.

為了解決上述問題，一條新的分析路徑隨之產(chǎn)生，即直接利用壓縮觀測信號的故障診斷方法.近些年來，許多研究人員都在這方面做了有益的探索.Du等[8]將壓縮域信號恢復(fù)到頻域中，從而識別出振動信號中所包含的頻率特征；孟宗等[9]直接利用壓縮信息提取敏感特征參量，結(jié)合PSO-SVM算法實(shí)現(xiàn)了軸承故障的分類與診斷；溫江濤等[10]直接利用壓縮域信號訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了軸承的智能分類診斷；Ma等[11]采用一維CNN模型直接處理壓縮域信號，獲得了超過90%的診斷準(zhǔn)確率.但是，上述方法均是基于壓縮域信號的統(tǒng)計參量分析，再結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)算法建立的智能診斷模型，并非直接面向壓縮信號的特征提取.此外，上述方法也未充分考慮背景噪聲對壓縮觀測的干擾與影響.

針對上述問題，本文提出了一種基于壓縮域特征辨識的故障診斷方法.引入行階梯觀測矩陣，替代以高斯矩陣為代表的隨機(jī)觀測方法，實(shí)現(xiàn)原始信號的壓縮測量；為了強(qiáng)化故障特征信息、抑制噪聲干擾，采用最大相關(guān)峭度反卷積(maximum correlation kurtosis deconvolution，MCKD)進(jìn)行沖擊源的特征增強(qiáng)，并結(jié)合1.5維譜提取反卷積信號中的故障特征頻率，從而實(shí)現(xiàn)了在無須重構(gòu)的前提下，有效提取故障特征的目的，即便在強(qiáng)噪聲的干擾下，該方法也表現(xiàn)了優(yōu)良的沖擊特征識別能力.

1 故障信號的壓縮觀測方法

1.1 基于行階梯矩陣的壓縮觀測

壓縮感知理論的主要思想是通過凸優(yōu)化方法從少數(shù)非適應(yīng)性的線性測量值中恢復(fù)稀疏信號，其實(shí)現(xiàn)的前提是信號本身是稀疏的，或者經(jīng)過某種變換具有稀疏性.通過一個與稀疏變換基不相關(guān)的測量矩陣，將該信號由高維空間投射到低維空間，獲得一個攜帶原始信號信息，但長度遠(yuǎn)小于原始信號的測量信號，借助一定的重構(gòu)算法，最后再從該低維測量信號中重構(gòu)原始特征信號.其數(shù)學(xué)模型可表述如下.

假設(shè)某振動信號x∈RN×1，可以在稀疏字典Ψ∈RN×K中用少量的系數(shù)α∈RK×1稀疏地表示，即x=Ψα.同時，通過某測量矩陣Φ∈RM×N，可以得到x的線性投影觀測值y∈RM×1(M≤N)，則原始信號x、壓縮觀測值y和稀疏表示系數(shù)α之間存在

y=Φx=ΦΨα=Aα

(1)

式中A=ΦΨ為感知矩陣.

傳統(tǒng)的壓縮感知，需要從測量值y中求解稀疏系數(shù)α，進(jìn)而重構(gòu)原始信號x.該過程可以通過l1范數(shù)的最小化問題加以求解，即

=min‖α‖1s.t.y=Aα

(2)

如果要從低維測量值中高概率地重構(gòu)出原始信號，則感知矩陣A需滿足約束等距性質(zhì)(restricted isometry property，RIP)[3-4]，其等價條件為測量矩陣Φ和字典矩陣Ψ不相關(guān).

從另一個角度而言，只有當(dāng)壓縮測量值中包含足夠多的原始特征信息，重構(gòu)過程才有意義.因此，能否跳過信號的復(fù)雜重構(gòu)，直接利用壓縮觀測結(jié)果獲得同等價值的特征提取效果，是本文討論的出發(fā)點(diǎn).

由于隨機(jī)矩陣與大多數(shù)的稀疏表示矩陣不相關(guān)，因此成為壓縮觀測矩陣的首選，例如高斯矩陣、伯努利矩陣等，其中尤以高斯隨機(jī)矩陣的應(yīng)用最為廣泛.但是，隨機(jī)矩陣的壓縮測量結(jié)果，破壞了原始信號的結(jié)構(gòu)化特征，很難直接利用.例如，采用解調(diào)分析，往往無法從壓縮后的故障信號中，提取到有價值的特征信息.因此，以Toeplitz矩陣為代表的確定性矩陣，也逐漸被用于壓縮感知框架.本文采用的行階梯觀測矩陣，也屬于確定性矩陣的范疇，其基本的構(gòu)造方式為

(3)

該矩陣目前已在語音信號中獲得了成功應(yīng)用[12].式中Rc=N/M(N、M分別為矩陣的列數(shù)和行數(shù))，即為信號壓縮比.矩陣的每一行只有Rc個元素非零，且全為1，其后一行均由前一行平移Rc個單位得到.行階梯矩陣的數(shù)值容量小，計算復(fù)雜度低，更為重要的是，根據(jù)矩陣的構(gòu)成特點(diǎn)，在實(shí)現(xiàn)壓縮投影的同時，壓縮信號還能與原始信號保持一定的結(jié)構(gòu)相似性，這些特點(diǎn)均為未來通過硬件實(shí)現(xiàn)壓縮感知提供了一種可行的途徑，值得深入研究.

采用行階梯矩陣作為測量矩陣，矩陣的列數(shù)與信號長度相同，行數(shù)與列數(shù)之間需滿足倍數(shù)關(guān)系.為保證壓縮信號與原始信號的結(jié)構(gòu)特征相似，壓縮比的大小與采樣頻率直接相關(guān).采樣率越高，則壓縮比的取值范圍越大，亦即壓縮程度可以更大.但是，如果壓縮比選擇不合理，取值過大，則會破壞原始信號的固有結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致提取不到有效的故障特征頻率.因此，壓縮比的數(shù)值大小，需要根據(jù)實(shí)際信號的采樣頻率，以及信號的結(jié)構(gòu)特征加以確定.

1.2 行階梯矩陣的壓縮效率與性能分析

為了驗(yàn)證行階梯矩陣的壓縮觀測效果，本文首先采用滾動軸承的模擬故障信號加以分析，該信號的數(shù)學(xué)模型[13]表示為

sin[2πfdj(t-iT)]+n(t)

(4)

式中：fdj、ξj分別表示軸承第j階有阻尼的固有頻率和阻尼比；Aij為第j階固有頻率下、第i個沖擊振動的幅值；T為沖擊發(fā)生的周期；n(t)為噪聲信號；I為沖擊響應(yīng)的次數(shù)；J為軸承的模態(tài)階數(shù).

結(jié)合現(xiàn)場檢測的軸承故障信號特點(diǎn)，模型參數(shù)設(shè)定如下：J=2，即假定前兩階模態(tài)受到激勵，其中第一階：fd1=2 000，ξ1=0.10，第二階：fd2=4 200，ξ2=0.07；故障周期T=0.01 s，采樣頻率fs=50 kHz，Aij為0.5～1.0的隨機(jī)數(shù).

本文以壓縮比Rc衡量信號的被壓縮程度，壓縮比指標(biāo)為

(5)

式中：N為原始信號長度；M為壓縮測量信號長度.

針對圖1所示的模擬故障信號，長度為50 400點(diǎn)，壓縮比取值Rc=4.本文選取高斯矩陣、伯努利矩陣、Toeplitz矩陣，以及行階梯矩陣，分別作為測量矩陣，實(shí)現(xiàn)信號的壓縮觀測，結(jié)果如圖2所示.

圖1 仿真信號波形及包絡(luò)譜Fig.1 Waveform and envelope spectrum of simulation signal

圖2 不同測量矩陣下的壓縮域信號波形Fig.2 Waveforms of compressed signals with different measurement matrices

由圖2可見，經(jīng)過高斯矩陣和伯努利矩陣壓縮測量的信號，已經(jīng)失去了故障仿真信號(見圖1(a))的原始特征(周期沖擊、衰減振蕩)，原因在于觀測矩陣的隨機(jī)分布特性，抵消了原始信號的結(jié)構(gòu)化特征.而Toeplitz矩陣雖然屬于確定性矩陣，但由圖2(c)可見，信號的周期性雖有所保留，但其細(xì)節(jié)特征已遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離式(4)描述的沖擊振蕩特性.圖2(d)為行階梯矩陣的壓縮觀測結(jié)果，可見，信號長度在縮減為1/4的同時，其原始特征也得以保留.

表1為4種測量矩陣的計算成本對比，可見，高斯矩陣雖然構(gòu)造效率優(yōu)于伯努利矩陣和Toeplitz矩陣，但其消耗內(nèi)存卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于后兩者.綜合來看，不論是構(gòu)造時間，還是消耗的系統(tǒng)資源，行階梯矩陣都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他3種測量矩陣.

1.3 噪聲干擾下的壓縮觀測性能

行階梯矩陣獨(dú)特的構(gòu)造特點(diǎn)使得信號在被壓縮

表1 不同測量矩陣的計算成本對比

的同時，結(jié)構(gòu)化特征最大程度地得以保留，為壓縮測量結(jié)果的直接利用提供了便利.但是，在故障診斷實(shí)踐中，現(xiàn)場采集的振動信號通常會混入大量的背景噪聲，以致嚴(yán)重影響故障特征的準(zhǔn)確辨識，因此行階梯矩陣是否適用于工程信號，需要進(jìn)一步討論.

為了模擬背景噪聲對振動信號的干擾，本文在圖1(a)所示的仿真信號中添加了-18 dB的白噪聲，染噪后的時域波形及解調(diào)譜如圖3所示.由圖可見，由于加入的噪聲強(qiáng)度較高，沖擊特征在圖3(a)中被完全淹沒.圖3(b)與圖1(b)對比可見，與模擬故障沖擊相對應(yīng)的100 Hz及其各階倍頻，在染噪后的解調(diào)譜中也幾乎被完全覆蓋，其中僅能分辨出100 Hz的特征譜線.

圖3 染噪仿真信號的波形及包絡(luò)譜Fig.3 Waveform and envelope spectrum of the simulation signal with noise

針對染噪后的仿真信號，采用行階梯矩陣進(jìn)行壓縮觀測，同樣設(shè)置壓縮比Rc=4，結(jié)果如圖4 所示.

圖4 壓縮域信號的波形及包絡(luò)譜Fig.4 Waveforms and envelope spectrum of compressed signals

可見，壓縮后的時域波形(見圖4(a))，長度縮減為原始信號(見圖3(a))的1/4，但二者統(tǒng)計特性相近，即呈現(xiàn)無規(guī)律的隨機(jī)特征.圖4(b)與圖3(b)相比而言，特征頻率(100 Hz)及其諧波特征有所增強(qiáng)，表明基于行階梯矩陣的壓縮觀測對白噪聲有一定的抑制作用，但與原始的沖擊特征(見圖1(b))相比，仍相去甚遠(yuǎn).

顯然，在噪聲干擾嚴(yán)重的情況下，直接利用行階梯矩陣的壓縮觀測結(jié)果，并不足以保證故障特征的準(zhǔn)確辨識.

2 基于MCKD與1.5維譜的特征增強(qiáng)

為了充分利用行階梯矩陣在長信號處理方面的優(yōu)勢(即壓縮信號、提升效率、保留結(jié)構(gòu)化特征)，需要針對噪聲干擾提出相應(yīng)的解決方案.考慮到所有的機(jī)械振動信號，均可視為振源激勵與傳遞路徑卷積的結(jié)果，而響應(yīng)信號中的噪聲，都是在信號傳遞過程中混入的.因此，反卷積分析方法在振源(即為故障源)識別方面具有獨(dú)到的優(yōu)勢，其中最經(jīng)典的莫過于最小熵反卷積(minimum entropy deconvolution,MED).但是，MED在以峭度最大化為目標(biāo)的迭代過程中，無法避免偽沖擊造成的誤識別.因此，Mcdonald等[14]提出了MED的改進(jìn)算法——MCKD.

2.1 MCKD的基本思想

MCKD以相關(guān)峭度作為評價指標(biāo)，分析思路與MED類似，即通過迭代尋優(yōu)，使濾波后的信號相關(guān)峭度最大，從而避免單一峭度造成的誤識別，同時對背景噪聲具有一定的抑制能力.

(6)

MED在計算矩陣W的過程中，優(yōu)化目標(biāo)是峭度指標(biāo).而相關(guān)峭度，則是以相隔周期T的2點(diǎn)或多點(diǎn)數(shù)據(jù)的能量之積替代傳統(tǒng)峭度中的四階矩，從而保證信號只有在周期相關(guān)的前提下，才可能取得極大值，其定義如下.

一階相關(guān)峭度：

(7)

M階相關(guān)峭度：

(8)

當(dāng)n≠1,2,…，N時，yn=0，xn=0.

根據(jù)MCKD的基本理論，可得一階及M階最大相關(guān)峭度反卷積分離矩陣W的迭代公式

(9)

(10)

2.2 1.5維譜的基本原理

MCKD的處理結(jié)果仍為時域信號，而故障診斷必須依賴于特征頻率的準(zhǔn)確識別.目前，包絡(luò)解調(diào)是識別頻率特征的最有效手段之一，但只適用于調(diào)制特征的處理，對改善信號的信噪比沒有任何貢獻(xiàn).

已有研究表明，信號的高階累積量，具有很強(qiáng)的抑制高斯白噪聲的能力，同時還包含了二階以下統(tǒng)計量不具備的豐富信息.因此，本文以信號的三階累積量為切入點(diǎn)，針對被噪聲污染的故障振動信號x(t)=s(t)+n(t)，計算其三階累積量

C3x(τ1,τ2)=E{x(t)x(t+τ1)x(t+τ2)}

(11)

式中：E為數(shù)學(xué)期望；τ1,τ2為不同的時間延遲.

當(dāng)τ1=τ2=τ時，可以得到信號x(t)三階累積量的主對角切片

C3x(τ,τ)=E{x(t)x(t+τ)x(t+τ)}

(12)

顯然，通過式(12)的傅里葉變換，也可以達(dá)到凈化頻域信息的目的，即所謂1.5維譜[15]

(13)

構(gòu)造

(14)

所示的5次諧波信號，基頻為20 Hz，n(t)為均值為零的高斯白噪聲(SNR=-5 dB).

取采樣頻率為512 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048.圖5(a)為含噪諧波信號的頻譜圖，除諧波特征之外，整個頻段還受到了噪聲影響.圖5(b)為該信號的1.5維譜圖，其中包含的噪聲已大為減少，印證了高階累積量的抑噪作用，同時還發(fā)現(xiàn)，信號中的基頻分量得以增強(qiáng)，各次諧波由低頻到高頻，能量逐漸降低.

圖5 含噪諧波信號的1.5維譜分析Fig.5 1.5 dimensional spectrum analysis of harmonic signal with noise

由于1.5維譜具有加強(qiáng)基頻分量、抑制高斯白噪聲等諸多優(yōu)點(diǎn)，本文采用1.5維譜與MCKD算法相結(jié)合，處理行階梯矩陣壓縮觀測的信號，增強(qiáng)故障諧波特征的同時，濾除背景噪聲干擾，進(jìn)而提高故障特征辨識的準(zhǔn)確率，聯(lián)合方案計算流程如圖6所示.

圖6 壓縮域軸承故障診斷流程Fig.6 Flow chart of bearing fault diagnosis in compression region

2.3 MCKD與1.5維譜的仿真驗(yàn)證

針對圖4(a)所示的染噪信號壓縮測量結(jié)果，采用MCKD+1.5維譜的分析方法提取故障特征，為了對比1.5維譜的分析效果，MCKD處理完的結(jié)果同樣做了包絡(luò)解調(diào)處理，結(jié)果如圖7所示.

圖7 壓縮觀測信號的MCKD處理結(jié)果Fig.7 Waveforms and envelope spectrum of the signal after MCKD

圖7(a)為MCKD處理后的時域信號，盡管與圖4(a)相比，沖擊特征有所體現(xiàn)(橢圓圈出的部分)，但整體的噪聲仍然很強(qiáng)，信噪比不高.與之相匹配，解調(diào)譜(見圖7(b))中的特征頻率及其諧波較為突出，但整個頻段仍分布了能量均衡的白噪聲.

圖7(c)為MCKD處理結(jié)果的1.5維包絡(luò)譜，與圖7(b)相比，背景噪聲得到有效的抑制，故障頻率的諧波特征更為突出，該結(jié)果與原始故障模型的包絡(luò)解調(diào)譜(見圖1(b))非常相近.

3 模擬故障數(shù)據(jù)分析

本文模擬故障實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自于日本三重大學(xué)的滾動軸承實(shí)驗(yàn)臺，其結(jié)構(gòu)如圖8所示，軸承型號為NTN-NU204圓柱滾子軸承，在軸承的外圈滾道，通過線切割加工裂紋缺陷，如圖9所示，裂紋深度0.05 mm，寬度0.3 mm.采用加速度傳感器采集振動信號，采樣頻率為100 kHz.實(shí)驗(yàn)臺轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，計算可知該軸承的外圈故障頻率f0=101.7 Hz.

圖8 滾動軸承實(shí)驗(yàn)臺Fig.8 Rolling bearing test rig

圖9 故障軸承實(shí)物Fig.9 Damaged bearing

模擬故障信號的原始波形及其包絡(luò)譜如圖10所示，信號長度為90 720點(diǎn).

由圖10可見，實(shí)驗(yàn)環(huán)境受到的噪聲干擾較小，故障特征(時域的周期沖擊、頻域的諧波特征)較為清晰.為了施加噪聲影響，人為在信號中添加-16 dB的白噪聲，結(jié)果如圖11(a)所示，可見時域沖擊完全被噪聲淹沒，解調(diào)譜(見圖11(b))中僅能看到個別的特征譜線存在.取Rc=4，利用行階梯矩陣對圖11(a)信號進(jìn)行壓縮觀測，再經(jīng)MCKD特征增強(qiáng)后完成1.5維譜分析，結(jié)果如圖11(c)所示.可見，經(jīng)本文提出的方法處理后，壓縮域內(nèi)亦能提取出較為清晰的故障特征.

圖11 外圈故障染噪信號的分析結(jié)果對比Fig.11 Comparison results of the fault signal of outer ring with adding noise

4 工程數(shù)據(jù)分析

圖12為某高線精軋機(jī)組的軸承布置圖，由1臺電機(jī)拖動10臺軋機(jī)同時工作，出口線材速度超過100 m/s，由于設(shè)備速度快、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致精軋工段故障率較高.

圖12 精軋機(jī)組軸承分布圖Fig.12 Bearing distribution of finishing mill group

圖13 工程信號的波形及包絡(luò)譜Fig.13 Waveform and envelope spectrum of engineering signal

2005年11月22日，27#精軋機(jī)發(fā)生振動報警，本文選取報警前2 h的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采樣頻率為12 kHz，數(shù)據(jù)長度2 048，原始信號的波形及其包絡(luò)譜如圖13所示.可見，由波形圖能觀察到一定的沖擊特征，但噪聲干擾也很突出.包絡(luò)譜中能夠找到117.2 Hz及其2倍頻，經(jīng)與理論值比較，117.2 Hz即為軋機(jī)Ⅱ軸的故障頻率.

圖14 壓縮域MCKD信號的波形及包絡(luò)譜Fig.14 Waveforms and envelope spectrum of the compressed signal of MCKD

因該組工程數(shù)據(jù)的采樣長度不大，故此處取壓縮比CR=2，采用圖6流程完成診斷分析，結(jié)果如圖14所示.由圖14(a)可見，壓縮后信號長度變?yōu)樵盘栆话耄?jīng)MCKD處理后，沖擊特征相對原始信號明顯增強(qiáng)(圖中矩形圈出部分).圖14(b)為MCKD處理后的解調(diào)譜，與圖13(b)相比，117.2 Hz及其倍頻特征更加突出，而且諧波成分更為豐富，但整個頻段的噪聲干擾仍然比較明顯.圖14(c)為MCKD處理結(jié)果的1.5維包絡(luò)譜，顯然，不管是與原始信號(見圖13)，還是與圖14(b)相比，其故障特征的辨識精度都大幅度提高.

5 結(jié)論

1) 相比于高斯矩陣、伯努利矩陣等常規(guī)隨機(jī)矩陣，行階梯觀測矩陣在構(gòu)造效率、系統(tǒng)消耗方面都具有明顯優(yōu)勢，其不僅有利于長信號的采集、傳輸與存儲，而且還能保留原始信號的結(jié)構(gòu)化特征，便于在故障診斷領(lǐng)域的推廣.

2) 在較強(qiáng)的背景噪聲干擾下，單純依靠行階梯矩陣的壓縮觀測，無法擺脫噪聲的影響.引入MCKD后，信號的抑噪能力提高；借助三階累積量對高斯白噪聲的抑制作用，MCKD與1.5維譜的結(jié)合，可以更顯著地改善特征辨識精度.

3) 仿真信號和工程數(shù)據(jù)的分析均表明：本文提出的“行階梯壓縮觀測+MCKD+1.5維譜”的分析方法，有效降低了數(shù)據(jù)長度，規(guī)避了傳統(tǒng)壓縮感知繁瑣的重構(gòu)流程，節(jié)約了計算資源，并且體現(xiàn)了優(yōu)越的故障特征識別能力.