吳學(xué)仁 徐 武

1 北京航空材料研究院, 北京 100095

2 上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院, 上海 200240

1 引 言

在材料制備/構(gòu)件制造和結(jié)構(gòu)使用過程中, 難以避免出現(xiàn)各種原因引發(fā)的裂紋(缺陷/損傷).裂紋在使用載荷/環(huán)境因素作用下的持續(xù)擴(kuò)展, 會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的災(zāi)難性破壞. 圖1 給出了對推動(dòng)斷裂力學(xué)和損傷容限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的發(fā)展具有“里程碑”意義的結(jié)構(gòu)破壞事故. 自20 世紀(jì)中葉開始迅速發(fā)展的斷裂力學(xué), 為含裂紋材料和結(jié)構(gòu)的安全性評定和使用壽命預(yù)測提供了理論和方法, 在航空航天、先進(jìn)材料、核電能源、石油化工、交通運(yùn)輸、大型裝備和土木工程等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用. 由于安全系數(shù)和使用壽命要求, 含裂紋工程材料和結(jié)構(gòu)基本都使用在線彈性范圍(包括小范圍屈服). 只要構(gòu)件承受的載荷不超過其全塑性屈服載荷的50%, 甚至凈截面應(yīng)力不超過80%材料屈服應(yīng)力(NASGRO 2012), 在通常情況下小范圍屈服就是合理的假設(shè). 即使結(jié)構(gòu)件出現(xiàn)塑性屈服, 基于線彈性斷裂力學(xué)(linear elastic fracture mechanics, LEFM)分析的結(jié)果經(jīng)適當(dāng)修正后仍然有效. 甚至在進(jìn)入大范圍屈服階段后, 彈性區(qū)部分仍然要用LEFM 的分析方法(黃克智和余壽文 1985). 這使得LEFM 成為含裂紋材料與結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度分析和使用壽命預(yù)測的主要理論工具.

在線彈性條件下, 主宰裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場奇異性強(qiáng)度的關(guān)鍵力學(xué)控制參量是由Irwin(1957)首次提出的應(yīng)力強(qiáng)度因子K(stress intensity factor, SIF).K包含了裂紋體幾何和載荷對裂紋尖端場奇異性強(qiáng)度的影響, 唯一地表征了線彈性裂紋尖端場的強(qiáng)度(Hutchinson 1979, 楊衛(wèi)1995, 王自強(qiáng)和陳少華 2009). 這使得以K為核心的裂紋尖端場的“單參量表征(one parameter characterization)”成為斷裂力學(xué)中最重要的概念之一(Anderson 2005). 對于斷裂力學(xué)的工程應(yīng)用來說,K為由實(shí)驗(yàn)室簡單試樣的試驗(yàn)結(jié)果向復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移奠定了理論基礎(chǔ). McClung 等(2013) 指出: 在材料和結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命分析中,K的計(jì)算是最重要的一步. 作為裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力(driving force),K的高精度求解計(jì)算是線彈性斷裂力學(xué)的中心工作(ASTM E08.04.01 2018), 也是損傷容限設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)完整性評價(jià)的關(guān)鍵和前提.

長期以來, 國際斷裂界發(fā)展了許多求解K的理論和方法. 但由于裂紋尖端應(yīng)力場的奇異性,嚴(yán)格的理論解法只限于極少的理想裂紋幾何/載荷情況, 如無限大板中心裂紋/周期性共線裂紋,內(nèi)埋橢圓裂紋, 以及半無限裂紋. 對于工程實(shí)際中的絕大多數(shù)有限體裂紋幾何, 目前采用的兩種主要方法則是數(shù)值方法(有限元法FEM 和邊界元法BEM)和權(quán)函數(shù)法(weight function method,WFM). 數(shù)值方法對復(fù)雜裂紋幾何體具有強(qiáng)大的分析能力, 但正如負(fù)責(zé)航空航天結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)大型工業(yè)軟件開發(fā)的美國西南研究院(SwRI) McClung 等 (2013)指出的, FEM 等數(shù)值方法分析裂紋問題在技術(shù)上固然沒有困難, 對一些特殊的現(xiàn)場裂紋問題分析是個(gè)很有吸引力的選擇. 但對于含有大量斷裂關(guān)鍵部位的復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說, 由于裂紋尖端場的奇異性和裂紋尺寸的不斷變化,使得各種數(shù)值方法的建模/計(jì)算工作量很大, 所以數(shù)值方法作為一種通用的結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)工具仍然是不現(xiàn)實(shí)的(impractical).

圖1推動(dòng)斷裂力學(xué)和損傷容限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則發(fā)展的“里程碑”事故. (a)斯克內(nèi)克塔迪自由輪在平靜的港灣中整體斷裂為兩段(Tetelman & McEvily 1967), 該事故引起人們對裂紋尖端場的關(guān)注與研究;(b) 鍛造缺陷引起的裂紋導(dǎo)致美國空軍F-111 戰(zhàn)斗轟炸機(jī)機(jī)翼斷裂墜毀, 該事故推動(dòng)了損傷容限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和規(guī)范的建立(Wanhill 2003); (c) 多位置損傷MSD 導(dǎo)致阿羅哈航空公司波音737-200機(jī)身壓力艙上部蒙皮被撕脫,該事故改變了大型運(yùn)輸機(jī)的適航規(guī)范 (Wanhill 2003, FAA 2010);(d) 疲勞裂紋導(dǎo)致CF6-6D 航空發(fā)動(dòng)機(jī)鈦合金一級風(fēng)扇盤破裂, DC-10 客機(jī)墜毀(McEvily 2002),它推動(dòng)了發(fā)動(dòng)機(jī)損傷容限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和規(guī)范的建立.

與FEM 等數(shù)值方法的大量建模/計(jì)算相比, 權(quán)函數(shù)法只需通過一個(gè)簡單的積分, 就能以高出幾個(gè)數(shù)量級的計(jì)算速度, 求得裂紋體在任意復(fù)雜載荷條件下的完整K(a)曲線. 權(quán)函數(shù)法以其高度的普適性、出色的求解效率、準(zhǔn)確可靠和便于應(yīng)用的特點(diǎn), 在裂紋體分析和損傷容限設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用. 在國際航空航天界廣泛應(yīng)用的兩個(gè)大型工業(yè)軟件中, 權(quán)函數(shù)法是計(jì)算K(a)的主要方法(NASGRO 2012), 甚至是唯一方法(DARWIN 2008). 在迅速發(fā)展的各類新型材料(智能/納米/生物)裂紋問題的建模分析中, 特別是在橋連增韌方面, 權(quán)函數(shù)也得到了日益廣泛的應(yīng)用(Shao et al. 2012, Meng et al. 2018, Gao et al. 2021, Wang et al. 2020).

權(quán)函數(shù)法問世至今已達(dá)半個(gè)世紀(jì). Bueckner (1970)從各向同性材料的彈性應(yīng)力場的解析函數(shù)性能的角度首次提出了權(quán)函數(shù)法; Rice (1972)則從應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能的關(guān)系論述了權(quán)函數(shù)概念, 并提出通過求裂紋面位移對裂紋長度的偏導(dǎo)數(shù)獲取權(quán)函數(shù)的方法. 權(quán)函數(shù)法的獨(dú)特優(yōu)勢源于把影響裂紋尖端K的兩個(gè)因素, 即載荷和幾何特性進(jìn)行變量分離. 從理論上說, 權(quán)函數(shù)本身只代表裂紋體的幾何特性(包含力/位移邊界的劃分)而與裂紋體所受載荷無關(guān)(但當(dāng)前文獻(xiàn)中的絕大多數(shù)權(quán)函數(shù)在不同程度上是受到用以推導(dǎo)它們的參考載荷情況影響的, 見3.3 節(jié)). 在權(quán)函數(shù)法的研究與應(yīng)用中, 各類裂紋幾何高精度權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)和驗(yàn)證則是關(guān)鍵.

結(jié)合筆者關(guān)于權(quán)函數(shù)法的若干綜合性研究工作(Wu & Carlsson 1991, Wu 2019, 吳學(xué)仁等2019, Wu & Xu 2022), 本文力圖對50 年來國際斷裂界在權(quán)函數(shù)法研究與應(yīng)用方面取得的主要進(jìn)展進(jìn)行歷史性回顧, 并對權(quán)函數(shù)法的未來發(fā)展與工程應(yīng)用作出展望. 本文討論的主要內(nèi)容包括:二維裂紋的幾種主要解析與數(shù)值權(quán)函數(shù)法, 以格林函數(shù)為基準(zhǔn)的權(quán)函數(shù)精度驗(yàn)證, 三維裂紋的片條合成權(quán)函數(shù)法和點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, 以及權(quán)函數(shù)法在裂紋體斷裂力學(xué)分析求解中的各類工程應(yīng)用簡介.

2 二維裂紋問題分析的權(quán)函數(shù)法

根據(jù)Bueckner (1970) 和Rice (1972)的權(quán)函數(shù)理論, 以及Wu 和Carlsson (1983)的混合邊界條件下的廣義權(quán)函數(shù)法, 結(jié)合Bueckner (1958)提出的斷裂力學(xué)疊加原理, 裂紋體在任意載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K可通過對該裂紋體的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)和無裂紋體在假想裂紋位置的應(yīng)力σ(ξ)的乘積, 沿裂紋長度a積分得到. 采用無量綱表達(dá)形式, 用權(quán)函數(shù)法計(jì)算K(a)的公式為

式中α和ξ分別是無量綱裂紋長度和坐標(biāo),α=a/W,ξ=x/W(a和x分別是實(shí)際裂紋長度和坐標(biāo);W是裂紋體特征尺寸, 按具體裂紋幾何自行選擇, 一旦選定則在整個(gè)分析過程中保持不變). 式(1)表明, 用權(quán)函數(shù)法對裂紋體進(jìn)行斷裂力學(xué)分析計(jì)算只需要兩個(gè)已知條件. 一是裂紋體的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α); 二是裂紋面應(yīng)力σ(ξ), 其定義是: 不考慮裂紋的存在, 由作用在裂紋體邊界的所有載荷和位移以及內(nèi)部體積力和內(nèi)應(yīng)力在假想裂紋位置引起的應(yīng)力, 也稱為“無裂紋應(yīng)力”.σ(ξ)的分析計(jì)算與裂紋無關(guān), 是一個(gè)常規(guī)的彈性力學(xué)問題, 可用彈性理論和/或有限元等數(shù)值方法通過一次計(jì)算確定. 所以權(quán)函數(shù)法的核心是寬范圍高精度權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)的確定與驗(yàn)證.

權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)方法可歸為兩類: 解析法和數(shù)值法. 數(shù)值方法不但計(jì)算量很大, 而且通常只能給出若干離散點(diǎn)(裂紋長度和位置)的權(quán)函數(shù)值, 使用不便. 解析方法則能得到作為裂紋長度連續(xù)函數(shù)的權(quán)函數(shù)表達(dá)式, 使用方便高效. 但不同解析方法所得到的權(quán)函數(shù)精度水平差異較大, 需要嚴(yán)格驗(yàn)證確認(rèn). 解析權(quán)函數(shù)法一般需要已知參考載荷情況的K解為前提條件. 根據(jù)所用的單個(gè)或多個(gè)參考載荷情況(multiple reference state, MRS)可分為不同的推導(dǎo)方法. 應(yīng)該指出, 本文所說的解析權(quán)函數(shù)并非嚴(yán)格的理論精確解(只有極少數(shù)裂紋幾何存在權(quán)函數(shù)精確解), 而是采用解析推導(dǎo)方法得到的非精確權(quán)函數(shù), 其精度取決于具體推導(dǎo)方法和輸入條件.

2.1 基于裂紋張開位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法

Rice (1972)指出, 權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)可通過參考載荷(用下標(biāo)r 表示)情況下的裂紋張開位移(COD), 即Ur(a,x), 對裂紋長度a求偏導(dǎo)數(shù)得到.

式(2)是基于裂紋張開位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法的基礎(chǔ).

2.1.1 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)

參考載荷情況下的COD 解Ur(a,x)是推導(dǎo)權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)的前提. 文獻(xiàn)中雖然有大量的應(yīng)力強(qiáng)度因子解, 卻鮮有高精度的裂紋COD 解. 這使得有限體裂紋的解析權(quán)函數(shù)推導(dǎo)成為一個(gè)相當(dāng)棘手(rather formidable)的問題(Sham 1987). Petroski 和Achenbach (1978)提出了利用參考載荷情況的應(yīng)力強(qiáng)度因子Kr確定COD 的一種有效的P-A 方法, 得到許多研究者的關(guān)注和應(yīng)用.但學(xué)者們通過深入研究發(fā)現(xiàn), 這種方法盡管很有效, 但在求解精度和適用范圍方面存在一些局限性(Gorner et al. 1985, Fett 1988, Niu & Glinka 1987, Beghini et al. 1991, Wu & Carlsson 1991),主要原因是其COD 表達(dá)式只有2 項(xiàng). 如一些研究者指出(Orange 1985, Fett & Bahr 1999, Karihaloo & Xiao 2003), 用僅含有2 項(xiàng)的表達(dá)式很難給出有足夠精度的COD, 特別是當(dāng)裂紋較長時(shí).這使得P-A 方法的應(yīng)用受到一些限制. 而Orange (1972, 1985)基于圓錐截面的邊緣裂紋COD 表達(dá)式也只包含2 項(xiàng), 同樣精度偏低(Grandt 1975).

2.1.1.1 裂紋張開位移的確定和驗(yàn)證

為了更合理地表達(dá)不同類型裂紋的張開位移, 考慮到邊緣裂紋和中心裂紋張開位移的顯著差別, Wu 和Carlsson (1991)提出把二維裂紋幾何分為兩類, 即中心裂紋和邊緣裂紋(圖2), 對其裂紋張開位移各采用一個(gè)規(guī)范化的COD 表達(dá)式, 并對長度尺寸和應(yīng)力進(jìn)行無量綱正則化處理,以使得推導(dǎo)清晰簡潔. 無量綱裂紋長度α=a/W, 正則化坐標(biāo)ξ=x/W. 坐標(biāo)原點(diǎn)位于裂紋嘴(crack mouth), 如圖2 所示.

(1)中心裂紋. 以無限板中心裂紋的COD 解析解為基礎(chǔ), 在整個(gè)裂紋面受連續(xù)分布應(yīng)力作用下, COD 假設(shè)為以下級數(shù)形式(Wu & Carlsson 1991, Wu 1992)

式中的函數(shù)Fj(α)采用3 個(gè)求解條件確定. 條件1: 裂紋尖端關(guān)系, 即裂紋尖端后方(ξ/α→1)處的裂紋張開位移ur(α,ξ)和應(yīng)力強(qiáng)度因子Kr(a)的關(guān)系; 條件2: 自洽性, 即基于“自洽性(self consistency)”原理(Petroski & Achenbach 1978), 把所推導(dǎo)的權(quán)函數(shù)用于計(jì)算參考載荷σr(x)自身作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K時(shí), 其結(jié)果應(yīng)當(dāng)與參考應(yīng)力強(qiáng)度因子解Kr(a)完全一致; 條件3: 裂紋嘴張開位移(CMOD), 即Vr=ur(α,ξ= 0).

對于最簡單的裂紋面均布應(yīng)力情況(σr(ξ)/σ0= 1), 由以上條件可確定中心裂紋幾何的Fj(α)

式中:

圖2裂紋幾何分類和特征尺寸W 選取示例. (a)中心裂紋, (b)邊緣裂紋. 注意中心裂紋和邊緣裂紋對裂紋嘴的定義

為驗(yàn)證式(4)的精度, 考慮唯一有COD 精確解的“有限”(裂紋長度與裂紋間距之比)裂紋幾何,即無限板周期性共線裂紋在裂紋面均布應(yīng)力作用下的COD. 由無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fr和裂紋嘴張開位移CMOD 的精確解Vr(Tada et al. 2000)確定Fj(α)函數(shù),進(jìn)而求得COD. 所得結(jié)果與COD 的精確解比較, 二者在α= 0 ～ 0.8 范圍內(nèi)幾乎完全一致, 即使在α= 0.9 時(shí)最大相對差異也小于0.5%, 見圖3(a).

(2)邊緣裂紋. 在整個(gè)裂紋面受連續(xù)分布應(yīng)力作用下, 有限體邊緣裂紋的COD 假設(shè)為以下級數(shù)形式(Wu & Carlsson 1991, Wu 1992)

式中, 函數(shù)Fj(α)一般采用4 個(gè)求解條件確定. 前3 個(gè)條件與中心裂紋相同, 第4 個(gè)條件是: 邊緣裂紋COD 廓線的二階導(dǎo)數(shù)在裂紋嘴處(ξ= 0)為0 (Fett et al. 1987, Fett & Munz 1997), 即

對于最簡單的裂紋面均布應(yīng)力情況(σr(ξ)/σ0= 1), 由以上條件可確定邊緣裂紋幾何的Fj(α)

圖3三種裂紋幾何的COD 權(quán)函數(shù)解與精確解及有限元解比較. (a) 無限板周期性共線裂紋受裂紋面均勻應(yīng)力, (b) 圓盤徑向邊緣裂紋受裂紋面均勻應(yīng)力, (c) 無限板孔邊徑向雙裂紋受遠(yuǎn)方拉伸

式中:

為驗(yàn)證邊緣裂紋COD 的求解精度, 考慮直徑為D的圓盤中的一條徑向邊緣裂紋, 取D為特征尺寸(α=a/D). 在裂紋面均布應(yīng)力(σr(ξ)/σ0= 1)作用下, 應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴位移的參考解fr(α)和Vr(α)都有理論精確解(Gregory 1977), 據(jù)此可確定圓盤邊緣裂紋的COD,ur(α,ξ/α).圖3(b)是與有限元結(jié)果的比較. 二者在α= 0 ～ 0.8 的范圍內(nèi)幾乎完全重合, 即使在α= 0.85 的情況下, 差別仍然非常小. 這表明中心裂紋和邊緣裂紋在參考載荷為裂紋面均布應(yīng)力情況下, 求得的裂紋張開位移都有很高的精度. 對非均布應(yīng)力如多項(xiàng)式分布, 函數(shù)Fj(α)的推導(dǎo)可見文獻(xiàn)(Wu & Carlsson 1991, 吳學(xué)仁等 2019), 其結(jié)果精度也高. 以無限板孔邊雙裂紋為例, 取遠(yuǎn)方拉伸下的裂紋面非均布應(yīng)力為參考載荷. 圖3(c)是解析權(quán)函數(shù)法和有限元計(jì)算的COD 比較. 可見二者偏差絕大部分都在1%以內(nèi), 最大不超過± 1.4%. 這說明采用明顯非均布裂紋面應(yīng)力作為參考載荷, 解析權(quán)函數(shù)法給出的裂紋面全場位移仍有高精度. 這3 種情況的結(jié)果表明, 此方法對參考載荷適應(yīng)性很強(qiáng), 能為基于裂紋張開位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)推導(dǎo)提供可靠保證.

2.1.1.2 中心裂紋和邊緣裂紋的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)

將中心裂紋和邊緣裂紋的COD 解析表達(dá)式對裂紋長度α求偏導(dǎo)數(shù), 可得到權(quán)函數(shù)的解析表達(dá)式m(α,ξ/α).

(1)中心裂紋

式中, 系數(shù)βi(α)可以簡寫為

其中, 當(dāng)i= 0 或i≥J時(shí),Fi(α) = 0.

作為示例, 圖4(a)給出了無限板周期性共線裂紋的βi(α)曲線. 注意這里討論的是幾何對稱的中心裂紋. 偏心裂紋的權(quán)函數(shù)推導(dǎo)和應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算可參閱相關(guān)文獻(xiàn)(Chen & Albrecht 1994, Ng & Lau 1999, He et al. 2018).

(2)邊緣裂紋

式中, 系數(shù)βi(α)可簡寫為

其中, 當(dāng)i= 0 或i≥J時(shí),Fi(α) = 0.

作為示例, 圖4(b)給出了圓盤徑向邊緣裂紋的βi(α)曲線.

以上用于I 型裂紋的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)方法也適用于Ⅱ型裂紋, 并可推廣到各向異性材料的裂紋問題(Xu et al. 2020a, 2020b; 吳學(xué)仁等 2019; Wu & Xu 2022). 對于II 型裂紋問題,推導(dǎo)中只需要把I 型參考應(yīng)力和參考解替換為II 型. Xu 等 (2020a)采用這種方法給出了有限矩形板/圓盤的中心/邊緣裂紋, 以及孔邊裂紋的II 型權(quán)函數(shù)(Xu et al. 2018). 對于各向異性材料裂紋問題, 只要在推導(dǎo)中把各向同性材料的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴張開位移CMOD 參考解fr(α)和Vr(α)分別替換成fr(α,ρ)和Vr(α,ρ),ρ為各向異性材料彈性模量和泊松比相關(guān)的無量綱參數(shù)(Xu et al. 2020b).

2.1.1.3 基本載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子封閉解

按以上方法得到權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)后, 與假想裂紋位置處的無裂紋應(yīng)力σ(ξ) (也稱為裂紋面應(yīng)力)作乘積代入式(1)完成積分, 就得到應(yīng)力強(qiáng)度因子K(a). 由于m(α,ξ/α)含有奇異項(xiàng), 有時(shí)需要進(jìn)行數(shù)值積分. 處理裂紋尖端ξ/α→1 奇異項(xiàng)的數(shù)值積分方法可見文獻(xiàn) (Jones 1998, John et al. 1995, Mawatari & Nelson 2011). 但對于裂紋面多種基本載荷σ(ξ)/σ0情況, 與式(9)和式(11)的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)的乘積可通過解析積分得到無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f(α)的封閉解.因此可把復(fù)雜裂紋面應(yīng)力分解為幾種簡單基本載荷情況: (a) 集中力; (b) 冪函數(shù)分布應(yīng)力; (c)區(qū)段線性應(yīng)力, 見圖5. 利用疊加原理通過簡單的四則運(yùn)算, 快速求得各種復(fù)雜應(yīng)力情況下的K(a).

(1)集中力, 圖5(a)

考慮作用在裂紋面ξ處的一對集中力P(單位厚度). 其應(yīng)力強(qiáng)度因子為

對于中心裂紋

圖4無限板周期性共線裂紋和圓盤徑向邊緣裂紋的βi(α)曲線. (a) 無限板周期性共線裂紋, (b) 圓盤徑向邊緣裂紋

圖5裂紋面的3 種基本載荷情況. (a) 集中力, (b) 冪函數(shù)分布應(yīng)力, (c) 裂紋面區(qū)段線性應(yīng)力

對于邊緣裂紋

鑒于式(16)的直接關(guān)系, 權(quán)函數(shù)常被視為與格林函數(shù)(也稱為影響函數(shù))等效. 本文在對權(quán)函數(shù)精度作評價(jià)時(shí), 把二者視為等同. 作為示例, 圖6 給出了2 個(gè)代表性裂紋幾何的G(α,ξ/α)曲線: (a) 圓盤中心裂紋, (b) 圓盤邊緣裂紋. 可見不同裂紋幾何的格林函數(shù)差別很大.

圖6典型裂紋幾何的格林函數(shù)曲線. (a) 圓盤中心裂紋, α = a/R, (b) 圓盤邊緣裂紋, α = a/D

(2)冪函數(shù)分布應(yīng)力, 圖5(b)

考慮裂紋面承受冪函數(shù)分布應(yīng)力

對應(yīng)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fn為

對于中心裂紋

對于邊緣裂紋

利用以上fn值, 可通過簡單四則運(yùn)算得到在裂紋面多項(xiàng)式應(yīng)力作用下的f和K

(3)裂紋面任意部分的區(qū)段線性應(yīng)力, 圖5(c)

考慮裂紋面任意部分承受區(qū)段線性應(yīng)力

式中fc和fl分別對應(yīng)于應(yīng)力的常量和線性部分.

對于中心裂紋

對于邊緣裂紋

計(jì)算得到每個(gè)線性區(qū)段的fi值后, 對整個(gè)裂紋長度α范圍內(nèi)的所有區(qū)段求和, 就能求得整個(gè)裂紋面受載下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f. 這種區(qū)段線性化處理的方法與有限元應(yīng)力分析的輸出結(jié)果結(jié)合, 會(huì)使得f的求解十分靈活高效. 它尤其適用于應(yīng)力變化劇烈難以用多項(xiàng)式擬合的情況,如高梯度熱沖擊應(yīng)力和殘余應(yīng)力.

2.1.1.4 共線多裂紋的解析權(quán)函數(shù)法

運(yùn)輸類飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在大量相似細(xì)節(jié)(如鉚釘孔), 在循環(huán)載荷作用下, 這些細(xì)節(jié)處將萌生多條疲勞裂紋. 共線多裂紋/多位置損傷(MSD)是運(yùn)輸類飛機(jī)結(jié)構(gòu)中普遍存在的開裂模式, 多裂紋之間相互干擾, 加快疲勞裂紋擴(kuò)展速率, 其連通將嚴(yán)重降低結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度和壽命, 造成災(zāi)難性事故(Schijve 1992, Swift 1994, Wanhill 2003). 含MSD 結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度和壽命分析是保障飛機(jī)結(jié)構(gòu)安全的關(guān)鍵之一, 也是運(yùn)輸類飛機(jī)的適航要求(FAA 2010). 盡管有限元等各種數(shù)值方法在技術(shù)上能解決復(fù)雜共線多裂紋結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測和剩余強(qiáng)度分析的問題, 但共線多裂紋建模繁瑣、耗時(shí). 尤其是裂紋長度不斷變化的疲勞裂紋擴(kuò)展分析, 不僅要求不斷重新劃分網(wǎng)格而導(dǎo)致建模復(fù)雜、計(jì)算量大, 而且需要很高的建模技術(shù)和經(jīng)驗(yàn). 近年來, 徐武和合作者在國際上首次建立了針對共線多裂紋的解析權(quán)函數(shù)法, 推導(dǎo)出多種共線多裂紋幾何的權(quán)函數(shù)精確解, 并得到數(shù)值方法的驗(yàn)證和試驗(yàn)結(jié)果的支持(徐武2012; Wu & Xu 2022; Xu et al. 2012, 2014; Xu &Wu 2012; Liu et al. 2019), 可為飛機(jī)結(jié)構(gòu)的MSD 分析提供一種高效可靠的解析求解途徑.

(1) 共線多裂紋權(quán)函數(shù)法的基本公式

采用Wu 和Carlsson (1983, 1991)提出的載荷-位移混合邊界條件下的廣義權(quán)函數(shù)法和Betti 互易定理, 徐武 (2012)和Xu & Wu (2012)提出了載荷-位移混合邊界條件下的I 型和II 型共線多裂紋問題的權(quán)函數(shù)法和相關(guān)公式.

以圖7 中的兩條裂紋為例, 根據(jù)疊加原理, 圖7(a)載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子與圖7(b)載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子相同. 裂紋受圖7(b)所示載荷下裂紋尖端A,B和C的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

圖7推導(dǎo)共線裂紋權(quán)函數(shù)法的疊加原理. (a) 共線裂紋受復(fù)雜外載荷, (b) 只有裂紋面受載

式中, 積分區(qū)間L=C1∪C2,C1= [0,a],C2= [b,c],a,b和c為裂紋尖端的位置. σ(x)為圖7(b)裂紋面載荷, 它等于不含裂紋時(shí)圖7(a)受載彈性體沿裂紋方向的y向正應(yīng)力. 裂紋尖端A,B和C的權(quán)函數(shù)mA(a,b,c,x),mB(a,b,c,x)和mC(a,b,c,x)分別為

通過對比單裂紋和共線裂紋可以看出: 在任意對稱載荷下, 單裂紋和共線多裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)法計(jì)算公式相同. 一旦確定了某共線多裂紋結(jié)構(gòu)的權(quán)函數(shù), 該裂紋體受任意載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子便可通過積分確定; 共線多裂紋和單裂紋的區(qū)別在于它們的權(quán)函數(shù)表達(dá)式和積分區(qū)間不同. 共線多裂紋的權(quán)函數(shù)是所有裂紋面張開位移的函數(shù), 積分區(qū)間包含所有裂紋面, 而單裂紋的權(quán)函數(shù)只與自身張開位移有關(guān), 積分區(qū)間為自身裂紋面.

(2) 共線多裂紋的解析權(quán)函數(shù)

參考載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面張開位移COD 是確定共線多裂紋權(quán)函數(shù)的前提. 文獻(xiàn)(徐武 2012, Xu & Wu 2012, Liu et al. 2019)基于Sih (1964) 給出的共線裂紋受均勻載荷下的復(fù)變應(yīng)力函數(shù), 給出了兩條共線裂紋和三條對稱共線裂紋的解析權(quán)函數(shù). 這里以圖8(a)所示3條對稱共線裂紋為例, 說明共線裂紋權(quán)函數(shù)的求解步驟及其特點(diǎn).

圖8(a) 3 條對稱共線裂紋, (b) 兩條不等長共線裂紋遠(yuǎn)端受均勻拉伸應(yīng)力

由Sih (1964)給出的無限寬板3 條對稱共線裂紋受雙軸拉伸載荷下的復(fù)變應(yīng)力函數(shù), 可以推導(dǎo)出均勻拉伸載荷下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面張開位移

采用分部積分,再用一般的數(shù)值積分法便能獲得高精度張開位移. 把以上裂紋張開位移和應(yīng)力強(qiáng)度因子代入(29)中, 得到裂紋尖端A,B和C的權(quán)函數(shù). 圖9 給出了無限寬板3 條對稱共線裂紋的權(quán)函數(shù)(a= 1,b= 2 和c= 4). 該權(quán)函數(shù)考慮了裂紋和載荷關(guān)于x和y軸的對稱性.

基于共線多裂紋的權(quán)函數(shù)法, Liu 等 (2019)給出了圖8(b)所示兩條不等長共線裂紋的I 型權(quán)函數(shù), 它不要求載荷關(guān)于y軸對稱. 圖10 給出了兩條不等長共線裂紋裂紋尖端C和D的權(quán)函數(shù). 從圖中可看到單裂紋的權(quán)函數(shù)與共線裂紋權(quán)函數(shù)的區(qū)別, 即共線多裂紋的權(quán)函數(shù)是由幾部分組成的.

2.2 基于多種參考載荷的MRS 解析權(quán)函數(shù)法

圖9三條等長對稱共線裂紋的權(quán)函數(shù)(a = 1, b = 2, c = 4). (a) 裂紋尖端A, (b) 裂紋尖端B, (c) 裂紋尖端C

圖10兩條不等長裂紋的權(quán)函數(shù)(a = -9, b = -1, d = 2, c = 0, 0.5, 1.0). (a) 裂紋尖端C, (b) 裂紋尖端D

文獻(xiàn)中另一類得到廣泛應(yīng)用的權(quán)函數(shù)法是基于多個(gè)參考載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解K直接獲取權(quán)函數(shù). 其中的兩種代表性方法分別由Glinka 和 Shen (1991)與Shen 和 Glinka (1991),以及Fett (1992)與Fett 和 Munz (1997)提出. 與2.1 節(jié)的基于單個(gè)參考載荷情況下的裂紋面張開位移對裂紋長度求偏導(dǎo)數(shù)?u(x,a)/?a, 進(jìn)而獲得權(quán)函數(shù)的“正向”求解方法不同, 這兩種方法都是先假設(shè)權(quán)函數(shù)的某種表達(dá)式, 再由已知的多個(gè)(一般為2 個(gè))參考載荷σri(x)和相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子解Kri(a) (i= 2 或3)結(jié)合某個(gè)幾何條件, 通過求解聯(lián)立方程組來確定預(yù)設(shè)權(quán)函數(shù)級數(shù)表達(dá)式中的2 ～ 3 個(gè)系數(shù), 最終得到權(quán)函數(shù). Glinka-Shen 的“通用權(quán)函數(shù)法(universal weight function method, UWFM)”和Fett-Munz 的“直接調(diào)整法(direct adjustment method, DAM)”都屬于此類反向求解方法. 所獲得的許多結(jié)果可分別見Glinka (1996), 以及Fett 和 Munz (1997)與Fett(2008)的研究. 在這些推導(dǎo)中都采用了類似于曲線擬合(curve-fit-like)的方法, 以避開偏導(dǎo)數(shù)?u(x,a)/?a的計(jì)算(Ojdrovic & Petroski 1991, Wagner & Millwater 2012). 與此類似的研究工作還有直接用裂紋面張開位移COD 的偏導(dǎo)數(shù)?u(x,a)/?a來取代COD 的級數(shù)表達(dá), 再基于多個(gè)參考解求解聯(lián)立方程組, 確定?u(x,a)/?a中的系數(shù), 進(jìn)而獲得權(quán)函數(shù)的方法(Ojdrovic & Petroski 1991, Brennan 1994). 這幾種方法盡管在推導(dǎo)細(xì)節(jié)上有所不同, 但在關(guān)鍵環(huán)節(jié)即以多個(gè)參考載荷情況作為已知條件來反求權(quán)函數(shù)的方面并無實(shí)質(zhì)性區(qū)別, 故可統(tǒng)稱為“多參考載荷條件(multiple reference states, MRS)權(quán)函數(shù)法”.

研究者們提出這些MRS 方法的主要目的, 一是因?yàn)镻-A 方法得到的裂紋張開位移和權(quán)函數(shù)精度偏低; 二是為了避免求解偏導(dǎo)數(shù)?u(x,a)/?a. 文獻(xiàn)中認(rèn)為P-A 方法的缺陷主要有: (1) 所得到的裂紋面張開位移的精度不高, 受參考載荷的影響較大, 不適用于明顯非均布和不連續(xù)的裂紋面參考載荷情況; (2) 權(quán)函數(shù)的精度取決于裂紋面參考應(yīng)力σr(x)和所對應(yīng)的參考應(yīng)力強(qiáng)度因子Kr; (3) 利用自洽條件所需函數(shù)φ(α)的數(shù)值積分會(huì)顯著影響計(jì)算效率; (4) 權(quán)函數(shù)推導(dǎo)計(jì)算的工作量大.

以上3 種解析權(quán)函數(shù)法(Wu-Carlsson, Glinka-Shen, Fett-Munz)需要一個(gè)或多個(gè)(2 ～ 3 個(gè))參考載荷情況及與其相關(guān)的K解(及裂紋嘴位移)作為輸入條件. 獲得這些信息的途徑, 一是從文獻(xiàn)中查找理論精確解(非常稀少)或其他解析方法得到的高精度數(shù)值解, 二是采用經(jīng)過驗(yàn)證的高精度數(shù)值方法(有限元法、邊界元等)計(jì)算確定.

下文介紹有關(guān)MRS 權(quán)函數(shù)方法的兩個(gè)代表性工作, 即Glinka-Shen 的“通用權(quán)函數(shù)法UWFM”和Fett-Munz 的“直接調(diào)整法DAM”, 并對其中值得關(guān)注的一些問題作分析討論.

2.2.1 Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法

Glinka & Shen (1991)比較了文獻(xiàn)中的兩種權(quán)函數(shù)表達(dá)式(Fett et al. 1987, Sha & Yang 1986)

式中n為正整數(shù). 根據(jù)擬合結(jié)果與以上兩種權(quán)函數(shù)表達(dá)式的對比, 認(rèn)為包含4 項(xiàng)的式(34)權(quán)函數(shù)的通用性和精度更好. 此式把權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)簡化為求解3 個(gè)系數(shù)(M1,M2,M3)的問題. 所以只要知道2 ～ 3 個(gè)參考載荷情況及與之對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子解, 就能直接得到權(quán)函數(shù). 解決這個(gè)問題有兩種途徑: (1) 采用3 種參考應(yīng)力情況及其應(yīng)力強(qiáng)度因子; (2) 采用2 種參考應(yīng)力情況及其應(yīng)力強(qiáng)度因子, 并附加裂紋嘴處的某個(gè)幾何條件. 以厚壁圓筒徑向裂紋為例, 采用3 種參考應(yīng)力分布σri(x) (均布、線性、二次曲線)及相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子Kri(i= 0,1,2) (Andrasic & Parker 1984),解聯(lián)立方程組, 確定系數(shù)M1,M2和M3, 得到通用權(quán)函數(shù)m(a,x).

Glinka 和Shen (1991)利用所確定的m(a,x), 計(jì)算了4 種冪函數(shù)應(yīng)力分布下(x/B)n,n= 3 ～6 的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 結(jié)果與Andrasic 和 Parker (1984)的研究數(shù)據(jù)符合良好. 據(jù)此即認(rèn)為這些m(a,x)得到了驗(yàn)證. 但應(yīng)該注意: 所比較的是應(yīng)力強(qiáng)度因子K而不是權(quán)函數(shù)m(a,x)或格林函數(shù), 這種比較并不能揭示權(quán)函數(shù)的真實(shí)精度, 見3.1 節(jié).

對于大多數(shù)裂紋幾何, 獲取3 種參考應(yīng)力下的應(yīng)力強(qiáng)度因子并不現(xiàn)實(shí). 因此Glinka-Shen 通常采用第2 種方法, 即利用兩種參考應(yīng)力情況及其應(yīng)力強(qiáng)度因子, 另加裂紋嘴處的某個(gè)幾何條件, 通過求解聯(lián)立方程組, 確定權(quán)函數(shù)的系數(shù)M1,M2和M3.

條件1 和條件2 是兩種參考載荷情況及其應(yīng)力強(qiáng)度因子

推導(dǎo)中對中心裂紋和邊緣裂紋兩種裂紋幾何采用了同一個(gè)權(quán)函數(shù)表達(dá)式,即式(34). 但這種做法并不合理. Wu 和Carlsson (1991), Fett 和Munz (1997)對這兩種裂紋幾何是區(qū)分的.

關(guān)于Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法, 以下兩個(gè)問題值得關(guān)注.

(1) 權(quán)函數(shù)級數(shù)基本項(xiàng)的冪指數(shù)不合理

式(34)中的冪指數(shù)是(1 -x/a)n/2. 而其他學(xué)者, 如Bueckner (1971), Wigglesworth (1957),Wu 和 Carlsson (1991), Fett 和 Munz (1997)采用的都是(1 -x/a)n+1/2. Fett 和 Munz (1997)對這個(gè)問題作了深入研究. 結(jié)果表明, 邊緣裂紋張開位移COD 的級數(shù)表達(dá)式的冪指數(shù)只能是n+1/2, 而n/2 不符合彈性力學(xué)理論. 這個(gè)差別看似細(xì)小, 但卻給求解聯(lián)立方程得到的兩種MRS 權(quán)函數(shù)帶來了顯著不同(在其他條件都相同的情況下).

(2) 幾何條件的選擇及其合理性問題

還應(yīng)注意到的是, Glinka 和Shen (1991)以及Glinka (1996)給出的多種裂紋幾何的權(quán)函數(shù),實(shí)際上是對文獻(xiàn)中已有權(quán)函數(shù)結(jié)果的直接擬合, 即是對已有權(quán)函數(shù)的另一種近似表達(dá). 而不是采用其通用權(quán)函數(shù)方法推導(dǎo)得到的. 類似的例子還有如: Kumar 和Barai (2010a, 2010b, 2011)對Tada 等(1973)手冊中有限寬板邊緣裂紋的格林函數(shù)擬合得到的權(quán)函數(shù)表達(dá)式. 而Tada 等 (1973)手冊中給出的這個(gè)格林函數(shù)的誤差很大, 具體可見3.2 節(jié), 以及Wu 等 (2018a)和吳學(xué)仁等(2019). 所以在使用這類擬合的權(quán)函數(shù)時(shí)應(yīng)倍加謹(jǐn)慎.

2.2.2 Fett-Munz 直接調(diào)整權(quán)函數(shù)法

Fett (1992), Fett 和Munz (1997)提出了采用兩個(gè)參考載荷情況的K解來確定權(quán)函數(shù)的直接調(diào)整法(direct adjustment method, DAM)法.

邊緣裂紋

為確定權(quán)函數(shù)系數(shù)Dn, 需要求解由已知參考載荷情況和裂紋嘴位移的一個(gè)幾何條件組合得到的聯(lián)立方程組. 如果已知N個(gè)參考載荷情況, 則權(quán)函數(shù)必須滿足N+1 個(gè)方程.

邊緣裂紋

對于中心裂紋, 式(38)自動(dòng)滿足裂紋面位移在裂紋嘴處一階導(dǎo)數(shù)為零的條件. 對于邊緣裂紋, 裂紋面位移在裂紋嘴處二階導(dǎo)數(shù)為零(Fett et al. 1987, Fett 1992, Fett & Munz 1997):

解以上聯(lián)立方程組, 就能確定DAM 權(quán)函數(shù)m(a,x)的Dn系數(shù).

以上兩種MRS 權(quán)函數(shù)方法在總體思路上是相同的. 所不同的是權(quán)函數(shù)的級數(shù)展開式的冪次: Fett-Munz 采用的(n+ 1/2)與Wu-Carlsson 一致; Glinka-Shen 則采用了n/2. 這個(gè)細(xì)節(jié)區(qū)別會(huì)導(dǎo)致兩種權(quán)函數(shù)的顯著差別.

關(guān)于DAM 直接調(diào)整權(quán)函數(shù)法, 有兩個(gè)問題值得注意.

(1) 邊緣裂紋a/W趨于0 時(shí)權(quán)函數(shù)方程組出現(xiàn)病態(tài)(ill-conditioned) (Fett 1992, 2008).

例如, 對于有限寬板單邊緣裂紋, 如果采用拉伸和彎曲這兩種情況作為參考載荷, 則由于它們的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Ft和Fb在a/W趨于0 時(shí)都趨于相同的值1.121 5, 使得聯(lián)立方程中的(Ft-Fb)成為一個(gè)趨于0 的微小數(shù)值, 它與一個(gè)很大的系數(shù)相乘, 必將導(dǎo)致明顯的舍入誤差, 而且(Ft-Fb)還對Ft和Fb值的細(xì)微變化十分敏感, 見3.3 節(jié). Fett (1992)對此建議把DAM 權(quán)函數(shù)的應(yīng)用范圍限于a/W≥ 0.2; 或當(dāng)a/W趨于0 時(shí)不采用DAM 方法, 而只用一種參考載荷(均布應(yīng)力)的P-A 方法, 結(jié)合幾何條件mJJ(x= 0) = 0 來確定權(quán)函數(shù). 這可能也是Fett-Munz 的權(quán)函數(shù)在有些情況下只給出了a/W≥ 0.2 的Dn系數(shù)值的主要原因. 但如果對不同裂紋長度采用兩種不同的權(quán)函數(shù)法, 其實(shí)際操作以及在分界點(diǎn)的銜接會(huì)出現(xiàn)問題. 鑒于疲勞裂紋擴(kuò)展壽命主要消耗在小裂紋階段,a/W＜ 0.2 的低精度問題是DAM 權(quán)函數(shù)法的一個(gè)明顯缺陷.

(2) 幾何條件mJJ(x= 0) = 0 的應(yīng)用缺乏一致性.

文獻(xiàn)(Fett & Bahr 1999, Fett 2008, Fett et al. 2000a)給出了兩種DAM 權(quán)函數(shù)結(jié)果, 即系數(shù)D0,D1和D0,D1,D2, 但對于這個(gè)幾何條件的利弊作用沒有給出量化評估. 圖11 顯示有限寬板單邊緣裂紋是否采用此幾何條件的差別(參考載荷為拉伸和彎曲). 盡管對于這個(gè)特定裂紋幾何和載荷組合, 相對差別不大(1.2% ～ 2.7%), 但對于其他裂紋幾何和參考載荷, 差別可能變大.

2.3 獲取二維權(quán)函數(shù)的數(shù)值方法

2.3.1 有限元和邊界元法

以FEM 和BEM 為代表的各種數(shù)值方法在裂紋問題的分析計(jì)算中有廣泛應(yīng)用. 這些數(shù)值方法主要是用來求解應(yīng)力強(qiáng)度因子, 但也可用于獲取權(quán)函數(shù). Andrasic 和Parker (1980, 1984)最早提出了一種推導(dǎo)權(quán)函數(shù)的數(shù)值方法-修正映射配位法(modified mapping collocation, MMC), 并用三次樣條函數(shù)擬合得出曲梁和空心圓筒邊緣裂紋的權(quán)函數(shù). Sham (1987)提出了獲得二維和三維權(quán)函數(shù)的統(tǒng)一的FEM 數(shù)值解法. Tsai 和 Ma (1989)利用FEM 和虛擬裂紋擴(kuò)展(virtual crack extension, VCE), 并結(jié)合最小二乘法擬合得到了離散節(jié)點(diǎn)的權(quán)函數(shù). 為避免采用裂紋尖端奇異性單元, Beghini 等 (1991)提出一種了基于粗網(wǎng)格FEM 的權(quán)函數(shù)推導(dǎo)方法, 但其求解精度明顯偏低(7%). Lee 和Hong (1995)采用間接邊界積分法(indirect boundary integral method)求得了7種裂紋幾何的權(quán)函數(shù), 由此計(jì)算的5 種冪函數(shù)應(yīng)力(σ(ξ)/σ0=ξn,n= 1 ～ 5)下的應(yīng)力強(qiáng)度因子與Wu 和Carlsson (1991)權(quán)函數(shù)法給出的結(jié)果高度一致. Fett (1997)用邊界配位法(boundary collocation method, BCM)得到了圓盤邊緣裂紋的高精度權(quán)函數(shù), 但這種方法不適用于處理短裂紋(a/W＜ 0.2)問題. Xiao 和 Karihaloo (2002), 以及Karihaloo 和 Xiao (2003)用BCM 和離散點(diǎn)最小二乘法(PLS)給出了有限板邊緣裂紋的格林函數(shù), 但其系數(shù)表達(dá)式多達(dá)50 個(gè), 使用不便且精度不高. Fett 等 (2004) 通過對FEM 得到的集中力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子的擬合, 確定了折線形邊緣裂紋的權(quán)函數(shù). Deng 和Matsumoto (2017)采用類似方法通過擬合集中力加載下的FEM/VCE 結(jié)果, 得到了剪切梁邊緣裂紋的權(quán)函數(shù), 但此方法所需工作量很大. Kuna (2013)的近期專著對有限元法用于權(quán)函數(shù)的求解作了專題介紹. 另一種常用的數(shù)值方法是邊界元法(Aliabadi et al.1987). Lorenzo 等 (1994) 把BEM 與Bueckner 奇異場的減除相結(jié)合, 推導(dǎo)出幾種邊緣裂紋的標(biāo)準(zhǔn)形式權(quán)函數(shù), 用于裂紋張開位移和條帶屈服模型分析, 所得結(jié)果與Wu-Carlsson(1991)的權(quán)函數(shù)解符合得很好. Ince (2012a, 2012b)利用BEM 給出了多種楔形拉伸試樣的高精度權(quán)函數(shù)及其擬合公式. 更多關(guān)于數(shù)值權(quán)函數(shù)法的研究工作可查閱相關(guān)文獻(xiàn).

圖11幾何條件m′(x = 0) = 0 采用與否對有限寬板單邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的影響. (Wu 2019, 吳學(xué)仁等 2019)

總體上看, 數(shù)值解法的主要優(yōu)勢是處理復(fù)雜裂紋體幾何構(gòu)型的能力. 其不足之處一是一次建模計(jì)算只能處理一個(gè)裂紋尺寸, 如要獲取許多裂紋尺寸的權(quán)函數(shù), 則建模計(jì)算工作量很大; 二是短裂紋的求解精度很難保證; 三是通常只能給出離散點(diǎn)的權(quán)函數(shù)值而不是解析表達(dá)式, 使用不便. 所以用數(shù)值方法獲取權(quán)函數(shù)不太可取, 但數(shù)值方法對于各種解析權(quán)函數(shù)的精度評價(jià)和驗(yàn)證能發(fā)揮重要作用.

數(shù)值方法對復(fù)雜裂紋體分析有強(qiáng)大能力, 但由于裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場的奇異性, 裂紋體分析的數(shù)值建模和計(jì)算遠(yuǎn)比無裂紋體復(fù)雜, 且一次建模計(jì)算只能得到一個(gè)裂紋長度a在一種載荷條件下的K值. 而疲勞裂紋擴(kuò)展分析和壽命預(yù)測需要從初始裂紋長度a0到臨界裂紋長度ac的完整K(a)曲線, 其重復(fù)性數(shù)值建模和計(jì)算對資源的需求很大. 在裂紋體的FEM 分析中, 還需在裂紋尖端區(qū)采用密集網(wǎng)格/特殊單元以處理裂紋尖端的奇異性, 并要求分析計(jì)算人員具有豐富經(jīng)驗(yàn). 而且由于疲勞裂紋壽命主要消耗在裂紋尺寸較小的階段, 高精度處理小裂紋問題對于FEM建模計(jì)算也有很大挑戰(zhàn).

2.3.2 復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開權(quán)函數(shù)法(WCTSE)

Wagner 和Millwater(2012)提出了一種基于復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開的權(quán)函數(shù)法(weight function complex taylor series expansion, WCTSE). 與上述求解權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)的數(shù)值方法顯著不同, WCTSE 法采用復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開理論, 結(jié)合復(fù)變有限元的數(shù)值計(jì)算結(jié)果, 擬合得到給定離散裂紋長度α值的權(quán)函數(shù). Jing 和Wu (2015)采用更合理的中心裂紋和邊緣裂紋權(quán)函數(shù)表達(dá)式, 進(jìn)一步提高了WCTSE 權(quán)函數(shù)的精度; 并用幾種典型裂紋幾何的已知精確/高精度格林函數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證. 結(jié)果表明WCTSE 權(quán)函數(shù)結(jié)果與精確解/高精度解的偏差不超過0.5%.

WCTSE 法是一種把權(quán)函數(shù)與復(fù)變函數(shù)有限元法結(jié)合的數(shù)值方法. 它通過復(fù)變有限元法計(jì)算裂紋張開位移對裂紋長度的偏導(dǎo)數(shù), 進(jìn)而獲得給定α值的二維裂紋幾何的權(quán)函數(shù)數(shù)值解. 其理論基礎(chǔ)是Lyness 和Moler (1967)提出的復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開(CTSE)理論. CTSE 是一種概念上與有限差分法類似的數(shù)值微分方法, 它利用實(shí)軸和虛軸在復(fù)平面的正交性求一階導(dǎo)數(shù). Wagner 和Millwater (2012)將CTSE 首次成功應(yīng)用于二維裂紋權(quán)函數(shù)求解, 并與Wu 和Carlsson(1991)的多種裂紋幾何的解析權(quán)函數(shù)結(jié)果作了廣泛對比. 二者符合得很好.

根據(jù)Rice (1972)提出的權(quán)函數(shù)m(a,x) 與裂紋張開位移對裂紋長度的偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

但 采用 常 規(guī) 有 限 元 法 計(jì) 算?u/?a不 僅 操 作 繁 瑣, 而 且 很 難 確 定δa的 最 佳 取 值. Wagner 和Millwater (2012)提出采用復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開(complex Taylor series expansion, CTSE)理論取代上式計(jì)算?u/?a, 解決了δa的最佳取值難題. Jing 和Wu (2015)采用Wu 和Carlsson (1991)的權(quán)函數(shù)級數(shù)展開式對求得的偏導(dǎo)數(shù)?u/?a作擬合, 分別確定中心裂紋和邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)系數(shù)Mi. 該方法的細(xì)節(jié)可參閱Wagner 和Millwater (2012), Jing 和Wu (2015), 以及吳學(xué)仁等(2019)的研究.

對于中心裂紋

為驗(yàn)證WCTSE 權(quán)函數(shù)法的求解精度, 圖12 給出了兩種裂紋幾何的格林函數(shù)(與權(quán)函數(shù)等效, 見下節(jié))與已知解的逐點(diǎn)比較: WCTSE 權(quán)函數(shù)的兩個(gè)結(jié)果分別與文獻(xiàn)中無限板共線裂紋的精確解(Tada et al. 2000)和有限板邊緣裂紋的高精度積分方程解(Kaya & Erdogan 1980)高度一致. 在α= 0.1 ～ 0.9,α/ξ= 0 ～ 1 范圍內(nèi)的最大偏差, 前者為0.06%, 后者為0.3%. 與邊緣裂紋ξ/α= 0, 0.5, 0.9 的有限元計(jì)算結(jié)果也符合得很好, 見圖12.

為排除在復(fù)變有限元計(jì)算載中, 不同的載荷施加方式對結(jié)果可能產(chǎn)生的影響, Jing 和Wu(2015) 對WCTSE 的載荷無關(guān)性作了驗(yàn)證. 結(jié)果表明: 無限大板周期性共線裂紋和有限板單邊緣裂紋分別在遠(yuǎn)方均勻拉伸和裂紋嘴集中力兩種載荷情況下, 所得到的兩組WCTSE 權(quán)函數(shù)完全一致; 吳學(xué)仁等(2019)進(jìn)而對圖13 的 3 種裂紋幾何在不同加載條件下求得的Mi系數(shù)作了比較,它們的最大差異分別為: 圓盤中心裂紋-0.03%; 三角形板邊緣裂紋0.34%; 有限寬板中心孔邊裂紋-0.11%. 這些比較進(jìn)一步驗(yàn)證了WCTSE 權(quán)函數(shù)法的精度及其載荷無關(guān)性.

圖12由WCTSE 方法得到的格林函數(shù)與無限板周期性共線裂紋精確解以及有限板邊緣裂紋積分方程解的比較. (a) 無限板周期性共線裂紋, (b) 有限板邊緣裂紋

圖13 WCTSE 權(quán)函數(shù)與復(fù)變有限元計(jì)算中的載荷無關(guān)性檢驗(yàn): 3 種裂紋幾何, 各受2 種加載方式.

WCTSE 權(quán)函數(shù)法的求解精度和效率明顯優(yōu)于有限元法, 其可靠性已得到廣泛驗(yàn)證. 但與其他數(shù)值方法一樣, 它只能給出給定離散裂紋長度α值的權(quán)函數(shù); 并且由于網(wǎng)格建模的原因, 處理小裂紋(α＜ 0.1)有困難. 盡管使用方便性不如解析權(quán)函數(shù), 但WCTSE 權(quán)函數(shù)法的寬范圍、高精度特點(diǎn)和處理任意裂紋體幾何構(gòu)型的能力, 使其成為評價(jià)驗(yàn)證各種解析權(quán)函數(shù)精度的理想手段.在近期發(fā)表的權(quán)函數(shù)專著中(吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022), 就主要是以WCTSE 權(quán)函數(shù)法的數(shù)值解為基準(zhǔn), 對各種解析權(quán)函數(shù)的精度作廣泛驗(yàn)證. 驗(yàn)證示例見第3 節(jié).

3 二維解析權(quán)函數(shù)的精度評價(jià)與討論

高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子K是斷裂力學(xué)分析和結(jié)構(gòu)完整性評定的前提. 權(quán)函數(shù)法作為求解裂紋體關(guān)鍵力學(xué)參量的一種主要方法, 在裂紋問題的分析計(jì)算中起著類似于工作母機(jī)的作用, 它應(yīng)具有高精度求解復(fù)雜多變載荷條件下的裂紋問題的能力. 為保證權(quán)函數(shù)法在裂紋體任意載荷條件下都能給出高精度的K和COD 結(jié)果, 關(guān)鍵是要確保權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)自身的高精度. 為此需要嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的評價(jià)驗(yàn)證方法和工具. 而選擇科學(xué)合理的評價(jià)基準(zhǔn), 則是對權(quán)函數(shù)本征精度進(jìn)行評價(jià)驗(yàn)證(verification and validation, V&V)的首要問題.

3.1 權(quán)函數(shù)精度評價(jià)的基準(zhǔn)-格林函數(shù)

采用權(quán)函數(shù)法計(jì)算裂紋面在各種應(yīng)力σ(ξ)分布下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K, 并與文獻(xiàn)公認(rèn)或其他方法(如有限元法)得到的高精度K解比較, 是文獻(xiàn)中評價(jià)權(quán)函數(shù)精度的一種常用做法. 盡管這種基于比較某些特定載荷情況K的方法對評價(jià)權(quán)函數(shù)精度有一定的參考價(jià)值, 但它存在著明顯弊端. 因?yàn)閮H對某些載荷情況下的K值比較, 并不能真實(shí)全面地反映權(quán)函數(shù)自身的本征精度. 由于K值是權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)和裂紋面應(yīng)力σ(ξ)的乘積在裂紋長度α范圍內(nèi)的積分結(jié)果, 它必然會(huì)受m(α,ξ/α)和σ(ξ)的共同影響, 而m(α,ξ/α)本身的誤差會(huì)因積分的平均效應(yīng)相互抵消. 故K值的精度與m(α,ξ/α)的精度既有聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別. 所以高精度的K值結(jié)果不能作為證明高精度m(α,ξ/α)的充分條件. 同一個(gè)m(α,ξ/α)在某些載荷情況下能給出高精度K值, 并不能保證在其他載荷情況下也能給出高精度K值. 權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)是含有兩個(gè)變量的曲面, 與所受載荷σ(ξ)無關(guān). 而無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f(α)則是一條曲線, 且與σ(ξ)密切相關(guān). 二者沒有直接可比性.所以用某些載荷情況下的K值比較來評價(jià)權(quán)函數(shù)的精度容易造成假象和誤導(dǎo).

圖14 是用同一個(gè)權(quán)函數(shù)(Jin et al. 2017), 采用Glinka-Shen 的UWF 權(quán)函數(shù)法推導(dǎo), 參考載荷為雙向拉伸, 幾何條件為m′(α,ξ/α) = 0)計(jì)算得到的無限大板圓孔邊徑向單裂紋在兩種載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K與其他方法結(jié)果的比較. 圖14(a)的載荷是雙向拉伸, Jin 等 (2017)的權(quán)函數(shù)結(jié)果與邊界配位法(BC)結(jié)果高度重合. 圖14(b)的載荷是裂紋嘴集中力, 其權(quán)函數(shù)結(jié)果(虛線)卻與其他3 種方法的結(jié)果(實(shí)線和2 種符號)大相徑庭(Wu et al. 2018b). 這表明把K值作為驗(yàn)證權(quán)函數(shù)的基準(zhǔn)很容易給出誤導(dǎo)性評價(jià)結(jié)論.

準(zhǔn)確反映權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)本征精度水平的唯一正確途徑, 是對裂紋面任意位置ξ/α的權(quán)函數(shù)精度進(jìn)行逐點(diǎn)評價(jià)(Wu & Carlsson 1991, Wu 1992, 吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022). 實(shí)現(xiàn)這種逐點(diǎn)評價(jià)的最佳基準(zhǔn)是格林函數(shù)G(α,ξ/α) (Green’s function), 也稱為影響函數(shù)(influence function). 在數(shù)學(xué)物理方法中, 格林函數(shù)是指點(diǎn)源產(chǎn)生的場, 它表示一個(gè)點(diǎn)源在給定邊界條件下所產(chǎn)生的場或影響. 對于裂紋問題, 這個(gè)點(diǎn)源是指作用在裂紋面任意位置的一對單位集中力P;所產(chǎn)生的場則是在給定裂紋幾何及邊界條件劃分下, 由P(單位厚度)引起的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子K, 即格林函數(shù)G(α,ξ/α).

與受裂紋面應(yīng)力分布和積分平均效應(yīng)明顯影響的應(yīng)力強(qiáng)度因子K(a)不同, 格林函數(shù)與這些因素?zé)o關(guān). 它代表的是給定裂紋體幾何和邊界條件劃分的本征性能, 因此能客觀真實(shí)地對權(quán)函數(shù)的本征精度作出逐點(diǎn)檢驗(yàn). 而格林函數(shù)G(α,ξ/α)與權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)密切相關(guān), 文獻(xiàn)中通常視二者為等效. 其唯一差別是一個(gè)系數(shù)σri.

圖14無限板孔邊徑向單裂紋, 用Jin 等 (2017)權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的兩種載荷下的K 值與其他方法的比較.

根據(jù)上式把m(α,ξ/α)直接轉(zhuǎn)換成G(α,ξ/α)來評價(jià)權(quán)函數(shù)的精度, 不受所考慮的裂紋面應(yīng)力σ(ξ)的影響, 沒有積分平均效應(yīng), 不會(huì)引入其他誤差. 這使得格林函數(shù)G(α,ξ/α)成為評價(jià)驗(yàn)證權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)精度的理想基準(zhǔn)(Wu & Carlsson 1991, 吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022).

用格林函數(shù)來評價(jià)孔邊裂紋權(quán)函數(shù)的結(jié)果示于圖15. 兩種格林函數(shù)分別來自于Jin 等(2017)與Shivakumar 和Forman (1980), 可見二者差別十分明顯, 而后者的精度已得到WCTSE的驗(yàn)證(趙曉辰等 2018, 吳學(xué)仁等 2019). 在α=a/R= 0.01 ～ 2.0 范圍內(nèi), 二者相對差別高達(dá)±180%; 且Jin et al. (2017)的部分曲線(α=a/R= 0.01 和0.1)甚至出現(xiàn)了負(fù)值, 這在物理上是不可能的. 此例表明, 唯有采用格林函數(shù)作為評價(jià)基準(zhǔn), 方能全面真實(shí)地揭示權(quán)函數(shù)的本征精度.

用于檢驗(yàn)權(quán)函數(shù)精度的G(α,ξ/α)應(yīng)盡可能用完全獨(dú)立的其他方法得到. 最方便的方法是用有限元法, 對幾個(gè)α和ξ/α組合的離散點(diǎn)加集中力P, 計(jì)算其K值再轉(zhuǎn)換成G(α,ξ/α), 并把它們與解析權(quán)函數(shù)通過式(45)轉(zhuǎn)化得到的G(α,ξ/α)作比較. 上文介紹的基于復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開理論的WCTSE 權(quán)函數(shù)法, 克服了傳統(tǒng)有限元法一次計(jì)算只能得到一個(gè)點(diǎn)的G(α,ξ/α)值的缺陷.它不但能在一次計(jì)算中得到給定無量綱裂紋長度α的一條G(α,ξ/α)曲線, 而且其高精度已得到廣泛驗(yàn)證, 能為各種解析權(quán)函數(shù)的精度評價(jià)提供理想的驗(yàn)證基準(zhǔn).

如果采用未經(jīng)格林函數(shù)驗(yàn)證的權(quán)函數(shù)求解裂紋問題, 則所得結(jié)果的正確性難以保證, 尤其是在載荷情況與推導(dǎo)權(quán)函數(shù)所用的參考載荷偏離較大時(shí).

3.2 解析權(quán)函數(shù)的精度比較與評價(jià)

3.2.1 I 型裂紋三種解析權(quán)函數(shù)的精度比較與評價(jià)

以經(jīng)過嚴(yán)格驗(yàn)證的格林函數(shù)為基準(zhǔn), 對3 種解析權(quán)函數(shù)的精度進(jìn)行逐點(diǎn)比較評價(jià). 選取3 種代表性邊緣裂紋幾何, 如圖16 所示.

圖15無限孔邊徑向單裂紋的兩種格林函數(shù). (a) Jin et al. (2017), (b) Shivakumar & Forman (1980)

圖16評價(jià)三種解析權(quán)函數(shù)精度的三種裂紋幾何. (a) 半無限板邊緣裂紋, (b) 圓盤邊緣裂紋, (c) 有限寬板邊裂紋

(1) 半無限板邊緣裂紋

考慮半無限板邊緣裂紋幾何. 以裂紋長度a作為特征尺寸W, 則無量綱裂紋長度α=a/W= 1.圖17 是半無限板邊緣裂紋的9 種格林函數(shù)與Wigglesworth (1957)準(zhǔn)精確解, 即式(46)的比較.可見Glinka 和 Shen (1991)的兩種格林函數(shù)誤差最大, 為-9% ～ 6%. 用Petroski 和 Acenbach(1978)得到的權(quán)函數(shù)偏差局部超過2%. 其他6 種權(quán)函數(shù)的偏差均在2%以內(nèi)(吳學(xué)仁等 2019).

(2) 圓盤單邊緣裂紋

圓盤單邊緣裂紋可能是唯一有3 種載荷情況K精確解的特殊有限體裂紋幾何. 利用這些精確解(Gregory 1977, 1979, 1989)推導(dǎo)權(quán)函數(shù), 能排除參考解誤差的影響, 所以能真實(shí)反映各種解析權(quán)函數(shù)方法對于有限單連體邊緣裂紋能夠達(dá)到的最高精度水平. Wu 和Tong 等 (2018a)對這個(gè)裂紋幾何的各種解析權(quán)函數(shù)的精度作了系統(tǒng)的評價(jià)比較.

圖17半無限板邊緣裂紋的各種格林函數(shù)與Wigglesworth (1957)準(zhǔn)精確解的比較(吳學(xué)仁等 2019)

基于裂紋面位移的Wu-Carlsson 解析權(quán)函數(shù)只需一種參考載荷情況(裂紋面均布應(yīng)力)的Kr和裂紋嘴位移Vr. 圖18 是該權(quán)函數(shù)與WCTSE 權(quán)函數(shù)的比較曲線. 在α=a/D= 0 ～ 0.7 范圍內(nèi), 二者最大差別小于0.5%;α= 0.8 和0.85 時(shí), 最大差別分別為1.97%和3.71%, 均在格林函數(shù)曲線的最低處(裂紋尖端后方)附近(圖18(b)).

兩種基于多個(gè)參考載荷的MRS 權(quán)函數(shù)法, 即Glinka-Shen 的通用權(quán)函數(shù)和Fett-Munz 的DAM 權(quán)函數(shù), 采用的2 個(gè)參考載荷(均布和拋物線分布)下的K均為Gregory 的精確解. 其格林函數(shù)與WCTSE 的比較見圖19. 可見即使采用的2 個(gè)參考解均為精確解, 得到的權(quán)函數(shù)精度仍偏低. 這是MRS 權(quán)函數(shù)法的自身缺陷導(dǎo)致的. 有關(guān)討論見吳學(xué)仁等(2019).

(3) 有限寬板單邊緣裂紋

Wu 等(2018a)和吳學(xué)仁等(2019)對有限寬板單邊緣裂紋的各種解析權(quán)函數(shù)與WCTSE 的結(jié)果做了詳細(xì)比較, 見圖20. Bueckner (1971)的權(quán)函數(shù)給出的有效范圍為α=a/W= 0 ～ 0.5,其余3 種權(quán)函數(shù)的范圍為α=a/W= 0 ～ 0.85. 可見 Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)與WCTSE 的偏差明顯小于兩種MRS 權(quán)函數(shù)(均基于拉伸和彎曲2 個(gè)參考載荷), 即Glinka-Shen 的通用權(quán)函數(shù)和Fett-Munz 的DAM 權(quán)函數(shù). 注意, 作為極限情況的α= 0.001, 不是與WCTSE 結(jié)果的比較, 而是與半無限板邊緣裂紋的準(zhǔn)精確解式(46) (Wigglesworth 1957)的比較.

有限寬板單邊緣裂紋是最常見的裂紋幾何之一.其權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)應(yīng)用十分廣泛.著名的Tada-Paris-Irwin 應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(Tada et al. 1973, 1985, 2000)被許多研究者廣為采用. Tada et al. (1973)手冊給出的格林函數(shù)公式為 (其注明精度為2%)被許多研究者廣泛采用的版本Tada-Paris-Irwin (1973), 即式(47), 偏差更大, 故精度有問題.1985 年后的更新公式(48)在α= 0 ～ 0.7 范圍內(nèi)有明顯改進(jìn), 但α= 0.8 ～ 0.9 在近裂紋尖端區(qū)仍有較大誤差.

圖18圓盤單邊緣裂紋.(a) 兩種格林函數(shù) Wu-Carlsson 和WCTSE, (b) 兩種格林函數(shù)的相對差別

圖19圓盤單邊緣裂紋兩種格林函數(shù)的比較. (a) Fett-Munz 與WCTSE, (b) Glinka-Shen 與WCTSE

圖20有限寬板單邊緣裂紋4 種格林函數(shù)與WCTSE 的比較. (a) Bueckner 與WCTSE, (b) Wu-Carlsson 與WCTSE, (c) Fett-Munz 與WCTSE, (d) Glinka-Shen 與WCTSE

圖21 是有限寬板單邊緣裂紋Tada-Paris-Irwin 公式(47)和(48)與WCTSE 格林函數(shù)的比較 (注: 此WCTSE 格林函數(shù)的精度已在圖12 (b)中得到了驗(yàn)證), 可見二者有顯著差別. 特別是

一些研究者為便于解析積分, 把式(47)的格林函數(shù)式擬合成另外的形式. Kumar 和Barai(2010a, 2010b, 2011)擬合給出的有限寬板單邊緣裂紋的通用格林函數(shù)表達(dá)式為

式中Mn為擬合系數(shù). 式(49)常被用于該裂紋幾何乃至其他相近裂紋體的各種模型分析, 特別是在混凝土斷裂方面的相關(guān)文獻(xiàn)中. 鑒于該式的擬合基礎(chǔ), 即式(47), 存在明顯問題, 由此得到的計(jì)算結(jié)果需謹(jǐn)慎對待.

3.2.2 II 型和各向異性材料裂紋權(quán)函數(shù)的精度評價(jià)

圖21 Tada-Paris-Irwin 手冊(1973, 1985, 2000)的有限寬板單邊緣裂紋格林函數(shù)與WCTSE 的比較.(a) 式(47)與WCTSE, (b) 式(48)與WCTSE (吳學(xué)仁等2019)

圖22圓盤中心和邊緣裂紋的三種II 型格林函數(shù)結(jié)果比較. (a) 中心裂紋, (b) 邊緣裂紋 (Xu et al.2020a)

用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法求得的II 型裂紋和各向異性材料裂紋的格林函數(shù)也有很好的精度.圖22 給出了用4 種方法(Wu-Carlsson 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法、Fett 的邊界元法及DAM 權(quán)函數(shù)法、有限元法)得到的圓盤II 型中心和邊緣裂紋的3 種格林函數(shù)比較. 對于圓盤中心裂紋: 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法、有限元法和Fett 邊界元法獲得的II 型格林函數(shù)吻合非常好. 3 種方法的結(jié)果相對差別在0.8%以內(nèi). 對于圓盤邊緣裂紋: 用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法得到的II 型格林函數(shù)與有限元法的結(jié)果符合很好; 而DAM 法(Fett 1992, Fett & Munz 1997)的II 型格林函數(shù)與有限元結(jié)果則存在明顯差別:α≥ 0.7 時(shí), 局部超過10%.

圖23(a)給出了規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法和有限元法計(jì)算得到的單邊缺口正交各向異性板(ρ=6.395)的格林函數(shù)(I 型)結(jié)果的比較, 可見二者高度一致. 這為規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法用于各向異性材料的裂紋問題分析提供了支持; 圖23(b)顯示了材料各向異性對權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)的影響,可見在短裂紋階段(α＜ 0.3)影響較大(Xu et al. 2020b, 吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2020).

以上比較表明, 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法對II 型和各向異性材料裂紋問題分析同樣也有高精度.

圖23正交各向異性(ρ = 6.395)有限板單邊裂紋的格林函數(shù)以及與各向同性板的比較. (a) 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法和有限元法獲得的格林函數(shù)比較, (b) 各向異性與各向同性有限板單邊裂紋格林函數(shù)比較

3.3 解析權(quán)函數(shù)法的魯棒性分析

本節(jié)從3 方面考察以上3 種解析權(quán)函數(shù)法的魯棒性(robustness: a process or system able to withstand or overcome adverse conditions).

3.3.1 對參考載荷及其組合的敏感性

對參考載荷σr(ξ)的敏感程度從一個(gè)方面反映了權(quán)函數(shù)方法的魯棒性. 為考察基于裂紋面張開位移的規(guī)范化權(quán)函數(shù)法對參考載荷的敏感性, 考慮裂紋面均布和非均布應(yīng)力兩種參考載荷, 采用裂紋嘴位移Vr(α)條件, 分別推導(dǎo)出兩種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)并比較二者的差別.

(1) 有限寬板邊緣裂紋. 分別以均勻拉伸(σr(ξ)/σ0= 1)和純彎曲(σr(ξ)/σ0= 1 - 2ξ)作為參考載荷情況. 把推導(dǎo)得到的兩個(gè)權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)轉(zhuǎn)化為格林函數(shù)G(α,ξ/α)進(jìn)行比較, 結(jié)果示于圖24(a). 二者差別小于2% (Wu 1991b).

(2) 有限寬板圓孔邊等長雙裂紋.

取孔邊的韌帶寬度W=B-R為特征尺寸. 分別以遠(yuǎn)方均勻拉伸(裂紋面非均布應(yīng)力)和裂紋面均布應(yīng)力(σr(ξ) = 1)作為參考載荷推導(dǎo)權(quán)函數(shù), 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為格林函數(shù)G(α,ξ/α)作比較.圖24(b)表明, 二者差別為-0.6% ～ 1.0%.

MRS 權(quán)函數(shù)法至少需要兩種參考載荷. 由于不同的參考載荷組合會(huì)得到不同的權(quán)函數(shù), 所以應(yīng)考慮第二種參考載荷的選擇及其對MRS 權(quán)函數(shù)的影響. 考慮有限寬板單邊緣裂紋的兩種不同參考載荷組合: 均布應(yīng)力+彎曲應(yīng)力; 均布應(yīng)力+裂紋嘴集中力. 圖25 是這兩種不同參考載荷組合所得到的MRS 格林函數(shù)的差別, 可見基于參考載荷的不同組合得到的同一裂紋幾何的MRS 權(quán)函數(shù)之間存在著不同程度差異. 其一般規(guī)律是中心裂紋差異較小, 邊緣裂紋差異較大;Glinka-Shen 的通用權(quán)函數(shù)比Fett-Munz 的DAM 權(quán)函數(shù)的差異更加顯著.

圖24基于裂紋張開位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)對參考載荷的敏感性: 格林函數(shù)的差別(Wu 1991b, 吳學(xué)仁等 2019). (a) 有限寬板邊緣裂紋拉伸與彎曲, (b) 有限寬板孔邊雙裂紋受遠(yuǎn)方拉伸和裂紋面均布應(yīng)力

圖25有限寬板單邊緣裂紋在兩種不同參考載荷組合下的MRS 格林函數(shù)差異. (a) Glinka-Shen, (b) Fett-Munz

無限板孔邊單裂紋是一個(gè)更能揭示不同參考載荷組合和參考解的精度對Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)影響的例子. Jin 等 (2017)采用兩種遠(yuǎn)方拉伸(雙軸應(yīng)力比分別為1 和0)作為參考載荷,并用Tada 等 (2000)手冊的K公式作為參考解, 結(jié)合幾何條件mJ(x= 0) = 0, 推導(dǎo)權(quán)函數(shù). 如果把其中的一個(gè)參考載荷(雙軸拉伸應(yīng)力比為1)改為圓孔內(nèi)壁受均勻內(nèi)壓, 其余保持不變, 就得到另一個(gè)權(quán)函數(shù). 圖26 是這兩個(gè)通用權(quán)函數(shù)(轉(zhuǎn)化為格林函數(shù)后)的比值. 可見二者差別非常大,尤其是當(dāng)無量綱裂紋長度很小時(shí)(圖26(b),α= 0.01). 這表明Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法的精度對參考載荷的選擇很敏感.

3.3.2 對參考解精度的敏感性

圖26無限板孔邊單裂紋不同參考載荷組合下的兩種Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)的比值. (a) α = 0.1 ～2.0, (b) α = 0.01

基于裂紋面張開位移的權(quán)函數(shù)法只需要一種參考載荷, 而MRS 權(quán)函數(shù)法需要至少兩種參考載荷情況. 二者通常都把裂紋面均勻應(yīng)力作為首選. 考慮有限寬板單邊緣裂紋幾何受遠(yuǎn)方拉伸,相關(guān)的無量綱K值(Ft)在文獻(xiàn)中有兩個(gè)解, 見圖27(a). 它們的相對差別僅為-0.13% ～ 0.4%.MRS 權(quán)函數(shù)法需要的第2 種參考載荷(彎曲)K解(Fb)則保持不變; 幾何條件均采用mJJ = 0.

為考察Ft微小變化對這兩種MRS 權(quán)函數(shù)的影響,分別基于兩個(gè)差別很小的Ft推導(dǎo)出兩個(gè)權(quán)函數(shù). 結(jié)果表明, Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)(格林函數(shù))相當(dāng)穩(wěn)定, 最大差別小于±1.0%, 見圖27(b).而Fett-Munz 的DAM 權(quán)函數(shù)和Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)則差別顯著, 尤其是當(dāng)裂紋很短時(shí), 最大差別分別達(dá)到約24%和20%, 分別見圖27(c)(d). 這說明Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)法對Ft的微小變化不敏感, 而兩種MRS 權(quán)函數(shù)法則相當(dāng)敏感. 這其實(shí)是MRS 權(quán)函數(shù)方法本身固有的問題, 與第一類伏爾特拉積分方程固有的病態(tài)/不適定性有關(guān), 見3.4 節(jié).

3.3.3 對裂紋嘴幾何條件的敏感性

Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法對邊緣裂紋的裂紋嘴幾何條件有兩種選擇: (1)mJJ = 0; (2)mJ =0. 為避免出現(xiàn)通用權(quán)函數(shù)的系數(shù)M2= 3 的問題, Glinka 和 Shen (1991)在有些情況下改用mJ =0. 這個(gè)條件對于提高半無限板邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的精度是有利的. 但對于有限板單邊緣裂紋卻是有害的, 其影響隨裂紋長度增大變得更加嚴(yán)重. 這是因?yàn)閙J = 0 條件強(qiáng)令裂紋嘴處格林函數(shù)曲線的斜率為零, 迫使曲線發(fā)生畸變.

以有限寬板單邊緣裂紋為例. 基于兩個(gè)參考載荷情況的兩種組合: (a) 拉伸 + 彎曲; (b) 拉伸+ 裂紋嘴集中力, 采用幾何條件mJ = 0 得到的兩種格林函數(shù)見圖28. 與正確的格林函數(shù)(圖12(b))相比, 這兩種Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)的格林函數(shù)曲線發(fā)生了嚴(yán)重畸變, 甚至出現(xiàn)違背物理意義的負(fù)值. 這表明Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)對幾何條件的高度敏感性. 然而圖28(a)和(b)中的格林函數(shù)(權(quán)函數(shù))不但都能夠準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)兩種參考載荷條件下的K值, 而且對于與參考載荷相近的新載荷情況, 用這些權(quán)函數(shù)得到的K值精度則與參考解的精度很接近. 這就容易造成這些有問題的權(quán)函數(shù)卻精度很好的假象. 而當(dāng)載荷情況明顯有別于所用的兩種參考載荷時(shí), 用這樣的權(quán)函數(shù)計(jì)算的K結(jié)果就出現(xiàn)很嚴(yán)重的精度問題(Hill & Kim 2016).

圖27三種權(quán)函數(shù)法對有限寬板單邊緣裂紋參考解精度的敏感性比較(吳學(xué)仁等2019). (a) 遠(yuǎn)方拉伸的兩個(gè)無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線, (b) Wu-Carlsson, (c) Fett-Munz, (d) Glinka-Shen

3.4 對MRS 權(quán)函數(shù)反向求解的討論

Glinka-Shen 的通用權(quán)函數(shù)法UWFM 和Fett-Munz 的直接調(diào)整法DAM 盡管在一些細(xì)節(jié)上有區(qū)別, 但總體思路是相同的: 二者都是先假設(shè)權(quán)函數(shù)的某種級數(shù)表達(dá)形式, 然后基于多種(一般為2 種)參考載荷σri(ξ)和相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子Kri(a), 并結(jié)合裂紋嘴處的一個(gè)幾何條件, 通過求解聯(lián)立方程組得到所假設(shè)的權(quán)函數(shù)級數(shù)表達(dá)式中的2 ～ 3 個(gè)系數(shù)進(jìn)而確定權(quán)函數(shù). 從數(shù)學(xué)視角看, 這種方法是以σri(ξ)和相應(yīng)的Kri(a)作為已知條件, 通過以下方程反(逆)向求解被積函數(shù)中的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α).

式中的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)表達(dá)式分別見式(34), (37)和(38).

式(50)是第一類伏爾特拉積分方程(volterra integral equation of the first kind)在裂紋問題中的具體表達(dá)(Schajer & Prime 2006, Babolian & Masouri 2008). 這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)反問題(inverse problem).

圖28由Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法得到的有限板單邊緣裂紋格林函數(shù)(采用幾何條件mJ = 0). 參考載荷: (a) 拉伸+彎曲, (b) 拉伸+集中力 (吳學(xué)仁等2019)

式中k(t,s)為核函數(shù)(kernel function), 它對應(yīng)于式(50)中的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α). 函數(shù)f(t)和x(s)則分別對應(yīng)于K(a)和σ(ξ). 通常情況下是由已知核函數(shù)k(t,s)和f(t)反向求解未知函數(shù)x(s).5.5 節(jié)中討論的問題與之類似, 即由已知權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)和應(yīng)力強(qiáng)度因子K(a), 反向求解裂紋面應(yīng)力分布σ(ξ). 而這里則是要從已知σ(ξ)和K(a)反向求解核函數(shù)k(t,s), 即權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α). 由于m(α,ξ/α)不但有奇異性, 而且還有兩個(gè)變量, 其反向求解的難度和不確定性比求解單變量的應(yīng)力分布σ(ξ)要大得多. Glinka-Shen 和Fett-Munz 的解法是通過預(yù)設(shè)m(α,ξ/α)的某種級數(shù)表達(dá)形式, 再利用已知兩種參考載荷σri(ξ)及其應(yīng)力強(qiáng)度因子Kri(a), 以及裂紋嘴處的一個(gè)幾何條件, 把m(α,ξ/α)的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為通過聯(lián)立方程組求解m(α,ξ/α)表達(dá)式中的2 ～ 3 個(gè)系數(shù)(Mi或Dn)的問題. 從數(shù)學(xué)的視角看, 第一類伏爾特拉積分方程的反向求解有較大難度和不確定性.Schajer 和Prime (2006)指出: 反方程(inverse equations)對“數(shù)據(jù)噪聲(data noise)”很敏感, 很少能夠得到如正方程(forward equations)那樣明晰確定的解, 所以對反問題的求解不能有很高期望; 在某種意義上, 反方程的“解”只能被認(rèn)為是一個(gè)“最佳猜想(best guess)”; 高質(zhì)量的原始數(shù)據(jù)是求解反方程的關(guān)鍵要求. Babolian 和Masouri (2008)指出: 第一類伏爾特拉積分方程是一個(gè)固有的病態(tài)/不適定問題(inherently ill-posed problem), 這意味著方程的解通常是不穩(wěn)定的, 所求解的問題即使有小的變化就會(huì)引起解的很大變化, 小誤差會(huì)導(dǎo)致解的無界誤差(unbounded error).

這里以圓盤單邊緣裂紋為例, 說明反向求解得到的MRS 權(quán)函數(shù)不具備唯一性. 采用裂紋面兩種參考載荷情況: (1)均布應(yīng)力σ(x)/σ0= 1; (2)拋物線分布應(yīng)力σ(x)/σ0= (1 - 2x)2. 這兩種載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子都有精確解(Gregory 1977, 1979), 均屬于高質(zhì)量的原始數(shù)據(jù). 推導(dǎo)中采用的幾何條件mJJ(x= 0) = 0 也相同. 根據(jù)這些信息, 可以分別推導(dǎo)出兩種MRS 權(quán)函數(shù). 圖29是求得的圓盤單邊緣裂紋的Glinka-Shen 的通用權(quán)函數(shù)和Fett-Munz 的DAM 權(quán)函數(shù)(轉(zhuǎn)化為格林函數(shù)后)的比值, 二者差別顯著, 最大達(dá)-8% ～ 15%. 由于推導(dǎo)所用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)完全相同, 因此可以肯定: 導(dǎo)致這些差別的唯一原因是兩種權(quán)函數(shù)的級數(shù)基本項(xiàng)的冪指數(shù)不同: Glinka-Shen 為(1 -x/a)n/2, 而Fett-Munz 為(1 -x/a)n+1/2. 這個(gè)細(xì)節(jié)區(qū)別使得兩種MRS 權(quán)函數(shù)產(chǎn)生明顯差異.這也表明了第一類伏爾特拉積分方程反向求解結(jié)果的不確定性.

圖29采用相同的兩個(gè)精確參考解和幾何條件, 反向解得的圓盤單邊緣裂紋兩種MRS 權(quán)函數(shù)的比值(吳學(xué)仁等2019)

以上是文獻(xiàn)中從數(shù)學(xué)角度對第一類伏爾特拉積分方程求解的難度和不確定性的一些評論.它們對于理解基于多個(gè)參考載荷條件的MRS 權(quán)函數(shù)法存在的各種問題, 提供了有益啟示, 如:

(1) 基于相同的參考載荷和幾何條件, 僅在級數(shù)基本項(xiàng)冪指數(shù)上的細(xì)微差別(1/2, 1, 3/2 與1, 2, 3)就能導(dǎo)致Glinka-Shen 和Fett-Munz 的MRS 權(quán)函數(shù)的明顯不同.

(2) 采用同一種權(quán)函數(shù)方法, 參考載荷的選擇和組合對MRS 權(quán)函數(shù)結(jié)果影響顯著.

(3) 幾何條件的選擇對Fett-Munz 權(quán)函數(shù)影響相對較小, 但對Glinka-Shen 權(quán)函數(shù)影響十分顯著, 主要原因是Glinka-Shen 權(quán)函數(shù)的基本項(xiàng)冪指數(shù)不符合彈性力學(xué)理論.

(4) 裂紋長度較小時(shí), MRS 權(quán)函數(shù)的精度明顯下降.

(5) 參考解精度的細(xì)微變化能導(dǎo)致MRS 權(quán)函數(shù)的很大變化.

3.5 小結(jié)

本節(jié)以高精度復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開權(quán)函數(shù)WCTSE 為基準(zhǔn), 對采用不同方法得到的幾種解析權(quán)函數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格的驗(yàn)證評價(jià). 結(jié)果表明, 基于一種參考載荷的裂紋面位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法(Wu-Carlsson)在精度、穩(wěn)定性和魯棒性方面均優(yōu)于基于多個(gè)參考載荷的兩種MRS 權(quán)函數(shù)法(Fett-Munz 和Glinka-Shen). 這主要是因?yàn)? 基于裂紋面位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法是以物理量COD 為基礎(chǔ)推導(dǎo)確定權(quán)函數(shù). 而基于多個(gè)參考載荷的兩種MRS 權(quán)函數(shù)法則是建立在對多個(gè)參考載荷情況的純數(shù)學(xué)擬合的基礎(chǔ)上, 通過反向求解第一類伏爾特拉積分方程得到預(yù)設(shè)權(quán)函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù). MRS 權(quán)函數(shù)法對多種因素的高度敏感性和不穩(wěn)定性等問題的根本原因 是脫離了裂紋問題的物理本質(zhì). 關(guān)于MRS 權(quán)函數(shù)法存在的上述幾個(gè)主要問題及其原因, 筆者與Glinka 教授最近進(jìn)行了深入討論, 并達(dá)成一致認(rèn)識(Glinka 2020).

對于有些很特殊的裂紋幾何(如很纖細(xì)的雙懸臂梁和裂紋附近有局部開孔等), 即使以裂紋面均布應(yīng)力作為參考載荷, 其裂紋面位移也難以用規(guī)范化級數(shù)準(zhǔn)確表達(dá). 故Wu-Carlsson 解析權(quán)函數(shù)法對這類裂紋幾何或難以適用. MRS 權(quán)函數(shù)法則因與COD 無關(guān), 故應(yīng)用不受影響.

圖30 是綜合多個(gè)評價(jià)維度, 用雷達(dá)圖的形式對以上3 種應(yīng)用廣泛的解析權(quán)函數(shù)法的比較.采用的8 個(gè)維度是: (1) 理論的嚴(yán)密性; (2) 方法的規(guī)范性; (3) 權(quán)函數(shù)級數(shù)表達(dá)式的合理性; (4) 幾何條件的統(tǒng)一性; (5) 推導(dǎo)快捷性和使用方便性; (6) 方法的魯棒性; (7) 權(quán)函數(shù)的準(zhǔn)確性(精度水平); (8) 精度驗(yàn)證的充分性. 其中以權(quán)函數(shù)的準(zhǔn)確性/精度最為重要.

對兩種MRS 權(quán)函數(shù)的綜合比較表明, Fett (1992)與Fett 和 Munz (1997)的DAM 權(quán)函數(shù)法的精度優(yōu)于Glinka 和 Shen (1991)的通用權(quán)函數(shù)法UWFM. DAM 權(quán)函數(shù)的級數(shù)表達(dá)是合理的,如果采用兩個(gè)差別較大的參考載荷情況(如裂紋面均布應(yīng)力和裂紋嘴集中力), 所得權(quán)函數(shù)的精度通?？梢詽M足工程應(yīng)用要求. I 型和II 型的DAM 權(quán)函數(shù)推導(dǎo)方法相同(Fett 2001, 2002). 這兩種MRS 權(quán)函數(shù)在文獻(xiàn)中都有廣泛應(yīng)用. 如文獻(xiàn)(Fett et al. 1996, 2000)給出的功能梯度材料和涂層/基體材料有限板邊緣裂紋幾何的DAM 權(quán)函數(shù), 被研究者們用于涂層裂紋的熱沖擊應(yīng)力強(qiáng)度因子求解(Chen & You 2014, 彭中伏和陳學(xué)軍 2018). Dong 等 (2004)利用DAM 的權(quán)函數(shù)求解了圓盤中心裂紋在集中力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子. Glinka 和 Shen (1991)的UWF 權(quán)函數(shù)在學(xué)術(shù)界應(yīng)用也很廣泛, 工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用如美國石油協(xié)會(huì)API 579 (2000), 美國空軍AFGROW 軟件(Harter 2008), 以及航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件損傷容限分析設(shè)計(jì)軟件DARWIN (2008)等; 最近還被用于功能梯度材料圓筒多裂紋的權(quán)函數(shù)分析和應(yīng)力強(qiáng)度因子求解(Nabavi & Rekavandi 2020). 應(yīng)用這兩種MRS 權(quán)函數(shù)求解K時(shí)應(yīng)注意: 當(dāng)所考慮的載荷和兩種參考載荷引起的無裂紋應(yīng)力分布比較接近時(shí), 求得K值的精度會(huì)與兩種參考解K本身的精度相當(dāng); 而對于明顯偏離的無裂紋應(yīng)力分布, 所求得K值的精度則可能出現(xiàn)問題.

二維裂紋問題的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法(Wu & Carlsson 1991)在近30 年中得到了國際斷裂界同行學(xué)者的廣泛驗(yàn)證, 并用于分析各種類型的裂紋問題, 其中的一些代表性論著見(Cardona et al. 1993; Wang & Kemeny 1993; Lorenzo et al. 1994; John et al. 1995; Dempsey & Adamson 1995; Lee & Hong 1995; Adamson et al. 1996; Fleck et al. 1996; Bazant & Planas1997; Jones 1998; Ng & Lau 1999; Zhuang 2000; Ostlund & Karenlamp 2001; Wu & Bowen 2000; Chen & Sun 2001; Lim et al. 2003; Zerbst et al. 2003, 2005, 2007; Ball & Watton 2011; Ball 2008; Ball et al.2014; Wagner & Millwater 2012; Dempsey & Mu 2014; Ribeiro & Hill 2016); 此外, 還被多個(gè)國外工業(yè)規(guī)范如R6 (2009), BS 7910 (Zerbst et al. 2007, Andersson et al 1999, Dillstrom et al. 2018)以及大型軟件如NASCRAC (1994), NASGRO (2012), DARWIN (2008)采用. 在國內(nèi), 由該方法得到的各種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)和大量應(yīng)力強(qiáng)度因子解被編入中國航空研究院(1993)應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊和軍用飛機(jī)疲勞-損傷容限-耐久性設(shè)計(jì)手冊(1994). Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)法也得到了國內(nèi)斷裂力學(xué)界多位學(xué)者的關(guān)注 (楊衛(wèi) 1995, 匡振邦和馬法尚 2002, 莊茁和蔣持平 2004, 王自強(qiáng)和陳少華 2009), 北京航空航天大學(xué)主編的研究生教材對該方法作了具體介紹(酈正能等 2012).

圖30三種解析權(quán)函數(shù)方法綜合比較的雷達(dá)圖(吳學(xué)仁等 2019)

關(guān)于Wu-Carlsson 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法以及二維裂紋解析權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)推導(dǎo)和驗(yàn)證和以此求得的大量應(yīng)力強(qiáng)度因子解及其各種工程應(yīng)用, 可參閱作者及其合作者的專著 (Wu & Carlsson 1991, 吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022), 以及相關(guān)文章(Wu & Carlsson 1983; Wu 1984, 1991a,1992, 2019; 吳學(xué)仁和黃新躍 1988; 童第華等 2017; 趙曉辰等 2018; Wu & Tong 2018; Wu et al.2018a; Xu & Wu 2012; Xu et al. 2014, 2020a, 2020b).

4 三維裂紋問題的權(quán)函數(shù)法

三維裂紋(部分穿透裂紋)包括內(nèi)埋裂紋、表面裂紋和角裂紋三種幾何形態(tài), 通常以橢圓或部分(半/四分之一)橢圓表示. 由于三維裂紋幾何包含橢圓長/短軸兩個(gè)尺寸, 且應(yīng)力強(qiáng)度因子沿裂紋前緣位置(參量角φ)變化, 其權(quán)函數(shù)推導(dǎo)比二維裂紋問題復(fù)雜得多. 早期的三維裂紋權(quán)函數(shù)法僅考慮橢圓長/短軸兩個(gè)端點(diǎn)(φ= 0, π/2)的應(yīng)力強(qiáng)度因子的近似求解. Cruse 和Besuner(1975)提一種了用于計(jì)算三維裂紋兩個(gè)端點(diǎn)的均方根(RMS)應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法. Shen 和Glinka (1991)的三維權(quán)函數(shù)法則給出橢圓長短軸兩個(gè)端點(diǎn)的K值. Mattheck 等 (1983) 與 Xu和Wu (1989)采用Petroski 和Achenbach (1978)的二維裂紋位移表達(dá)式推導(dǎo)表面裂紋的近似權(quán)函數(shù), 計(jì)算了最深點(diǎn)及表面點(diǎn)處的局部平均應(yīng)力強(qiáng)度因子. Wang 和Lambert (1995, 1997)利用三維有限元法得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解, 采用二維裂紋權(quán)函數(shù)形式推導(dǎo)表面裂紋和角裂紋的權(quán)函數(shù), 但只能處理單方向的應(yīng)力變化情況.

由Fujimoto (1976)首次提出的片條合成法克服了構(gòu)造三維位移場導(dǎo)致的局限性, 能給出三維裂紋前緣各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 但其片條合成模型把片條完全作為二維裂紋問題處理, 不考慮未開裂部分對含裂紋片條的約束作用, 故誤差較大. Dill 和Saff (1978), Saff 和Sanger (1984)用片條合成法分析了有限板表面裂紋和孔邊角裂紋問題, 雖然考慮了板的剛度對片條的約束, 但未把這種約束作為普遍的性質(zhì)納入分析模型.

趙偉(1988)和Zhao 等 (1989a, 1989b)提出了三維裂紋的片條合成權(quán)函數(shù)法(Zhao-Wu-Yan). 這種方法將Fujimoto 片條合成技術(shù)與二維權(quán)函數(shù)法相結(jié)合, 對三維裂紋幾何作離散化處理并轉(zhuǎn)化為兩組正交的二維片條模型, 利用其極限情況對應(yīng)的二維權(quán)函數(shù)構(gòu)造出片條的權(quán)函數(shù).借助內(nèi)埋橢圓裂紋的解析解, 考慮了未開裂部分對含裂紋片條的約束作用. 由兩組正交片條的二維權(quán)函數(shù)求得的K解合成得到三維裂紋前緣各點(diǎn)的K(φ)值. 該方法不但求解效率明顯高于有限元法, 而且精度可靠, 被廣泛用于多種三維裂紋幾何在各種載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算和建模分析 (趙偉等1990, 1991a, 1991b, 1991c; Zhao et al. 1997a; 吳學(xué)仁等 2000).

求解三維裂紋問題的另一類重要方法是點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法. 這類方法能夠計(jì)算在橢圓長短軸兩個(gè)方向同時(shí)變化的雙變應(yīng)力場(bi-variant stressing)作用下的三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子, 對于復(fù)雜雙變應(yīng)力場中的三維裂紋的損傷容限分析有重要價(jià)值. Gao 和Rice (1987)利用無限大體內(nèi)埋圓形裂紋在一對集中力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解, 用攝動(dòng)法求解了無限大體含近似圓形裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂紋面位移. Rice (1989)提出了一種通用的內(nèi)埋三維裂紋權(quán)函數(shù)形式. Wang 和Glinka (2009)采用Rice (1989)的研究結(jié)果提出了由應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解推導(dǎo)內(nèi)埋裂紋點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)的方法. Jin 和Wang (2013)在此基礎(chǔ)上給出了表面裂紋的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù). Orynyak 和Borodii (1994)采用橢圓坐標(biāo)系建立分析模型, 提出了另一種形式的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù), 無需應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解即可計(jì)算無限大體內(nèi)埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子. Orynyak 等 (1994)通過對無限大體內(nèi)埋裂紋權(quán)函數(shù)的修正, 提出了由參考解推導(dǎo)有限體三維裂紋點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)的方法. McClung等 (2004, 2013)和Lee 等 (2008)針對雙變應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算需求, 在Orynyak 和Borodii (1994)方法的基礎(chǔ)上, 考慮有限體的邊界修正, 提出了一種新的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, 并對此作了廣泛驗(yàn)證(Sobotka & McClung 2019). 趙曉辰(2016)通過改進(jìn) Orynyak 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, 提高了寬范圍橢圓長短軸比值的三維裂紋K求解精度.

本節(jié)簡單介紹片條合成權(quán)函數(shù)法和幾種不同形式的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法.

4.1 片條合成三維權(quán)函數(shù)法

趙偉 (1988), Zhao 等 (1989a, 1989b), 以及趙偉等(1990)結(jié)合二維裂紋解析權(quán)函數(shù)法和改進(jìn)后的Fujimoto (1976)片條合成技術(shù), 考慮未開裂部分對含裂紋片條的約束作用, 建立了求解三維應(yīng)力強(qiáng)度因子的片條合成權(quán)函數(shù)法(slice synthesis weight function method, SSWFM). 這種方法的基本思想是把三維裂紋幾何轉(zhuǎn)化為等效的二維片條模型. 借助于無限體內(nèi)埋橢圓裂紋的解析解模擬三維裂紋的所有特征. 通過把三維裂紋體離散化為兩組含穿透裂紋的二維片條, 將未開裂部分對片條的約束作用轉(zhuǎn)化為片條在裂紋擴(kuò)展前方邊界上的彈性位移邊界條件, 并利用兩種極限情況下對應(yīng)的二維裂紋權(quán)函數(shù), 構(gòu)造出具有三維性質(zhì)的片條權(quán)函數(shù). 采用二維權(quán)函數(shù)法計(jì)算兩組片條的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 進(jìn)而根據(jù)所推導(dǎo)出的三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與二維裂紋片條應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系, 最終確定三維裂紋前緣各點(diǎn)的K(φ)值. 該方法已成功用于各類三維裂紋幾何在多種復(fù)雜應(yīng)力條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算, 其求解精度已得到廣泛驗(yàn)證.

4.1.1 基本理論與模型

三維裂紋片條合成權(quán)函數(shù)法SSWFM 的基本理論與分析模型可用圖31 的孔邊雙角裂紋(1/4 橢圓)為例闡明. 將裂紋體的開裂部分沿橢圓長/短軸線分割為兩組正交且厚度為無限小的片條, 與a軸平行的稱為a片條, 與c軸平行的稱為c片條. 選其中的一組作為基本片條, 其彈性模量及承受的外載荷均與三維裂紋體相同. 由于相鄰片條之間的互相作用, 片條中存在著垂直于裂紋面方向的剪應(yīng)力. 其作用可通過在裂紋面上施加彈簧力S(x,y)加以模擬. 另一組片條稱為彈簧片條, 它僅在裂紋面上承受與基本片條的彈簧力大小相等方向相反的彈簧力, 但不承受外載荷. 通過施加在片條裂紋擴(kuò)展前方邊界上的彈性位移約束, 模擬三維裂紋體未開裂部分對片條的約束作用.a片條與c片條邊界上的彈性位移約束剛度ki(i=a,c)與約束面積Ri(i=a,c)正相關(guān). 當(dāng)Ri= 0 時(shí),ki= 0 時(shí), 片條邊界上沒有約束; 當(dāng)Ri→∞時(shí),ki→∞時(shí), 片條邊界承受完全限制法向位移的固定約束. 由兩個(gè)極限狀況的二維權(quán)函數(shù)可構(gòu)造得到片條權(quán)函數(shù).

考慮無限板情況, 即(c+r)/b→0, 此時(shí)片條約束為Ri→∞,Ti(∞) = 0, 孔邊對稱雙角裂紋的二維片條權(quán)函數(shù)為

其中mdouble為有限板雙邊裂紋權(quán)函數(shù),mhole-edge-double為無限板孔邊雙裂紋權(quán)函數(shù). 確定片條二維權(quán)函數(shù)mi(i=a,c)后, 由下式計(jì)算兩組片條的二維應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki(i=a,c)

式中σ(x,y)為外載荷作用下假想裂紋處的應(yīng)力分布;S(x,y)為彈簧力, 其表達(dá)式設(shè)為

根據(jù)兩組片條在對應(yīng)于裂紋面相同位置處的位移相等的協(xié)調(diào)條件, 通過求解位移協(xié)調(diào)方程可確定彈簧力S(x,y). 求解所需的片條裂紋面位移Va和Vc則通過二維裂紋權(quán)函數(shù)法求得

令兩組片條所對應(yīng)相同位置處的裂紋面張開位移相等, 則可建立確定彈簧力S(x,y)的方程

采用全主元高斯-約當(dāng)消元法求解, 即可確定式(57)中的彈簧力S(x,y)的系數(shù)αi. 代入式(53)和(54)便得到二維片條的應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki(i=a,c), 進(jìn)而按下式計(jì)算三維裂紋前緣各點(diǎn)的K(φ)值

圖31有限板圓孔邊四分之一橢圓角裂紋的片條分析模型. (a) 三維裂紋體, (b) 片條裂紋長度及橢圓參量角, (c) 基本片條(a 片條), (d) 彈簧片條(c 片條).

式中參量角φ表征裂紋前緣位置, 其定義見圖31(b). 若φ所示位置在裂紋體內(nèi)部, 則η=ν; 若在自由表面, 則η= 0. 若Ki＜ 0 (i=a,c),n= 1; 若Ki≥ 0,n= 2. 有關(guān)細(xì)節(jié)可參閱: 趙偉(1988),Zhao 等 (1989a, 1989b, 1997a), 趙偉等(1991a, 1991b, 1991c), 以及吳學(xué)仁等(2000).

位于厚度較大的結(jié)構(gòu)部位的三維裂紋可能受沿長/短軸兩個(gè)方向變化的應(yīng)力(雙變應(yīng)力: bivariant stress)作用. 這種情況要用能處理復(fù)雜雙變應(yīng)力的三維權(quán)函數(shù)法. SSWFM 在理論上具有處理雙變應(yīng)力的三維裂紋問題的能力. 對于圖32(a)的厚板圓孔根部的三維裂紋, 其裂紋面應(yīng)力在板的寬度和厚度兩個(gè)方向變化. 這類雙向變化應(yīng)力場可用下式表示(Zhao et al. 1994)

圖32(a) 無限板圓孔邊沿x 和y 兩個(gè)方向變化的三維應(yīng)力場, (b) 用SSWFM 結(jié)合二維和三維有限元分析的應(yīng)力場得到的孔邊角裂紋無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子. 實(shí)線: 用2D 應(yīng)力解, 虛線: 用3D 應(yīng)力解(Zhao et al. 1997b)

圖32(b)的SSWFM 計(jì)算結(jié)果表明, 采用二維和三維有限元計(jì)算得到的裂紋面應(yīng)力分布通過三維權(quán)函數(shù)法得到的K(φ)值會(huì)有差別. 表面裂紋差別較小, 角裂紋則較為顯著(Zhao et al.1997b, 1998). 差別的程度隨裂紋相對尺寸(a/t)變化, 并與孔半徑與板厚的比值(r/t)有關(guān),r/t越小則變化越大. 彈性力學(xué)對平面問題的應(yīng)力分析不考慮應(yīng)力沿板厚方向(t)的變化, 給出的裂紋面應(yīng)力σ(x)與真實(shí)的σ(x,y)會(huì)有差別, 導(dǎo)致所得應(yīng)力強(qiáng)度因子誤差. 所以對于應(yīng)力集中部位的三維裂紋K權(quán)函數(shù)法求解, 宜采用三維有限元的σ(x,y)分析結(jié)果.

與其他三維裂紋權(quán)函數(shù)法相比, SSWFM 有諸多優(yōu)勢, 如: 權(quán)函數(shù)的確定不需要大量三維數(shù)值計(jì)算, 而是通過已知的二維片條的解析權(quán)函數(shù)結(jié)果(Wu 1984, Wu & Carlsson 1991)合成得到;在許多情況下不需要三維裂紋的參考解; 所得到的K值具有高精度. 這種方法已成功用于多種三維裂紋問題的分析計(jì)算, 如: 小表面裂紋和角裂紋(趙偉等 1991b, 1991c), 圓孔邊和半圓缺口根部表面裂紋和角裂紋(Zhao et al. 1990a, 1990b, 1991,1997a, 1998; Zhao et al. 2016, 2017). 需要注意的是, SSWFM 對于處理帶有(x/c)n(y/a)m交叉項(xiàng)的裂紋面應(yīng)力分布的能力尚待廣泛驗(yàn)證.但這類特殊應(yīng)力場在三維裂紋問題中不常見, 特別是對于裂紋尺寸較小的情況. 近期用SSWFM 計(jì)算得到了多種三維裂紋幾何在裂紋面冪函數(shù)應(yīng)力 (σ(x, y)/σ0= (x/c)n,σ(x, y)/σ0= (y/a)n,n= 0 ～ 4)作用下的大量應(yīng)力強(qiáng)度因子Fn(吳學(xué)仁等 2019). 這些Fn值與疊加原理結(jié)合, 只需通過簡單四則運(yùn)算就能方便地求得在裂紋面多項(xiàng)式應(yīng)力作用下三維裂紋前緣各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 計(jì)算效率比有限元等數(shù)值方法一般能高出2 ～ 4 個(gè)數(shù)量級.

文獻(xiàn)檢索表明, 趙偉及其合作者建立的三維裂紋SSWFM 已被國內(nèi)外研究者用來分析各種類型的三維裂紋問題. 典型例子如: 表面裂紋的條帶屈服分析(Daniewicz 1998, Daniewicz &Aveline 2000, Kim & Lee 2000), 齒輪根部的三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算(Guagliano & Vergani 2001), 殘余應(yīng)力場中的表面裂紋分析(湯英等 2012), 單邊缺口彎曲SENB 試樣的表面裂紋和角裂紋(Zhao et al. 2016, 2017)以及孔邊兩條不對稱角裂紋在多種載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算(Zhang et al. 2022). 所得到的結(jié)果都具有良好的精度. 基于SSWFM 求得的單邊缺口拉伸SENT試樣的兩種三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的擬合公式被我國航空工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)采用（HB7705-2001）.

4.1.2 典型三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子SSWFM 求解精度驗(yàn)證

由于尚無三維裂紋幾何的格林函數(shù)(與作用在裂紋面任意點(diǎn)的單位集中力P對應(yīng)的裂紋前緣各點(diǎn)的K(φ)值), 對二維裂紋權(quán)函數(shù)的基于格林函數(shù)的評價(jià)方法難以用于三維裂紋情況. 所以只能基于一些載荷情況下的K(φ)值對三維權(quán)函數(shù)的精度作評價(jià)比較.

SSWFM 求得的多種三維裂紋在復(fù)雜載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果已經(jīng)與有限元結(jié)果作了廣泛比較, 二者普遍符合得很好. 除了受邊界層效應(yīng)影響的自由表面區(qū)域外, 與有限元結(jié)果的差異一般不超過3%, 最大差別在5%以內(nèi). 圖33(a)是孔邊表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果的對比(Newman et al. 1994). 值得指出的是, 基于SSWFM 的計(jì)算結(jié)果, 曾發(fā)現(xiàn)了早期NASA 有限元模型中因近表面區(qū)域內(nèi)的病態(tài)單元(ill-shaped elements)引起K急劇下降的問題. 糾正病態(tài)單元后的有限元結(jié)果與SSWFM 和其他數(shù)值解法的結(jié)果符合很好(Tan et al. 1988, 1990, Newman et al.1994). 圖33(b)是Bakuckas (2001)對用各種數(shù)值方法(有限元法, 邊界元法等)和SSWFM 的孔邊角裂紋在遠(yuǎn)方拉伸載荷下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子F的比較, 這些方法間的差異均在±3%的分散帶內(nèi). 圖34 是中美CAE-NASA 合作項(xiàng)目的結(jié)果: 用SSWFM 和有限元法得到的SENT 試樣半圓缺口根部表面裂紋及角裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子符合得很好(Newman et al. 1994, Wu et al.1998).

圖33(a) 孔邊表面裂紋遠(yuǎn)方拉伸下的應(yīng)力強(qiáng)度因子: SSWFM 結(jié)果與有限元解的比較(Newman et al.1994, Wu et al. 1998), (b) 孔邊對稱雙角裂紋遠(yuǎn)方拉伸下的應(yīng)力強(qiáng)度因子: SSWFM 與各種數(shù)值解法的比較(Bakuckas 2001)

2021 年, 筆者團(tuán)隊(duì)參加了由美國斷裂力學(xué)界發(fā)起的一個(gè)孔邊角裂紋三維應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法的Round Robin 雙盲比對活動(dòng)(Newman & Wu 2021). 圖35 是各參加單位用不同方法得到的計(jì)算結(jié)果匯總比較. 其中, FEA(p版有限元)所用自由度高達(dá)160 000, 建模和計(jì)算工作量很大.SSWFM 給出的兩種結(jié)果(WFM3D)是分別基于2D 和3D 有限元應(yīng)力分析得到的, 即σ(x)和σ(x,y). 二者之間存在少許差別, 但都在合理分散帶范圍內(nèi). 基于3D 有限元應(yīng)力σ(x,y)的結(jié)果與其他解的符合程度更好些. 這個(gè)比對為SSWFM 的高效高精度優(yōu)勢提供了最新佐證.

圖35 9 種方法求得的遠(yuǎn)方拉伸無限板孔邊角裂紋(r/t = 1.0, a/c = 1.0, a/t = 0.2)三維應(yīng)力強(qiáng)度因子比較(ERSI-USA). (a) r/W = 0.125, (b) r/W = 0.416 7 (Newman & Wu 2021)

以上SSWFM 分析考慮的是圓孔單邊角裂紋和雙邊對稱角裂紋情況. 筆者團(tuán)隊(duì)最近進(jìn)一步發(fā)展了適用范圍更廣的SSWFM. 通過合理考慮彈簧片條的兩種極限邊界約束條件, 有效提高了該方法在裂紋相對尺寸(a/t)較大時(shí)的求解精度. 圖36 是解得的無限板圓孔非對稱雙角裂紋在遠(yuǎn)方拉伸和面外彎曲載荷下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f, 以及與Franc3D 有限元結(jié)果的比較, 二者符合得很好. 而SSWFM 計(jì)算速度則是Franc3D 的500 倍(Zhang et al. 2022).

4.2 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法

圖34遠(yuǎn)方拉伸SENT 半圓缺口試樣三維應(yīng)力強(qiáng)度因子: SSWFM 與有限元結(jié)果以及擬合方程比較.(a) 表面裂紋, (b) 角裂紋 (Newman et al. 1994; Wu et al. 1998)

式中,S為整個(gè)裂紋面,x和y為裂紋面坐標(biāo),P′為位于裂紋前緣的點(diǎn),σ(x,y) 為裂紋面應(yīng)力,m(x,y;P′)為點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù). 本節(jié)主要討論應(yīng)用較多的3 種點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, 分別是Orynak-Borodii 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, Wang-Glinka 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法和McClung-Lee 雙變應(yīng)力場點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法. 無限體內(nèi)埋裂紋點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)的確定相對簡單. 有限體以及有自由表面的表面裂紋和角裂紋等三維裂紋幾何, 則需利用其他方法求得的三維應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解, 反算求得修正系數(shù)后才能確定點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù).

4.2.1 Orynak-Borodii 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法

基于Guidera 和Lardner (1975)的無限大體內(nèi)埋圓形裂紋的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)精確解, Orynyak et al. (1994), 以及Orynyak 和Borodii (1995) 采用橢圓坐標(biāo)系提出了無限大體內(nèi)埋橢圓裂紋的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù), 見圖37.

圖37 Orynyak-Borodii 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)分析模型. (a) 內(nèi)埋橢圓裂紋, (b) 半橢圓表面裂紋, (c) 四分之一橢圓角裂紋

圖36無限板孔邊兩條非對稱角裂紋(r/t = 1.0)在遠(yuǎn)方拉伸和面外彎曲載荷下的三維應(yīng)力強(qiáng)度因子:SSWFM 與有限元軟件Franc3D 結(jié)果的比較. 裂紋面應(yīng)力分布σ(x, y)采用了3D 有限元分析結(jié)果(Zhang et al. 2022)

式中l(wèi)PP’為點(diǎn)P(ξ,η)到點(diǎn)P’(ξ0,η0)之間的距離.ξ和η為P點(diǎn)的橢圓坐標(biāo),ξ0和η0為P′點(diǎn)的橢圓坐 標(biāo),ξ0={ln[(1+β)/(1-β)]}/2 , 若a/c＜ 1.0, 則β=a/c; 若a/c＞ 1.0, 則β=c/a.R為 點(diǎn)P1(ξ0,η)與P2(0,η)的距離;r為點(diǎn)P(ξ,η)和P2(0,η)的距離. 點(diǎn)P,P1與P2沿橢圓角η分布. 式(61)僅適用于橢圓半軸長度(a,c)不相等的情況.

為考慮有限尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響, 在式(61)基礎(chǔ)上增加修正項(xiàng)ν(ξ,η;P′) , 可把有限體內(nèi)埋橢圓裂紋的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)寫為

對于表面裂紋(圖37(b))和角裂紋(圖37(c)), 為考慮自由表面(表面裂紋1 個(gè), 角裂紋2 個(gè))的影響, 增加新的修正項(xiàng). 相應(yīng)的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)表達(dá)式為

表面裂紋

其中, 點(diǎn)Px與點(diǎn)P沿x軸對稱,lpxp′是Px到P′的距離; 點(diǎn)Py與點(diǎn)P沿y軸對稱,lpyp′是Py到P′的距離.

在修正多項(xiàng)式(63)中, 取n= 1, 則可利用一種參考載荷下的已知應(yīng)力強(qiáng)度因子Kr, 由式(60)求得修正系數(shù)M1. 以有限體內(nèi)埋裂紋為例, 將權(quán)函數(shù)式(62)及參考載荷代入式(60), 則有

式中σr為參考應(yīng)力,Kr為對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解. 完成二重積分后, 通過簡單的代數(shù)運(yùn)算由Kr得到系數(shù)M1. 為簡化求解一般以裂紋面均布載荷σ(x,y)/σ0= 1 作為參考應(yīng)力. 但文獻(xiàn)中關(guān)于參考應(yīng)力的選擇對系數(shù)M1的影響未見考慮.

趙曉辰(2016)利用Orynyak-Borodii 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法計(jì)算了多種載荷情況下的表面裂紋K值, 發(fā)現(xiàn)這種方法的求解精度與橢圓長短軸的比值(a/c)有關(guān),a/c＜ 1 時(shí)精度較好,a/c＞ 1 時(shí)精度變差. 為拓寬該方法對a/c比值的適用范圍, 提出增加1 項(xiàng)修正系數(shù), 并采用更合理的冪指數(shù)(1/2, 3/2). 為此需要2 種參考載荷情況及其參考解, 以確定下式中的系數(shù)M1和M2

為提高計(jì)算效率, 利用片條合成權(quán)函數(shù)法計(jì)算單變載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子作為參考解. 通過片條合成權(quán)函數(shù)法與寬范圍點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法的結(jié)合, 確定各種有限體三維裂紋幾何的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù), 進(jìn)而計(jì)算裂紋面在幾種受單變和雙變應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 并對部分結(jié)果進(jìn)行了比較驗(yàn)證. 結(jié)果表明, 新方法提高了a/c＞ 1 的求解精度, 拓寬了適用范圍, 并明顯減少了求解工作量(趙曉辰 2016). 但這種方法尚待進(jìn)一步驗(yàn)證和改進(jìn).

4.2.2 Wang-Glinka 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法

Rice (1989)建立了內(nèi)埋橢圓裂紋的權(quán)函數(shù)分析模型(圖38), 并指出裂紋前緣點(diǎn)P′(x′,y′)的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)都可以表示成單位載荷加載點(diǎn)P(x,y)到裂紋前緣的最短距離s, 以及P到P′距離lPP′的函數(shù)

式中點(diǎn)Px為與點(diǎn)P沿x軸對稱的點(diǎn),lpxp′為Px到P′的距離, 見圖38(b).

圖38 Rice (1989)點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)分析模型. (a) 內(nèi)埋橢圓裂紋, (b) 半橢圓表面裂紋

袁奎霖(2019)用Wang-Glinka 和Jin-Wang 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法計(jì)算了焊接結(jié)構(gòu)的焊趾表面裂紋(a/c= 0.05 ～ 1)受σ(x,y)/σ0= (1 -y/a)mcos[(πx)/(4c)]雙向變化應(yīng)力作用的應(yīng)力強(qiáng)度因子,結(jié)果與有限元解的差別在10%以內(nèi). 最近Guo 等 (2021)采用點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法計(jì)算了圓孔邊角裂紋在單/雙向冪函數(shù)應(yīng)力σ(x,y)/σ0= (x/r)n和σ(x,y)/σ0= [(xy)/(ac)]n, (n= 0 ～ 3)作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 與文獻(xiàn)中的解和有限元計(jì)算結(jié)果符合較好. 趙曉辰(2016)用該點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法計(jì)算了表面裂紋幾種載荷情況的K值. 與有限元解的比較表明, 其求解精度當(dāng)a/c＞ 1 時(shí)變差.這與Orynyak-Borodii 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法的情況類似, 可能也是因?yàn)橹挥昧? 項(xiàng)修正系數(shù)N1. 在計(jì)算效率方面, Orynyak-Borodii 法優(yōu)于Wang-Glinka 法. 這主要是因?yàn)樵诤笳叩挠?jì)算中, 加載點(diǎn)P(x,y)到裂紋前緣的最短距離s無法用初等函數(shù)表達(dá), 只能采用數(shù)值方法, 所需計(jì)算時(shí)間較多.這種方法還有待作更廣泛深入的研究和比較.

4.2.3 McClung-Lee 雙變應(yīng)力場點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法

McClung 及其合作者(McClung et al. 2004, 2008, 2013; Lee et al. 2008; Sobotka & McClung 2019)以O(shè)rynyak 和 Borodii (1995)的PWFM 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)為基礎(chǔ), 提出了適用于雙變應(yīng)力場的一種新的三維點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)表達(dá)式. 利用修正項(xiàng)來處理有限邊界和自由表面對半橢圓表面裂紋和四分之一橢圓角裂紋的影響. 以有限板角裂紋為例, McClung 等 (2004)的點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)表達(dá)式為

式中, 多項(xiàng)式的系數(shù)(pi,qi,gij) 通過對無裂紋體在假想裂紋處的實(shí)際應(yīng)力作回歸分析確定.

針對大量的幾何參數(shù)組合, McClung 團(tuán)隊(duì)利用邊界元軟件FADD3D 建立了參考載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)據(jù)庫. 每個(gè)裂紋幾何需要3 種參考應(yīng)力:σ0= 1,σ1= -y/a+ 1 和σ3= -x/c+ 1.可見參考解的計(jì)算工作量很大. 通過與數(shù)值方法(FADD3D 和FEM) 結(jié)果的各種對比(見圖39和圖40 的示例), McClung-Lee 雙變應(yīng)力場點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法得到了廣泛驗(yàn)證(McClung et al.2013), 并已成功用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)高能渦輪部件的損傷容限分析設(shè)計(jì)軟件DARWIN (2008). Sobotka 和McClung (2019)最近對該方法的求解精度和可靠性的全面驗(yàn)證結(jié)果表明, 90%以上的應(yīng)力強(qiáng)度因子與有限元解的偏差不超過5%.

4.3 三維應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的工程簡化方法

三維裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋前緣位置變化, 其最大和最小值一般位于裂紋最深點(diǎn)和表面點(diǎn). 為降低三維裂紋問題的求解難度, 工程中采用各種簡化處理方法計(jì)算這兩個(gè)點(diǎn)的K值. 應(yīng)用較為廣泛的2 種方法是: (1) 由Glinka 團(tuán)隊(duì)提出的三維裂紋最深點(diǎn)和表面點(diǎn)K值的通用權(quán)函數(shù)法; (2) 裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子的局部加權(quán)平均法. 這兩種方法在理論基礎(chǔ)、求解精度以及適用范圍等方面存在明顯局限性. 但由于使用方便, 在工程中有較多應(yīng)用.

4.3.1 Glinka-Shen 通用權(quán)函數(shù)法

Glinka 研究團(tuán)隊(duì)(Shen & Glinka 1991, Glinka 1996, Zheng et al. 1996, Kiciak et al. 1998)把其二維裂紋通用權(quán)函數(shù)法直接用于三維表面裂紋和角裂紋最深點(diǎn)(A)和表面點(diǎn)(B)應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解. 圖41 表示平板半橢圓表面裂紋和四分之一橢圓角裂紋A和B兩點(diǎn)的權(quán)函數(shù)mA和mB的相關(guān)幾何參數(shù).

最深點(diǎn)A

圖39有限板半橢圓表面裂紋在3 種雙變應(yīng)力作用下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子3 種解法的結(jié)果比較. 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法, 邊界元數(shù)值法- FADD3D, 有限元法- FEACrack (McClung et al. 2013)

圖40點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法(PWFM)與邊界元法(FADD3D)計(jì)算的孔邊角裂紋無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子比較.(a) 拉伸, (b) 彎曲 (McClung et al. 2013)

對于表面點(diǎn)B, 由于裂紋尖端應(yīng)力奇異性消失, 附加求解條件為權(quán)函數(shù)mB在x=a處為0.

圖41平板三維裂紋權(quán)函數(shù)的參數(shù)定義. (a) 半橢圓表面裂紋, (b) 四分之一橢圓角裂紋 (Zheng et al.1996)

三維裂紋在均勻拉伸和線性變化等載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解可從文獻(xiàn)中查得或用三維數(shù)值方法(有限元, 邊界元等)計(jì)算. 由此確定權(quán)函數(shù)(系數(shù)M1,2,3A,B)后,在沿x方向變化的應(yīng)力作用下,A點(diǎn)和B點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子可通過積分得到.

這種方法使用簡單,被美國石油協(xié)會(huì)規(guī)范API 579 (2010)采用. 但有些問題值得注意. 如:只適用于沿x方向變化的應(yīng)力情況; 表面點(diǎn)B的權(quán)函數(shù)為0 的條件合理性問題; 裂紋嘴x= 0 處的幾何條件(一階或二階)導(dǎo)數(shù)為0 條件的使用有隨意性問題; 角裂紋的A(x=a)和B(y=c)兩個(gè)點(diǎn)都位于平板表面, 但卻分別定義為最深點(diǎn)和表面點(diǎn), 采用不同的附加條件確定其權(quán)函數(shù), 其合理性存在疑問. 精度評價(jià)中均采用了與參考載荷區(qū)別不大的冪律應(yīng)力分布(僅冪次數(shù)不同). 這種做法可能會(huì)影響評價(jià)結(jié)論的正確性.

4.3.2 局部加權(quán)平均法

另一個(gè)工程簡化處理方法是計(jì)算A,B兩點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子局部加權(quán)平均值. 把半橢圓表面裂紋的擴(kuò)展方式簡化成只具有兩個(gè)自由度的模型. 類似于二維問題, 若已知在某參考載荷σ0(x,y)作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子KA0和KB0, 其定義為 (Cruse & Besuner 1975)

上式中的權(quán)函數(shù)(mA,mB)可通過將參考載荷作用下的裂紋面位移U0對裂紋尺寸a,c分別求偏導(dǎo)數(shù)得到其中的裂紋面位移U0可利用二維中心裂紋和邊緣裂紋的裂紋面張開位移表達(dá)式以及兩組正交切片的變形協(xié)調(diào)條件求得(Xu & Wu 1989). 所以只要有參考載荷作用下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子就能夠得到計(jì)算表面裂紋兩個(gè)端點(diǎn)KˉA和KˉB局部加權(quán)平均值的權(quán)函數(shù). Xu 和Wu (1989)用這種方法求得了圓筒內(nèi)壁表面裂紋在熱沖擊應(yīng)力下的大量應(yīng)力強(qiáng)度因子.

4.4 小結(jié)

本節(jié)主要介紹了兩類三維裂紋權(quán)函數(shù)法: 片條合成權(quán)函數(shù)法和點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法. 這些方法各有特點(diǎn), 也都得到了程度不同的應(yīng)用. 可從以下3 個(gè)方面對它們作初步比較:

(1) 輸入條件要求和計(jì)算量. 片條合成權(quán)函數(shù)法由于以二維解析權(quán)函數(shù)為基礎(chǔ), 在大多數(shù)情況下不需要三維參考解, 計(jì)算效率高. 各種點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法則需要大量三維參考解來標(biāo)定其修正系數(shù), 計(jì)算量很大.

(2) 求解精度和方法的成熟度. Zhao-Wu-Yan 片條合成權(quán)函數(shù)法和McClung-Lee 雙變應(yīng)力場點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法的求解精度都已通過與各種數(shù)值解法大量結(jié)果的對比, 得到了相當(dāng)廣泛的驗(yàn)證,方法較為成熟. Wang-Glinka 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法尚待更廣泛的驗(yàn)證.

(3) 對復(fù)雜載荷的適應(yīng)性. 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法對復(fù)雜載荷的適應(yīng)性很強(qiáng). 片條合成權(quán)函數(shù)法適用于兩個(gè)方向獨(dú)立變化的雙變應(yīng)力場情況, 但對于帶有xmyn交叉項(xiàng)的雙變應(yīng)力場的適用性尚需更多驗(yàn)證.

有別于二維裂紋問題分析的權(quán)函數(shù)精度驗(yàn)證, 三維裂紋權(quán)函數(shù)的精度驗(yàn)證只能采用某些載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 評價(jià)結(jié)論與所取載荷情況有關(guān). 能否采用類似于二維權(quán)函數(shù)的格林函數(shù)驗(yàn)證尚待探索. 各種三維權(quán)函數(shù)法也有待更全面的綜合分析比較.

大量三維裂紋問題分析計(jì)算表明, 與三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的各種數(shù)值方法比較, 三維權(quán)函數(shù)法的求解精度與有限元/邊界元等數(shù)值方法處于相同水平, 但計(jì)算速度則比數(shù)值方法高出2 ～4 個(gè)數(shù)量級. 這應(yīng)該是權(quán)函數(shù)法在國際航空航天結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)工業(yè)軟件中(NASGRO 2012,DARWIN 2008)發(fā)揮著關(guān)鍵作用的根本原因.

5 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法在裂紋問題分析中的各種應(yīng)用

權(quán)函數(shù)法為裂紋體關(guān)鍵斷裂力學(xué)參量分析提供了強(qiáng)有力的解析求解工具. 本節(jié)簡單介紹規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法在二維裂紋問題分析中的各種應(yīng)用, 包括: 任意受載(尤其是復(fù)雜熱應(yīng)力和殘余應(yīng)力載荷)裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解, 裂紋張開位移和張開面積計(jì)算, 內(nèi)聚力/橋連和裂紋閉合模型的權(quán)函數(shù)分析, 共線多裂紋板(飛機(jī)結(jié)構(gòu)多位置損傷MSD)的斷裂力學(xué)參數(shù)分析與剩余強(qiáng)度預(yù)測, 用逆向權(quán)函數(shù)法求解裂紋面應(yīng)力分布, 以及復(fù)雜裂紋體斷裂分析的替代幾何權(quán)函數(shù)解法.

5.1 任意載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

任意載荷下的裂紋體應(yīng)力強(qiáng)度因子求解是權(quán)函數(shù)法最主要的應(yīng)用. 求解需要的兩個(gè)條件是:

(1) 要求解的裂紋體高精度權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α). 各種裂紋幾何的m(α,ξ/α)可查閱國內(nèi)外相關(guān)期刊、專著和研究報(bào)告. 匯集了各種權(quán)函數(shù)的國內(nèi)外文獻(xiàn)有: Wu 和 Carlsson (1991), 中國航空研究院主編的應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(1993); Glinka 1996; Fett 和 Munz (1997); Fett (2008); 吳學(xué)仁等(2019); Wu 和 Xu (2022). 需要時(shí)也可用本文介紹的各種方法推導(dǎo). 采用的m(α,ξ/α)精度應(yīng)滿足要求, 建議盡量用可靠的格林函數(shù)而不是用某些載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子作為驗(yàn)證依據(jù).

(2) 裂紋體受內(nèi)外載荷引起的裂紋面應(yīng)力分布σ(ξ). 采用彈性力學(xué)和有限元等數(shù)值方法獲得,注意應(yīng)確保σ(ξ)及其擬合表達(dá)式的精度.

有了高精度的m(α,ξ/α)和σ(ξ), 則通過一個(gè)簡單的積分就能得到K值

對于變化劇烈的應(yīng)力分布σ(ξ), 上式積分可能難以得到封閉解, 此時(shí)應(yīng)采用數(shù)值積分. 文獻(xiàn)中有多種處理被積函數(shù)在裂紋尖端的奇異性的方法 (John et al. 1995, Jones 1998, Mawatari &Nelson 2011). 目前MATLAB 等軟件也能方便地處理積分奇異性問題. 2.1.1.3 節(jié)給出了裂紋面3種基本載荷情況下的f(α)解析表達(dá)式. 對于多項(xiàng)式σ(ξ)情況, 利用冪函數(shù)σ(ξ)的fn公式和表格值, 能快速得到f(α). 如果σ(ξ)難以用多項(xiàng)式表達(dá), 則可利用線性分段處理后求和的方法快捷求得f(α). 與數(shù)值方法一次建模計(jì)算只能得到一個(gè)α在一種載荷條件下的單個(gè)f值相比, 權(quán)函數(shù)法給出的積分結(jié)果是函數(shù)f(α). 其計(jì)算效率可比數(shù)值方法高出幾個(gè)數(shù)量級. 圖42 是用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的不同跨寬比(s/W)的三點(diǎn)彎曲試樣和不同載荷偏心距(d/W)的C 形試樣的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子. 圖43 是用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法計(jì)算得到的圓盤單/雙邊緣裂紋在一對徑向集中力作用下的II 型無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子. 這些結(jié)果與文獻(xiàn)解和有限元解均高度符合(Xu et al.2020a, Wu & Xu 2022).

熱應(yīng)力和殘余應(yīng)力是裂紋體載荷復(fù)雜多變性的典型例子. 這兩類應(yīng)力不但變化劇烈, 而且還受到多個(gè)參數(shù)的影響, 如熱沖擊應(yīng)力隨時(shí)間變化, 殘余應(yīng)力隨工藝參數(shù)變化等. 圖44 是文獻(xiàn)中一些代表性熱應(yīng)力和殘余應(yīng)力分布曲線, 相關(guān)的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解遠(yuǎn)比機(jī)械載荷情況復(fù)雜. 若采用有限元等數(shù)值方法對許多裂紋長度/多種應(yīng)力分布情況作計(jì)算, 工作量會(huì)很大. 這也是文獻(xiàn)中對這類裂紋問題的分析計(jì)算基本上都采用權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)法(包括由權(quán)函數(shù)法派生的多項(xiàng)式法)的根本原因. Heaton (1976)和Parker (1982)已證明, Bueckner (1958)疊加原理與裂紋面應(yīng)力的來源無關(guān). 把疊加原理推廣到熱應(yīng)力和殘余應(yīng)力裂紋問題, 不需要考慮因引入裂紋使原來的自平衡內(nèi)應(yīng)力場發(fā)生改變的問題, 而只要把無裂紋體在初始狀態(tài)下的內(nèi)應(yīng)力分布直接作為裂紋面應(yīng)力σ(x), 再對等效裂紋問題進(jìn)行斷裂力學(xué)分析.

圖42兩種試樣的正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子. (a) 不同跨寬比的三點(diǎn)彎曲試樣, (b) 不同載荷偏心距的C 形試樣

圖43含單/雙邊緣裂紋圓盤在一對徑向集中力P 作用下的II 型無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子: 規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)解與有限元解的比較. (a) 單裂紋, (b) 雙裂紋 (Xu et al. 2020a; Wu & Xu 2022)

作為示例, 圖45 是用解析權(quán)函數(shù)法得到的有限板邊緣裂紋的熱沖擊應(yīng)力強(qiáng)度因子. 圖46 是兩種試樣的殘余應(yīng)力及其對應(yīng)的殘余強(qiáng)度因子, 其中(a)是Ribeiro 和Hill (2016)用Wu-Carlsson 解析權(quán)函數(shù)法得到的有限板邊緣裂紋激光熱沖擊殘余應(yīng)力強(qiáng)度因子及比較, 二者高度符合(注意圖中a/W＞ 0.85 超出了Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)的適用范圍); (b)是無限板冷擠壓孔的殘余應(yīng)力(實(shí)線)和用解析權(quán)函數(shù)法得到的不同擠壓量孔邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子(虛線). 這兩個(gè)圖中有一個(gè)規(guī)律值得注意: 當(dāng)裂紋長度接近于裂紋體的韌帶寬度時(shí),K趨于0. 這是自平衡應(yīng)力場引起的應(yīng)力強(qiáng)度因子的固有規(guī)律. Wu (1991a)已證明, 對于自平衡應(yīng)力場中的裂紋, 當(dāng)裂紋長度接近韌帶寬度時(shí)其K值必將趨于0.

圖44典型熱應(yīng)力和殘余應(yīng)力分布. (a) 圓柱體熱沖擊應(yīng)力, (b) 冷擠壓孔邊殘余應(yīng)力, (c) 飛機(jī)機(jī)翼鋁合金鍛件的簡化殘余應(yīng)力, (d) 圓管焊縫軸向殘余應(yīng)力 (吳學(xué)仁等 2019)

文獻(xiàn)中還有一種專為求解熱應(yīng)力場裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的熱權(quán)函數(shù) (thermal weight function,TWF) (Tsai & Ma 1992, Lu et al. 2001). TWF 僅取決于裂紋體幾何構(gòu)型而與溫度及其梯度無關(guān), 用于求解任意溫度場中的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子. 由于只需對熱權(quán)函數(shù)與溫度/溫度梯度的乘積作積分, 所以能大大提高熱沖擊裂紋問題的求解效率. 但TWF 只能用于熱應(yīng)力裂紋問題.

用權(quán)函數(shù)法求解熱應(yīng)力/殘余應(yīng)力場裂紋問題的大量實(shí)例可見文獻(xiàn)(Parker 1982, Oliveira &Wu 1987, Bahr et al. 1987, Schneider & Danzer 1989, 吳學(xué)仁 1989, Wu & Carlsson 1991,Schneider & Petzow 1991, Wu 1993, Fitzpatrick & Edwards 1998, Liu et al. 2000, Lim et al. 2003,Zhang et al. 2009, Zhou 2003, Stefanescu 2004, Bao et al. 2010, Ribeiro & Hill 2016, Kuutti &Virkkunen 2019).

圖45有限寬板邊緣裂紋. (a) 熱沖擊應(yīng)力分布, (b) 熱沖擊應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖46兩種殘余應(yīng)力場作用下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子. (a) 有限寬板激光沖擊殘余應(yīng)力和三種方法計(jì)算的邊緣裂紋K 結(jié)果的比較 (Ribeiro & Hill 2016), (b) 無限板冷擠壓孔的殘余應(yīng)力(虛線)和不同擠壓量孔邊裂紋的K

合理考慮各種工藝導(dǎo)致的構(gòu)件殘余應(yīng)力對于保證工程結(jié)構(gòu)完整性具有重要意義. 美國洛克希德-馬丁公司在其聯(lián)合攻擊機(jī)的損傷容限設(shè)計(jì)中, 考慮關(guān)鍵結(jié)構(gòu)鍛件殘余應(yīng)力對疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的影響 (Ball 2008, Ball & Watton 2011, Ball et al. 2014), 利用文獻(xiàn)中的權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)(Tada et al. 1985, Wu & Carlsson 1991, Fett & Munz 1997)對飛機(jī)翼梁大型鋁合金鍛件多達(dá)970個(gè)控制部位進(jìn)行了損傷容限分析. 結(jié)果表明, 通過考慮鍛造殘余應(yīng)力對疲勞裂紋擴(kuò)展的影響, 能減少其中930 個(gè)部位的厚度0 ～ 20%, 使結(jié)構(gòu)顯著減重, 如圖47 所示(Ball 2008).

圖47權(quán)函數(shù)/格林函數(shù)法在洛-馬公司聯(lián)合攻擊機(jī)含殘余應(yīng)力的機(jī)翼梁鍛件損傷容限設(shè)計(jì)中的應(yīng)用成效. (a) 最終設(shè)計(jì)許用應(yīng)力與基線設(shè)計(jì)許用應(yīng)力的比值, (b) 因許用應(yīng)力提高導(dǎo)致的翼梁970 個(gè)控制部位的局部厚度相對變化(Ball 2008)

水力壓裂/水壓致裂(hydraulic fracturing)是很多工程領(lǐng)域關(guān)注的共性問題. 水壓誘發(fā)的裂紋擴(kuò)展對各類巖體工程(如油氣開采、水庫大壩和礦井安全、水壓誘發(fā)工程災(zāi)害防治、核廢料地下儲(chǔ)存、地?zé)衢_發(fā)等)具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值. 水壓下工作的混凝土構(gòu)件必須考慮水壓對裂紋的影響(徐世烺和王建敏 2009). 油氣開采中的水力壓裂分析需要考慮裂紋和射孔及井筒的影響(唐世斌等 2017). 圖48 所示為典型的孔邊裂紋問題(張開/剪切-I/II 復(fù)合型), 受載情況復(fù)雜, 涉及到遠(yuǎn)場地應(yīng)力、時(shí)間相關(guān)流體壓力 (李宗利等 2005), 以及斷裂過程區(qū)的內(nèi)聚力; 所關(guān)注的斷裂參量除應(yīng)力強(qiáng)度因子KI和KII外, 還可能有裂紋張開位移COD 和張開面積COA; 對于實(shí)驗(yàn)室試樣還應(yīng)該考慮有限尺寸的影響(Chen et al. 2017, 劉正和等 2019). 雖然采用有限元/擴(kuò)展有限元(FEM, XFEM)等數(shù)值方法分析這些問題在技術(shù)上完全可行, 見圖49 (Wang et al.2015), 但由于需要考慮的參數(shù)很多, 工作量很大, 時(shí)間成本很高. 而采用權(quán)函數(shù)法則可大大提高求解效率, 并易于進(jìn)行參量分析(Garagash & Detournay 1997, Dong et al. 2018).

5.2 裂紋張開位移和張開面積計(jì)算

權(quán)函數(shù)除了用于應(yīng)力強(qiáng)度因子的高效計(jì)算外, 還可通過以下積分快速求得裂紋張開位移COD, 即

把中心裂紋和邊緣裂紋的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)公式分別代入式(86), 則有

中心裂紋

邊緣裂紋

圖48(a) 內(nèi)聚力水力壓裂模型(劉曰武等 2019, Chen 2012), (b) 孔邊裂紋水力壓裂分析模型(Dong et al. 2018)

圖49混凝土重力大壩高壓水劈裂分析模型. (a) 擴(kuò)展有限元模型(XFEM), (b) 裂紋面水壓分布(Wang et al. 2015)

在斷裂力學(xué)參量的實(shí)驗(yàn)測定中, 常利用柔度關(guān)系式確定裂紋長度. 計(jì)算中需要裂紋嘴的張開位移CMOD:u(α,ξ/α= 0). 因ξ/α= 0, 式(87)和式(88)簡化為:

式中f(s)是無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子. 計(jì)算COD 時(shí)可把裂紋面載荷情況分為圖50 所示3 種形式.

圖50裂紋面的3 類載荷形式. (a) 整個(gè)裂紋面受連續(xù)分布應(yīng)力, (b) 裂紋尖端后方部分裂紋面受均勻應(yīng)力, (c) 裂紋面任意位置受集中力

整個(gè)裂紋面受均布/非均布連續(xù)分布應(yīng)力下的COD 可參見2.1.1 節(jié)圖3. 圖51 是有限寬板中心裂紋和邊緣裂紋在裂紋面任意位置受區(qū)段均布應(yīng)力作用下的COD 示例. 圖52 是有限寬板中心裂紋和圓盤邊緣裂紋在裂紋面一對集中力作用下的COD 示例(α= 0.5). 可見中心裂紋和邊緣裂紋的COD 有顯著差別, 特別是當(dāng)無量綱裂紋長度較大時(shí).

用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)求解得到的裂紋張開位移具有很高的精度. 各種裂紋幾何/載荷下的COD 精度已得到廣泛驗(yàn)證(童第華和吳學(xué)仁 2013, Tong & Wu 2015, 吳學(xué)仁等 2019). 圖53 是Ribeiro 和Hill (2016)用Wu-Carlsson (1991)權(quán)函數(shù)法得到的有限板邊緣裂紋在劇烈變化的激光沖擊殘余應(yīng)力場作用下的COD 結(jié)果 (a/W= 0.25, 0.6), 解析權(quán)函數(shù)與有限元兩種方法的計(jì)算結(jié)果高度一致. 有關(guān)用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法計(jì)算COD 的具體細(xì)節(jié)可見文獻(xiàn)(Wu & Carlsson 1991,吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022).

對解析權(quán)函數(shù)法得到的裂紋張開位移u(α,ξ/α)沿裂紋長度積分, 可直接得到裂紋張開面積(crack opening area, COA).

5.3 內(nèi)聚力/橋連和裂紋閉合模型的權(quán)函數(shù)法求解

以上兩節(jié)用權(quán)函數(shù)法分析的裂紋問題, 考慮的是外載荷和熱應(yīng)力及殘余應(yīng)力. 本節(jié)簡單介紹權(quán)函數(shù)法在直接作用于裂紋面的幾種載荷情況下的斷裂力學(xué)分析中的應(yīng)用, 包括橋連應(yīng)力(bridging stress), 內(nèi)(黏)聚力(cohesive stress), 以及疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測模型中的裂紋閉合/張開應(yīng)力(closure/opening stress). 這些載荷情況與各類材料的裂紋分析建模密切相關(guān), 包括近來迅速發(fā)展的各種新型材料: 智能/納米/生物/石墨烯材料.

圖51有限寬板受裂紋面區(qū)段均布應(yīng)力作用的COD (α = 0.5). (a) 中心裂紋, (b) 邊緣裂紋

圖52裂紋面一對集中力作用下的COD (d/α = 0.5). (a) 有限板中心裂紋, (b) 圓盤邊緣裂紋

圖53在激光沖擊導(dǎo)致的劇烈變化殘余應(yīng)力作用下, 有限寬板邊緣裂紋張開位移的解析權(quán)函數(shù)解與有限元結(jié)果比較(a/W = 0.25, 0.6). 圖中左下方的插圖是殘余應(yīng)力分布 (Ribeiro & Hill 2016)

橋連(bridging)是材料增韌的一種主要機(jī)制, 橋連應(yīng)力的確定以及橋連對裂紋擴(kuò)展和剩余強(qiáng)度影響的量化分析是評價(jià)橋連效應(yīng)的關(guān)鍵; 內(nèi)聚力模型(cohesive zone model)是研究裂紋尖端損傷和預(yù)測剩余強(qiáng)度最常用的模型之一, 廣泛應(yīng)用于各類金屬、復(fù)合材料以及巖土等材料與結(jié)構(gòu)的破壞分析; 對于變幅載荷下的金屬材料疲勞裂紋擴(kuò)展而言, 考慮疲勞裂紋尾跡殘余塑性變形影響的裂紋張開/閉合應(yīng)力分析是壽命預(yù)測的關(guān)鍵環(huán)節(jié); 在混凝土等準(zhǔn)脆性材料的斷裂研究中, 裂紋尖端后方的黏聚應(yīng)力引起的黏聚應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算則是確定混凝土雙K斷裂韌度的核心. 盡管橋連裂紋模型、內(nèi)聚力模型和基于塑性誘導(dǎo)的裂紋閉合模型, 其原理和應(yīng)用領(lǐng)域各不相同, 但它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)是相似的. 其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是準(zhǔn)確計(jì)算以裂紋面集中力和各種分布應(yīng)力為代表的橋連應(yīng)力, 以及內(nèi)聚力/黏聚力和裂紋閉合/張開應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K和裂紋張開位移COD, 而它們都與裂紋幾何緊密相關(guān), 所以各種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)是建模分析的先決條件, 見5.1 和5.2 節(jié). 用有限元等數(shù)值方法求解這些問題雖沒有技術(shù)上的困難, 但建模和計(jì)算成本很高.權(quán)函數(shù)法則為這些模型分析提供了高效的解析工具.

5.3.1 內(nèi)聚力模型和橋連裂紋模型的權(quán)函數(shù)法求解

利用纖維或延性顆粒的橋連機(jī)制, 能有效提高脆性基體材料的韌性. 橋連不但會(huì)影響裂紋尖端過程區(qū)內(nèi)微裂紋的連通和擴(kuò)展, 而且在宏觀裂紋尾跡區(qū)的纖維或增強(qiáng)顆粒會(huì)阻礙裂紋的張開和擴(kuò)展, 從而降低裂紋擴(kuò)展速率, 提高材料的抗裂紋擴(kuò)展能力和斷裂韌性.

目前主要有兩種方法用于分析材料的橋連行為. 一種是橋連裂紋模型(Cox & Marshall 1991a), 另一種是由Dugdale (1960)和Barenblatt (1962)提出的內(nèi)聚力模型, 這兩個(gè)模型也可以合成一個(gè)考慮(Carpinteri & Massabo 1996). 圖54 是這兩個(gè)模型的示意圖. 橋連裂紋模型認(rèn)為裂紋尖端后方的交錯(cuò)纖維或增強(qiáng)顆粒會(huì)降低裂紋尖端的驅(qū)動(dòng)力-應(yīng)力強(qiáng)度因子, 物理裂紋尖端存在應(yīng)力奇異性. 內(nèi)聚力模型則認(rèn)為虛擬裂紋尖端的尾跡存在過程區(qū), 虛擬裂紋尖端的應(yīng)力奇異性消失, 但過程區(qū)的大小和應(yīng)力分布受橋連的影響. 這兩個(gè)模型都被廣泛用于碳纖維樹脂基復(fù)合材料、混凝土、鋼筋混凝土、粗晶陶瓷、Glare 纖維金屬層板和裂紋體的補(bǔ)強(qiáng)修復(fù)等材料與結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展和斷裂分析.

圖54用于分析橋連作用的兩個(gè)主要模型, a0 為初始裂紋長度. (a) 橋連裂紋模型, (b) 內(nèi)聚力模型

權(quán)函數(shù)法對橋連應(yīng)力作用下的裂紋問題的求解有獨(dú)特優(yōu)勢. 用權(quán)函數(shù)法解析求解橋連裂紋模型或內(nèi)聚力模型, 能方便地預(yù)測含裂紋的橋連材料和結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度、裂紋擴(kuò)展阻力R-曲線和尺寸效應(yīng). 這方面的文獻(xiàn)很多, 如: (Carpinteri & Massabo 1996; Cox & Marshall 1991a, 1991b;Cardona et al. 1993; Bazant & Planas 1997; Buchanan et al. 1997; Wu & Bowen 2000; Fleck et al. 1996; Sivashanker 1998; Ostlund & Nilsson 1993; Ostlund 1995; Ostlund & Karenlamp 2001;Lindhagen et al 2000; Li et al. 1998; Zhang et al 2011; Zhang & Li 2004; Kumar & Barai 2011; 徐世烺 2011). 權(quán)函數(shù)法成功應(yīng)用于纖維金屬層板疲勞裂紋擴(kuò)展壽命分析的相關(guān)研究可見文獻(xiàn)(Guo & Wu 1998, 1999; 吳學(xué)仁和郭亞軍 1999a, 1999b; Alderlisten 2007; Chang et al. 2011) 需要注意的是, 文獻(xiàn)中對橋連分析所采用的權(quán)函數(shù)(Tada et al. 1973, 1985; Wu & Carlsson 1991;Glinka & Shen 1991; Fett & Munz 1997)精度差別較大, 故應(yīng)該謹(jǐn)慎考慮所得結(jié)果的可靠性.

內(nèi)聚力模型認(rèn)為, 裂紋在外載荷和裂紋尖端過程區(qū)橋連應(yīng)力共同作用下, 虛擬裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為零. 當(dāng)物理裂紋尖端的張開位移達(dá)到臨界值δc時(shí), 裂紋發(fā)生擴(kuò)展. 即

橋連裂紋模型認(rèn)為, 當(dāng)裂紋在外載荷和裂紋面橋連應(yīng)力共同作用下, 裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料的斷裂韌度Kc則裂紋發(fā)生擴(kuò)展. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中Kp和Kb分別是外載荷P和橋連應(yīng)力σb(x)作用下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 可方便地用權(quán)函數(shù)法求得, 見5.1 節(jié).Kc為材料的斷裂韌度,δc為材料的臨界張開位移;a0和a分別為物理和虛擬裂紋的長度.

在內(nèi)聚力/橋連模型的求解中, 外載荷P和橋連應(yīng)力σb(x)聯(lián)合作用下的裂紋張開位移δ(x)為式中up(a,x)為外載荷作用下的裂紋面張開位移, 5.2 節(jié)給出了用權(quán)函數(shù)計(jì)算up的方法; 方程右邊第2 項(xiàng)是橋連應(yīng)力σb(ξ)引起的裂紋張開位移, 其計(jì)算方法與up相同.m(a, x)為相關(guān)裂紋幾何的權(quán)函數(shù).

用權(quán)函數(shù)法可方便地建立求解內(nèi)聚力/橋連模型的積分方程. 這兩個(gè)積分方程在形式上基本一樣. 不同的是, 內(nèi)聚力模型的過程區(qū)是未知變量, 而橋連裂紋模型的橋連區(qū)長度是裂紋當(dāng)前長度與初始長度之差, 是已知量. 求解積分方程, 即可確定過程區(qū)大小(a-a0)和橋連應(yīng)力分布σb(x).式(95)表明, 各種裂紋幾何的高精度權(quán)函數(shù)m(a, x)是準(zhǔn)確求解積分方程的關(guān)鍵.

文獻(xiàn)中對智能/納米/生物/石墨烯等新型材料的增韌機(jī)理分析(Shao et al. 2012, Gao et al.2021, Meng et al. 2018, Wang et al. 2020)常采用Budiansky 和Amazigo (1989)的橋連區(qū)彈簧應(yīng)力作用下的裂紋張開位移方程, 其核心要素是無限大板半無限裂紋的權(quán)函數(shù)精確解. 若要把這個(gè)Budiansky-Amazigo 模型應(yīng)用于其他裂紋幾何, 則相關(guān)裂紋的權(quán)函數(shù)就成為分析的前提.

對于理想塑性材料, 物理裂紋尖端前方屈服區(qū)內(nèi)作用的是均布應(yīng)力. 此情況即退化為Dugdale 模型. 該模型的求解是根據(jù)虛擬裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為零的條件, 計(jì)算在外載荷和裂紋尾跡區(qū)段均布應(yīng)力作用下的塑性區(qū)尺寸和物理裂紋尖端的張開位移. 與其他多種方法相比, 權(quán)函數(shù)法被認(rèn)為是求解Dugdale 模型的最佳方法(張正國等 1998). 圖56 是用規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法求得的遠(yuǎn)方均勻拉伸有限板中心/邊緣裂紋的正則化Dugdale 塑性區(qū)尺寸. 有關(guān)細(xì)節(jié)可見文獻(xiàn)(Wu &Carlsson 1991, Wu & Xu 2022). 關(guān)于冪強(qiáng)化材料的Dugdale 模型求解, 可見文獻(xiàn)(Chen et al.1992, Daniewicz 1994). Wu 和 Knott (2001)則用權(quán)函數(shù)法對異種材料焊接接頭作了Dugdale 模型分析, 并把近界面區(qū)的SIF 和COD 與強(qiáng)度失配系數(shù)(σy2/σy1)相關(guān)聯(lián).

5.3.2 確定橋連應(yīng)力與位移關(guān)系的權(quán)函數(shù)法求解

類似于應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 內(nèi)聚力/橋連應(yīng)力σb(x)與裂紋張開位移的關(guān)系(也簡稱為內(nèi)聚力/橋連法則, bridging/cohesive law)是分析橋連/內(nèi)聚力模型的前提. 但因?yàn)檫@種求解是一個(gè)數(shù)學(xué)上的反問題(inverse problem), 內(nèi)聚力/橋連法則的直接求解很困難. 研究者們提出通過測量獲得裂紋張開位移um(a, x), 再由理論分析反推得到內(nèi)聚力法則. 測量得到的um(a, x)是外載荷和橋連(內(nèi)聚)應(yīng)力作用下的裂紋面位移up(a,x)和ub(a,x)疊加的結(jié)果,即

圖55裂紋面受區(qū)段線性應(yīng)力和兩種黏聚應(yīng)力分布. (a) 線性分布應(yīng)力, (b) 單線性軟化黏聚應(yīng)力, (c)雙線性軟化黏聚應(yīng)力

圖56遠(yuǎn)方均勻拉伸有限板中心/邊緣裂紋的正則化Dugdale 塑性區(qū)尺寸 ρ/(W-a). (a) 中心裂紋, (b)邊緣裂紋

若已知裂紋體的權(quán)函數(shù)m(a, x), 就可方便地求解外載荷和內(nèi)聚力分別作用下的裂紋面位移.外載荷作用下的up(a,x)求解見5.2 節(jié). 橋連應(yīng)力σb(x)作用下的位移ub(a,x)為

求解上述方程可得到σb(x), 進(jìn)而建立σb(x)與um(a, x)的關(guān)系.

Lindhagen 等 (2000) 通過測量得到的裂紋張開位移廓線, 利用Wu-Carlsson (1991)權(quán)函數(shù),推導(dǎo)出受遠(yuǎn)方拉伸的孔邊裂紋的橋連律(bridging laws). Buchanan 等(1997)為求解連續(xù)纖維增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料(SCS-6/TIMETAL 21S)的橋連應(yīng)力, 采用Wu-Carlsson (1991)規(guī)范化權(quán)函數(shù)法推導(dǎo)了有限寬板中心裂紋的權(quán)函數(shù)m(a,x), 并預(yù)設(shè)纖維橋連應(yīng)力σb(x)的分布為

利用IDG 系統(tǒng)測量裂紋面多個(gè)離散點(diǎn)的張開位移um(a,xi), 用規(guī)范化權(quán)函數(shù)法結(jié)合最小二乘法, 求解得到預(yù)設(shè)的3 種橋連應(yīng)力分布中的系數(shù)A0,A1,A2. 所得到的橋連應(yīng)力與有限元計(jì)算結(jié)果吻合得很好, 見圖57.

以上用權(quán)函數(shù)法求解內(nèi)聚力/橋連裂紋模型、橋連應(yīng)力與裂紋張開位移關(guān)系都需要反向求解積分方程. Buchanan 等(1997)的解法是預(yù)設(shè)橋連應(yīng)力為某種函數(shù)形式, 通過求解橋連區(qū)內(nèi)一系列位置的位移得到預(yù)設(shè)應(yīng)力函數(shù)中的系數(shù). 但若預(yù)設(shè)的函數(shù)形式不能很好地反映橋連應(yīng)力的分布, 則難以得到合理的σb(x)結(jié)果. 徐武等提出了一種對連續(xù)分布的橋連應(yīng)力作離散化處理的方法(即把σb(x)離散成N段應(yīng)力σbi(xbi)共同作用,xbi= (xi+xi+1)/2, 每段的應(yīng)力為常數(shù)), 利用權(quán)函數(shù)法成功得到了共線多裂紋屈服條帶模型的韌帶應(yīng)力分布(徐武 2012; Xu et al. 2014), 并推廣用于無限板中心裂紋的內(nèi)聚力模型求解(Xu & Waas 2017), 結(jié)果如圖58 所示. 與預(yù)設(shè)橋連應(yīng)力分布函數(shù)的方法相比, 這種離散化處理方法更為靈活, 也可方便地用于橋連應(yīng)力與張開位移關(guān)系(橋連法則)的求解.

5.3.3 塑性誘導(dǎo)裂紋閉合模型的權(quán)函數(shù)法求解

在材料與結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展和壽命預(yù)測中, 需要考慮殘留在裂紋尾跡上的塑性變形, 特別是對于變幅載荷情況. Newman (1983)基于Elber (1970)的裂紋閉合概念和Dugdale (1960)的塑性屈服模型, 提出了修正的裂紋閉合條帶屈服模型, 并據(jù)此開發(fā)了變幅載荷下的疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測軟件Fastran-II (Newman 1992). Newman 模型能處理裂紋擴(kuò)展的超載遲滯效應(yīng)和載荷順序等因素的影響. 其中, 各種裂紋體在不同外載荷和裂紋面任意位置窄條均布應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋面位移是該模型的核心要素. 這些參量都可以方便地用權(quán)函數(shù)法高效求得. 考慮塑性誘導(dǎo)裂紋閉合效應(yīng)的裂紋擴(kuò)展速率da/dN為(Elber 1970)

式中,C,n為材料常數(shù),f為無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子, ΔKeff為有效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍.Sop為裂紋張開應(yīng)力. 各種裂紋幾何/載荷的Sop高精度求解是Newman 模型成功預(yù)測疲勞壽命的關(guān)鍵.

應(yīng)該指出, Newman 裂紋閉合模型以及裂紋張開應(yīng)力方程, 原本是針對在遠(yuǎn)方拉伸無限大板中心裂紋建立的(其后擴(kuò)大到孔邊裂紋). 但裂紋張開應(yīng)力與裂紋幾何和受載情況密切相關(guān), 所以在嚴(yán)格意義上, 把這兩種裂紋幾何-載荷情況的Sop解用于其他裂紋幾何/載荷情況是不合適的.而各種裂紋體在任意載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移都很容易用權(quán)函數(shù)法求得(見5.1和5.2 節(jié)), 因此, 權(quán)函數(shù)法為解決張開應(yīng)力的幾何/載荷相關(guān)性提供了方便的解析求解手段(Daniewicz & Bloom 1996). Liu 和 Wu (1997) 用Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)法得到了4 種有限體中心/邊緣裂紋幾何/載荷情況下的裂紋張開應(yīng)力. Tong 和 Wu (2013, 2014, 2015)用Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)法改進(jìn)了Newman 模型, 為不同裂紋幾何的張開應(yīng)力提供了高效高精度的求解方法, 并給出了半無限板邊緣裂紋和孔(缺口)邊裂紋的Sop方程(Tong & Wu 2014, 吳學(xué)仁等 2019). 圖59 對各種方法的結(jié)果作了對比, 圖59(a)表明, 用權(quán)函數(shù)法求得的受遠(yuǎn)方拉伸的半無限板邊緣裂紋與中心裂紋的張開應(yīng)力有明顯差別. 權(quán)函數(shù)法的結(jié)果得到了McClung (1994)和Daniewicz-Bloom (1996)的有限元解的支持. 但權(quán)函數(shù)法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于有限元法. 圖59(b)表明: 用權(quán)函數(shù)法得到的缺口/孔邊裂紋在在遠(yuǎn)方拉伸下的張開應(yīng)力水平與裂紋長度有關(guān), 且在短裂紋階段的張開應(yīng)力明顯低于中心裂紋(CCT), 從而導(dǎo)致更高的ΔKeff. 這可以在一定程度上解釋為什么在相同的名義ΔK下, 短(小)裂紋的擴(kuò)展速率da/dN明顯高于長裂紋.

圖57用權(quán)函數(shù)法得到的橋連應(yīng)力結(jié)果驗(yàn)證 (Buchanan et al. 1997). (a) 預(yù)設(shè)的3 種橋連應(yīng)力分布,(b) 采用權(quán)函數(shù)法結(jié)合最小二乘法獲得的橋連應(yīng)力與有限元結(jié)果的對比

圖58用權(quán)函數(shù)法結(jié)合橋連應(yīng)力離散化方法求得的無限板中心裂紋的內(nèi)聚力模型解(Xu & Waas 2017). (a) 裂紋尖端過程區(qū)的大小及應(yīng)力分布, (b) 裂紋尖端過程區(qū)內(nèi)的張開位移

不少研究者用2D/3D 權(quán)函數(shù)法計(jì)算了各種裂紋幾何的疲勞裂紋張開應(yīng)力(Daniewicz &Aveline 2000, Ismonov & Daniewicz 2010, Daniewicz & Ismonov 2010, Kim & Lee 2000). de Matos 和 Dowell (2007)通過對有限元法和權(quán)函數(shù)法計(jì)算張開應(yīng)力的比較, 認(rèn)為權(quán)函數(shù)法提供了精度與所需計(jì)算能力之間的最佳平衡(weight function technique presents the best balance between accuracy and requied computing power). 利用當(dāng)前文獻(xiàn)中的權(quán)函數(shù)(Wu & Carlsson 1991; Fett &Munz 1997; Tada et al. 1985, 2000; 吳學(xué)仁等 2019; Wu & Xu 2022), 能高效求得任意裂紋幾何-載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移, 進(jìn)而得到高精度的裂紋張開應(yīng)力, 從而顯著擴(kuò)大Newman 裂紋閉合模型對裂紋幾何-載荷條件的適用范圍, 提高變幅載荷下疲勞裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測軟件的準(zhǔn)確性.

圖59用權(quán)函數(shù)法求得的幾種裂紋幾何的裂紋張開應(yīng)力以及與有限元等數(shù)值解的比較. (a) 半無限大板邊緣裂紋的裂紋張開應(yīng)力(R = 0), (b) 缺口和孔邊裂紋的張開應(yīng)力與裂紋長度與缺口/孔半徑的關(guān)系(平面應(yīng)力) (吳學(xué)仁等 2019)

5.4 共線多裂紋板的斷裂力學(xué)參數(shù)與剩余強(qiáng)度分析

利用共線多裂紋的解析權(quán)函數(shù), 能以比有限元等數(shù)值解法高得多的效率, 計(jì)算任意載荷下含多位置損傷(MSD)板的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 求解Dugdale 條帶屈服模型, 為剩余強(qiáng)度分析提供關(guān)鍵斷裂力學(xué)參數(shù), 從而避免數(shù)值方法的大量重復(fù)建模計(jì)算.

5.4.1 共線多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與Dugdale 模型解

圖60 給出了三條等長裂紋各裂紋中心線受一對集中力Fy作用,x0和y0表示集中力的位置.采用Love (1944)解, 可獲得不含裂紋無限板受圖60(a)所示3 對集中力作用下沿x軸y方向的正應(yīng)力. 文獻(xiàn)(徐武2012, Xu & Wu 2012 )利用共線裂紋的權(quán)函數(shù)法, 求得了不同裂紋間距和集中力作用位置下裂紋尖端A,B和C的應(yīng)力強(qiáng)度因子, 如圖60 所示. 為對比多裂紋間的相互影響, 圖中給出了無限板單裂紋裂紋中心線受一對集中力的應(yīng)力強(qiáng)度因子 (“◆”所示) .

圖60三條等長裂紋受集中載荷及其無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子解. (a) 各裂紋中心線受一對對稱集中力,(b) 裂紋尖端A 的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子, (c) 裂紋尖端B 的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子, (d) 裂紋尖端C的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子 (Xu & Wu 2012)

圖61 所示的載荷工況可模擬含裂紋飛機(jī)加筋蒙皮的鉚釘力. 最近Zhang 等(2020)根據(jù)筋條鉚釘?shù)奈灰婆c共線多裂紋板在該處的位移相等條件, 建立并求解位移協(xié)調(diào)方程, 獲得了圖61(a)所示多裂紋加筋板的鉚釘力, 并在此基礎(chǔ)上采用權(quán)函數(shù)法計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 圖61(b)給出了中心裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋長度關(guān)系. 為對比驗(yàn)證, 圖中給出了Nishimura (1991)基于Fredholm 積分方程法和Collins-Cartwright(1999)采用復(fù)變函數(shù)的計(jì)算結(jié)果, 這些結(jié)果互相吻合.

圖61(a) 加筋板三條對稱共線裂紋受遠(yuǎn)端均勻應(yīng)力, (b) 中心裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與文獻(xiàn)結(jié)果比較(Zhang et al. 2020)

多位置損傷結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度分析常采用Dugdale 條帶屈服模型(Nilsson & Hutchinson 1994). 圖62 所示部分裂紋面受均勻載荷是Dugdale 條帶屈服模型一個(gè)典型載荷工況. 采用共線裂紋的權(quán)函數(shù)法可高效、高精度地獲得其應(yīng)力強(qiáng)度因子. 圖62(b)和(c)給出了兩條和三條對稱裂紋內(nèi)側(cè)裂紋尖端A 的應(yīng)力強(qiáng)度因子與受載長度和裂紋長度之間的關(guān)系(Xu et al 2011, Xu &Wu 2012).

Dugdale 模型實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)線彈性解的疊加. 一為遠(yuǎn)端受均勻拉伸應(yīng)力σ作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子; 另一個(gè)是塑性區(qū)內(nèi)作用大小為材料屈服應(yīng)力σs的壓縮應(yīng)力. 二者作用下, 虛擬裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子為零. 文獻(xiàn)(Xu et al 2011, Xu & Wu 2012)采用權(quán)函數(shù)法求解了兩條和三條對稱共線裂紋的條帶屈服模型. 圖63 給出了不同間距下兩條和三條等長對稱裂紋受不同載荷下的裂紋尖端塑性區(qū)尺寸與外載荷的關(guān)系曲線. 塑性區(qū)尺寸采用單一中心裂紋Dugdale 塑性區(qū)尺寸進(jìn)行正則化處理. 載荷則用屈服強(qiáng)度進(jìn)行無量化. Collins 和Cartwright (2001)采用復(fù)變應(yīng)力函數(shù)法分析了兩條等長共線裂紋的條帶屈服模型, 結(jié)果見圖63(a)的實(shí)線. 可見這兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合. 如果不考慮數(shù)值運(yùn)算帶來的誤差, 權(quán)函數(shù)法和復(fù)變應(yīng)力函數(shù)法獲得的解都是精確解.

5.4.2 有限板共線裂紋屈服條帶模型解與剩余強(qiáng)度預(yù)測

對于有限板共線裂紋,其精確的解析權(quán)函數(shù)很難獲得. 徐武等(2012, Xu et al. 2014)基于單一裂紋的權(quán)函數(shù)提出了共線裂紋條帶屈服模型的“統(tǒng)一”分析方法. 這里以圖64 所示有限寬板兩條等長共線裂紋的條帶屈服模型為例來介紹該方法. 圖中裂紋長度分別為2a1和2a2, 裂紋間的韌帶長度為X1. 平板遠(yuǎn)端受均勻拉伸, 從左到右裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸和裂紋尖端張開位移分別為rA,rB和δA,δB.“統(tǒng)一”分析方法把裂紋及其間的韌帶和塑性區(qū)連通成一條裂紋長度l=(b+ 2a+rB)的單裂紋, 如圖64(b)所示, 在塑性區(qū)內(nèi)和韌帶上作用壓縮載荷. 未知量為彈性韌帶上的壓縮應(yīng)力σ(x)和塑性區(qū)rA和rB.

該等效的單裂紋需滿足的條件為: 裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為零和彈性韌帶區(qū)域x∈±[0,X1]的張開位移為零. 為獲得載荷σ(x)作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移, 把連續(xù)分布應(yīng)力σ(x)離散為N段均勻分布應(yīng)力, 如圖65 所示. 即σ(x)變成一系列未知離散值σi(i= 1, 2, …,N),σi表示裂紋面[xi,xi+1]上作用的應(yīng)力. 單一等效裂紋受此復(fù)雜載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移可由疊加原理求得. 其核心是獲得中心裂紋部分裂紋面受均勻載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子f(l,x1,x2)和張開位移u(l,x1,x2,x), 它們可高精度地由有限板單一中心裂紋權(quán)函數(shù)法計(jì)算(Wu & Carlsson 1991, 吳學(xué)仁等2019).

用疊加原理求解單一等效裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K和裂紋張開位移U(l,x), 未知變量變?yōu)?N+2)個(gè), 即:σi(i= 1, 2, …,N),rA和rB. 為確定這(N+2)個(gè)未知量, 至少要(N+2)個(gè)方程. 為此, 根據(jù)單一等效裂紋的條件, 構(gòu)建如下方程組

圖62(a) 兩條等長裂紋, (b) 三條對稱裂紋, (c) 兩條等長裂紋, 內(nèi)側(cè)裂尖A 的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子,(d) 三條對稱裂紋, 內(nèi)側(cè)裂尖A 的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子 (Xu et al. 2011, Xu & Wu 2012,徐武2012)

圖63裂紋尖端A 的塑性區(qū)尺寸與外載荷σ/σs 關(guān)系, r0 = a0[sec(0.5πσ/σs). (a) 兩條等長裂紋, (b) 三條等長裂紋(Xu et al. 2011; Xu & Wu 2012)

即, 把連續(xù)分布的應(yīng)力σ(x)離散成N個(gè)均勻的應(yīng)力σi, 彈性韌帶上的位移為零變?yōu)閺椥皂g帶上N個(gè)點(diǎn)處的位移為零. 通過增大N, 因離散而引入的近似能盡可能減小.

圖64有限寬板兩條等長對稱裂紋條帶屈服模型. (a) 條帶屈服模型, (b) 一條等效的中心裂紋用于分析(a)

當(dāng)塑性區(qū)連通時(shí), 其未知量為臨界載荷σc和外側(cè)裂紋尖端的塑性區(qū)rB. 確定其方程組為

求解以上方程組, 可獲得不同裂紋形態(tài)a/(a+b)受不同載荷σ/σs作用下, 裂紋尖端A 的塑性區(qū)尺寸和張開位移與外載荷的關(guān)系曲線, 如圖66 所示. 圖中的塑性區(qū)尺寸都除以無限板單一中心裂紋條帶屈服模型的塑性區(qū)尺寸和裂紋張開位移(徐武2012, Xu et al. 2014). 為了定量分析有限邊界的影響, 圖66(a)的虛線給出了無限寬板兩條等長共線裂紋的正則化裂紋尖端塑性區(qū)和張開位移. 可以看到: 有些情況下, 有限邊界的影響較大, 不能忽略. 圖66(b)給出了不同載荷下裂紋面的張開位移. 為驗(yàn)證其精度, 圖66(b)給出了有限元法分析的裂紋張開位移. 可見這兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合.

權(quán)函數(shù)法在共線多裂紋板的剩余強(qiáng)度分析方面也具有獨(dú)特優(yōu)勢. 對于韌性材料的裂紋擴(kuò)展,Nilsson 和Hutchinson (1994), Newman (1986) 改進(jìn)了屈服條帶模型, 把裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展過程分成兩個(gè)階段, 裂紋起裂和穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展. 在外載荷作用下, 當(dāng)初始裂紋的張開位移達(dá)到某一確定臨界值時(shí)裂紋起裂; 裂紋的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展通過恒定的臨界裂紋張開角來描述. 即

式中δ(a, a-d)為x=a-d處的張開位移, 括號內(nèi)第一個(gè)變量a表示裂紋長度, 第二個(gè)d為距裂尖的一個(gè)特定距離, 通常取1 mm.δc(a-d,a-d)為裂紋面殘留塑性尾跡高度,αc為臨界裂紋張開角.

圖65連續(xù)分布應(yīng)力作用的分析模型. (a) 部分裂紋面受連續(xù)分布應(yīng)力σ(x)作用, (b)一系列離散的部分裂紋面受均勻應(yīng)力作用以模擬情況(a), (c) 單一中心裂紋部分裂紋面[xi, xi+1]受均勻載荷作用

圖66裂紋尖端正則化塑性區(qū)尺寸和張開位移與外載荷關(guān)系r0 = a[sec(0.5πσ/σs) - 1], δ0 =8aσs/(πE)ln[sec(0.5πσ/σs)], (2a + b)/w = 0.5. (a) 裂紋尖端A 的塑性區(qū)尺寸, (b) 裂紋張開位移, a =b = 1/6 (徐武2012, Xu et al. 2014)

為獲得裂紋擴(kuò)展分析中的塑性區(qū)尺寸和張開位移, 文獻(xiàn)(徐武2012, Xu et al. 2014)采用基于權(quán)函數(shù)的“統(tǒng)一”方法獲得有限寬板共線裂紋屈服條帶模型的塑性區(qū)尺寸和張開位移, 結(jié)合裂紋張開角準(zhǔn)則, 預(yù)測了2、3、5 和7 條裂紋在拉伸載荷下的裂紋擴(kuò)展長度與載荷的關(guān)系. 預(yù)測的剩余強(qiáng)度與實(shí)測值吻合良好, 且權(quán)函數(shù)法優(yōu)于有限元法, 如圖67 所示. 一旦編寫好權(quán)函數(shù)法的多位置損傷板的剩余強(qiáng)度求解程序, 任意裂紋構(gòu)型一般2 min 可完成求解計(jì)算, 而基于彈塑性有限元的裂紋擴(kuò)展分析, 在計(jì)算收斂的情況下, 也至少需要2 h. 若考慮建模時(shí)間, 權(quán)函數(shù)法的計(jì)算效率比有限元高2 個(gè)數(shù)量級. 這表明, 共線多裂紋解析權(quán)函數(shù)法能為飛機(jī)結(jié)構(gòu)的MSD 損傷容限分析提供高效可靠的分析工具.

5.5 用逆向權(quán)函數(shù)法求解裂紋面應(yīng)力分布

在用權(quán)函數(shù)法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的式(83)中, 權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)為已知, 另外3 個(gè)變量/函數(shù)是: 無裂紋應(yīng)力σ(ξ)/σ0、無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f(α)和裂紋張開位移u(α,ξ/α). 通常情況是由σ(ξ)/σ0和m(α,ξ/α)求f(α)和u(α,ξ/α). 這是斷裂力學(xué)中的“正問題(forward problem)”. 反過來,也可由u(α,ξ/α)和m(α,ξ/α)求f(α)和σ(ξ)/σ0. 這是斷裂力學(xué)中的“反(逆)問題(inverse problem)”,即權(quán)函數(shù)法的反(逆)向應(yīng)用. 這里簡單介紹一種由已知權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)和裂紋嘴張開位移CMOD, 即u(α,ξ= 0), 反向求解無裂紋應(yīng)力σ(ξ)/σ0的方法(Wu & Tong 2014, 吳學(xué)仁等 2019,Wu & Xu 2022), 可為假想裂紋處的殘余應(yīng)力和橋連力的求解提供一種簡單有效的途徑.

圖67基于單裂紋權(quán)函數(shù)的“統(tǒng)一”分析方法和有限元法預(yù)測的共線多裂紋板剩余強(qiáng)度比較 (Xu et al.2014, 吳學(xué)仁2019)

求解時(shí)可以先把未知應(yīng)力σ(ξ)/σ0預(yù)設(shè)為某個(gè)函數(shù)形式, 再反向求解確定其系數(shù), 如Buchanan et al. (1997), 見5.3.2 節(jié). 也可采用更靈活的分段離散化方法, 假設(shè)每個(gè)區(qū)段內(nèi)的σ(ξ)/σ0值都是常數(shù). 把最大裂紋長度αmax分割為n個(gè)等長的小區(qū)段α1,2...max, 把對應(yīng)的坐標(biāo)ξmax同樣也分割成許多等長的小區(qū)段ξ1,2...max, 并假設(shè)每個(gè)小區(qū)段的σi為常數(shù). 只要n足夠大就能保證計(jì)算精度.將分區(qū)段離散化表達(dá)的無裂紋應(yīng)力分布σi和m(α,ξ/α), 以及ui(α,ξ= 0)代入式(86), 即可建立求解σ1～σn的線性方程組.

求得每個(gè)區(qū)段的高精度數(shù)值解σ1～σn后. 合并全部n個(gè)區(qū)段就能得到σ(ξ)/σ0. 用類似的逆向權(quán)函數(shù)方法, 也可方便地由CMOD 反求得到無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f(α).

為驗(yàn)證逆向權(quán)函數(shù)法的有效性, 以無限大板共線裂紋的權(quán)函數(shù)精確解和周期性應(yīng)力σ(ξ)/σ0=cos(2πξ)作用下的CMOD 精確解作為已知條件. 共線裂紋的權(quán)函數(shù)、裂紋嘴張開位移u(α,ξ=0)以及無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子f(α)精確解分別為反向求解得到的σ(ξ)/σ0和f(α)與已知σ(ξ)/σ0=cos(2πξ) 以及f(α)的精確解幾乎完全一致.

圖68 是用逆向權(quán)函數(shù)法反向解得的在直徑方向一對集中力作用下的無裂紋應(yīng)力分布. 求解中分別以圓盤中心裂紋和圓盤邊緣裂紋兩種幾何的解析權(quán)函數(shù)和CMOD 有限元解為已知條件.所得兩種結(jié)果幾乎完全一致, 并且都與集中力作用下的彈性力學(xué)精確解高度重合.

圖69 是用逆向權(quán)函數(shù)法反向解得的無限大板中心裂紋的焊接殘余應(yīng)力分布. 以無限板中心裂紋的解析權(quán)函數(shù)和CMOD 精確解(Tada et al. 2000, Terada 1976)作為已知條件

反向求解得到的σ(ξ)/σ0結(jié)果與式(110)的殘余應(yīng)力精確解高度一致

該方法的更多應(yīng)用示例可參閱文獻(xiàn)(吳學(xué)仁等 2019, Wu & Xu 2022). 注意以上演示中采用的CMOD 是已知精確解或由權(quán)函數(shù)法正向求得的高精度解. 而在實(shí)際應(yīng)用中則需采用實(shí)測的CMOD 數(shù)據(jù), 它們可能受到數(shù)據(jù)噪聲的干擾. 對此可采用吉紅諾夫正則化方法(Tikhonov regularization method)處理. 這種逆向應(yīng)用權(quán)函數(shù)由實(shí)測CMOD 反求無裂紋應(yīng)力的方法有待在實(shí)際應(yīng)用中驗(yàn)證和改進(jìn).

Cox 和 Marshall (1991b)提出了由裂紋張開位移COD 求解裂紋橋連應(yīng)力的方法. Nazmul和 Matsumoto (2004, 2008a, 2008b)針對有限板邊緣裂紋試樣(SEN)用它求解混凝土結(jié)構(gòu)中的鋼筋力, 為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(structural health monitoring, SHM)提供重要信息, 并具體討論了用吉紅諾夫正則化方法處理不適定逆問題. 本文討論的各種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)則能為應(yīng)用這些解法提供必要條件. 但應(yīng)注意到, 基于COD 的解法需要以整個(gè)裂紋面的張開位移u(α,ξ/α)作為已知條件, 對輸入信息的要求較高, 或可與基于CMOD 的方法形成互補(bǔ).

5.6 復(fù)雜裂紋體斷裂分析的替代幾何權(quán)函數(shù)解法

圖68用逆向權(quán)函數(shù)法解得的兩種圓盤裂紋幾何受一對集中力P 的無裂紋應(yīng)力及與精確解比較 (吳學(xué)仁等 2019)

圖69(a) 無限大板中心裂紋受焊接殘余應(yīng)力作用; (b) 用逆向權(quán)函數(shù)法求得的無限大板中心裂紋所受殘余應(yīng)力σ(ξ)/σ0, 以及與已知精確解的比較 (吳學(xué)仁等 2019)

文獻(xiàn)中已有的解析權(quán)函數(shù)難以涵蓋工程結(jié)構(gòu)中的各種復(fù)雜裂紋幾何, 所以尋找復(fù)雜幾何裂紋體權(quán)函數(shù)的工程近似方法具有實(shí)用價(jià)值. 針對復(fù)雜裂紋體的工程分析, 研究者們提出了一種稱為“替代幾何(substitute geometry)”的方法(Zerbst et al. 2005, 2007; Anisworth et al. 2003; Anderson 2005; Millwater et al. 2007). 英國標(biāo)準(zhǔn)BS 7910 (2015)則稱之為“等效幾何”(equivalent geometry)方法. 它們都是用一個(gè)總體幾何形狀類似, 但局部有差異的簡單裂紋體(即替代幾何或等效幾何), 來代替實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜裂紋體. 用權(quán)函數(shù)法求解所需替代幾何的權(quán)函數(shù)m(α,ξ/α)是已知的, 而裂紋面應(yīng)力σ(ξ)則需對實(shí)際復(fù)雜幾何作無裂紋情況下的應(yīng)力分析(一般采用有限元法)確定. 這種“替代幾何”法能為工程結(jié)構(gòu)中各種復(fù)雜幾何的裂紋問題分析提供高效的工程近似求解手段. 它不但對復(fù)雜裂紋體的斷裂力學(xué)分析計(jì)算具有重要實(shí)用價(jià)值, 而且能顯著擴(kuò)大已有裂紋體權(quán)函數(shù)的應(yīng)用范圍. 文獻(xiàn)中有很多關(guān)于替代幾何的工程處理方法的討論, 但基本上是定性的. 圖70 是緊鄰裂紋的局部幾何變化的兩個(gè)典型示例(Zerbst et al. 2007): T 形焊接板及其替代幾何-平直板, 圓筒焊接接頭及其替代幾何-光滑圓筒. 這兩個(gè)替代幾何的權(quán)函數(shù)均為已知.

圖70利用替代幾何計(jì)算復(fù)雜裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子(Zerbst et al. 2007)

吳學(xué)仁等(2019)以圖71 所示的T 形焊接板及其替代幾何平直板為例, 定量分析了這兩種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)的差別, 并且比較不同的m(α,ξ/α)和σ(ξ)組合所得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子的差異. 圖71(c)是兩種裂紋幾何的格林函數(shù)比較, 替代幾何(平直板)的格林函數(shù)略高于T 形板, 但二者的差別隨無量綱裂紋長度的增加而變小. Lee 等 (2006)對這兩種裂紋幾何的格林函數(shù)(a/W=0.3, 有限元)做過比較, 二者相當(dāng)接近. 圖71(d)表明, 由T 形板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)和焊趾根部的無裂紋應(yīng)力分布得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子(密集虛線)與有限元結(jié)果(空心圓)符合得最好. 用替代幾何(平直板)邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)和T 形板焊趾根部的無裂紋應(yīng)力分布得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子略偏高, 即略偏保守. 這為用替代幾何法求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的工程裂紋問題的合理性提供了一定程度的支持.

對復(fù)雜裂紋幾何作工程斷裂分析的另一種方法是Brennan 和Teh (2004)提出的權(quán)函數(shù)合成原理(weight function composition principle). 其基本思路見圖72(a), 即根據(jù)兩種簡單幾何裂紋體的已知權(quán)函數(shù), 結(jié)合第三種裂紋幾何的權(quán)函數(shù)(用有限元計(jì)算), 基于假設(shè)的權(quán)函數(shù)比例關(guān)系,確定復(fù)雜幾何裂紋體的權(quán)函數(shù). 圖72(a)中的等號左右兩邊分別為有限板和半無限板, 其上下兩邊分別為有/無傾斜臺(tái)階. Brennan 和Teh (2004)假設(shè)較為復(fù)雜的帶有傾斜臺(tái)階的有限板邊緣裂紋與簡單的有限板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)比值與半無限板的兩種相應(yīng)邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)比值相等. 即

圖72(a) 權(quán)函數(shù)合成原理(weight function composition principle), (b) 用合成權(quán)函數(shù)法得到的有限板半圓缺口邊緣裂紋受純彎曲的應(yīng)力強(qiáng)度因子以及與Wu-Carlsson (1991)權(quán)函數(shù)結(jié)果比較(Brennan & Teh 2004)

圖71替代幾何示例. (a) T 形焊接板和平直板, (b) 遠(yuǎn)方拉伸T 形板焊趾根部的無裂紋應(yīng)力分布,(c) T 形板和平直板的格林函數(shù)比較, (d) 4 種方法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子及與有限元結(jié)果比較 (吳學(xué)仁等 2019)

式中,m(a,x)是權(quán)函數(shù),a和x分別是裂紋長度和沿裂紋方向的坐標(biāo), 下標(biāo)f 和s 分別表示有限板和半無限板, 上標(biāo)θ表示臺(tái)階傾斜角. 用式(112)確定傾斜臺(tái)階有限板邊緣裂紋的權(quán)函數(shù), 需要知道方程右邊的3 個(gè)簡單裂紋幾何的權(quán)函數(shù), 但這并不容易做到. 圖72(b)是用合成權(quán)函數(shù)法求得的有限板半圓缺口邊緣裂紋在純彎曲載荷下的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子與Wu-Carlsson (1991)權(quán)函數(shù)計(jì)算結(jié)果的比較, 其符合程度很好, 差別一般在2%以內(nèi).

Brennan 和 Teh (2004)把這種合成權(quán)函數(shù)法用于多種裂紋幾何, 特別是含有各類缺口的邊緣裂紋, 包括半圓, U 形和V 形等(Teh & Brennan 2005, 2007; Teh et al. 2006). 所得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子都有很好的精度. Teh (2002)通過大量有限元計(jì)算和曲線擬合建立了合成權(quán)函數(shù)的幾何影響系數(shù)的數(shù)據(jù)庫. Brennan 和 Teh (2004)認(rèn)為, 合成權(quán)函數(shù)法排除了載荷的影響, 所以在任何載荷條件下都能夠保證得到高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 但這個(gè)結(jié)論能否普遍成立, 尚需進(jìn)一步考慮以下幾個(gè)方面: (1) 合成權(quán)函數(shù)法的基本公式類比關(guān)系的正確性有待更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和廣泛驗(yàn)證;(2) 復(fù)雜裂紋幾何的合成權(quán)函數(shù)需要有3 個(gè)簡單裂紋幾何的權(quán)函數(shù), 它們的精度如何保證; (3) 用一些載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子對合成權(quán)函數(shù)作精度驗(yàn)證, 不一定能全面反映權(quán)函數(shù)的真實(shí)精度. 采用格林函數(shù)作驗(yàn)證將會(huì)更加合理.

以上介紹的替代幾何權(quán)函數(shù)法和合成權(quán)函數(shù)法在總體思路上都是把受局部幾何影響較小的權(quán)函數(shù)和受局部幾何影響很大的無裂紋應(yīng)力分布這兩個(gè)因素分離開來. 它們的區(qū)別在于確定復(fù)雜幾何裂紋體權(quán)函數(shù)的具體方法. 前者的關(guān)鍵是替代幾何的正確選擇, 后者則是利用3 種裂紋幾何的已知權(quán)函數(shù)合成一個(gè)新的復(fù)雜幾何裂紋體的權(quán)函數(shù). 替代幾何方法把較簡單的替代幾何的已知權(quán)函數(shù)與實(shí)際復(fù)雜幾何的無裂紋應(yīng)力結(jié)合在一起, 能夠?yàn)閺?fù)雜幾何裂紋體的斷裂力學(xué)參量求解提供簡單實(shí)用的手段.

6 總結(jié)與展望

權(quán)函數(shù)法是求解裂紋體斷裂力學(xué)關(guān)鍵參量的一種高效方法. 它以靈活通用和求解效率遠(yuǎn)高于各類數(shù)值解法的特點(diǎn), 為工程材料與結(jié)構(gòu)的疲勞/斷裂分析提供了高效可靠, 使用方便的工具.本文結(jié)合筆者及其研究團(tuán)隊(duì)在斷裂力學(xué)權(quán)函數(shù)法方面的長期研究工作, 對半個(gè)世紀(jì)以來國際斷裂界關(guān)于權(quán)函數(shù)理論與工程應(yīng)用的主要研究工作作了總結(jié)/評述. 文章分為3 個(gè)部分.

第1 部分介紹了在國際斷裂界廣泛應(yīng)用的二維裂紋問題的權(quán)函數(shù)法, 特別是Wu-Carlsson(1991)基于裂紋面位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法, Fett(1992)和Fett-Munz(1997), 以及Glinka-Shen (1991)基于多參考載荷條件的解析權(quán)函數(shù)法; 基于裂紋面位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法在共線裂紋、混合型裂紋和含裂紋復(fù)合材料結(jié)構(gòu)方面的研究新進(jìn)展. 揭示了采用應(yīng)力強(qiáng)度因子評價(jià)權(quán)函數(shù)精度的弊端, 提出以格林函數(shù)作為評價(jià)各種權(quán)函數(shù)精度的最佳基準(zhǔn). 系統(tǒng)的對比分析表明, 基于裂紋面位移的規(guī)范化解析權(quán)函數(shù)法在精度和魯棒性等方面明顯優(yōu)于基于多參考載荷條件的解析權(quán)函數(shù)法. 后者的數(shù)學(xué)本質(zhì)是反向求解具有病態(tài)/不適定性的第一類伏爾特拉積分方程.

第2 部分介紹了用于內(nèi)埋裂紋和部分穿透裂紋分析求解的三維權(quán)函數(shù)法, 特別是片條合成權(quán)函數(shù)法和點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法. 片條合成權(quán)函數(shù)法的基礎(chǔ)是二維穿透裂紋解析權(quán)函數(shù), 所以通常不需要三維應(yīng)力強(qiáng)度因子參考解, 對輸入條件要求低, 計(jì)算效率優(yōu)勢明顯, 求解精度可靠, 并已得到相當(dāng)廣泛的驗(yàn)證. 但片條合成三維權(quán)函數(shù)法對強(qiáng)雙變載荷的適用性尚待進(jìn)一步檢驗(yàn). 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)法在對任意載荷的適應(yīng)性方面具有優(yōu)勢, 但對于有限體的部分穿透三維裂紋幾何, 點(diǎn)載荷權(quán)函數(shù)的確定需要多種參考載荷下的大量三維應(yīng)力強(qiáng)度因子高精度數(shù)值解作為輸入條件, 導(dǎo)致計(jì)算量很大. 三維裂紋權(quán)函數(shù)的精度驗(yàn)證目前還只能基于一些載荷情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子對比. 能否采用類似于二維裂紋基于格林函數(shù)的驗(yàn)證途徑, 尚待研究.

第3 部分簡單介紹了權(quán)函數(shù)法在裂紋體分析中的各種實(shí)際應(yīng)用, 包括含熱沖擊應(yīng)力/殘余應(yīng)力等任意復(fù)雜載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋張開位移計(jì)算, 多位置損傷結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度預(yù)測, 內(nèi)聚力/橋連裂紋和塑性誘導(dǎo)裂紋閉合等多種分析模型的求解, 由裂紋嘴張開位移通過逆向權(quán)函數(shù)法反求無裂紋構(gòu)件的應(yīng)力分布, 以及利用已有裂紋構(gòu)型的權(quán)函數(shù)分析復(fù)雜裂紋構(gòu)型的替代幾何法, 以擴(kuò)大已有權(quán)函數(shù)的工程應(yīng)用范圍. 考慮篇幅, 本文只選了一些例子來展示權(quán)函數(shù)法的多種工程應(yīng)用優(yōu)勢. 期望能為讀者解決所關(guān)心的斷裂力學(xué)問題提供參考和啟示.

權(quán)函數(shù)法由于計(jì)算效率高, 精度可靠(在保證權(quán)函數(shù)自身精度前提下), 從20 世紀(jì)90 年代初期就得到歐美工業(yè)界的重視, 進(jìn)入實(shí)際應(yīng)用, 并被各類工程結(jié)構(gòu)完整性評價(jià)規(guī)范/標(biāo)準(zhǔn)/程序廣泛采用(如R6 2009, BS7910, SINTAP, API2000). 進(jìn)入21 世紀(jì)以來, 以NASGRO 和DARWIN 為代表的美國航空航天結(jié)構(gòu)損傷容限分析大型工業(yè)軟件的核心模塊(裂紋驅(qū)動(dòng)力計(jì)算)采用的主要(甚至唯一)方法是權(quán)函數(shù)法. 西方某航空航天公司先進(jìn)戰(zhàn)機(jī)的結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)大量采用了Wu-Carlsson 權(quán)函數(shù)法. 相比之下, 盡管我國在斷裂力學(xué)權(quán)函數(shù)的研究方面已有了相當(dāng)系統(tǒng)深入的積累, 但在其工程應(yīng)用方面仍差距甚遠(yuǎn). 裂紋體分析計(jì)算依賴進(jìn)口軟件和數(shù)值方法的局面有待改變.

對于斷裂力學(xué)權(quán)函數(shù)法的未來發(fā)展, 提出以下粗淺建議.

(1) 繼續(xù)擴(kuò)大二維/三維裂紋幾何的權(quán)函數(shù)覆蓋范圍, 建立經(jīng)過嚴(yán)格驗(yàn)證的, 涵蓋各類工業(yè)結(jié)構(gòu)主要裂紋構(gòu)型的權(quán)函數(shù)數(shù)據(jù)庫.

(2) 在深入研究和廣泛比較的基礎(chǔ)上, 發(fā)展求解精度和計(jì)算效率更高的三維裂紋權(quán)函數(shù)法.研究三維裂紋權(quán)函數(shù)本征精度的評價(jià)驗(yàn)證技術(shù).

(3) 推廣斷裂力學(xué)權(quán)函數(shù)法在各工業(yè)領(lǐng)域的工程應(yīng)用, 充分利用我國學(xué)者在權(quán)函數(shù)研究方面的優(yōu)勢和長期積累, 聯(lián)合相關(guān)研究團(tuán)隊(duì), 與工業(yè)界合作開發(fā)以權(quán)函數(shù)法為核心模塊, 具有自主知識產(chǎn)權(quán)的損傷容限設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)完整性評定大型工業(yè)軟件和規(guī)范.

致 謝 感謝長期以來對筆者的權(quán)函數(shù)研究與應(yīng)用提供指導(dǎo)/幫助和進(jìn)行有益討論的國內(nèi)外學(xué)者,特別是A J Carlsson 先生, 黃克智先生, J C Newman Jr, T Fett, G Glinka, H R Millwater, R C McClung, M R Hill, D Ball, D P Rooke, P Bowen, R D Gregory, A P Parker 以及對權(quán)函數(shù)研究和應(yīng)用作出貢獻(xiàn)的筆者的學(xué)生/合作者: 趙偉, Oliveira, 陳曉光, 劉建中, 郭亞軍, 陳勃, 童第華,景致, 趙曉辰, 劉紫璇, 饒聃鈺, 張馳, 張博. 相關(guān)工作獲國家自然科學(xué)基金資助(11402249,12172217).