王 展

中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京 100190

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

1 引 言

現(xiàn)代電流體界面力學(xué)發(fā)軔于20 世紀(jì)六十年代, 美國(guó)的Melcher (1963)與英國(guó)的Taylor(1964)是該領(lǐng)域的開創(chuàng)者. Taylor 的出發(fā)點(diǎn)是研究水滴在強(qiáng)電場(chǎng)(如雷電)下的崩解, 隨后他將問(wèn)題抽象成垂直作用于導(dǎo)電液體自由表面的電場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響, 由此發(fā)現(xiàn)了“Taylor 錐”這一重要的物理現(xiàn)象. 垂直電場(chǎng)令導(dǎo)電流體失穩(wěn)這一發(fā)現(xiàn)在后來(lái)的靜電噴霧技術(shù)中發(fā)揮了重要作用, 被廣泛應(yīng)用于涂層工藝、冷卻系統(tǒng)、微流控等工業(yè)領(lǐng)域. 與之相反, Melcher 則更關(guān)注平行于電介質(zhì)流體間界面的電場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(Melcher 1968). 在無(wú)黏假設(shè)之下, 水平電場(chǎng)為界面上的線性波貢獻(xiàn)色散效應(yīng), 故可延緩液膜斷裂的形成, 甚至抑制Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性(Barannyk 2015, Guan 2022).

近二三十年來(lái), 對(duì)電場(chǎng)下無(wú)黏液膜自由表面波/界面波的研究, 無(wú)論是基于對(duì)多尺度約化模型的理論分析還是對(duì)原始Euler 方程的直接數(shù)值模擬, 都越來(lái)越聚焦于界面波動(dòng)的非線性特征.例如, 電場(chǎng)作用下液膜界面的觸壁奇異性(即形變界面觸碰到槽道上下壁)(Barannyk 2015)、電場(chǎng)作用下的Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性(Mohamed 1983)、完全非線性Euler 方程中任意大振幅的電毛細(xì)孤立波(Guan 2022)等. 在過(guò)去的幾十年間, 對(duì)電流體界面波非線性約化模型的研究往往集中于二維流體, 流體力學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家建立了大量新的多尺度非線性模型, 感興趣的讀者可參看D. T. Papageorgiou 教授于2019 年發(fā)表在《流體力學(xué)年鑒》上的綜述文章(Papageorgiou 2019).

本文聚焦三維流體系統(tǒng)中非線性電流體界面波的多尺度建模. 研究對(duì)象限于無(wú)黏不可壓縮流體, 討論槽道內(nèi)上下疊放的兩種不相溶電介質(zhì)流體在電場(chǎng)力、重力、界面張力共同作用下的界面波動(dòng)問(wèn)題. 為簡(jiǎn)單起見, 假設(shè)每層流體的運(yùn)動(dòng)都是無(wú)旋的; 在界面有形變的情況下, 水平電場(chǎng)通過(guò)Maxwell 應(yīng)力作用于界面; 第3 節(jié)證明該自由界面問(wèn)題構(gòu)成一個(gè)Hamilton 系統(tǒng). 第4 節(jié)引入處理位勢(shì)方程的關(guān)鍵-Dirichlet-Neumann算子,并在此基礎(chǔ)上重寫Hamilton量中的動(dòng)能與電勢(shì)能. 第5 節(jié)提出一種利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質(zhì)建立非線性多尺度模型的普適方法, 并以“上層深水、下層淺水”為例給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程, 建立全新的約化模型. 結(jié)論與進(jìn)一步的拓展在第6 節(jié)中討論.

2 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

圖1水平電場(chǎng)下兩層電介質(zhì)流體間界面波問(wèn)題的概圖.

從物理上來(lái)講, 有關(guān)電場(chǎng)的無(wú)穿透邊界條件用于模擬電絕緣壁(見Barannyk 2015, Guan 2022). 方程(1)(2)(4)(5)(7) ～ (11)構(gòu)成水平電場(chǎng)下理想電介質(zhì)流體界面問(wèn)題的完整數(shù)學(xué)描述.

3 Hamilton 原理

這一節(jié)將證明, 在假定方程(1)(2)和(7) ～ (11)成立的前提下, 式(4)和式(5)構(gòu)成一個(gè)Hamilton 系統(tǒng). V. E. Zakharov 在1968 年開創(chuàng)性地給出了水波動(dòng)力學(xué)的Hamilton 原理(這一經(jīng)典工作的中譯本請(qǐng)見(Zakharov 2021), 讀者也可閱讀綜述(張寶善 1998)以了解更多相關(guān)內(nèi)容).以Zakharov 為代表的前蘇聯(lián)波動(dòng)力學(xué)學(xué)派應(yīng)該也知道電流體界面力學(xué)的Hamilton 原理, 盡管他們并沒有給出任何推導(dǎo)過(guò)程(如Zubarev 2013). 但事實(shí)上, 他們關(guān)于該問(wèn)題在深水情形下的結(jié)論并非顯而易見, 這里我們給出任意水深情形下的詳細(xì)證明.

在不存在電場(chǎng)的情況下(等價(jià)于令E0=0 ), 式(4)和式(5)亦構(gòu)成Hamilton 系統(tǒng), Hamilton 量為系統(tǒng)的總能量H, 而兩個(gè)正則變量則為界面形變?chǔ)呛蛷V義沖量ξ=ρ-φ-(x,y,η,t)-ρ+φ+(x,y,η,t)(界面上下速度位勢(shì)的線性組合), 即

其中動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep的具體表達(dá)式為

比較式(21)和式(9), 即完成證明.

4 Dirichlet-Neumann 算子

ξ±=φ±(x,y,η,t)W=W±(x,y,η,t)

定義 和 為未知函數(shù)在界面上的值, 根據(jù)方程(1)(2)及上下壁處的無(wú)穿透條件式(10)、式(11), 界面上未知量的法向?qū)?shù)可表示為

其中 Δ =?xx+?yy是平面上的Laplace 算子. 利用Dirichlet-Neumann 算子, 方程(8)可改寫為

5 多尺度建模

約化模型(43)和(40)中存在“塊狀波”解(lump), 一種在三維空間中完全局域化的行進(jìn)波(即局部波動(dòng)在保持形狀不變的情況下以固定速度直線傳播). 這里采用修正的Petviashvili 迭代技巧計(jì)算塊狀波, 具體的數(shù)值格式可參看(Wang 2022), 此處只簡(jiǎn)單敘述結(jié)果. 假設(shè)塊狀波沿x方向以速度c進(jìn)行傳播, 圖2 給出了c=0.5 時(shí)塊狀波波形, 此時(shí)其他參數(shù)為:μ=0.1 ,Bo=10 ,Be=1,R=0.99 .

水平電場(chǎng)下的界面波表現(xiàn)出有趣的動(dòng)力學(xué)行為, 尤其是在抑制Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性、界面的觸壁奇性、自相似解等方面(低維問(wèn)題的相關(guān)結(jié)果可參看Barannyk 2015), 許多行為可以用目前建立的約化模型來(lái)展現(xiàn); 因篇幅原因, 關(guān)于方程組(43)和(40)的行波解全局分岔機(jī)理、系統(tǒng)穩(wěn)定性與動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題的研究留待將來(lái).

若假設(shè)界面振幅遠(yuǎn)小于h-, 方程組(43)(40)可簡(jiǎn)化為弱非線性的二維Benjamin 方程(感興趣的讀者可參看(Guan 2022), 盡管那篇文章中只給出了一維Benjamin 方程的推導(dǎo)過(guò)程). 從上面的例子可以看出, 在長(zhǎng)波、短波、小振幅波、有限振幅波等不同尺度的假設(shè)之下, 利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質(zhì), 可合理展開Hamilton 量中的動(dòng)能與電勢(shì)能, 截?cái)嗪笕∽兎謱?dǎo)數(shù)即可得到各類約化模型. 特別地, 不難得到“上層淺水、下層淺水”的弱非線性弱色散的Boussinesq 型方程組與Kadomtsev-Petviashvili 型方程, 以及“上層深水、下層深水”的全色散弱非線性的Whitham 型方程. 囿于篇幅, 這里不再一一贅述推導(dǎo)過(guò)程, 有興趣的讀者可自行驗(yàn)證.

圖2典型的“塊狀波”波形圖, 波移動(dòng)的速度為 c =0.5 , 其余的參數(shù)為: μ =0.1 , B o =10 , B e =1 , R =0.99 .

6 結(jié)論與討論

本文研究?jī)煞N電介質(zhì)流體間的界面在水平電場(chǎng)作用下的波動(dòng)問(wèn)題. 證明了該自由邊界問(wèn)題具有Hamilton 結(jié)構(gòu), 其Hamilton 量為總能量, 而正則變量為界面形變?chǔ)桥c廣義沖量ρ-φ--ρ+φ+.引入位勢(shì)問(wèn)題中至關(guān)重要的Dirichlet-Neumann 算子可改寫Hamilton 量中有關(guān)動(dòng)能與電勢(shì)能的部分. 在此基礎(chǔ)上, 利用Dirichlet-Neumann 算子的解析性質(zhì), 可以將原來(lái)的三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題. 最后, 按照所研究問(wèn)題的時(shí)間與空間尺度的具體情況, 對(duì)Hamilton 量進(jìn)行展開與截?cái)? 通過(guò)計(jì)算變分導(dǎo)數(shù)即可得到所需的約化模型. 這一套漸近方法具有一定的普適性, 可導(dǎo)出各類多尺度模型, 文章僅以“上層深水、下層淺水”為例進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明. 相比于作者在(Guan 2022)中提出的多尺度建模方法, 本文提出的方法由于直接截?cái)郒amilton 量進(jìn)行變分, 所得的約化模型天然具有Hamilton 結(jié)構(gòu), 是更為直截了當(dāng)?shù)姆椒?

在無(wú)黏不可壓縮的假設(shè)之下, 因水平電場(chǎng)為電介質(zhì)流體系統(tǒng)提供了更多的色散效應(yīng), 故起到了穩(wěn)定系統(tǒng)之作用. 但是水平電場(chǎng)的存在也破壞了系統(tǒng)的對(duì)稱性, 這一點(diǎn)非常明顯地展示在色散關(guān)系式(41)和式(44)中, 也就是說(shuō)從線性理論層面來(lái)看, 水平電場(chǎng)的穩(wěn)定作用對(duì)那些垂直于電場(chǎng)方向傳播的波而言是無(wú)效的. 最后需要指出, 使用Hamilton 正則變量來(lái)構(gòu)造模型并不一定是最優(yōu)的, 某些時(shí)候直接使用非正則變量所得到模型形式上更為簡(jiǎn)潔(見(Guan 2022)中的討論).

致 謝 感謝中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所的許葛幸在此領(lǐng)域與作者的有益討論. 本項(xiàng)目受中國(guó)科學(xué)院B 類戰(zhàn)略先導(dǎo)(XDB22040203)與中國(guó)科學(xué)院青年交叉團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目的資助.