屈雙惠，楊志宏，馬志春，張彩霞

（石家莊學(xué)院 物理與電氣信息工程學(xué)院，河北 石家莊 050035）

電介質(zhì)中極化電荷密度的計(jì)算

屈雙惠，楊志宏，馬志春，張彩霞

（石家莊學(xué)院 物理與電氣信息工程學(xué)院，河北 石家莊 050035）

給出了兩種計(jì)算電介質(zhì)中極化電荷密度的方法.（1）介質(zhì)內(nèi)部極化電荷密度等于極化強(qiáng)度矢量 的散度的負(fù)值，ρP=-▽·?P；（2）介質(zhì)內(nèi)部極化電荷密度與介質(zhì)的極化率、介質(zhì)內(nèi)自由電荷密度以及極化率梯度與電場強(qiáng)度之間的相互作用有關(guān)針對電荷分布具有一定對稱性的問題，分別利用這兩種方法分析了電介質(zhì)均勻且內(nèi)部不存在自由電荷、電介質(zhì)均勻但內(nèi)部存在自由電荷以及電介質(zhì)不均勻且內(nèi)部不存在自由電荷情況下介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷密度，并通過實(shí)例加以詳盡的討論.

極化率梯度；自由電荷密度；極化電荷密度

0 引言

當(dāng)對電介質(zhì)外加電場時(shí)，在電介質(zhì)表面甚至內(nèi)部會(huì)出現(xiàn)正負(fù)電荷，這種現(xiàn)象叫做電介質(zhì)的極化.電介質(zhì)上出現(xiàn)的極化電荷是其在電場作用下，內(nèi)部電荷發(fā)生微小移動(dòng)所造成的宏觀效果，電介質(zhì)中的帶電粒子被原子或分子緊密束縛，其內(nèi)電荷為束縛電荷.在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，由于電介質(zhì)并不理想，可能是均勻的也可能是不均勻的，甚至其內(nèi)部還有可能存在自由電荷的分布，這些都直接影響著電介質(zhì)內(nèi)部極化電荷的分布.因此，電介質(zhì)的極化、其內(nèi)部極化電荷的分布情況是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容[1，2].

對電荷分布具有一定對稱性的問題，利用高斯定理可以很容易地求出其電場強(qiáng)度等物理量，進(jìn)而確定其極化電荷分布.筆者給出了兩種計(jì)算電介質(zhì)中極化電荷密度的方法：

利用這兩種方法分別討論了電荷分布具有一定對稱性時(shí)，電介質(zhì)均勻且內(nèi)部不存在自由電荷、電介質(zhì)均勻但內(nèi)部存在自由電荷以及電介質(zhì)不均勻且內(nèi)部不存在自由電荷情況下介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷密度.

1 極化電荷密度的計(jì)算

當(dāng)電介質(zhì)極化時(shí)，介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷分布與極化強(qiáng)度密切相關(guān).由高斯散度定理，極化電荷密度等于極化強(qiáng)度矢量 的散度的負(fù)值：

自由電荷密度等于電位移矢量?D的散度：

對各向同性電介質(zhì)，極化強(qiáng)度矢量?P及電位移矢量?D與介質(zhì)極化率χe、電場強(qiáng)度?E的關(guān)系分別為

將兩式分別代入（1）式和（2）式可得

消去（3）式和（4）式中的▽·?E，可得

（1）式和（5）式分別給出了求解電介質(zhì)中極化電荷體密度的兩種方法[3-5].

利用（1）式的方法，在求得極化強(qiáng)度矢量?P后，根據(jù)電荷分布特征，將其代入相應(yīng)坐標(biāo)系下的散度公式中求得▽·?P，即可求得極化電荷密度ρP=-▽·?P.當(dāng)電荷分布具有平面對稱性時(shí)，代入直角坐標(biāo)系下散度公式中；當(dāng)電荷分布具有球?qū)ΨQ性時(shí)，代入球坐標(biāo)系下散度公式中；當(dāng)電荷分布具有軸對稱性時(shí)，代入柱坐標(biāo)系下散度公式中.

利用（5）式的方法，式中第1項(xiàng)由電介質(zhì)體內(nèi)自由電荷體密度ρf所決定，當(dāng)介質(zhì)體內(nèi)無自由電荷時(shí)，該項(xiàng)貢獻(xiàn)為零；式中第1項(xiàng)表示極化電荷還可能受到極化率梯度▽χe和電場強(qiáng)度?E的相互作用▽χe·?E的影響，當(dāng)介質(zhì)均勻或極化率梯度與電場強(qiáng)度相垂直時(shí)，該項(xiàng)貢獻(xiàn)也為零[6-9].

以下針對電荷分布具有球?qū)ΨQ性的問題分別利用這兩種方法進(jìn)行分析，并輔以案例加以討論[10].

2 不同情況下極化電荷分布的案例分析

2.1 電介質(zhì)均勻內(nèi)部無自由電荷時(shí)的極化電荷分布

例1 一球形電容器由兩個(gè)同心的薄金屬球殼構(gòu)成，兩殼的半徑分別為R1和R2，兩殼間充滿了電容率為ε的均勻介質(zhì)，內(nèi)殼帶有正電荷Q，示意圖見圖1，求電介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷密度 .

按方法（1）求解：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，利用有介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理得到電介質(zhì)內(nèi)距球心為r處的場點(diǎn)的電位移矢量此處的電場強(qiáng)度由于則 ，

電荷分布具有球?qū)ΨQ性，由（1）式，代入球坐標(biāo)系下散度公式中可得

圖1 均勻球形電介質(zhì)不帶電

按方法（2）求解：因?yàn)殡娊橘|(zhì)均勻電容率ε為常數(shù)，則極化率為常數(shù)，▽χe=0，又因?yàn)殡娊橘|(zhì)內(nèi)無自由電荷，則ρf=0.根據(jù)公式（6），可知ρP=0.

通過例1分析可知，對于電介質(zhì)均勻且內(nèi)部無自由電荷的情況，電介質(zhì)內(nèi)無極化電荷，極化電荷只能分布在介質(zhì)分界面處.電介質(zhì)均勻，極化率χe為常數(shù)，極化率梯度▽χe=0；電介質(zhì)內(nèi)部不存在自由電荷，自由電荷密度ρf=0；利用公式（5）很容易看出，等式右側(cè)兩項(xiàng)均為0，其內(nèi)部極化電荷密度為零.而利用公式（1）需要先求得極化強(qiáng)度，再將其代入到散度公式中進(jìn)行求導(dǎo)方能求出極化電荷密度.可以看出，對于這種電介質(zhì)均勻且內(nèi)部無自由電荷的情況，利用方法（2）求解比較簡單.

2.2 電介質(zhì)均勻內(nèi)部有自由電荷時(shí)的極化電荷分布

例2 半徑為R的均勻電介質(zhì)球，電容率為ε，均勻帶電，總電量為Q，示意圖見圖2，求電介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷密度ρP.

按方法（1）求解：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，利用有介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理得到電介質(zhì)內(nèi)距球心為r處的場點(diǎn)的電位移矢量此處的電場強(qiáng)度由于，則

圖2 均勻球形電介質(zhì)帶電

電荷分布具有球?qū)ΨQ性，由（1）式，代入球坐標(biāo)系下散度公式中可得

按方法（2）求解：因?yàn)殡娊橘|(zhì)均勻電容率ε為常數(shù)，則極化率為常數(shù)，▽χe=0，式中第2項(xiàng)為0；自由電荷密度，根據(jù)公式（5），可知

通過例2分析可知，對于電介質(zhì)均勻但內(nèi)部有自由電荷的情況，電介質(zhì)內(nèi)部將出現(xiàn)未被抵消的極化電荷.電介質(zhì)均勻，極化率χe為常數(shù)，極化率梯度▽χe=0；電介質(zhì)內(nèi)部存在自由電荷，自由電荷密度ρf≠0；利用公式（5）很容易得到極化電荷密度為而利用公式（1）也需要先求得極化強(qiáng)度，再將其代入到散度公式中進(jìn)行求導(dǎo)方能求出極化電荷密度.可以看出，對于這種電介質(zhì)均勻但內(nèi)部有自由電荷的情況，利用方法（2）求解也比較簡單.

2.3 電介質(zhì)不均勻內(nèi)部無自由電荷時(shí)的極化電荷分布

例3 空間有一同心球形電容器，其中外導(dǎo)體半徑為R2，內(nèi)導(dǎo)體半徑為R1，在兩層導(dǎo)體中間充滿了不均勻電介質(zhì)，其電容率為（ε0為真空電容率，k為常數(shù)，r為到球心的距離），內(nèi)導(dǎo)體球帶電量為Q，外球接地，示意圖見圖3，求電介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷密度ρP.

按方法（1）求解：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，利用有介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理得到電介質(zhì)內(nèi)距球心為r處的場點(diǎn)的電位移矢量；此處的電場強(qiáng)度由于，則

圖3 不均勻球形電介質(zhì)不帶電

電荷分布具有球?qū)ΨQ性，由（1）式，代入球坐標(biāo)系下散度公式中可得

按方法（2）求解：因?yàn)殡娊橘|(zhì)內(nèi)無自由電荷，ρf=0，式中第1項(xiàng)為0；電介質(zhì)不均勻，電容率則極化率不為常數(shù)與此處的場強(qiáng)同向，式中第2項(xiàng)不為0；根據(jù)公式（5），可知

通過例3分析可知，對于電介質(zhì)不均勻的情況，介質(zhì)內(nèi)部也會(huì)出現(xiàn)未被抵消的極化電荷.電介質(zhì)內(nèi)部無自由電荷，自由電荷密度ρf=0；介質(zhì)不均勻，各處χe不同，極化率梯度▽χe≠0；由公式（5），此時(shí)極化電荷密度ρP由極化率梯度與電場強(qiáng)度的相互作用▽χe·?E所決定.若極化率梯度與電場強(qiáng)度垂直，即▽χe·?E=0，則ρP= 0；若極化率梯度與電場強(qiáng)度不垂直，則極化電荷分布由極化率梯度 與電場強(qiáng)度的點(diǎn)積決定，此時(shí)ρP≠0，電介質(zhì)內(nèi)有極化電荷存在.利用公式（5）求解極化電荷密度時(shí)，需要確定極化率梯度后再與電場強(qiáng)度點(diǎn)乘來獲得.而利用公式（1）只需要求得極化強(qiáng)度的散度即可求出極化電荷密度.可以看出，對于這種電介質(zhì)不均勻的情況，利用方法（1）求解比較簡單.

3 結(jié)論

通過上面的分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)電介質(zhì)發(fā)生極化時(shí)，其內(nèi)部自由電荷密度ρP可由公式計(jì)算得到.當(dāng)電介質(zhì)均勻且內(nèi)部無自由電荷時(shí)，電介質(zhì)內(nèi)部無極化電荷，極化電荷只分布在介質(zhì)分界面處.當(dāng)電介質(zhì)均勻但內(nèi)部存在自由電荷時(shí)，介質(zhì)內(nèi)出現(xiàn)未抵消的極化電荷.當(dāng)電介質(zhì)不均勻且內(nèi)部無自由電荷時(shí)，若極化率梯度與電場強(qiáng)度垂直，電介質(zhì)內(nèi)部無極化電荷；若極化率梯度與電場強(qiáng)度不垂直，電介質(zhì)內(nèi)部將出現(xiàn)極化電荷.對于電介質(zhì)均勻的情況，利用公式（5）求解比較簡單，而對于電介質(zhì)不均勻的情況，利用公式（1）求解相對簡單.

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（責(zé)任編輯 鈕效鹍）

Calculation Method of Polarization Charge Density in Dielectric

QU Shuang-hui，YANG Zhi-kong，MA Zhi-chun，ZHANG Cai-xia
（School of Physics&Electrical Information Engineering，Shijiazhuang University，Shijiazhuang，Heibei 050035，China）

Two calculation methods of polarization charge density in dielectric are given in this paper.（1）The polarization charge density is equal to the negative value of the polarization vector divergence，ρP=-▽·?P；（2）The po larization charge density is determined by the polarizability，the free charge density，the polarization gradient and the electric field intensityFor the situation of the charge distribution with certain symmetry，using the two methods，the polarization charge density is calculated respectively for the three cases：the uniform dielectric without free charge in it，the uniform dielectric with free charge in it，and nonuniform dielectric without free charge in it.It is discussed in detail by examples.

polarization gradient；free charge density；polarization charge density

O441

：A

：1673-1972（2014）06-0016-04

2014-06-20

河北省自然科學(xué)基金（F2013106079）；河北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃（Z2010167）；石家莊學(xué)院2013年校級教學(xué)改革研究（JGXM-201302A）；石家莊學(xué)院2013年校級科研平臺(tái)資助項(xiàng)目（XJPT002）

屈雙惠 （1978-），女，河北石家莊人，講師，主要從事理論物理和非線性系統(tǒng)研究.