肖 鵬，魏靜波，胡宏錦，劉 昆，張志洲

（中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 深圳 518107）

0 引言

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因其無(wú)機(jī)械接觸、無(wú)需潤(rùn)滑、適應(yīng)復(fù)雜工況以及主動(dòng)可控等特點(diǎn)，已經(jīng)在航空航天、機(jī)械加工、交通運(yùn)輸?shù)戎T多領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，同時(shí)也是航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的一種重要支承方式。由于轉(zhuǎn)子的加工誤差、材料質(zhì)量不均勻、運(yùn)行后變形等原因，轉(zhuǎn)子存在一定的不平衡量，在旋轉(zhuǎn)中產(chǎn)生不平衡激振力而發(fā)生不平衡同頻振動(dòng)。此外，轉(zhuǎn)子由高速電機(jī)驅(qū)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，電機(jī)的電磁干擾將直接作用于電渦流傳感器，進(jìn)入控制回路后引起磁力的振動(dòng)，進(jìn)而引起轉(zhuǎn)子的倍頻振動(dòng)。

針對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)，提出的主動(dòng)控制方法從實(shí)現(xiàn)方式上主要分為2類：不平衡補(bǔ)償法與自動(dòng)平衡法。不平衡補(bǔ)償通過(guò)電磁軸承產(chǎn)生相應(yīng)電磁控制力補(bǔ)償而抵消不平衡力的作用效果，從而強(qiáng)迫轉(zhuǎn)子圍繞其幾何中心旋轉(zhuǎn)。Taguchi等針對(duì)渦輪機(jī)的不平衡振動(dòng)問(wèn)題，提出了一種基于卡爾曼濾波器的前饋?zhàn)赃m應(yīng)不平衡控制算法；蔣科堅(jiān)等通過(guò)系統(tǒng)對(duì)于試探性的補(bǔ)償信號(hào)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算得到不平衡振動(dòng)的Fourier系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了不平衡補(bǔ)償；Mao等提出了一種基于可變步長(zhǎng)（Variable Step Size，VSS）多邊迭代方法的不平衡系數(shù)搜索算法，并基于此算法產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號(hào)實(shí)現(xiàn)不平衡振動(dòng)的補(bǔ)償。由于VSS算法提取的是不隨轉(zhuǎn)速變化的不平衡質(zhì)量的信息，所以計(jì)算成本較低，而且適合在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的狀態(tài)下進(jìn)行不平衡補(bǔ)償。

而自動(dòng)平衡則是通過(guò)算法使得控制器對(duì)位移中的同頻分量不響應(yīng)，使轉(zhuǎn)子繞慣性主軸轉(zhuǎn)動(dòng)。廣義陷波和歸一化最小均方（Least Mean Square，LMS）算法是其中最常用的2種方法。湯亮等提出了LMS算法的自適應(yīng)數(shù)字陷波濾波器實(shí)現(xiàn)自動(dòng)平衡的控制算法；高輝等著重分析了幾類LMS算法在磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的應(yīng)用，對(duì)原有算法進(jìn)行了改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了變步長(zhǎng)的LMS算法；徐駿等利用LMS算法實(shí)現(xiàn)了單自由度懸浮試驗(yàn)臺(tái)上的振動(dòng)抑制，并分析了各種參數(shù)對(duì)振動(dòng)控制性能的影響；Liu等設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的雙輸入的自適應(yīng)濾波器，通過(guò)調(diào)節(jié)收斂系數(shù)和補(bǔ)償角度，能夠在較寬的運(yùn)行速度范圍內(nèi)自適應(yīng)抑制同步電流，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)平衡。

針對(duì)電機(jī)干擾產(chǎn)生的傳感器諧波擾動(dòng)，張激揚(yáng)等基于級(jí)聯(lián)相移陷波器全轉(zhuǎn)速自適應(yīng)控制方法對(duì)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的傳感器諧波擾動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)抑制；王雨楠等提出一種變步長(zhǎng)LMS算法實(shí)現(xiàn)了8倍頻諧波振動(dòng)的有效抑制；Peng等提出了一種多頻諧振控制器（Multiple Resonant Controllers，MRC），采用漸進(jìn)式調(diào)整和分段切換策略實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)全轉(zhuǎn)速范圍下的多頻諧波擾動(dòng)的抑制。

本文針對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡引起多種振動(dòng)問(wèn)題，提出了一種基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器。為了解決一般控制器算法計(jì)算延遲大的問(wèn)題，構(gòu)建了基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列（Filed Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA）實(shí)時(shí)自適應(yīng)振動(dòng)補(bǔ)償模塊。

1 基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器

1.1 磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)源建模與分析

轉(zhuǎn)子的不平衡量可以用附加質(zhì)量的方法描述，扁平轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)如圖1所示。電機(jī)轉(zhuǎn)子安裝在轉(zhuǎn)子上半軸，電機(jī)定子安裝在磁軸承與傳感器之間，采用附加質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡量進(jìn)行建模。轉(zhuǎn)子的上、下平面中心分別為、，轉(zhuǎn)子幾何中心為；轉(zhuǎn)子的上、下平面不平衡質(zhì)量分別為、，2個(gè)不平衡質(zhì)量距上、下平面幾何中心的距離均為，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為，上、下平面不平衡質(zhì)量的相位差為。下、上軸承產(chǎn)生的指向、軸靜不平衡力分別為f、f、f、f。

圖1 扁平轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)

則4軸產(chǎn)生的靜不平衡力分別為

作用于轉(zhuǎn)子后產(chǎn)生的、軸振動(dòng)位移信號(hào)應(yīng)為

式中：A、A分別為、軸位移信號(hào)的幅值。

不平衡量是轉(zhuǎn)子振動(dòng)的1個(gè)重要來(lái)源。此外，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體構(gòu)成的磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)引起電渦流傳感器的倍頻擾動(dòng)。根據(jù)試驗(yàn)可知，頻率與電機(jī)轉(zhuǎn)速同頻之間存在倍數(shù)關(guān)系，這個(gè)倍數(shù)就是電機(jī)的極對(duì)數(shù)。電機(jī)的倍頻干擾是1種加性噪聲，直接與轉(zhuǎn)子的真實(shí)位移量疊加，作為位移反饋進(jìn)入控制回路，所以可以認(rèn)為是1個(gè)位移信號(hào)，則倍頻擾動(dòng)信號(hào)的位移表達(dá)式為

式中：為擾動(dòng)的幅值；為電機(jī)的極對(duì)數(shù)。根據(jù)電機(jī)設(shè)計(jì)的對(duì)稱性，可以認(rèn)為、軸的擾動(dòng)幅值相等；而、軸傳感器的安裝位置相差90°，則、軸的擾動(dòng)位移相位相差90°。同時(shí)，由于電機(jī)轉(zhuǎn)子安裝在轉(zhuǎn)子的上半軸，距離上軸承傳感器更近，與下軸承傳感器相距較遠(yuǎn)，那么下軸承傳感器的擾動(dòng)幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于上軸承傳感器的，可以忽略不計(jì)。

而當(dāng)同時(shí)存在不平衡量以及倍頻擾動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子的位移信號(hào)應(yīng)在式（2）的基礎(chǔ)上加入倍頻擾動(dòng)項(xiàng)，即

從式（4）中可見(jiàn)，無(wú)論是不平衡量引起的不平衡位移，還是電機(jī)磁場(chǎng)干擾帶來(lái)的擾動(dòng)位移，都以正弦信號(hào)的形式存在，并且作為位移信號(hào)進(jìn)入傳感器中。

倍頻擾動(dòng)在傳感器環(huán)節(jié)引入，消除擾動(dòng)信號(hào)使得控制器對(duì)于該信號(hào)不響應(yīng)，就不會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的電磁力，使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在平衡位置，此時(shí)倍頻振動(dòng)得以抑制。不平衡位移信號(hào)產(chǎn)生于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，濾除不平衡位移信號(hào)，使控制器不對(duì)該信號(hào)產(chǎn)生控制力，從而令轉(zhuǎn)子繞其慣性軸旋轉(zhuǎn)，達(dá)到抑制不平衡振動(dòng)的目的。因此，可以在反饋環(huán)節(jié)加入自適應(yīng)濾波器，并且濾波器應(yīng)該滿足以下要求：能夠自適應(yīng)地進(jìn)行頻率跟蹤；不破壞系統(tǒng)本身的穩(wěn)定性；響應(yīng)速度快；濾波效果好。

1.2 基于LMS算法的頻率跟蹤振動(dòng)抑制

LMS算法通過(guò)不斷調(diào)整濾波器的權(quán)值系數(shù)，使得濾波器的輸出信號(hào)與參考信號(hào)之差的平方和（均方誤差）最小，從而讓系統(tǒng)輸出所需信號(hào)的最佳估計(jì)，LMS算法基本原理如圖2所示。

圖2 LMS算法基本原理

其中，參考向量()作為算法的參考信號(hào)，

式中：為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速頻率；輸入信號(hào)（）為位移信號(hào)，其中為離散系統(tǒng)中的序號(hào)；輸出信號(hào)為（），由參考向量中各分量線性疊加產(chǎn)生；濾波器權(quán)向量()=[]由LMS算法進(jìn)行更新，式中分別為權(quán)向量的組成元素。誤差信號(hào)（k T）是LMS算法的重要判斷準(zhǔn)則；而則為離散系統(tǒng)的采樣時(shí)間。LMS算法基于最小均方誤差的準(zhǔn)則，均方誤差為

其中（kT）可由輸入信號(hào)與輸出信號(hào)給出，

從式（7）可知，σ是1個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)可得

式中：為參考信號(hào)（）的自相關(guān)矩陣；為輸入信號(hào)（）與參考信號(hào)（）的互相關(guān)矢量。

為了求得最優(yōu)解，從式（8）可知，必須求得的逆，這在實(shí)際應(yīng)用中需耗費(fèi)較多的計(jì)算資源，且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。此時(shí)，引入最陡下降法獲取的遞推公式，簡(jiǎn)化流程，取單個(gè)誤差樣本的梯度作為算法梯度，可以得到算法的遞推方程組

式中：為算法步長(zhǎng)，控制算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度。

式中：為虛數(shù)單位。

將的遞推式經(jīng)變換得

聯(lián)立式（10）、（11）、（12）可得以輸出信號(hào)（）為輸出，輸入信號(hào)（）為輸入的傳遞函數(shù)

式（13）零點(diǎn)為±e ，±e 。當(dāng)輸入信號(hào)頻率與參考信號(hào)頻率相等時(shí)，|G （）|=0。說(shuō)明輸入信號(hào)中的轉(zhuǎn)速同頻信號(hào)與倍頻信號(hào)都能夠被濾除。選取轉(zhuǎn)速=3000 r/min，則此時(shí)轉(zhuǎn)速頻率=50 Hz，步長(zhǎng)取值0.1、0.01、0.001，倍數(shù)=2，自適應(yīng)帶阻濾波器G（）的波特圖如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)帶阻濾波器G（fz）的波特圖

從圖中可見(jiàn)，G （）此時(shí)可視為1個(gè)帶阻濾波器。從幅頻響應(yīng)可見(jiàn)，3種不同的步長(zhǎng)值均能夠?yàn)V除轉(zhuǎn)速同頻50 Hz與2倍頻100 Hz的信號(hào)，證明了傳遞函數(shù)零點(diǎn)分析的正確性。并且濾波器對(duì)于位于之外的頻率成分增益為1，為濾波的中心頻率，為對(duì)應(yīng)中心頻率的阻帶帶寬，即中心頻率兩側(cè)最近的幅值增益為-3 dB的2個(gè)點(diǎn)之間的帶寬。與步長(zhǎng)成正相關(guān)。當(dāng)步長(zhǎng)=0.1時(shí)，的值已經(jīng)遠(yuǎn)大于2個(gè)中心頻率之間帶寬，導(dǎo)致自適應(yīng)帶阻濾波器對(duì)頻率在50～100 Hz之間的信號(hào)也起濾除作用，與自適應(yīng)濾波器只濾除定點(diǎn)頻率的期望效果不符。而步長(zhǎng)為0.001時(shí)，阻帶帶寬太小，當(dāng)轉(zhuǎn)子加速時(shí)，由于受算法收斂速度的限制，導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器達(dá)不到理想的濾波效果。

從傳遞函數(shù)的相頻響應(yīng)可見(jiàn)，自適應(yīng)濾波器將會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的相位畸變，并且步長(zhǎng)越大，相位畸變?cè)矫黠@，產(chǎn)生相位畸變的帶寬也就越大。當(dāng)=0.001時(shí)，在第1個(gè)中心頻率，雖然畸變的超前角和滯后角都比較大，但畸變帶寬在2 Hz內(nèi)，是1個(gè)比較小的尺度，因此對(duì)于信號(hào)整體相位的影響較??；而在第2個(gè)中心頻率，相角從0～2π的過(guò)渡十分平滑，對(duì)信號(hào)相位基本沒(méi)有影響。

加入自適應(yīng)帶阻濾波器后的控制系統(tǒng)如圖4所示，、通道徑向控制解耦，以軸的徑向懸浮控制為研究對(duì)象。

圖4 加入自適應(yīng)帶阻濾波器后的控制系統(tǒng)

圖中（）為懸浮控制的控制器，一般采取PD控制器的形式；G （）為功率放大器的傳遞函數(shù)；（）為轉(zhuǎn)子質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型；，，分別為磁懸浮軸承的電流剛度系數(shù)、位移剛度系數(shù)、電渦流傳感器的位移電壓轉(zhuǎn)換比。G （）即為自適應(yīng)帶阻濾波器的連續(xù)形式。以擾動(dòng)位移（）為輸入，轉(zhuǎn)子平動(dòng)位移（）為輸出，寫出控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

由式（13）可知

則有（）=0。此時(shí)，系統(tǒng)的輸出（）=0。同理，將=帶入式（14）得到（）=0。則在系統(tǒng)的位移輸出中將不含有與轉(zhuǎn)速同頻和倍頻的量，能夠有效抑制轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。再以擾動(dòng)位移（）為輸入，電磁軸承產(chǎn)生控制力（）為輸出，得到該系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

按照上述方法分析，在系統(tǒng)的控制力（）中也不包含含有與轉(zhuǎn)速同頻或倍頻的量。因此，通過(guò)單頻點(diǎn)的方法可以證明加入自適應(yīng)帶阻濾波器后的控制系統(tǒng)（圖4）能夠抑制轉(zhuǎn)子的同頻以及倍頻振動(dòng)。

1.3 模態(tài)頻點(diǎn)振動(dòng)抑制

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速即將達(dá)到其模態(tài)頻點(diǎn)時(shí)，不平衡振動(dòng)將與磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)振動(dòng)相互影響，引起更大幅度的振動(dòng)。

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)頻點(diǎn)是1個(gè)或多個(gè)固定的頻率值，可以通過(guò)仿真軟件計(jì)算推導(dǎo)得出、或在激振試驗(yàn)和磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的調(diào)試過(guò)程中大致估算出模態(tài)頻率值。因頻率值固定，可加入1個(gè)固定頻率的自適應(yīng)同頻放大器與自適應(yīng)帶阻濾波器共同組成自適應(yīng)濾波器。并且，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速接近模態(tài)頻率時(shí)，自適應(yīng)濾波器應(yīng)當(dāng)自動(dòng)切換到固定頻率的濾波器。自適應(yīng)同頻放大器（）的傳遞函數(shù)為

取=3000 r/min，收斂系數(shù)=0.1，自適應(yīng)同頻放大器的波特圖如圖5所示，在頻點(diǎn)50 Hz處，（）的增益為無(wú)窮大，并且起放大作用的帶寬極小，而在放大帶寬外其它頻點(diǎn)處，（s）的增益基本都為0 dB。從相頻響應(yīng)看，其相角也能在畸變后很小的帶寬內(nèi)恢復(fù)為0。

圖5 自適應(yīng)同頻放大器的波特圖

自適應(yīng)同頻放大器（）的增益無(wú)窮大，不能單獨(dú)作為濾波器使用，不過(guò)可以將其接入負(fù)反饋回路中，利用其同頻信號(hào)開環(huán)放大倍數(shù)為無(wú)窮大，其余信號(hào)開環(huán)放大倍數(shù)為1，使得期望的同頻信號(hào)的閉環(huán)增益為0，同時(shí)不影響其它信號(hào)的閉環(huán)特性。接入（）后的自適應(yīng)濾波器控制系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 接入N（s）后的自適應(yīng)濾波器控制系統(tǒng)

選擇不平衡靜力（）為輸入，轉(zhuǎn)子平動(dòng)位移（）為輸出，得到控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

式中：（s）為牛頓第二定律的傳遞函數(shù)形式。

令=，帶入式（19）中得到

則（）=0。系統(tǒng)的輸出位移（）同樣為0，即轉(zhuǎn)速同頻的信號(hào)已被完全濾除，抑制了同頻振動(dòng)，達(dá)到了最小位移控制的目的。

2 基于FPGA的自適應(yīng)濾波器實(shí)現(xiàn)

2.1 SLMS算法

FPGA的特性決定了其能夠在1個(gè)相當(dāng)高的頻率下穩(wěn)定工作，而且擁有大量的乘加運(yùn)算資源與存儲(chǔ)資源，具有完全并行化的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，與自適應(yīng)濾波算法的需求完全契合。

為使LMS算法的計(jì)算更符合FPGA的運(yùn)算規(guī)則，使計(jì)算速度進(jìn)一步加快，引入符號(hào)類LMS算法（Signed Least Mean Square，SLMS）簡(jiǎn)化硬件復(fù)雜度。SLMS算法的主要思想是在權(quán)值更新環(huán)節(jié)引入量化誤差函數(shù)，對(duì)參考信號(hào)（）和誤差信號(hào)（）進(jìn)行量化處理。而具體對(duì)哪一種信號(hào)進(jìn)行量化，是SLMS算法類型的一種分類方法。僅對(duì)（）進(jìn)行量化，稱之為符號(hào)-數(shù)據(jù)LMS算法；僅處理（），是符號(hào)-誤差LMS算法。由于在符號(hào)-數(shù)據(jù)LMS算法中對(duì)參考信號(hào)（）進(jìn)行量化，使得算法權(quán)值更新的迭代方向與代價(jià)函數(shù)的最陡梯度下降方向不總是相同的，這導(dǎo)致在更新過(guò)程中平方誤差頻繁增大，從而出現(xiàn)不穩(wěn)定問(wèn)題。本文選用了更加穩(wěn)定的符號(hào)-誤差LMS算法對(duì)自適應(yīng)濾波器進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

首先對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行量化

式中：[]為量化計(jì)算函數(shù)，一般取符號(hào)sgn（）函數(shù)，即

步長(zhǎng)可以取2的冪次方數(shù)，（）經(jīng)過(guò)量化處理后只保留符號(hào)位，那么權(quán)值更新部分便不需要進(jìn)行乘法運(yùn)算，極大地簡(jiǎn)化了算法的硬件復(fù)雜度。同時(shí)，為改進(jìn)SLMS算法的收斂性能，可以采取一種新的3級(jí)量化策略

當(dāng)-＜（）＜，誤差信號(hào)未達(dá)到閾值時(shí)，權(quán)值始終不更新，如果大于該閾值，權(quán)值更新方程為

從式（25）中可見(jiàn)，此時(shí)算法是一種時(shí)變步長(zhǎng)的LMS算法，其收斂性能遠(yuǎn)超其他的符號(hào)類LMS算法的，同時(shí)具備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快的特點(diǎn)。

2.2 FPGA模塊結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)放大器是對(duì)固定頻點(diǎn)進(jìn)行濾波，只需要提前計(jì)算好濾波器權(quán)值系數(shù)即可，不需要對(duì)其權(quán)值實(shí)時(shí)更新，所以主要是對(duì)自適應(yīng)LMS濾波器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

自適應(yīng)濾波器的頂層結(jié)構(gòu)如圖7所示。從圖中可見(jiàn)，提取轉(zhuǎn)子位移模擬信號(hào)（），通過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Analog to Digital，ADC）轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，并作為L(zhǎng)MS濾波器的輸入信號(hào)（）。通過(guò)轉(zhuǎn)速解碼模塊對(duì)輸入的轉(zhuǎn)速信號(hào)進(jìn)行解碼獲得此時(shí)的轉(zhuǎn)速頻率，經(jīng)過(guò)直接數(shù)字頻率合成（Direct Digital Synthesis，DDS）模塊得到與轉(zhuǎn)速相關(guān)的參考信號(hào)（）。模塊輸出則為濾波后的信號(hào)（）。若ADC的采樣頻率與控制器的控制頻率不相同，則還需要進(jìn)行時(shí)間同步的處理。

圖7 自適應(yīng)濾波器的FPGA頂層結(jié)構(gòu)

LMS濾波器計(jì)算單元的結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 LMS濾波器計(jì)算單元結(jié)構(gòu)

圖中

只展示了LMS濾波器的同頻濾波模塊，以同頻的正弦及余弦信號(hào)為參考信號(hào)。而事實(shí)上，同頻濾波模塊與倍頻濾波具有復(fù)用性，只需要輸入倍頻的參考信號(hào)即可進(jìn)行倍頻的濾波。LMS濾波器還具有可疊加性，將輸出（）與同頻信號(hào)濾波器的輸出相加后進(jìn)入權(quán)值更新的環(huán)節(jié)，就相當(dāng)于2個(gè)濾波器在結(jié)構(gòu)上相串聯(lián)，但由于FPGA的并行計(jì)算特性，只會(huì)多出1個(gè)加法的計(jì)算時(shí)間，而不像DSP、Arm等嵌入式控制器，是2個(gè)濾波器計(jì)算時(shí)間之和。并且，當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)為多個(gè)倍頻信號(hào)疊加，相應(yīng)地串聯(lián)多個(gè)對(duì)應(yīng)頻率的濾波器即可。此外，考慮到FPGA的計(jì)算特性，濾波器還采用了參考信號(hào)循環(huán)移位的方法構(gòu)建高階濾波器，利用參考信號(hào)前后時(shí)刻間的關(guān)聯(lián)性使得每個(gè)基本單元具有相互補(bǔ)償作用，可以達(dá)到更好的濾波效果。即使參考信號(hào)輸入不完整，即參考信號(hào)只有正弦或只有余弦部分，也能夠達(dá)到濾波的效果。在同時(shí)采用定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算、主頻皆為150 MHz、均實(shí)現(xiàn)16階LMS濾波器的條件下，各類硬件平臺(tái)的型號(hào)及運(yùn)算時(shí)間見(jiàn)表1。

表1 不同硬件平臺(tái)算法架構(gòu)、型號(hào)及其運(yùn)行時(shí)間

從表中可見(jiàn)，F(xiàn)PGA的運(yùn)行速度約為DSP 28335平臺(tái)的25倍，約為ARM STM32F103平臺(tái)的81倍。由于FPGA的并行架構(gòu)，濾波器的權(quán)值計(jì)算處于并行狀態(tài)，相當(dāng)于16階的權(quán)值計(jì)算與1階的權(quán)值計(jì)算時(shí)間相等。相應(yīng)地，ARM以及DSP均為串行計(jì)算，16階權(quán)值計(jì)算時(shí)間是1階權(quán)值計(jì)算時(shí)間的16倍。此外，F(xiàn)PGA以及DSP均能調(diào)用硬件乘法器，定點(diǎn)運(yùn)算只需要1個(gè)時(shí)鐘周期即可完成，所以二者運(yùn)算速度均遠(yuǎn)超ARM的。同時(shí)，DSP在運(yùn)算時(shí)需要消耗額外的時(shí)間來(lái)等待指令、存取數(shù)據(jù)。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 自適應(yīng)頻率跟蹤振動(dòng)抑制

自適應(yīng)頻率跟蹤振動(dòng)抑制仿真所用參數(shù)有：轉(zhuǎn)子質(zhì)量=4.8 kg；位移剛度系數(shù)k=50000 N/m；電流剛度系數(shù)=125 N/A；傳感器位移-電壓轉(zhuǎn)換系數(shù)=8000 V/m；功放環(huán)節(jié)增益=0.00004 A/V；功放環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)=0.0005，轉(zhuǎn)速=2000 r/min。對(duì)同頻及2倍頻位移成分抑制的仿真結(jié)果如圖9所示。仿真開始時(shí)轉(zhuǎn)子處于懸浮狀態(tài)，第2 s時(shí)啟動(dòng)自適應(yīng)濾波器。

圖9 對(duì)同頻及2倍頻位移成分抑制的仿真結(jié)果

從圖中可見(jiàn)，在第0～2 s時(shí)，由于自適應(yīng)濾波器未開啟，在不平衡位移與倍頻擾動(dòng)位移的共同作用下，轉(zhuǎn)子在軸上振動(dòng)，并且位移信號(hào)的形式是轉(zhuǎn)速同頻與2倍頻信號(hào)疊加。啟用自適應(yīng)濾波器后，轉(zhuǎn)子的位移迅速收斂，并在第4 s時(shí)基本收斂到0，證明了自適應(yīng)濾波器對(duì)于轉(zhuǎn)速同頻及2倍頻位移信號(hào)能夠起到很好的抑制作用。

磁力響應(yīng)的曲線如圖10所示。與位移響應(yīng)類似，在第0～2 s時(shí)，控制器對(duì)轉(zhuǎn)速同頻與2倍頻信號(hào)疊加的位移信號(hào)響應(yīng)，并輸出相應(yīng)控制磁力，自適應(yīng)濾波器開啟后，控制器對(duì)于位移信號(hào)的轉(zhuǎn)速同頻和2倍頻成分不響應(yīng)，此時(shí)磁力曲線迅速收斂。證明了自適應(yīng)濾波器對(duì)于磁力的振動(dòng)能起到抑制的作用。

圖10 磁力響應(yīng)曲線

在轉(zhuǎn)子以恒定加速度加速的過(guò)程中（加速度為5πrad/s），加入自適應(yīng)濾波器后的位移響應(yīng)如圖11所示。

圖11 加速過(guò)程位移響應(yīng)曲線

從圖中可見(jiàn)，位移響應(yīng)分2個(gè)階段：在第0～1 s時(shí)，處于收斂過(guò)程，濾波器的權(quán)值跟隨擾動(dòng)頻率在持續(xù)變化，在自適應(yīng)濾波器的作用下迅速收斂到1個(gè)較小值，約為原幅值的1/10；在第1 s以后，轉(zhuǎn)速在持續(xù)變化，參考信號(hào)的不斷變化使得權(quán)值在短時(shí)間內(nèi)難以快速收斂，不能終止于維納解，即最優(yōu)解，導(dǎo)致抑制效果差于定頻率的效果。

3.2 模態(tài)頻點(diǎn)振動(dòng)抑制

模態(tài)頻點(diǎn)振動(dòng)抑制仿真參數(shù)與頻率跟蹤參數(shù)相同。轉(zhuǎn)速達(dá)到模態(tài)頻點(diǎn)時(shí)，不平衡力是1個(gè)幅度為50 N的正弦信號(hào)形式。若不對(duì)這個(gè)力進(jìn)行控制、補(bǔ)償，位移信號(hào)將會(huì)逐漸發(fā)散。

在反饋回路加入自適應(yīng)同頻放大器后模態(tài)頻點(diǎn)的位移響應(yīng)曲線如圖12所示。從圖中可見(jiàn)，轉(zhuǎn)速同頻的位移響應(yīng)在1 s內(nèi)迅速收斂到0附近。說(shuō)明自適應(yīng)濾波器對(duì)模態(tài)頻點(diǎn)的位移振動(dòng)能起到完全抑制的作用。

圖12 模態(tài)頻點(diǎn)位移響應(yīng)曲線

4 自適應(yīng)振動(dòng)抑制試驗(yàn)

為驗(yàn)證基于FPGA的SLMS算法自適應(yīng)濾波器對(duì)特定頻率成分的抑制效果，進(jìn)行自適應(yīng)振動(dòng)抑制試驗(yàn)。試驗(yàn)相關(guān)參數(shù)包括：FPGA時(shí)鐘頻率為10 MHz，ADC采樣頻率為50 kHz，輸入信號(hào)由1、5 kHz 2個(gè)頻率的正弦信號(hào)構(gòu)成，幅度比值為1∶1，均為1.5 V，試驗(yàn)?zāi)康臑闉V除1 kHz的正弦波干擾，而不破壞5 kHz的正弦波，從而檢驗(yàn)算法的有效性。

輸入信號(hào)電壓隨時(shí)間變化關(guān)系如圖13所示。進(jìn)入自適應(yīng)濾波器后的誤差信號(hào)即所求信號(hào)，對(duì)其做傅里葉變換，其頻譜如圖14所示。

圖13 輸入信號(hào)電壓時(shí)間關(guān)系

圖14 誤差信號(hào)頻譜

從圖中可見(jiàn)，1 kHz頻率幅值減小了將近80%，而5 kHz頻率成分幅值沒(méi)有明顯變化，說(shuō)明基于FPGA的自適應(yīng)濾波器能夠完成濾除特定頻點(diǎn)的任務(wù)，且對(duì)于其阻帶帶寬外的頻率成分不會(huì)產(chǎn)生抑制作用。但由于受FPGA有效字長(zhǎng)效應(yīng)的影響以及ADC精度的限制，不能達(dá)到將特定頻率成分信號(hào)完全濾除的效果。

5 結(jié)論

（1）數(shù)值仿真表明，所設(shè)計(jì)的基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器對(duì)恒定轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子同頻與倍頻振動(dòng)以及模態(tài)振動(dòng)能夠完全抑制，對(duì)加速狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)能夠抑制90%左右。

（2）基于FPGA設(shè)計(jì)的SLMS算法自適應(yīng)濾波器的模塊結(jié)構(gòu)經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)特定頻率成分的抑制效果達(dá)到80%以上。