陳榮泉,陳源福,王清,吳志鋼

(1閩南理工學(xué)院土木工程學(xué)院,福建 泉州 362799;2九江學(xué)院理學(xué)院,江西 九江 332005;3石獅鵬山工貿(mào)學(xué)校汽車維修系,福建 泉州 362799)

0 引言

渦旋具有零中心強(qiáng)度、螺旋相位和攜帶軌道角動(dòng)量等性質(zhì),這些性質(zhì)可能應(yīng)用在光鑷和粒子控制方面。目前,渦旋光束在各種非線性介質(zhì)中的傳播和操縱已經(jīng)得到了廣泛的研究[1]。在實(shí)驗(yàn)方面,文獻(xiàn)[2]介紹了酵母細(xì)胞在渦旋光阱中的旋轉(zhuǎn)角速度可通過(guò)改變激光功率、拓?fù)浜珊筒东@高度的方式來(lái)進(jìn)行調(diào)節(jié)。2012年,Ding等[3]發(fā)現(xiàn)了離軸拉蓋爾-高斯渦旋光束在非局域介質(zhì)中傳輸時(shí)渦旋暗核會(huì)發(fā)生移動(dòng)。2020年,Wang等[4]發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變離軸位移值可實(shí)現(xiàn)虛值渦旋孤子的傳播路徑。2021年,Jiang等[5]發(fā)現(xiàn)帶有雙對(duì)稱離軸渦旋的自聚焦圓貝塞爾高斯渦旋光束在自由空間中傳輸時(shí),可通過(guò)改變渦旋位置使渦旋發(fā)生重疊、碰撞湮滅等現(xiàn)象。

負(fù)折射率介質(zhì)是具有負(fù)介電常數(shù)(ε＜0)和負(fù)磁導(dǎo)率(μ＜0)的光學(xué)材料,電磁波在這種材料中傳播時(shí),其波矢k、電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B方向滿足左手關(guān)系,因此這種介質(zhì)又稱左手材料(LHM)。當(dāng)光從正折射率介質(zhì)入射到負(fù)折射率介質(zhì)中時(shí),折射光線和入射光線位于法線同側(cè)。在負(fù)折射率材料中,電磁波傳播時(shí)會(huì)出現(xiàn)一系列反常性質(zhì),如:逆多普勒(Doppler)效應(yīng)、負(fù)的古斯-漢森(Goos-Hanchen)位移[6]等。文獻(xiàn)[7]證明了負(fù)折射率介質(zhì)[8]可以聚焦光束,在負(fù)折射率介質(zhì)中還存在厄米正弦高斯孤子[9]、余弦高斯孤子[10]、厄米余弦高斯孤子[11]、艾里高斯孤子[12]、拉蓋爾高斯孤子[13]。關(guān)于光束在負(fù)折射介質(zhì)中傳輸?shù)睦碚撗芯恐?文獻(xiàn)[14]運(yùn)用角譜理論,推導(dǎo)出了拉蓋爾-高斯光束在負(fù)折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)存在的反向扭曲力,發(fā)現(xiàn)負(fù)相速度引起波前的反向螺旋,并最終導(dǎo)致光學(xué)渦旋的反向旋轉(zhuǎn)。文獻(xiàn)[15]證明了拉蓋爾-高斯渦旋光束和厄米高斯渦旋光束可以在負(fù)折射率介質(zhì)中傳播,理論上進(jìn)一步證明了負(fù)的折射率導(dǎo)致拉蓋爾-高斯渦旋光束具有負(fù)的瑞利距離和逆Gouy相移[16],而負(fù)的瑞利距離導(dǎo)致光束橫向光場(chǎng)的渦旋方向發(fā)生反轉(zhuǎn)。

然而,到目前為止,大多數(shù)的研究都集中在非局域單個(gè)渦旋孤子或者雙渦旋孤子的研究上。本文揭示了嵌套的多渦旋高斯光束可以在負(fù)非局域非線性介質(zhì)中穩(wěn)定傳播,并且可以通過(guò)調(diào)節(jié)渦旋的離軸位移和拓?fù)浜蓙?lái)控制傳輸軌跡,對(duì)實(shí)現(xiàn)光束在介質(zhì)傳輸中的控制以及微粒的亞接觸操縱有一定的理論參考價(jià)值。

1 理論模型

光波在負(fù)折射率介質(zhì)中傳播時(shí),E、B和k的方向滿足左手螺旋關(guān)系,這與正折射率介質(zhì)中的右手螺旋關(guān)系剛好相反,則光束在負(fù)折射率介質(zhì)中的玻印廷矢量S與波矢k方向相反。光束在負(fù)折射率非局域介質(zhì)中傳播滿足歸一化非線性薛定諤方程[17-20]

多渦旋高斯光波的函數(shù)可以表示為

式中:A為振幅,表示j(j=1,2,3,···)個(gè)多項(xiàng)式連乘,使高斯光束存在j個(gè)渦旋點(diǎn);mj是拓?fù)潆姾芍?aj、bj是離軸參數(shù);波矢k=2π/λn=2πnL/λ,負(fù)介質(zhì)折射率[14]其中εL和μL分別表示相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率;w是的初始寬度;高斯型響應(yīng)函數(shù)可以表示為其中σ是響應(yīng)函數(shù)的特征長(zhǎng)度。光束輸入的初始功率是光強(qiáng)|φ|2的空間積分,可以根據(jù)方程(2)得到初始功率

根據(jù)二階矩的定義,光束在x、y方向上的束寬分別為wx、wy,光束的統(tǒng)計(jì)束寬為wm,軌道角動(dòng)量(OAM)M及非局域程度δ可分別表示為[17]

式中

若拓?fù)浜蒻j不確定時(shí),初始功率和軌道角動(dòng)量很難得到解析解。當(dāng)拓?fù)浜啥枷嗟惹襪j=1、渦旋個(gè)數(shù)為3(即j=1,2,3)時(shí),把(2)式分別代入(3)、(4)式可得到初始功率P0和軌道角動(dòng)量M的表達(dá)式

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

為了方便討論,響應(yīng)函數(shù)R中的特征長(zhǎng)度和初始束寬分別取為σ=20和w=1。采用分步傅里葉法數(shù)值模擬多渦旋光束在負(fù)折射率非局域介質(zhì)中的傳播。在光束的傳輸過(guò)程中,當(dāng)多渦旋點(diǎn)到中心的距離且各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜蒻1=m2=···=mj=1時(shí),模擬結(jié)果如圖1所示。由圖1可知,當(dāng)各渦旋的拓?fù)浜蒻j=1時(shí),統(tǒng)計(jì)束寬隨渦旋個(gè)數(shù)j增大而增大;多渦旋點(diǎn)以原點(diǎn)o為中心,呈正多邊形均勻分布,光束的光強(qiáng)分布類似旋轉(zhuǎn)的車輪,并以順時(shí)針旋轉(zhuǎn);渦旋奇異點(diǎn)(光強(qiáng)的點(diǎn))與渦旋個(gè)數(shù)j相等。

圖1 多渦旋-高斯光束的二維強(qiáng)度分布(第一行)與渦旋點(diǎn)分布(第二行)。(a1)j=3,r=1.2;(b1)j=4,r=1.3;(c1)j=5,r=1.4;(d1)j=6,r=1.5Fig.1 2D intensity distribution(the first row)and vortex point distribution(the second row).(a1)j=3,r=1.2;(b1)j=4,r=1.3;(c1)j=5;r=1.4;(d1)j=6,r=1.5

圖2為多渦旋高斯光束的三維模結(jié)構(gòu)分布和相位結(jié)構(gòu),由圖2可知,多渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)均勻分布,相結(jié)構(gòu)形狀類似風(fēng)車的“葉片”,每一個(gè)渦旋點(diǎn)會(huì)引起一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的“葉片”,“葉片”的個(gè)數(shù)跟多渦旋點(diǎn)相等,相結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性易于信息的存儲(chǔ)。

圖2 多渦旋高斯光束的三維模結(jié)構(gòu)分布(第一行)和相結(jié)構(gòu)(第二行),選擇參數(shù)為w=1,(a)j=3,(b)j=4,(c)j=5,(d)j=6,其他參數(shù)與圖1相同F(xiàn)ig.2 3D intensity distribution of the multi-vortex Gaussian beam(the first row)and the phase structure(the second row),the selection parameters are w=1,(a)j=3,(b)j=4,(c)j=5,(d)j=6,and other parameters are the same as those in Fig.1

圖3為不同方向上光強(qiáng)的縱向立體截面(廊闊),盡管渦旋個(gè)數(shù)j不同,由圖3(a)可知,光強(qiáng)在x軸方向上的分布關(guān)于中心軸(x=0)對(duì)稱的,光強(qiáng)在渦旋點(diǎn)位置處分布出現(xiàn)“凹陷”;由圖3(b)可知,光強(qiáng)在y軸方向上的分布在中心軸(y=0)處不對(duì)稱的。因此,光強(qiáng)的廊闊在x和y軸方向上的分布是不一樣的,說(shuō)明孤子在不同方向上會(huì)呈現(xiàn)出不同的結(jié)構(gòu)。

圖3 不同渦旋個(gè)數(shù)的高斯光束在(a)x和(b)y方向的歸一化光強(qiáng)分布,參數(shù)與圖2相同F(xiàn)ig.3 The normalized light intensity distribution of Gaussian beams with different numbers of vortices in the(a)x and(b)y directions,and the parameters are the same as those in Fig.2

2.1 多渦旋高斯光孤子的傳輸特性

簡(jiǎn)單起見(jiàn),以三個(gè)渦旋的光束為例進(jìn)行分析。圖4為三個(gè)渦旋的光束沿著z軸方向的傳輸情況,由圖4可知,若三個(gè)渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)分布不均勻時(shí),高斯渦旋光束出現(xiàn)傾斜傳輸。當(dāng)各渦旋點(diǎn)的虛部前符號(hào)為正,多渦旋高斯光束旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?當(dāng)各渦旋點(diǎn)的虛部前符號(hào)為負(fù),光束旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。這一現(xiàn)象與高斯渦旋光束在正折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)的渦旋方向剛好相反[15]。

圖4 三維傳輸圖形。(a)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1;a3=b3=-0.8,渦旋點(diǎn)的虛部前符號(hào)取正;(b)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1,a3=b3=-0.8,渦旋點(diǎn)的虛部前符號(hào)取負(fù)Fig.4 Three-dimensional transmission graphics.(a)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1;a3=b3=-0.8,and the sign before the imaginary part of the vortex point is positive;(b)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1,a3=b3=-0.8,and the sign before the imaginary part of the vortex point is negative

圖5為光束在介質(zhì)中傳輸相等距離(z=6.3)時(shí)光束位置的移動(dòng)情況,由圖5(a)可知,當(dāng)渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)均勻分布、各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜上嗟?即m1=m2=m3)時(shí),光束的統(tǒng)計(jì)束寬和傳輸方向保持不變。由圖5(b)～(d)可知,當(dāng)渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)均勻分布、各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜刹幌嗟葧r(shí),發(fā)現(xiàn)光束在傳輸過(guò)程中暗核發(fā)生移動(dòng),光束整體出現(xiàn)傾斜傳輸,但是光束統(tǒng)計(jì)束寬和旋轉(zhuǎn)周期保持不變。隨著拓?fù)浜蒻的增大,光束的臨界光強(qiáng)P和軌道角動(dòng)量M都要增大。

圖5 渦旋點(diǎn)的不同拓?fù)浜蒻對(duì)光束傳輸?shù)挠绊?渦旋位置為a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6。(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=1,m3=2,P=262500,M=814760;(c)m1=m2=1,m3=3,P=272420,M=1097000;(d)m1=1,m2=2,m3=3,P=275280,M=1424800Fig.5 Influence of the different topological charge m of the vortex point on the beam propagation.The vortex position is a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6;(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=1,m3=2,P=262500,M=814760;(c)m1=m2=1,m3=3,P=272420,M=1097000;(d)m1=1,m2=2,m3=3,P=275280,M=1424800

圖6為渦旋光在z方向上傳輸?shù)娜S立體結(jié)構(gòu)圖,由圖6可知,當(dāng)三個(gè)渦旋的拓?fù)浜刹幌嗟葧r(shí)光束傳輸出現(xiàn)傾斜程度不同,此現(xiàn)象與渦旋橢圓復(fù)合Airy孤子[17]在非局域介質(zhì)中斜傳輸相似;當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),多渦旋光束在負(fù)折射率介質(zhì)中可以保持軸向方向穩(wěn)定傳輸。

圖6 光束的三維傳輸情況,參數(shù)同圖5Fig.6 Three-dimensional transmission of the light beam.The parameters are the same as those in Fig.5

圖7為光束的統(tǒng)計(jì)束寬wm隨傳播距離z的變化情況,由圖7可知,當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點(diǎn)均勻分布、各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜蒻j相等且都增大時(shí),要形成穩(wěn)定光孤子,對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)束寬wm和臨界光強(qiáng)P都必須增大。

圖7 統(tǒng)計(jì)束寬變化。a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000;(c)m1=m2=m3=3,P=277030,M=2407500Fig.7 Beam width change.a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000;(c)m1=m2=m3=3,P=277030,M=2407500

圖8為光強(qiáng)的分布、相結(jié)構(gòu)和能流圖,由圖8(a)、(c)可知,當(dāng)渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)均勻分布、各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜蒻相等且增大時(shí),光束的軌道角動(dòng)量增大且能流密度盡量遠(yuǎn)離原點(diǎn);拓?fù)浜蒻j越大,渦旋點(diǎn)的暗核(光強(qiáng)為零)越大;當(dāng)能流關(guān)于原點(diǎn)均勻分布時(shí),光場(chǎng)能量和軌道角動(dòng)量關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,沒(méi)有哪個(gè)方向存在優(yōu)勢(shì),則光束可以保持軸線方向穩(wěn)定傳輸。由圖8(b)可知,即使三個(gè)渦旋點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)均勻分布,但各渦旋點(diǎn)的拓?fù)浜蒻j不同,由于能流密度關(guān)于原點(diǎn)分布不均勻,致使光束的軌道角動(dòng)量和光強(qiáng)分布不均勻,進(jìn)而會(huì)使光束出現(xiàn)偏離軸線方向傳輸?shù)默F(xiàn)象。

圖8 光束的性能結(jié)構(gòu)。第一行:光強(qiáng)大小分布;第二行:相結(jié)構(gòu);第三行:能流圖。渦旋點(diǎn)位置:a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6。(a)第一列,m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)第二列,m1=m2=1,m3=2,P=262530,M=814760;(c)第三列,m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000Fig.8 Performance structure of the beam.The first line:light intensity and small distribution;The second line:phase structure;The third line:energy flow.Vortex point position:a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)The first row,m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)The second row,m1=m2=1,m3=2,P=262530,M=814760;(c)The third row,m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000

圖9(a)為角動(dòng)量的解析解和數(shù)值解的比較,圖9(b)、(c)為臨界功率和角動(dòng)量分別與拓?fù)浜蒻的關(guān)系,由圖9(a)可知,(10)式得到的OAM解析解和數(shù)值解基本吻合。由圖9(b)、(c)可知,要形成穩(wěn)定的渦旋孤子,所需要的臨界功率和軌道角動(dòng)量會(huì)隨拓?fù)浜蒻j的增大而增大,理論上軌道角動(dòng)量越大的光束可以編碼的信息越多。當(dāng)mj=0時(shí),軌道角動(dòng)量變?yōu)?,光束在傳輸過(guò)程中將不再出現(xiàn)旋轉(zhuǎn),多渦旋高斯光束退化為一般的高斯光束。

圖9 角動(dòng)量和臨界功率。(a)角動(dòng)量解析解(紅點(diǎn)劃線)和角動(dòng)量數(shù)值解(藍(lán)虛線)分別與渦旋位置的關(guān)系;(b)臨界功率與m的關(guān)系;(c)角動(dòng)量數(shù)值解與m的關(guān)系Fig.9 Angular momentum and critical power.(a)The angular momentum analytical solution(red dotted line)and angular momentum numerical solution(blue dotted line)versus vortex position;(b)Critical power versus m;(c)Angular momentum numerical solution versus m

2.2 穩(wěn)定性分析

圖10為光束傳輸一個(gè)周期距離后的光強(qiáng)分布,由圖10可知,當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱時(shí),光束在x、y方向上的截面形狀不同。光束傳輸一個(gè)周期后,x、y方向上的光強(qiáng)分布與原始位置的光強(qiáng)分布一致,只是在各自方向上移動(dòng)了一段距離,離軸不對(duì)稱多渦旋高斯光束的傳輸是穩(wěn)定的。

為了驗(yàn)證孤子的穩(wěn)定性,可以考慮隨機(jī)擾動(dòng)的影響。給圖5中的孤子在傳輸中增加一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)[21],可表示為A0[H(x,y)+βB(x,y)],其中:A0代表振幅;H(x,y)代表無(wú)微擾時(shí)的孤子解;B(x,y)是微擾項(xiàng);β是微擾系數(shù),隨機(jī)微擾系數(shù)都很小,本研究取β=0.05進(jìn)行模擬驗(yàn)證。圖11為添加隨機(jī)擾動(dòng)后光束的傳輸情況,此模擬結(jié)果表明多渦旋高斯型孤子在隨機(jī)擾動(dòng)下可以在負(fù)折射率介質(zhì)中穩(wěn)定地傳播,只是傳輸方向受到拓?fù)浜蒻j的影響。

圖11 負(fù)折射率非局域介質(zhì)中加噪的多渦旋高斯孤子的演化,參數(shù)選擇同圖5Fig.11 Evolution of the noisy multi-vortex Gaussian soliton in the negative refractive index nonlocal medium.The parameters are the same as those in Fig.5

3 結(jié)論

運(yùn)用分步傅里葉法數(shù)值模擬了多渦旋高斯光束在負(fù)折射率非局域非線性介質(zhì)中保持穩(wěn)定傳輸,發(fā)現(xiàn)渦旋位置rj和拓?fù)浜蒻j可以改變光束的傳輸方向。結(jié)果表明:當(dāng)mj=1時(shí),通過(guò)解析法可得到光束初始功率和軌道角動(dòng)量的解析表達(dá)式,分析發(fā)現(xiàn)軌道角動(dòng)量的解析解和數(shù)值解相吻合;并得到軌道角動(dòng)量和統(tǒng)計(jì)束寬wm受到拓?fù)浜蒻j和渦旋位置變化的影響;盡管渦旋位置rj不同或者拓?fù)浜蒻j不同,但是形成穩(wěn)定光孤子所對(duì)應(yīng)的渦旋周期是相同的。通過(guò)漩渦點(diǎn)虛部的符號(hào)改變,光孤子可以實(shí)現(xiàn)逆時(shí)針(或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn),這與正折射率中渦旋光孤子的旋轉(zhuǎn)方向相反;離軸渦旋的位置rj和拓?fù)浜蒻j決定了光束傳輸?shù)膬A斜程度、光強(qiáng)和相位分布,因此渦旋點(diǎn)位置、渦旋點(diǎn)個(gè)數(shù)j和拓?fù)浜蒻j增大可以使光束攜帶[22,23]更多信息。相比旋轉(zhuǎn)橢圓渦旋復(fù)艾里孤子[17],離軸多渦旋光束表現(xiàn)出更為復(fù)雜的相結(jié)構(gòu)、更大的軌道角動(dòng)量和臨界光強(qiáng)。另外,對(duì)渦旋光捕獲后的粒子或者細(xì)胞實(shí)現(xiàn)某個(gè)方向上移動(dòng)的操控是一個(gè)前沿問(wèn)題。渦旋光束對(duì)微粒(或者細(xì)胞)可以進(jìn)行捕獲[2],把渦旋光束的軌道角動(dòng)量傳遞給微粒,驅(qū)動(dòng)微粒與多渦旋光束一起傾斜移動(dòng),類似光鑷的效果。