蔡玉梅，王玉玉

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 引言和主要結(jié)果

同倫群是拓?fù)淇臻g的幾個(gè)基本的代數(shù)不變量之一.相較于同調(diào)群，同倫群的計(jì)算十分困難，也成為代數(shù)拓?fù)涞闹匾獑栴}之一.對于簡單的不可縮空間球面，對其同倫群，特別是穩(wěn)定同倫群的研究具有重要意義，近幾年的相關(guān)成果參見文獻(xiàn)[1-4].

記A為模p的Steenrod代數(shù)，P為由所有A的循環(huán)縮減冪pi（i≥0）生成的子代數(shù).對于連通有限型譜X、Y，存在Adams譜序列{Ers，t，dr}[5]，滿足：

其中E2s，t是A的上同調(diào).當(dāng)X為球譜S、Moore譜M、Toda-Smith譜V（1）時(shí)，πt-s（X）p分別為S、M、V（1）穩(wěn)定同倫群的p局部.在利用Adams譜序列求解同倫群的過程中，需計(jì)算有關(guān)ExtAs，t（H*（X），H*（Y））的結(jié)果，本文利用May譜序列并結(jié)合譜的上纖維序列導(dǎo)出Ext群的正合序列來解決.

Toda-Smith譜V（n）的Zp上同調(diào)群為

其中：Qi（i=0，1，…，n）為模p Steenrod代數(shù)A的Milnor基元；E[]為外代數(shù)；Q（2n+1）為2n+1維的Zp向量空間，且其Zp基為

由文獻(xiàn)[6]可知，V（n）是可實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)n=0、1、2、3，且p＞2n時(shí)，存在上纖維序列：

其中：V（-1）=S；α0、α1、α2、α3分別為p、α、β、γ.由于存在短正合序列：

所以上面的上纖維序列可以導(dǎo)出Zp上同調(diào)群的短正合序列：

進(jìn)一步可導(dǎo)出Ext群的長正合序列：

綜上可見，Toda-Smith譜與球譜S通過一些上纖維化存在密切聯(lián)系.因此，它們的同倫群中元素的存在性也相互關(guān)聯(lián).本文發(fā)掘了譜V（1）同倫群中的一個(gè)非平凡元素，它在Adams譜序列中由h2表示，與文獻(xiàn)[7]不同，本文利用代數(shù)和數(shù)論的方法給出了h2的收斂性，該方法更具可操作性和應(yīng)用的廣泛性.

ExtAs，t（Zp，Zp）（s=1、2、3）的Zp基的情況見文獻(xiàn)[8-9]，其中

本文的主要結(jié)果如下.

定理令素?cái)?shù)p≥7，則元素

在Adams譜序列中是永久循環(huán)的，且收斂到π*V（1）中的非零元.

2 Ext群的一些結(jié)果

命題1[10]當(dāng)t-s＜2p4-1時(shí)，ExtAs，t（H*V（3），Zp）?ExtPs，t（Zp，Zp）.

推論Zp），r≥2.

命 題2[6]Rank（ExtPs，t（Zp，Zp））≤Rank[P（bji）?H*，*（U（L））]s，t，其中：[P（bji）?H*，*（U（L））]s，t為May譜序列的E2-項(xiàng)，P（bji）為多項(xiàng)式代數(shù).

命題3當(dāng)p≥7，r≥2時(shí)，

證明由推論可得

對于加法有

且Rji和bji的雙次數(shù)分別為（1，2（pi+j-pi））和（2，2（pi+j+1-pi+1））.在May譜序列中，b10收斂到b0∈ExtP2，pq（Zp，Zp），b10的全次數(shù)為|b10|=pq-2.將[P（bji）?H*，*（U（L））]s，t中全次數(shù)不大于p2q-2的生成元λ，及其全次數(shù)|λ|（mod pq-2）的余數(shù)列出，見表1.

表1 生成元λ及其全次數(shù)|λ|（mod pq-2）的余數(shù)Tab.1 Generator λ and the remainder of total degree|λ|（mod pq-2）

由于|（i3）*（i2）*（x）|=p2q-2≡q（mod pq-2），由表1可知，在May譜序列的E2-項(xiàng)[P（bji）?H*，*（U（L））]s，t中存在滿足條件的元λ可能為b11，其全次數(shù)為p2q-2，雙次數(shù)為（2，p2q），即當(dāng)r=1時(shí)，（i3）*（i2）*（x）=b11，與r≥2不符，故排除.此時(shí)有0，所以（i3）*（i2）*（x）=0，再由長正合序列：

可知（i2）*（x）=（α3）*（x1），其中

所以

對于zk，有

其全次數(shù)為

（1）當(dāng)k=1時(shí)，Q=-2（mod pq-2），由May譜序列的E2-項(xiàng)的各個(gè)生成元及其次數(shù)列表可知滿足此條件的元不存在，故（i3）*（i2）*（zk）=0.

（2）當(dāng)1＜k＜p-2時(shí)，

Q=（1+p-k）q-（2k+2）（mod pq-2）或者

Q=（p-k）q+（q-2k-2）（mod pq-2）滿足前者顯然無對應(yīng)元.對于后者，可能存在對應(yīng)元k0h0b11，但其全次數(shù)為p2q+2pq+2q-5，大于（i3）*（i2）*（zk）的全次數(shù)，所以這種情形無對應(yīng)元，故（i3）*（i2）*（zk）=0.

（3）當(dāng)k=p-2+r時(shí)，其中：r=0、1，Q=（2-r）q-2r（mod pq-2）.

①當(dāng)r=0時(shí)，Q=2q（mod pq-2），由表1知λ可以為g0，其全次數(shù)為pq+2q-2，與（i3）*（i2）*（zk）的全次數(shù)不相等，故（i3）*（i2）*（zk）=0.

②當(dāng)r=1時(shí)，Q=q-2（mod pq-2），此時(shí)沒有滿足與其次數(shù)對應(yīng)的元，因此（i3）*（i2）*（zk）=0.

（4）當(dāng)k＞p-1時(shí)，|（i3）*（i2）*（zk）|＜0，易知（i3）*（i2）*（zk）=0.

綜上可得

由正合性，存在

滿足（α3）*（y）=（i2）*（zk），但此時(shí)

所以y=0，故（i2）*（zk）=（α3）*（y）=0.因此，存在

滿足（α2）*（zk+1）=zk，即

歸納完成.

取k=p+1，則

命題4當(dāng)p≥7，r≥2時(shí)

證明當(dāng)r≥2時(shí)，命題顯然成立.

3 定理的證明

考慮Adams譜序列，其E2-項(xiàng)

微分為dr：Ers，t→Ers+r，t+r-1.由命題3有

在映射下的像為（i1i0）*h2，則r≥2.因此

在Adams譜序列中是永久循環(huán)的.由命題4有