李貽材

(中鐵十一局集團(tuán)第一工程有限公司， 湖北 襄陽(yáng) 441104)

磁浮列車 - 橋梁耦合振動(dòng)系統(tǒng)中包含車輛子系統(tǒng)、橋梁子系統(tǒng)、控制子系統(tǒng)和軌道不平順，是一個(gè)電能、機(jī)械能相互轉(zhuǎn)換的復(fù)雜系統(tǒng)。國(guó)內(nèi)外對(duì)磁浮車 - 橋耦合振動(dòng)特性進(jìn)行了大量研究。Zhao等[1]對(duì)高速磁懸浮列車隨機(jī)振動(dòng)和行走質(zhì)量進(jìn)行了分析。Han等[2]研究了中低速磁懸浮列車橋耦合振動(dòng)。武建軍等[3]分析了EMS磁浮列車/多跨簡(jiǎn)支梁橋梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。滕延鋒等[4,5]對(duì)磁懸浮列車在三跨連續(xù)梁上通過(guò)時(shí)軌道的振動(dòng)反應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值仿真。Yau[6～8]對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PI控制下的簡(jiǎn)化磁懸列車橋耦合振動(dòng)進(jìn)行了研究。Kong等[9]對(duì)比了懸浮列車分別采用反饋控制、線性二次高斯控制(LQG)和滑?？刂?SMC)的車橋振動(dòng)。時(shí)瑾等[10]探討了隨機(jī)不平順激勵(lì)下磁浮車輛軌道梁的動(dòng)力響應(yīng)。周勁松等[11]利用虛擬激勵(lì)分析了磁浮車輛運(yùn)行平穩(wěn)性。

以上文獻(xiàn)中分別對(duì)不同系列磁浮列車、不同類型橋梁、不同控制方法和軌道不平順下的車橋耦合振動(dòng)進(jìn)行了研究，但都沒(méi)有涉及促使磁懸浮列車產(chǎn)生共振的行車速度和自振頻率，以及簡(jiǎn)支梁橋?qū)Υ鸥×熊嚨募?lì)頻率。為此，本文從磁浮列車 - 橋耦合振動(dòng)出發(fā)，自編程序?qū)MS(Electromagnetic Suspension)型高速磁浮列車駛過(guò)多跨簡(jiǎn)支梁橋過(guò)程中多跨簡(jiǎn)支梁橋梁的激勵(lì)頻率及車體和懸浮架的自振頻率和共振速度進(jìn)行詳細(xì)分析。

1 磁浮列車 - 橋耦合振動(dòng)模型及動(dòng)力方程

EMS型磁浮列車是依靠固定在懸浮架上的電磁鐵與軌道上永磁體之間產(chǎn)生吸力而懸浮車體，分為中低速磁浮列車和和高速磁浮列車。以德國(guó)高速磁浮列車TR06系列為研究對(duì)象，單節(jié)列車可簡(jiǎn)化成一個(gè)車體和四個(gè)懸浮架(圖1)。車體與懸浮架通過(guò)彈簧阻尼器連接，懸浮架與橋梁之間的電磁力簡(jiǎn)化成4個(gè)集中力，能夠滿足文獻(xiàn)[12]中規(guī)定的均布電磁力數(shù)量假定的精度要求。

圖1 高速磁浮列車簡(jiǎn)化模型

1.1 電磁力方程

電磁力與電流和氣隙成非線性關(guān)系，電磁力的表達(dá)式為[9]：

(1)

式中：Fi為第i個(gè)電磁力；μ為磁導(dǎo)率；A為間隙處電磁鐵鐵芯的橫截面積；N是電磁鐵線圈的匝數(shù)；hi是懸浮架上電磁鐵與軌道之間的氣隙；ii為控制電流，下標(biāo)i的取值為1～16。

任何非線性都存在一個(gè)平衡點(diǎn)，對(duì)非線性電磁力在平衡點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行線性化處理，考慮一階電流項(xiàng)和氣隙項(xiàng)，即：

Fi=F0+ΔFi

(2)

(3)

(4)

電壓、電流之間的關(guān)系式可表示[13]：

(5)

式(2)～(5)中：F0為平衡點(diǎn)處的電磁力；ΔFi為動(dòng)態(tài)電磁力；h0為額定氣隙；i0為額定電流；M為懸浮列車總體質(zhì)量；g為重力加速度；R為線圈電阻；Δii為動(dòng)態(tài)輸出的電流；Δhi為電磁力所對(duì)應(yīng)的懸浮架與橋梁之間氣隙；ΔUi為控制反饋電壓。

控制電壓ΔUi采用懸浮架加速度、懸浮架速度和氣隙間的相對(duì)變化位移反饋，即：

(6)

Δhi=yei-yqi

(7)

表1 控制系統(tǒng)參數(shù)

(8)

1.2 高速磁浮列車模型及動(dòng)力方程

假定車體和懸浮架為剛體，每個(gè)剛體考慮沉浮和點(diǎn)頭兩個(gè)自由度，一個(gè)車體和4個(gè)剛體共有10個(gè)自由度。車輛的位移向量為Xm={yc,θc,yb1,θb1,yb2,θb2,yb3,θb3,yb4,θb4}，單節(jié)磁浮列車的動(dòng)力方程表示如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:下標(biāo)j取值為1～4;mc和mb分別為車體和懸浮架的質(zhì)量；Ic和Ib分別為車體和懸浮架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；yc和yb j分別為車體和懸浮架的豎向位移；θc和θb j分別為車體和懸浮架的轉(zhuǎn)角；ks和cs分別對(duì)應(yīng)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)；c0為彈簧間距的一半；r0為電磁力間距的一半;b0為相鄰電磁力間距的一半。對(duì)式(9)～(12)中的元素采用“對(duì)號(hào)入座”法形成列車的總體動(dòng)力方程如下：

(13)

式中:Mm，Cm和Km分別為磁浮列車的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ΔFe為動(dòng)態(tài)電磁力列向量。高速磁懸浮列車主要參數(shù)如表2所示[1]。

表2 高速磁懸浮列車參數(shù)

1.3 簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力方程

由于磁浮軌道剛度遠(yuǎn)小于簡(jiǎn)支梁橋的剛度，不考慮磁浮線路軌道的影響，把軌道梁簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁。簡(jiǎn)支橋梁的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為：

(14)

式中:EI為抗彎剛度；Cv為橋梁阻尼；mv為橋梁線密度；Fe為作用在橋梁上的電磁力；yq為橋梁豎向位移。

式(14)可通過(guò)陣型疊加法求解，由于簡(jiǎn)支梁高階陣型對(duì)橋梁的豎向振動(dòng)響應(yīng)影響不大，僅考慮前5階陣型，橋梁豎向位移可表示為：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:L為簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)度；ξ為橋梁阻尼系數(shù)；ωn為橋梁第n階固有頻率；Xn為橋梁位移的廣義坐標(biāo)；φn為橋梁的第n階陣型。橋梁參數(shù)如表3所示[1]。為方便計(jì)算，公式(16)的矩陣形式可表示為：

表3 橋梁參數(shù)

(20)

2 磁懸浮列車 - 橋耦合計(jì)算程序

懸浮列車 - 橋耦合計(jì)算程序主要分為列車、橋懸浮控制系統(tǒng)和橋梁3個(gè)子系統(tǒng)，懸浮控制系統(tǒng)產(chǎn)生的電磁力同時(shí)作用在列車和橋梁上。3個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力方程分別見(jiàn)公式(8)，(13)，(20)，采用顯式的四階龍格 - 庫(kù)塔方法進(jìn)行求解，無(wú)需任何迭代。自編計(jì)算程序的基本流程如圖2。程序計(jì)算過(guò)程中，率先在數(shù)據(jù)文件中輸入計(jì)算步長(zhǎng)、行車速度、反饋控制參數(shù)等基本參數(shù)，再將已經(jīng)準(zhǔn)備好的橋梁質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣導(dǎo)入計(jì)算主程序。然后采用龍格庫(kù)塔方法對(duì)動(dòng)力方程(車輛結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程、控制電流方程和橋梁動(dòng)力方程)進(jìn)行求解，得到當(dāng)前時(shí)間步的車輛、電流和橋梁的動(dòng)力響應(yīng)，并作為下一時(shí)間步的初始條件，依次計(jì)算直至計(jì)算時(shí)間完成。最后導(dǎo)出計(jì)算結(jié)果并保存。

圖2 動(dòng)力計(jì)算流程

3 磁浮列車 - 橋梁耦合計(jì)算程序正確性的驗(yàn)證

高速磁浮列車TR06以速度400 km/h通過(guò)多跨長(zhǎng)度為24.768 m的簡(jiǎn)支梁橋，計(jì)算參數(shù)如表1，2。不同工況下車體振動(dòng)穩(wěn)定后的加速度曲線如圖3所示，簡(jiǎn)支梁橋跨中位移曲線如圖4。彈簧和阻尼替代電磁力的車橋耦合振動(dòng)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1]相同，說(shuō)明程序在此工況中對(duì)于計(jì)算磁浮列車/橋梁耦合振動(dòng)的正確性。當(dāng)選取不同反饋控制參數(shù)，車體和橋梁振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果能與彈簧阻尼代替電磁力的車橋耦合振動(dòng)結(jié)果相近。

圖3 車體振動(dòng)穩(wěn)定后的加速度隨時(shí)間的變化曲線

圖4 橋梁跨中位移隨時(shí)間的變化曲線

4 高速懸浮列車 - 橋梁耦合振動(dòng)中磁浮列車共振分析

4.1 磁浮列車振動(dòng)響應(yīng)頻率分析

高速磁浮列車TR06以100 km/h的速度通過(guò)連續(xù)多座長(zhǎng)度為24.768 m簡(jiǎn)支梁橋，車體和懸浮架豎向振動(dòng)如圖5所示，頻譜分析如圖6(圖中D為車輛行駛距離)。懸浮架1和懸浮架4的振動(dòng)幅值以及懸浮架2和懸浮架3的振動(dòng)幅值都相差不大，其中車體和懸浮架振動(dòng)響應(yīng)穩(wěn)定后做頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖6為了使振幅顯示清楚，橫坐標(biāo)頻率僅到3 Hz，3 Hz內(nèi)存在兩個(gè)主頻，分別是1.12,2.24 Hz，2.24 Hz對(duì)應(yīng)的振幅遠(yuǎn)比1.12 Hz小。磁浮列車 - 橋豎向耦合振動(dòng)過(guò)程中，車輛、橋梁和控制力三者之間相互關(guān)聯(lián)、相互影響，橋梁和懸浮架動(dòng)力響應(yīng)時(shí)刻的改變促使氣隙發(fā)生變化，從而改變電磁力的大小，進(jìn)而影響橋梁和懸浮列車的振動(dòng)狀態(tài)。在車輛、橋梁和電磁力這三者相互變化過(guò)程中，互相改變的只是振幅和相位，頻率并沒(méi)有變化(圖6)。

圖5 懸浮列車經(jīng)過(guò)不同橋梁時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)

圖6 懸浮列車振幅隨頻率的變化曲線

4.2 磁浮列車振動(dòng)穩(wěn)定后的響應(yīng)頻率計(jì)算

磁浮列車車體和懸浮架動(dòng)力響應(yīng)穩(wěn)定后的頻率相同，其車體最大振幅對(duì)應(yīng)的頻率隨速度的變化如圖7。圖中散點(diǎn)擬合函數(shù)的比例系數(shù)為0.011，線性相關(guān)度的平方0.9999近似于1，說(shuō)明車體和懸浮架振動(dòng)穩(wěn)定后的頻率與懸浮列車速度完全成正比。3.6倍于簡(jiǎn)支梁橋長(zhǎng)度24.768 m的倒數(shù)為0.0112，這與正比例系數(shù)0.011十分接近了。因此，車體和懸浮架的穩(wěn)定后的振動(dòng)頻率數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

圖7 車體振動(dòng)穩(wěn)定后的響應(yīng)頻率隨車速的變化曲線

(21)

式中：v為列車行駛速度；L為簡(jiǎn)支梁橋長(zhǎng)度；f為橋梁對(duì)懸浮列車的激勵(lì)頻率。由于磁浮列車懸浮架與橋梁之間的氣隙總是趨向于額定氣隙10 mm，因而懸浮架下電磁力對(duì)應(yīng)橋梁位置的橋梁豎向位移影響著懸浮列車的動(dòng)力響應(yīng)，磁浮列車跟隨著橋梁上下振動(dòng)。當(dāng)列車以速度v駛過(guò)多座長(zhǎng)度為L(zhǎng)的相同橋梁時(shí)，電磁力對(duì)應(yīng)橋梁位置的橋梁豎向振動(dòng)周期為3.6L/v，進(jìn)而導(dǎo)致磁浮列車車體和懸浮架響應(yīng)穩(wěn)定后的振動(dòng)頻率為f。因此，磁懸浮車橋耦合振動(dòng)過(guò)程中，列車所受橋梁動(dòng)力響應(yīng)的激勵(lì)頻率為f。此結(jié)論與文獻(xiàn)[15]中提出的車橋耦合共振理論完全相符，這也說(shuō)明磁浮車 - 橋振動(dòng)中也存在共振現(xiàn)象。

4.3 懸浮列車自振頻率和共振速度分析

不考慮橋梁的影響，懸浮列車在位移脈沖激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)頻譜分析如圖8，其中脈沖激勵(lì)函數(shù)的高度為1 m，寬度為10-6s。由于脈沖激勵(lì)時(shí)間足夠短，列車車體和懸浮架做衰減的自由振動(dòng)，可得到車體的自振頻率為0.72 Hz，4個(gè)懸浮架的自振頻率都為3.95 Hz。由式(22)，(23)計(jì)算可得車體的共振速度為63.8 km/h，懸浮架的共振速度為352.2 km/h。

圖8 脈沖激勵(lì)下懸浮列車振幅隨頻率的變化曲線

vc=3.6Lfc=63.8 km/h

(22)

vb=3.6Lfb=352.2 km/h

(23)

式中:vc，vb分別為懸浮列車車體和懸浮架的共振速度；fc，fb分別為懸浮列車車體和懸浮架的自振頻率。

4.4 懸浮列車共振速度正確性的驗(yàn)證

懸浮列車車體和懸浮架振動(dòng)穩(wěn)定后振幅隨速度變化曲線如圖9。車體的動(dòng)力響應(yīng)普遍比懸浮架小，車體與懸浮架之間的彈簧阻尼能做到很好的減振，以保證乘客的舒適性。車體和懸浮架的振幅先增大后減少，達(dá)到最大值的速度不一致，車體在速度為63.8 km/h時(shí)振幅最大，懸浮架在速度為352.2 km/h時(shí)振幅最大，這與通過(guò)車體自振頻率求解的共振速度相符合，說(shuō)明通過(guò)公式(19)轉(zhuǎn)換求解共振速度的正確性。高速磁浮列車在低速行駛時(shí)應(yīng)盡量避開(kāi)車體的共振速度63.8 km/h，高速行駛時(shí)應(yīng)盡量避開(kāi)懸浮架的共振速度352.2 km/h。

圖9 懸浮列車振動(dòng)穩(wěn)定后的響應(yīng)幅值隨速度的變化曲線

5 結(jié) 論

通過(guò)自編程序，本文建立了磁浮列車 - 橋梁耦合振動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上分析了橋梁對(duì)磁浮列車產(chǎn)生的激勵(lì)頻率。通過(guò)本文研究可得到如下結(jié)論：

(2)采用脈沖函數(shù)作為磁浮列車和控制力的外界激勵(lì)輸入，數(shù)值模擬求解了磁浮列車車體和懸浮架的自振頻率，其中車體的自振頻率為0.7155 Hz，懸浮架的自振頻率都為3.95 Hz。

(3)利用頻率與行車速度和橋梁長(zhǎng)度的關(guān)系式換算出懸浮列車車體和懸浮架的共振速度分別為63.8，352.2 km/h，懸浮列車車體和懸浮架振動(dòng)穩(wěn)定后的振幅隨行車速度增大先增大后減少，其振幅的最大值都在共振速度處。