劉行 徐帥 高金柱 何濟洲

(南昌大學物理系,南昌 330031)

本文提出了一種具有三個電容耦合量子點的四端混合驅(qū)動制冷機模型,該模型可以通過最高溫的熱庫注入的熱能和偏置電壓輸入的功率共同驅(qū)動來實現(xiàn)對低溫庫的制冷.基于主方程理論,分別導出了弱電容耦合和強電容耦合情況下三個量子點與四個庫之間的電荷流和熱流的表達式.數(shù)值模擬了制冷率與制冷系數(shù)之間的熱力學性能特征曲線,在最大制冷率條件下對制冷機的主要性能參數(shù)進行了優(yōu)化.最后,比較了該制冷機在強電容耦合和弱電容耦合情況下的性能.

1 引言

熱電裝置是運用Seebeck 效應或者Peltier 效應將環(huán)境中的熱量收集起來轉(zhuǎn)化為電能的發(fā)電機或者在外加偏壓的條件下對某一局部區(qū)域進行制冷的冷機.然而,目前熱電裝置的熱電轉(zhuǎn)換效率仍然很低.近來,人們對開發(fā)多端熱電器件越來越感興趣,因為與傳統(tǒng)的兩端熱電器件相比,多端熱電器件可以通過分開電流和熱流來顯著提高熱力學性能[1].

2011 年,Sánchez 等[2]首次提出了一種基于庫侖阻塞區(qū)中兩個電容耦合量子點的三端能量轉(zhuǎn)換器.它可以通過從熱庫中吸收熱能來發(fā)電,這種轉(zhuǎn)換器可以在最佳配置下實現(xiàn)卡諾效率.后來,Thierschman 等[3]通過實驗證明了這種能量轉(zhuǎn)換器的工作原理.作為熱機的反向操作,Zhang 等[4-6]提出了一種基于兩個耦合量子點的三端量子點制冷機,詳細分析了在考慮一些不可逆因素后這種制冷機的熱力學性能.對于基于更多耦合量子點的三端器件,Aniket 等[7,8]提出了基于三量子點系統(tǒng)的實際非局部熱機和制冷機,基于主方程,分析了它們的熱力學性能.一些學者理論上[9-14]和實驗上[15-18]研究了基于共振隧穿量子點和電容耦合量子點的許多其他三端熱電裝置的性能,取得長足的進展.除了共振隧穿和耦合量子點之外,其他納米結(jié)構(gòu),包括量子阱(或半導體超晶格[19-22]、量子霍爾棒[23,24]、納米線[25,26]、熱離子[27]和能量選擇性隧道結(jié)[28]也被提出用于多端熱電器件.由磁振子、聲子和光子等驅(qū)動源驅(qū)動的三端熱電裝置也得到了廣泛的研究[29-37].

在三端結(jié)構(gòu)熱電裝置的基礎(chǔ)上,Whitney 等[38]提出了一種基于三個電容耦合量子點的四端結(jié)構(gòu)熱電熱機,該熱機即使在兩個熱庫輸入的總熱功率為零的情況下,通過熱曳拉效應能達到對外輸出功率的效果.Su 等[39]提出了一種基于麥克斯韋妖驅(qū)動的三量子點系統(tǒng)的熱力學泵,他們利用馬爾可夫隨機熱力學分析了驅(qū)動泵內(nèi)熱力學過程.Jiang 等[40]分析了一種四端介觀熱電系統(tǒng)中庫侖拖曳驅(qū)動的熱電效應裝置.Chen 等[41]總結(jié)了量子熱力學循環(huán),電子能量選擇量子器件,量子點熱管理器件等在理論和實驗方面研究的代表性成果和研究進展.在前人工作的基礎(chǔ)上,本文提出了一種具有三個電容耦合量子點的四端混合驅(qū)動制冷機模型.該模型可以通過高溫的熱庫注入的熱能和偏置電壓輸入的功率共同驅(qū)動來實現(xiàn)對低溫庫的制冷.相對于三端制冷機,它可以利用環(huán)境中多余的廢熱來驅(qū)動制冷機工作,提高能源利用.本文的重點是分析制冷率與制冷系數(shù)之間的熱力學性能特征,并對制冷機在最大制冷率條件下的主要性能參數(shù)進行了優(yōu)化,我們還比較了該制冷機在強電容耦合和弱電容耦合情況下的性能.

2 模型及理論

本文提出的四端熱電制冷機的模型如圖1(a)所示,該裝置是由三個耦合量子點、兩個熱庫和左右兩個電子庫組成.量子點 QDM通過兩個隧道結(jié)嵌入到左右兩個電子庫之間,且相互之間可以進行粒子和能量的交換,其中左側(cè)電子庫L的溫度為TL以及化學勢為μL,右側(cè)電子庫R的溫度為TR以及化學勢為μR.量子點 QDH與溫度為TH,化學勢為μH的熱庫H 耦合,而量子點 QDC與溫度為TC,化學勢為μC的中間溫度的熱庫耦合.三個量子點QDM,QDH和 QDC相互耦合并且通過長程庫侖作用相互影響.采用UMH,UMC和UHC來表示充電能.如果量子點彼此距離較遠,它們可以橋接,以獲得強/弱耦合,同時又能確保電子庫和熱庫之間形成良好的熱隔離.四端結(jié)構(gòu)熱電熱機的等效電路圖如圖1(b)所示.

圖1 (a) 基于三量子點耦合的四端制冷機的示意圖;(b) (a)中裝置的等效電路圖Fig.1.(a) Schematic diagram of a four terminal refrigerator based on three coupled quantum dots,and (b) is the equivalent circuit diagram of the device in (a).

三個耦合的量子點QDM,QDH和QDC,都有各自的單能級εM,εH和εC.中心系統(tǒng)的量子態(tài)可以表示為(m,h,c),其中m,h和c分別表示各個量子點能級上的電子占據(jù)數(shù).因為庫侖相互作用阻止兩個電子同時出現(xiàn)在同一個能級上,所以三個量子點的單能級εM,εH和εC上各自只能有一個電子或者沒有電子.該系統(tǒng)存在8 種量子態(tài),它們分別為(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),8 種量子態(tài)相互轉(zhuǎn)換的動力學過程如圖2 所示,其中表示由于電子隧穿進入庫α或者隧穿流出庫α(α=S,H,C 和S=L,R)而使得該三量子點中心系統(tǒng)從量子態(tài)(m′,h′,c′)躍遷到量子態(tài)(m,h,c)的速率.

圖2 圖1 描述的八種量子態(tài)的躍遷過程Fig.2.The transition processes of eight quantum states described in Fig.1.

當TH＞TL(R)＞TC時,該裝置可作為一種利用從高溫熱庫H 流出的熱流JH和外加電壓輸入的功率共同驅(qū)動來實現(xiàn)對低溫熱庫C 制冷的混合驅(qū)動制冷機,稱之為裝置A.此時的JH,JC,JLR,P四個參數(shù)應該滿足:

此時,JC可被視為制冷機的制冷率,此時的制冷系數(shù)定義為

當輸入功率P=0 時,該裝置可作為一個純熱驅(qū)動制冷機,制冷系數(shù)ηCOP=JC/JH.當高溫熱庫輸入的熱流JH=0 時,該裝置可作為一個純電驅(qū)動制冷機,制冷系數(shù)ηCOP=JC/P.

當TH＞TC＞TL(R)時,該裝置可作為一種利用高溫熱庫H 釋放的熱流JH和外加電壓輸入的功率共同驅(qū)動來實現(xiàn)對低溫系統(tǒng)LR 制冷的混合驅(qū)動制冷機,稱之為裝置B.此時的JH,JC,JLR,P四個參數(shù)應該滿足:

其中JLR為制冷率,制冷系數(shù)定義為

可以繪制出當耗散系數(shù)為λ=0 時,輸入功率P以及各量子點與對應庫之間的熱流JH,JC,JLR隨溫差 ΔT和偏置電壓eΔV變化的三維投影圖.如圖3 所示,圖中的黑線對應P=0,紅線代表JH=0,藍線表示JC=0,黃線表示JLR=0 .

圖3 當耗散系數(shù)為λ=0 時,(a) 輸入功率 P 以及(b)—(d)各量子點與對應庫之間的熱流JH,JC,JLR 隨溫差 ΔT 和偏置電壓eΔV 變化的三維投影圖Fig.3.The three-dimensional projection graphs for (a) input power P and (b)—(d) the heat flow JH,JC,JLR varying with the temperature difference ΔT and the bias voltage eΔV under the dissipation factor λ=0 .

當耗散系數(shù)為λ=0 和λ=0.26 時,裝置A 和裝置B 各自對應的工作區(qū)域,如圖4 所示.通過數(shù)值計算,發(fā)現(xiàn)裝置A 和裝置B 對應的工作區(qū)域都隨著耗散系數(shù)的增大而減小.且當λ≥0.015 時,裝置B 會消失.當λ≤0.26 時,裝置A 只有一種工作模式,即混合驅(qū)動制冷機,當λ≥0.26,裝置A 有兩種不同的工作模式,即混合驅(qū)動制冷機和純電驅(qū)動制冷機.與裝置A 相比,裝置B 更為復雜,因為子系統(tǒng)LR 既是電力的驅(qū)動端,又是制冷的目標.雖然裝置B的制冷率明顯小于裝置A,但可以在裝置A 不能工作的區(qū)域工作,進而實現(xiàn)不同的制冷效果.

圖4 當耗散系數(shù)為λ=0 和 λ=0.26 時,裝置A 和裝置B 各自對應的工作區(qū)域Fig.4.The corresponding working areas of device A and device B when the dissipation factor is (a) λ=0 and (b) λ=0.26,respectively.

本文僅分析裝置A 即混合驅(qū)動制冷機的性能特征.可以畫出在不同耗散系數(shù)下,裝置作為混合驅(qū)動制冷機時的總熵產(chǎn)率隨溫差 ΔT和偏置電壓eΔV變化的三維曲線,如圖5 所示.其中綠色面對應λ=0,紅色面對應λ=0.1,藍色面對應λ=0.2 .發(fā)現(xiàn)總熵產(chǎn)率滿足的S˙＞0,并且S˙ 隨著耗散系數(shù)的增加而增加.

圖5 在不同耗散系數(shù)下,裝置作為混合驅(qū)動制冷機時的總熵產(chǎn)率隨溫差 ΔT 和偏置電壓 eΔV 變化的三維曲線Fig.5.The three-dimensional curves of total entropy production rate varying with temperature difference ΔT and bias voltage eΔV when the device is used as a hybrid-driven refrigerator under different dissipation factor.

為了簡化制冷率和制冷系數(shù)并明確各種參數(shù)之間的關(guān)系,制冷率和制冷系數(shù)可以重新寫成

根據(jù)以上各公式,對于給定的ΔT=2γ/kB和eΔV=50,繪制出在不同的耗散系數(shù)下制冷率和制冷系數(shù)隨充電能UMH和UMC變化的三維圖,如圖6 所示.可以看出對于耗散系數(shù)為λ=0,當滿足UMH/γ=50和UMC/γ ?19.5 時,可以得到最大制冷率,當滿足UMH/γ=50和UMC/γ ?23 時,可以得到最大制冷系數(shù).且最大制冷率和最大制冷系數(shù)均隨耗散系數(shù)的增大而減小.

圖6 在不同耗散系數(shù)下,制冷率和制冷系數(shù)隨充電能 UMH 和 UMC 變化的三維圖Fig.6.The three-dimensional diagrams of the cooling rate and the COP varying with charging energy UMH and UMC under different dissipation factor.

在不同的耗散系數(shù)下制冷率和制冷系數(shù)隨充電能UMH和偏置電壓eV變化的三維圖,如圖7 所示.可以看出,制冷率隨著偏置電壓的增大而增大.

圖7 在不同的耗散系數(shù)下,制冷率和制冷系數(shù)隨充電能 UMH 和偏置電壓 eV 變化的三維圖Fig.7.The three-dimensional diagrams of the cooling rate and the COP varying with charging energy UMH and bias voltageeΔV under different dissipation factor.

3 優(yōu)化性能分析

根據(jù) (1)—(5) 式,(10)和(11)式以及極值條件:

在給定條件 ΔT=2γ/kB下,優(yōu)化的制冷率JCopt和優(yōu)化制冷率對應的制冷系數(shù)隨耗散系數(shù)λ的變化曲線,如圖8 所示.優(yōu)化的制冷率和對應的制冷系數(shù)隨耗散系數(shù)λ的增大而單調(diào)遞減,只有當λ=0時,才能得到優(yōu)化的制冷率最大值和對應的制冷系數(shù)的最大值.為了獲得最大的制冷率和相應的制冷系數(shù),應該選擇盡可能小的耗散系數(shù).本文采用了UMH/γ=50,eΔV=50 進行數(shù)值計算.

圖8 在給定條件 ΔT=2γ/kB 下,(a) 優(yōu)化的制冷率 JCopt 和(b)優(yōu)化制冷率對應的制冷系數(shù)以及(c)對應的充電能 UMC 隨耗散系數(shù) λ的變化曲線Fig.8.The curves of (a) the optimized cooling rate JCopt and (b) the COP corresponding to optimized cooling rate and (c) the corresponding charging energy UMC as a function of dissipation factor λ under the given condition ΔT=2γ/kB .

分析溫差 ΔT對混合驅(qū)動制冷機最優(yōu)性能的影響.利用(16)和(17)式,只對最大制冷率對應的充電能UMC進行優(yōu)化,而直接取充電能、優(yōu)化偏壓和優(yōu)化耗散系數(shù)為UMH/γ=50,eΔV=50 和λ=0.可以繪制出最大制冷率JCmax、最大制冷率對應的COPηJ、最佳充電能量UMC隨溫差 ΔT的變化曲線,如圖9 所示.從圖9(a)可以看出,最大制冷率JCmax、最大制冷率對應的COPηJ會隨著溫差 ΔT的增大而逐漸減小.由圖9(b)可知,最佳充電能量UMC隨溫差 ΔT的增大而單調(diào)減小.

圖9 (a) 最大制冷率 JCmax 和最大制冷率對應的COP ηJ ;(b) 最佳充電能量 UMC 隨溫差 ΔT的變化曲線Fig.9.The curves of (a) the maximum cooling rate JCmax and the COP corresponding to maximum cooling rate ηJ and (b) the optimal charging energy UMC as a function of temperature difference ΔT .

4 強耦合UHC

當量子點 QDH和 QDC之間是強耦合UHC時,則量子點 QDH和 QDC同時被占據(jù)的可能性就變得很小,所以就不存在量子態(tài)(0,1,1)和(1,1,1),此時中心系統(tǒng)僅存在6 個量子態(tài).電荷漲落可分為兩個循環(huán),第一個循環(huán)是:

涉及到系統(tǒng)和高溫熱庫之間的交換能量UMH.第二個循環(huán)是:

涉及到系統(tǒng)和次高溫熱庫之間的交換能量UMC.從左側(cè)電子庫L 到量子點 QDM的電子流表達式為

從右側(cè)電子庫R 到量子點 QDM的電子流表達式為

從左側(cè)電子庫L 到量子點 QDM的熱流表達式為

從右側(cè)電子庫R 到量子點 QDM的熱流表達式為

從高溫熱庫H 到量子點 QDH的熱流表達式為

從次高溫熱庫C 到量子點 QDC的熱流表達式為

通過數(shù)值計算,繪制出該混合驅(qū)動制冷機在強耦合UHC的情況下,當λ=0 時制冷率JC和制冷系數(shù)ηCOP隨UMH和UMC變化的三維圖,如圖10 所示.與弱耦合的情況相比,強耦合作用下最大制冷率和制冷系數(shù)要大得多.

圖10 在強耦合 UHC的情況下,當 λ=0 時,(a) 制冷率 JC 和(b)制冷系數(shù) ηCOP 隨著 UMH 和 UMC 變化的三維圖Fig.10.In the case of strong coupling UHC,when λ=0,the three-dimensional diagrams for (a) cooling rate JC and (b) the COP varying with UMH and UMC .

5 結(jié)論

本文研究了利用高溫熱源釋放的熱能和外加電壓輸入電能共同驅(qū)動來實現(xiàn)對低溫庫制冷的四端三量子點制冷機的性能.主要研究結(jié)論: 1)混合驅(qū)動制冷機的工作區(qū)域、制冷率和制冷系數(shù)均隨耗散系數(shù)的增大而減小;2)最大制冷率和對應的制冷系數(shù)COP 隨著溫差 ΔT的增大而減小;3)通過合理選擇充電能UMC,使λ=0,并使充電能UMH和eΔV盡可能大,可以使混合驅(qū)動制冷機在最大制冷率的最佳狀態(tài)下運行;4)與弱耦合的情況相比,強耦合作用下最大制冷率和制冷系數(shù)要大得多.