陳應全

廣東省高州市教師發(fā)展中心 525200

關于DOK理論

DOK（Depth of Knowledge）理論是1997年美國教育評價專家韋伯提出的“知識深度”分級模式.該理論和方法主要指向教學任務、活動和問題的設計，是推動學生深度學習和積極參與的學習工具.DOK理論將學生的認識水平分成回憶與重現(xiàn)、技能與概念、策略性思維、拓展性思維等四個等級［1］，研究者根據其不同等級的思維要求設計和開發(fā)相應的教學任務、活動和問題，使得教育實踐者能夠設計有質量、促進學生深度學習的教學任務、活動和問題.具體的每個等級的認知水平如表1所示.

表1 DOK理論的等級及認知水平表

基于DOK 理論的解題教學可行性分析

解題教學是高中數學課堂中的一種常規(guī)的教學行徑，其目的是鞏固基礎知識，滲透數學思想方法以及發(fā)展數學核心素養(yǎng).事實上，當前不少教師由于缺乏解題方面的理論指導，仍然習慣采用“教師示范+學生模仿”的模式，忽視因材施教，忽視解題思維過程的呈現(xiàn)，缺少對題目素材的理解和重構，缺乏對例題進行追本溯源以及拓展等，使得解題教學未能達到預期的效果.目前，DOK理論已經從評價領域延伸到課堂教學領域，成為美國課堂教學設計重要的理論和方法.DOK理論指導下的課堂教學在我國也漸漸得到眾多教育工作者的認可.在解題教學中，教師可以在DOK理論的四個等級的指引下，根據學生不同等級的思維要求開發(fā)和設計相應的教學任務與教學問題，學生則圍繞著具有明顯層次性的數學學習主題，積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程［2］.這樣的數學課堂充分體現(xiàn)了以教師為主導、學生為主體的教育理念，與新課標倡導的“人人都獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”的教育理念是相吻合的.

基于DOK理論的解題教學探討

鑒于DOK理論的權威性以及DOK理論在解題教學中的可行性，筆者結合所教班級（高二）實際做了一次嘗試并取得了不錯的效果.

1.學情分析

教師做好學情分析的目的是能夠在教學過程中做到有的放矢，做到真正意義上的因材施教，從而提高教學的有效性，也有利于教師更好地把握和操作教學過程.本節(jié)課的教學對象是一個縣重點中學的高二物理類強基班（沖擊全國名校強基的班級），他們的數學基礎以及智力水平在年級中都是最好的.通過高中一年多的數學學習，他們的數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)都得到了不同程度的提升.他們在此之前已經學習了橢圓以及標準方程、橢圓的幾何性質并補充了弦長公式.通過本節(jié)課的學習，旨在進一步熟練運用橢圓弦長公式解決問題，滲透數形結合、轉化與化歸等數學思想，提升學生數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2.例題選取

章建躍博士曾說過，簡單試題更能體現(xiàn)教師的教學基本功，難度不高的試題更有利于開展教學，更有利于教學目標的達成.在解題教學中，教師對例題的琢磨與開發(fā)在一定程度上體現(xiàn)著教師的教學智慧，解題教學過程是數學知識、方法與能力的培養(yǎng)過程，更是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程［3］.結合學生實際，打算選用如下題目作為例題：

（1）當θ=60°時，求線段AB的長；

（2）當θ為何值時，線段AB取得最小值，并求最小值；

（3）當θ為何值時，△AOB的面積取得最大值，并求最大值.

本例第（1）問入手容易，第（2）、（3）問以第（1）問為基礎，由靜態(tài)到動態(tài)、一維到二維的變化，要求學生在掌握弦長公式的基礎上，學會引入變量構建目標函數并求函數最值的解題思想.這兩個小問對于初學圓錐曲線的學生而言是一個不小的挑戰(zhàn).

3.教學模式確定

解題教學在長期的實踐中總結出來了許多解題教學模式，如技能訓練模式、變式探究模式、模型建構模式、問題開放模式等，這些模式在培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)目標方面存在一定的差異，在發(fā)展學生某些關鍵能力方面各有優(yōu)勢［4］.比如，技能訓練模式能培養(yǎng)學生數學運算和邏輯推理能力.事實上，對于高一或高二起點較高的解題教學，仍然要從低起點入手，并以此為基礎進行適度拓展，逐步發(fā)展到該數學主題在高考中的難度要求.因此，筆者在本節(jié)課中主要采用的是技能訓練模式和變式探究模式，并結合課堂內容設計了多個“問題串”引導學生思考，開發(fā)學生的思維，提升學生的素養(yǎng).

4.細目表編制

高一、高二的解題教學不能簡單地只是答案講解，更不能就題論題.根據DOK理論及本節(jié)課的教學目標，筆者對本節(jié)課的解題教學進行了定位，如表2所示.

表2 例題細目表

5.教學行為表現(xiàn)

建構主義理論認為，學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是學生以已有經驗為基礎，通過與外部世界的相互作用而主動建構的過程.運用DOK理論開展解題教學，應立足學生實際，體現(xiàn)“動與靜”結合的教學形態(tài)實現(xiàn)有意義的數學課堂，“動”體現(xiàn)教師依據新課標、新教材和學情，精心編制符合課堂主題且層次明顯的例題并通過巧妙設計一系列有價值的“問題串”，在課堂中進行交流、討論和思辨，以及在探究、感悟和主動建構中提升素養(yǎng)；“靜”則體現(xiàn)學生在課堂中靜心“思考”，必要時教師應給予恰當的點撥，讓學生在思考問題的過程中逐步實現(xiàn)思維的遷移以及創(chuàng)新能力的提升.

（1）DOK1 回憶與重現(xiàn)

教師在例題講解前，首先讓學生回憶圓錐曲線中求弦長的公式與步驟，以及在解析幾何問題中學習直線與圓時求最值的方法（幾何法、函數法）與步驟；然后教師做好規(guī)范的板書，為學生解答例題奠定知識基礎.值得注意的是，此步驟只注重方法與步驟的重現(xiàn)，因此思維要求較低，提出問題后可以讓基礎較弱的學生回答，給予他們學好數學的信心.

（2）DOK2 技能與概念

對于例題的第（2）問，求的是線段AB的最小值，可以引導學生分析線段AB長度的變化是受何因素影響的，從而考慮引入直線l的斜率k作為變量表示線段AB的長度，進而轉化為函數最值問題進行解決.教師要對學生的解答過程做好形成性評價，及時糾正學生思維出現(xiàn)的偏差并引導學生積極進行反思.下面是例題第（2）問的教學實錄.

師：線段AB的變化受什么因素的影響？

生1：受θ的影響.

師：可以引入某個變量將直線l表示出來嗎？

生2：可以！設l的斜率為k，由于直線l過F1（1，0），所以l的方程為y=k（x+1）.

師：可以用k表示出線段AB的長度嗎？

學生分小組討論，約兩分鐘后，數學課代表舉起了手.

生5：過F1（1，0）的直線l還漏了一種情況沒有討論！當直線l的斜率不存在時，即l垂直于x軸，此時，所以即當θ=90°時,取得最小值

師：生5考慮問題非常仔細，當設直線的斜率k時，不要漏了斜率k不存在的情形.

（3）DOK3 策略性思維

學生掌握了引入直線斜率k作為變量表示線段長度并轉化為函數最值問題的方法.此時提出例題的第（3）問，分析問題并尋求解決問題的路徑.

約兩分鐘后，第2組的組長舉起了手.

生6：設AB的斜率為k，由于直線l過F1（1，0），所以l的方程為y=k（x+1）；然后利用k表示出和O到直線AB的距離，從而建立S△AOB關于k的函數，再轉化為函數最值問題進行解決.

師：生6說得很好！有什么要提醒大家注意的嗎?

生7：別忘了斜率k不存在的情形……

師：還有其他建立目標函數的方法嗎？

此時第3組的代表說出了他的做法：

師：第3組的代表做得很好，通過設直線l的橫截距式，引入變量m表示S△AOB，再轉化為函數最值問題進行解決.

令筆者感到欣慰的是，在此之前筆者還未提及直線橫截距式的設法，學生卻在這里用上了，而且能夠靈活地用x軸把△AOB的面積分割為上下兩部分進行求解.這里可以認為，學生在第（2）問的基礎上，從引入變量表示線段到表示面積，解法得到了遷移，創(chuàng)新意識得到了很好的體現(xiàn).此時筆者提醒到“x=my-1可以表示斜率不存在的情形，但不能表示斜率為0的情形”的局限性.

（4）DOK4 拓展性思維

解答了例題的三個小問后，筆者引導學生分析以上問題間的聯(lián)系以及解決問題的關鍵點.此時要回到本節(jié)課的主題——從求橢圓的弦長出發(fā)，到弦長的最值，再到面積的最值，思維上具有明顯的遞進關系，可以抓住該主題從變更題目的條件（如問題的一般化）以及題目的設問（如探索性問題）等視角進行拓展.

問題1：若O為坐標原點，過橢圓E：=1（a＞b＞0）的左焦點F1（-c，0）的直線l交E于A，B兩點，線段AB何時最??？最小值為多少？

問題2：若O為坐標原點，過橢圓E：+y2=1的左焦點F1作直線l交E于A，B兩點.是否存在直線l使S△AOB=？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.

問題3：若O為坐標原點，過橢圓E：+y2=1的左焦點F1作相互垂直的直線l1，l2，其中l(wèi)1交橢圓于A，C兩點，l2交橢圓于B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最大值.

設計意圖：問題1是例題第（1）問的一般化，由此歸納出橢圓的通徑性質；問題2是以探索性問題的形式對弦長公式運用的逆向考查；問題3是對弦長公式運用的進一步考查——兩條有關系的直線與橢圓的交點圍成的四邊形面積的最值.在DOK理論的指導下，先采用技能訓練模式，再通過變式探究模式進行深度拓展達到了該主題在高考中的難度，如拓展中的問題2、問題3與2012年高考北京卷（文科）第19題、2013年高考浙江卷（理科）第21題、2020年新高考Ⅱ卷第21題等可謂難度相當、考法相似.其實，例題是人教A版（2019年版）選擇性必修第一冊第114頁練習2的改編題，旨在讓學生體會到很多高考題都是源于教材但又高于教材的命題思路，更讓學生明白：在教師的引導下，只要自己努力學習，就能掌握必備知識、提高關鍵能力與發(fā)展核心素養(yǎng)，在高考中取得好成績就是水到渠成的事情.這樣的課堂教學給予學生學好數學的信心是巨大的.

結束語

成熟的教育教學理論對指導我們教學的作用無疑是巨大的，因此我們要善于接納新理論，敢于運用新理論開展教學.北京市十一中學校長李希貴先生認為：DOK理論最大的意義就是提供了思維復雜性的參照，是衡量個體認知或思維深度的一把尺子，我們知道它、關注它，教學也許就能更上一層樓.因此，基于DOK理論的解題教學的開展，先要認真學習該理論的內涵與意義，掌握它的操作要領.而且，不僅要求學生積極參與，更要求教師以應用、分析、評價、創(chuàng)造等高階思維能力的培養(yǎng)為教學導向，通過編制一系列層次性明顯的數學問題，助推學生從普通思維逐漸向策略性思維和拓展性思維發(fā)展，這樣的教學才是對提高學生關鍵能力、發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)具有積極意義的.