孫艷蕊 宋叔尼

東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819

在第十一屆“中國(guó)大學(xué)教學(xué)論壇”上，教育部高等教育司司長(zhǎng)吳巖做了題為“建設(shè)中國(guó)金課”的報(bào)告，提出了“兩性一度”的金課標(biāo)準(zhǔn)?！皟尚砸欢取保锤唠A性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度。教育部《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見》指出了一流課程建設(shè)的基本原則，其中包含了提升高階性、突出創(chuàng)新性和增加挑戰(zhàn)度。課程目標(biāo)要堅(jiān)持知識(shí)、能力、素質(zhì)的有機(jī)融合，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級(jí)思維。教學(xué)方法要體現(xiàn)先進(jìn)性與互動(dòng)性，大力推進(jìn)現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)深度融合，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式與個(gè)性化學(xué)習(xí)。根據(jù)這一理念，東北大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱“我?！保┳灾鏖_發(fā)了“大學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)”和高等數(shù)學(xué)MOOC，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)平臺(tái)與優(yōu)質(zhì)資源，以提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。下面主要論述我校高等數(shù)學(xué)課程在這一方面的建設(shè)與實(shí)踐。

一、改革教學(xué)方法，注重知識(shí)、能力、素質(zhì)的培養(yǎng)

現(xiàn)代化人才的培養(yǎng)應(yīng)以創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)為基礎(chǔ)，因此構(gòu)建創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必然要求。以往墨守成規(guī)的教學(xué)方法和模式顯然不再適合新形勢(shì)的發(fā)展需要。新時(shí)代背景下，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)和潛能的開發(fā)，將傳統(tǒng)與現(xiàn)代的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，合理運(yùn)用先進(jìn)技術(shù)、科學(xué)方法和新理念培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)顯得尤為重要。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)過程大致可分為知識(shí)的發(fā)生和知識(shí)的整理兩個(gè)階段。知識(shí)的發(fā)生是指概念形成、結(jié)論被發(fā)現(xiàn)的過程；知識(shí)的整理是指用演繹的方法進(jìn)一步理解知識(shí)、開拓知識(shí)的過程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只是數(shù)學(xué)知識(shí)的講授，而是要展現(xiàn)獲取這些數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過程，重視知識(shí)的發(fā)生過程，探索數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程。

美國(guó)當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)家哈佛大學(xué)布魯納教授指出：“發(fā)現(xiàn)不限于尋求人類尚未知曉的事物，確切地說，它包括用自己的頭腦親自獲得知識(shí)的一切方法。”因此，我們?cè)谥v高等數(shù)學(xué)的每個(gè)概念、定理時(shí)，應(yīng)盡量講解其發(fā)現(xiàn)過程，引導(dǎo)學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)、去猜想，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的興趣，增強(qiáng)他們創(chuàng)造的信心，讓他們覺得發(fā)明創(chuàng)造離自己并不遙遠(yuǎn)。下面舉幾個(gè)例子介紹我們的做法。

（一）Lagrange中值定理的“產(chǎn)生”

在講授Lagrange 中值定理前，教師要求學(xué)生從幾何角度討論Rolle 定理結(jié)論的實(shí)質(zhì)。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，定理的結(jié)論在幾何的表示曲線上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于連接曲線端點(diǎn)的弦。讓學(xué)生進(jìn)一步觀察與思考：如果將Rolle 定理中端點(diǎn)的函數(shù)值相等這一條件去掉，還存在相同結(jié)論嗎？有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將圖形旋轉(zhuǎn)一下，結(jié)論還是成立的。這時(shí)可以告訴學(xué)生，將這一結(jié)論用式子表達(dá)出來就是著名的Lagrange 中值定理。學(xué)生很興奮，他們了解了“知識(shí)發(fā)現(xiàn)”的過程，能感覺到發(fā)明和創(chuàng)造并不神秘。這不僅增強(qiáng)了學(xué)生創(chuàng)造的信心和發(fā)明的欲望，而且調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的熱情，使枯燥的定理學(xué)習(xí)變得有趣起來。

（二）Lebesgue積分的“產(chǎn)生”

發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的方法比教授學(xué)生科學(xué)知識(shí)更重要。我們講的定積分是指Riemann 積分，該定義要求函數(shù)在討論的區(qū)間上有界。問題來了：函數(shù)有界是否一定Riemann可積？這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去找反例。從Riemann 和的極限出發(fā)，是否有這樣的有界函數(shù)：無論怎樣劃分函數(shù)的定義區(qū)間，函數(shù)值在相應(yīng)的小區(qū)間上變化都比較大，使得Riemann 和的極限不存在。在這樣的分析引導(dǎo)下，有學(xué)生想到了Dirichlet 函數(shù)。通過讓學(xué)生研究討論Dirichlet函數(shù)在Riemann積分意義下的不可積性，使其發(fā)現(xiàn)Dirichlet 函數(shù)間斷得比較“厲害”，Riemann積分分割的是函數(shù)的定義域，導(dǎo)致Riemann 不可積。引導(dǎo)學(xué)生變換一個(gè)角度思考問題：可否變分割函數(shù)的定義域?yàn)榉指詈瘮?shù)的值域，這樣就能避免Riemann 積分對(duì)Dirichlet這樣的函數(shù)所產(chǎn)生的缺陷。在這種分析的基礎(chǔ)上向?qū)W生介紹Lebesgue 積分，學(xué)生會(huì)覺得Lebesgue 積分的出現(xiàn)很自然。這既開闊了學(xué)生的視野，介紹了新知識(shí)，又使學(xué)生了解了變向思維、逆向思維的方法。在展現(xiàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過程中，作為教師，我們也深深地感受到挖掘科學(xué)思維方法比數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果更重要。

（三）多元函數(shù)積分的“出現(xiàn)”

教師在開始多元函數(shù)積分的講授之前，先讓學(xué)生回憶分析定積分的概念。定積分的概念的實(shí)質(zhì)就是分割、求和、取極限。分割什么？函數(shù)的定義域。對(duì)什么求和？對(duì)分割后得到的各個(gè)小區(qū)間上任一點(diǎn)的函數(shù)值與小區(qū)間“度量”的積求和。接下來再分析二元函數(shù)。一般來說，二元函數(shù)的定義域是平面區(qū)域、平面曲線。讓學(xué)生類比定積分的定義，給出上述2 種情況“ 分割、求和、取極限”的過程，然后告訴學(xué)生這就是二重積分和平面上的第一型曲線積分。這些積分能不能再推廣？再讓他們分析三元函數(shù)，做相應(yīng)的“分割、求和、取極限”，同時(shí)給和的極限“取名”。有些學(xué)生給出了“三重積分”“空間第一型曲線積分”“曲面積分”的名字和定義。通過這種類比教學(xué)，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且給了他們發(fā)明創(chuàng)造的信心和方法。

二、將數(shù)學(xué)建模的思想融入教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，可將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程一般側(cè)重于概念、理論和解題方法與技巧的講解，學(xué)生完成高等數(shù)學(xué)課程后，難以運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決實(shí)際問題。為此，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)的教學(xué)過程中，要把數(shù)學(xué)建模的思想融入課堂教學(xué)中。

例如，在解釋了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理后，我們?cè)俳忉尀槭裁雌綍r(shí)坐的四條腿的椅子總能找到一個(gè)放穩(wěn)的位置。表面上看，這和零點(diǎn)定理無關(guān)，但經(jīng)過分析建模發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)典型的零點(diǎn)定理應(yīng)用題。

首先做一些假設(shè)：（1）假設(shè)椅子的四條腿一樣長(zhǎng)，椅子腿是中心對(duì)稱的；（2）地面高度連續(xù)變化，地面相對(duì)平坦，可使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。接下來將這個(gè)問題用數(shù)學(xué)語言描述出來，也就是建立模型：（1）將椅子的位置和四只腳著地的關(guān)系表達(dá)出來；（2）給出衡量椅腳是否著地的標(biāo)準(zhǔn)；（3）將問題抽象成數(shù)學(xué)問題。這就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即建模的過程。

在每章的最后，教師都給出一個(gè)類似小型建模的題目，讓學(xué)生可以在課上討論也可以在課后自主完成。例如，在曲線曲面積分部分讓學(xué)生證明Kepler 第二定律，在微分方程部分研究懸鏈線方程的建立等。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問題的能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)深度融合，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式與個(gè)性化學(xué)習(xí)

現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合，促使一流課程建設(shè)成為當(dāng)前高等教育發(fā)展的必然趨勢(shì)。2010 年以來，我們?cè)谙嚓P(guān)課題研究的基礎(chǔ)上，集中力量進(jìn)行了高等數(shù)學(xué)課程信息化建設(shè)，將多媒體引入高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，自主構(gòu)建了“大學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)”，開發(fā)了高等數(shù)學(xué)MOOC和與之配套的《高等數(shù)學(xué)》新形態(tài)教材。

（一）多媒體引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)

國(guó)家名師李尚志教授曾經(jīng)說過，將“復(fù)雜抽象的概念和理論”變成“顯然的東西”是建設(shè)精品課程的主要指導(dǎo)思想。而現(xiàn)代信息技術(shù)是實(shí)現(xiàn)這一思想的重要手段。將現(xiàn)代化教學(xué)手段引進(jìn)課堂并不是簡(jiǎn)單地將講義搬上屏幕，而是利用信息技術(shù)讓抽象的數(shù)學(xué)在某種意義上變成啟迪學(xué)生思想的“可視數(shù)學(xué)”。這不僅能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且以前很難實(shí)現(xiàn)的教學(xué)過程也可以輕松實(shí)現(xiàn)。我們將信息技術(shù)引進(jìn)課堂，取得了較好的教學(xué)效果。

例如，極限的思想、微元法的思想、泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)等內(nèi)容，這些過去我們只能讓學(xué)生去想一個(gè)無限的過程，最后得出結(jié)論。其論證過程在黑板上根本無法形象、直觀地顯示出來，學(xué)生也難以理解。將多媒體教學(xué)引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)后，利用數(shù)學(xué)現(xiàn)代化教學(xué)手段，以前在黑板上較難表現(xiàn)的函數(shù)極限過程、逼近過程，都可以直觀、生動(dòng)、形象地演示出來，這樣將學(xué)生的抽象思維和形象思維緊密地聯(lián)系起來，收到了較好的教學(xué)效果。例如，講解定積分概念時(shí)，借助多媒體課件將求曲邊梯形面積的分割、近似、求和、逼近四個(gè)步驟用動(dòng)畫演示。隨著分割的不斷加細(xì)（小矩形無限增加），小矩形面積的和無限地逼近曲邊梯形的面積，直觀上感覺小矩形面積的和已與曲邊梯形的面積重合。通過這一過程的演示，學(xué)生進(jìn)一步理解了極限的思想，也更好地理解了定積分的定義。

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用使課堂教學(xué)更加豐富多彩，生動(dòng)形象、寓教于樂的啟發(fā)滲透式教學(xué)過程，既加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)提高學(xué)生綜合素質(zhì)起到了顯著作用。

（二）自主研發(fā)“大學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)”，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

我們利用信息化技術(shù)自主研發(fā)了一個(gè)“大學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)”，平臺(tái)包括學(xué)習(xí)系統(tǒng)和測(cè)試系統(tǒng)。學(xué)生學(xué)習(xí)各知識(shí)點(diǎn)后，可以進(jìn)入學(xué)習(xí)系統(tǒng)自主練習(xí)。完成練習(xí)后，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)批改并給出習(xí)題的解析，有利于學(xué)生了解自己對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。這樣可以促進(jìn)學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)，使其注重學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。每章結(jié)束后，由課程負(fù)責(zé)人給出測(cè)試模板，教師再根據(jù)自己的教學(xué)進(jìn)度，生成不同的測(cè)試題，學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中心進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試系統(tǒng)給出成績(jī)，學(xué)生和教師都可以查看答題情況。教師能通過網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)地了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情況，并對(duì)教學(xué)安排及時(shí)做出調(diào)整，對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化的指導(dǎo)。

（三）高等數(shù)學(xué)MOOC的建設(shè)

在線開放課程作為一種新興的教育形式，極大地推動(dòng)了教育教學(xué)改革。其不僅改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，而且改變了教師的教學(xué)方式，給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了更大的自主性，讓學(xué)生獲得了更多參與和互動(dòng)的機(jī)會(huì)。教學(xué)模式從以教師為中心轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心。這就要求建設(shè)更新的教學(xué)資源，以滿足新形勢(shì)下教育教學(xué)的需求，同時(shí)，要改變教學(xué)方式，以適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變化。

為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式從以教師為中心向以學(xué)生為中心教學(xué)的轉(zhuǎn)變，達(dá)到培養(yǎng)能力、傳授知識(shí)的教學(xué)效果。2015 年底，我們開始了高等數(shù)學(xué)MOOC 的建設(shè)，精心設(shè)計(jì)，名師講解并配以豐富的教學(xué)資源以及駐點(diǎn)問題、章節(jié)測(cè)驗(yàn)、作業(yè)、期末測(cè)試、概念辨析、課堂討論等環(huán)節(jié)。2016 年9 月，我校高等數(shù)學(xué)MOOC 在“中國(guó)大學(xué)MOOC”平臺(tái)上線，2018年被認(rèn)定為國(guó)家精品在線開放課程。借助MOOC 資源，教師能更好地因材施教，為學(xué)生提供個(gè)性化授課方式，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考的能力，逐步實(shí)現(xiàn)從教師為中心到學(xué)生為中心的轉(zhuǎn)變。

（四）《高等數(shù)學(xué)》新形態(tài)教材建設(shè)

為滿足“互聯(lián)網(wǎng)+”環(huán)境下高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的需要，實(shí)現(xiàn)教育教學(xué)與信息技術(shù)的深度融合，在多年教學(xué)改革的基礎(chǔ)上，結(jié)合新形勢(shì)下大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念和教學(xué)方法的發(fā)展，我們開始了《高等數(shù)學(xué)》新形態(tài)教材的建設(shè)，并于2019年8月由高等教育出版社出版。

教材注重初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接。初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)在研究?jī)?nèi)容和研究方法方面有很大的不同，做好初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的過渡是非常有必要的。在引言中，我們從問題出發(fā)，列舉一些初等數(shù)學(xué)可以解決的問題，如勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度與路程、規(guī)則圖形的面積與周長(zhǎng)、有限個(gè)數(shù)的和等。并對(duì)應(yīng)地給出初等數(shù)學(xué)解決不了的問題，如變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與路程、不規(guī)則圖形的面積與周長(zhǎng)、無限個(gè)數(shù)的和等。針對(duì)這些問題給出解決思路，指出高等數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容和方法。在講授極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等概念時(shí)，將這些問題都作為引例，讓學(xué)生感覺到這些概念的產(chǎn)生都是有實(shí)際背景的。

教材突出數(shù)學(xué)思想的來龍去脈。每個(gè)概念和理論力求從實(shí)際問題或幾何直觀引入，揭示數(shù)學(xué)概念和公式的實(shí)際來源與應(yīng)用，使學(xué)生更容易理解和接受。教材設(shè)置了思考、注以及擴(kuò)展知識(shí)等，以引導(dǎo)學(xué)生思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

與通常的高等數(shù)學(xué)教材不同，我們的教材將不定積分和定積分進(jìn)行融合講解。在變上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)后很自然地給出原函數(shù)的概念，即講完微積分基本定理后，自然地引出問題“如何求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)？”，再講解不定積分的概念及其計(jì)算。這使原函數(shù)、不定積分概念的引出更自然，更符合學(xué)生的認(rèn)知過程。將不定積分的計(jì)算和定積分的計(jì)算有機(jī)融合，使內(nèi)容比較緊湊。將無窮級(jí)數(shù)放在上冊(cè)的最后一章作為前面極限和積分的應(yīng)用，構(gòu)成了單變量的完整知識(shí)體系。將微分方程放在全書的最后一章，作為前面所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用。

四、考試模式的改革

2016年9月開始，我們將“中國(guó)大學(xué)MOOC”平臺(tái)、自主構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)、在線測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，探索出了一套過程化考核模式。

一是借助MOOC 平臺(tái)，學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)情況，在MOOC 平臺(tái)上學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容，根據(jù)課程進(jìn)度，提交自己的作業(yè)到網(wǎng)上并完成作業(yè)互評(píng)。這部分占總成績(jī)的10%。

二是借助網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)，課程負(fù)責(zé)人根據(jù)教學(xué)進(jìn)度按章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)發(fā)布測(cè)試題，教師設(shè)定考試時(shí)間，學(xué)生按教師設(shè)定的時(shí)間上網(wǎng)按時(shí)完成測(cè)試。這部分占總成績(jī)的15%。

三是教師日?？己耍焊鶕?jù)MOOC 作業(yè)以及單元學(xué)習(xí)、測(cè)試成績(jī)，學(xué)生參與MOOC 的交流討論情況以及學(xué)生的課堂表現(xiàn)和參與情況給出考核。這部分占總成績(jī)的10%。

四是綜合測(cè)試（期中+期末）：包括基本概念的理解、運(yùn)算和推理能力、創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力的考核。這部分占總成績(jī)的65%（15%+50%）。

這種考核模式將考試過程變?yōu)榻逃^程，變成素質(zhì)和能力考核的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和研究能力。

五、結(jié)語

我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)課程建設(shè)方面雖然取得了一些成績(jī)，但高等數(shù)學(xué)一流課程建設(shè)仍任重而道遠(yuǎn)，我們將以此作為起點(diǎn)，進(jìn)一步提升高階性、突出創(chuàng)新性和增加挑戰(zhàn)度，努力使高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)更上一層樓。