杜 瑛

(無錫市青山高級中學，江蘇無錫，214000)

在“立德樹人，提升素養(yǎng)”的理念下，《普通高中數學教科書(人教A版)》(以下簡稱“新教材”)對高中數學課程結構進行了重組與優(yōu)化，突出了數學教學的主線，凸顯了數學的內在邏輯和思想方法.新教材在必修1中最大的結構變化是將集合、常用邏輯用語、相等關系和不等關系、函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式四部分內容作為預備知識，放在其他教學模塊之前，旨在先教會學生使用基本的數學邏輯語言工具、明確最基本的數量關系、理解最基本的數學思想方法，幫助學生更順利地完成初高中銜接，為之后的學習做好鋪墊.

充分條件、必要條件和充要條件是三個常用的邏輯用語，是研究數學問題時經常遇到的基本邏輯關系，是數學判定定理、性質定理和定義的邏輯本質，是表達數學對象的基本邏輯語言和論證數學結論的基本邏輯思維方向.

1 內容簡析

1.1 課標要求

本課是普通高中數學教科書人教A版第一冊第一章第二單元“常用邏輯用語”第一、二課的內容.

本單元內容包括：充分條件、必要條件、充要條件，全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

《普通高中數學課程標準(2017版)》對兩課內容的教學要求是：通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件、必要條件和充要條件的意義，理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件和定義與充要條件的關系.幫助學生使用常用邏輯用語表達數學對象、進行數學推理，提高交流的嚴謹性與準確性.

1.2 教材內容

1.2.1 知識結構

1.2.2 教材解讀

教材中，兩節(jié)課均以命題的真假為載體，第一課通過判斷命題真假總結出充分條件和必要條件的定義.例1和思考1加深對充分條件判斷方法的理解、探究判定定理與充分條件的關系；例2和思考2加深對必要條件判斷方法的理解、探究性質定理與必要條件的關系.這樣安排一是考慮到教學內容比較抽象，分別探究可以降低難度；二是通過兩個思考問題培養(yǎng)學生的論證能力，為第二課的學習做好鋪墊.

第二課“思考”中給出四個命題，既能總結出充要條件的概念，又給發(fā)現充分不必要條件和必要不充分條件埋下伏筆.通過例3、例4和探究問題的解決，提升學生邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)辯證求實的科學精神.

2 教學困惑

“充分條件與必要條件”原為舊教材選修2-1第一章第一單元內容，安排為2課時，教學對象為高二年級學生.現被調整為新教材必修第一冊第一章第二單元內容，安排為2課時，授課對象為高一年級學生.

除教學模塊上的調整之外，教學內容的安排也有了較大的變化.舊教材第一課同時學習充分條件、必要條件和充要條件，第二課主要為鞏固概念與提升應用；新教材第一課只學習充分條件和必要條件，第二課學習充要條件.新教材在教學目標上突出了素養(yǎng)導向，更重視培養(yǎng)學生的邏輯推理能力與數學表達能力，在教學內容上更重視把握數學本質.

由于這些變化，給一線教師的教學設計帶來許多困惑，也是一種挑戰(zhàn).首先，初中數學知識比較具體，高中數學知識相對抽象.面對剛進入高中學習的新生，如何使其理解抽象的數學概念，并滲透培養(yǎng)其應用概念進行論證的數學能力，順利完成教學目標？其次，充分條件和必要條件是相伴而生的兩個邏輯關系，將這兩個條件放在一起判斷，更有利于學生對兩個條件之間邏輯關系的理解.如何兼顧教材安排和教學內容的邏輯關系？

要解決上面兩個困惑，本課教學中的問題設計、教學環(huán)節(jié)設計與師生互動設計都需要進行一次整合，使得學習既符合概念的邏輯關系，也符合學生認知特點.下面是筆者的具體設計，如有不足之處，望同行批評指正.

3 教學重構

第一課的設計，首先，考慮到充分條件與必要條件相伴而生，從邏輯關系的角度上，應該同時給與判斷，故將例1、例2的學習目標合并起來；其次，結合判斷，要求學生對這兩種條件的邏輯關系有深刻的認知，因此對引例與問題的設計從正反兩個方向反復咀嚼，幫助學生更透徹地厘清充分條件與必要條件的含義與聯(lián)系；最后，在學生充分理解其含義之后，再設置判定定理與充分條件、性質定理與必要條件關系的探究問題，有利于學生從邏輯關系的角度理解探究結果.

第二節(jié)課的設計，充分挖掘教材中思考、探究和例題之間的聯(lián)系，以“判斷充要條件的邏輯過程”為聯(lián)系的紐帶，問題逐層鋪墊引導，讓學生體會應從正逆兩個方向判斷的邏輯思維，將邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透在問題解決的各個環(huán)節(jié)之中.

基于上述分析，教學流程如下：

第一課：判斷命題真假，p與q關系的符號化應用，充分條件的定義與判斷，探究q與p的辯證關系，必要條件的定義與判斷，充分條件與必要條件的定義與相互關系，探究判定定理與充分條件、性質定理與必要條件關系，統(tǒng)總與提升.

第二課：判斷原命題與逆命題真假，充要條件的定義，感受正逆兩個方向判斷充要條件，從正逆兩個方向探究其他三種邏輯關系，充要條件的實際應用，從正逆兩個方向探究定義與充要條件關系，證明充要條件.

4 具體設計

4.1 第一課設計要點

(一) 前后銜接、概念引入

例1指出下列“若p，則q”形式命題中的p與q，判斷哪些是真命題？哪些是假命題？

(1) 若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；

(2) 若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；

(3) 若a=b，則ac=bc；

(4) 若x=1，則x2=1；

(5) 若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b.

設計意圖：鞏固命題中的p與q，以命題的真假為載體，引出p和q的符號關系.

(二) 問題引領、概念形成

1. 逐層設問、感知概念

若命題“若p，則q”為真，即p經過推理可以得出q，這時我們就說，p可以推出q，記作p?q，若命題“若p，則q”為假，則p不能推出p，記作p?/q.

問題1請你利用p?q，p?/q表示上面命題中p與q的關系.

若p?q，即當p成立時，足夠充分保證q成立，此時稱p是q成立的充分條件；若p?/q，即當p成立時，不足以保證q成立，此時稱p不是q成立的充分條件.

問題2從“充分條件”的角度上，說一說上面命題中p與q的關系.

問題3在p?q的前提下，q一定可以推出p嗎？

問題4問題3的基礎上，當q不成立時，p成立嗎？

雖然，當p能推出q時，q不一定能推出p，但當q不成立時，p一定不成立，q是p成立的必不可少的條件，因此，我們稱q是p的必要條件.

設計意圖：按照研究步驟(p與q的符號關系→p與q的充分條件關系→q與p的關系探究→q與p的必要條件關系)設計四個問題.從文字語言到符號語言，從符號語言到概念理解，逐步培養(yǎng)用數學的邏輯思維思考問題、用數學的邏輯用語表達問題的能力.問題3和問題4的連環(huán)設計，幫助學生理解“必要條件”的含義，同時，讓學生感受辯證思維的應用，促進其邏輯推理素養(yǎng)的提升.

2. 水到渠成、概念形成

介紹充分條件與必要條件的概念與邏輯聯(lián)系.

(三)解決問題、內化概念

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件，同時，q是p的必要條件？

(1) 若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；

(2) 若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；

(3) 若x2-4x+3=0，則x=1；

(4) 若x，y為無理數，則xy為無理數；

(5) 若兩個三角形全等，則它們的周長相等.

(四) 探究問題、升華概念

探究1命題“若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形”中，給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？你能再給幾個嗎？

總結：(1) 寫充分條件，就是寫一個條件，使得其可以推出q；(2) 使得q成立的充分條件p是不唯一的；(3) 判定定理都給出了相應結論的一個充分條件.

問題5你能寫出幾個使“三角形相似”成立的充分條件嗎？

探究2命題“若兩個三角形全等，則它們的周長相等”中，給出了“兩個三角形全等”的一個必要條件，即“它們的周長相等”.這樣的必要條件唯一嗎？你能再給幾個嗎？

總結：(1) 寫必要條件，就是寫p可以得到的一個正確結論；(2) 給定條件p，由p可以推出的必要條件q是不唯一的；(3) 性質定理的結論都是給出了一個必要條件.

問題6你能寫出幾個使“三角形相似”成立的必要條件嗎？

探究3寫出使“x>2”成立的一個充分條件，寫出使“x>2”成立的一個必要條件.

設計意圖：探究1和探究2目的在于加深對“充分條件”和“必要條件”含義的理解，并幫助學生理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件的關系.探究3則進一步提升學生數學抽象、邏輯推理素養(yǎng)，從具體上升到抽象，研究“x>2”的充分條件和必要條件，從概念的角度上再認識“充分條件”和“必要條件”.

4.2 第二課設計要點

(一) 前后銜接、概念引入

例3下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它的逆命題都是真命題？

(1) 若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；

(2) 若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；

(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則ac<0；

(4) 若A∪B是空集，則A與B均是空集.

問題7命題(1)中，p是q的什么條件，為什么？

設計意圖引導學生，利用充分條件和必要條件的定義，從正逆兩個方向判定p與q的關系，引出充要條件的定義.

(二)問題引領、概念形成

介紹充要條件的定義(略).

1. 逐層設問、感知概念

問題8若p是q的充要條件時，q是p的什么條件？

問題9以上命題中還有充要條件嗎？

問題10命題(2)(3)中p是q的什么條件?嘗試論證.

問題11命題(2)(3)中q是p的什么條件?嘗試論證.

問題12除了上述幾個關系外，p與q還有其他關系嗎?相應的原命題和逆命題真假是怎樣的？

2. 水到渠成、概念完善

介紹充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件和既不充分也不必要條件.(略)

設計意圖：逐層設問，引導學生利用充分條件和必要條件的定義，發(fā)現p與q的關系，感受相伴而生的q與p的關系.并利用定義口述論證關系，培養(yǎng)學生數學論證能力、辯證思維與嚴謹的科學精神，促進邏輯推理素養(yǎng)的提升，同時為定義與充要條件的關系及充要條件的證明做好鋪墊.

(三) 解決問題、應用概念

例4下列各命題中，p是q的什么條件，同時，q是p的什么條件？

(1)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；

(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；

(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；

(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0.

(四) 探究問題、內化概念

探究4請給出“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件，并嘗試論證.

問題13你還能給出其他“四邊形是平行四邊”的充要條件，并簡單論證嗎？

結論1：寫結論q的一個充要條件p，其應滿足兩方面，即p能推出q，反之，q也能推出p.

結論2：我們可以利用充要條件給出一個概念的定義.

問題14請你利用充要條件給出“兩個三角形全等”的定義.

結論3：由于定義是充要條件，因此要給出定義必須滿足兩個方面，p?q，q?p，即p?q.

設計意圖：進一步應用充分條件和必要條件的定義論證充要條件，感受定義的充要性，區(qū)分條件p與結論q，為證明充要條件做好準備.

5 教學體會

兩課依照小單元結構設計，第一課為第二課鋪墊，符合知識“螺旋上升”的學習方式.

“必要條件”是學生學習的難點，在以往的學習中多數學生不理解“必要”的意義，只能通過“名詞記背”的方式學習這個概念.第一課中問題3、4針對“必要”的意義而設計，讓學生感受到了“雖然，q成立時，p不一定成立，但是，當q不成立時，p一定不成立，q是p成立的必不可少的條件”.

“證明充要條件”也是學生學習的難點，在以往的學習中學生不理解為什么要從“充分性”和“必要性”兩個方面證明，作業(yè)通常也只證一個方面，根本原因是對“充要條件”的邏輯關系理解不夠深入.第二課的例題和問題均要求學生從兩個方面口述論證，培養(yǎng)學生的“邏輯”意識.通過學習的深入，學生從“被牽引式論證”，到“意識到兩方面論證的需要”，數學思維的辯證性和邏輯性得到發(fā)展.

兩課均突出了“以學為主，以教為輔，有數學味”的理念.首先，問題面向“學習需要”而設計，符合學生的最近發(fā)展區(qū)，因此課堂有效互動頻繁；其次，問題符合數學學科特點，具有邏輯性、辯證性和科學性，利于學生數學核心素養(yǎng)的提升；最后，學生互動間產生了許多有趣的結論，將學習逐漸引向深入，課堂目標達成度高.