雷安桃

(凱里學(xué)院，貴州凱里，556000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》指出：“通過(guò)數(shù)學(xué)的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性；能夠運(yùn)用符合運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題；能夠發(fā)展質(zhì)疑問(wèn)難的批判性思維.[1]”這說(shuō)明從辯證的角度去分析問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的批判性思維，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力是十分重要的.本文以辯證思維為視角，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力進(jìn)行思考和研究.

1 透過(guò)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

1.1 概念與背景

透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)是辯證思維的一個(gè)重要方面，我們對(duì)事物的思考不能僅僅停留在表面，要學(xué)會(huì)透過(guò)表面去看到事物所固有的本質(zhì)屬性，在數(shù)學(xué)中，情境化、多變式的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往無(wú)法使學(xué)生透過(guò)情境抓住數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.2 教學(xué)實(shí)施

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，不要被數(shù)學(xué)知識(shí)的表面現(xiàn)象所迷惑.要學(xué)會(huì)透過(guò)數(shù)學(xué)的現(xiàn)象去揭示其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并利用揭示的數(shù)學(xué)規(guī)律解決問(wèn)題，提升解決一類問(wèn)題的能力.

如何在教學(xué)中去引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)圖形這個(gè)現(xiàn)象去把握本質(zhì)呢？例如在多邊形內(nèi)角和教學(xué)中，教師在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和練習(xí)中有這樣一道問(wèn)題：

(1) 求下列三個(gè)圖形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

圖1

圖2

圖3

(2) 求一下圖形中∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).

圖4

圖5

圖6

問(wèn)題1：這幾個(gè)圖形有什么樣的聯(lián)系？

通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)圖2是由圖1中的點(diǎn)A轉(zhuǎn)移到線段BE的下方，圖3是由圖1的點(diǎn)B和點(diǎn)E移到圖形中間，圖4、圖5、圖6分別是把圖1、圖2、圖3中的頂點(diǎn)A切成線段GF，也就是說(shuō)后面的五個(gè)圖形都是由圖1演變而來(lái)的，這是他們之間的聯(lián)系.

問(wèn)題2：既然它們之間有如此聯(lián)系，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？

連接線段CD，我們發(fā)現(xiàn)可以把第一題的5個(gè)角內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形求解，把第二題中的六個(gè)角的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成我們熟悉的四邊形進(jìn)行求解.

問(wèn)題3：這6個(gè)圖形都可以用什么方法進(jìn)行求解？

多邊形的內(nèi)角和公式：(n-2)×180°進(jìn)行求解.

在這個(gè)過(guò)程中我們透過(guò)這些不同圖形的表象，揭示它們之間的本質(zhì)是多邊形的內(nèi)角和，這種由此及彼、由表及里的思索，可以讓學(xué)生們更好地揭示問(wèn)題的規(guī)律.

2 化動(dòng)為靜，靜觀其變

2.1 概念與背景

辯證唯物主義告訴我們：運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)存在的方式和固有屬性，是永恒的，絕對(duì)的；而靜止則是相對(duì)的，暫時(shí)的，是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，這就是運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)[2].正如人在坐火車時(shí)，人沒(méi)有感覺(jué)在動(dòng)，卻感覺(jué)到車窗外的樹(shù)木和建設(shè)在飛快地往后倒退，這種“車靜而物動(dòng)”啟發(fā)我們，有時(shí)候“靜止”的狀態(tài)是伴隨著“運(yùn)動(dòng)”的，這也可以說(shuō)化動(dòng)為靜，靜觀其變，我們只有在運(yùn)動(dòng)的事物中尋求相對(duì)的靜止，才能去把握住事物的本質(zhì).在初中常見(jiàn)的問(wèn)題中就是圖形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

2.2 教學(xué)實(shí)施

教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)和靜止的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題并解決問(wèn)題，在看待問(wèn)題的時(shí)候要多方面思考，走出自己固有的思維，在解決問(wèn)題的過(guò)程中要學(xué)會(huì)變換看問(wèn)題的思路，尋找多種多樣的解題方法.

在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)和靜止的觀點(diǎn)解決問(wèn)題呢？例如在初步講動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專題中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9 cm，BC=6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AD的方向向終點(diǎn)D以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APCB為平行四邊形.

問(wèn)題：如何用把運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)P化為靜止的平行四邊形？

最終是求APCB為平行四邊形，所以可以利用平行四邊形的性質(zhì)去求得動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)的距離.

∵四邊形APCB為平行四邊形，

∴BC=AP且BC=AP，

∴AP=6，∴t=6.

這個(gè)題目是最簡(jiǎn)單的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形類型，解決這一類動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形的問(wèn)題，分析圖形變化過(guò)程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，確定特殊圖形中動(dòng)點(diǎn)的位置，畫出符合題意的圖形——化動(dòng)為靜，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.因此，在變化中找到不變的性質(zhì)是解決“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).在教學(xué)中確立這種“化動(dòng)為靜，靜觀其變”的觀點(diǎn)，可以使學(xué)生在解題時(shí)開(kāi)拓視野，對(duì)于提高學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力著不可估量的影響.

3 代數(shù)與幾何互化

3.1 概念界定與背景

唯物辯證法指出， 客觀事物是發(fā)展變化的，不同事物間存在著種種聯(lián)系， 各種矛盾無(wú)不在一定的條件下轉(zhuǎn)化[3].著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形相助雙翼飛”.這說(shuō)明在初中數(shù)學(xué)中，代數(shù)與幾何是密不可分的，形成你中有我，我中有你.

3.2 教學(xué)實(shí)施

在遇到一些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)已知條件中特有的形式與特征，利用圖形轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題有時(shí)候更利于解決問(wèn)題.幾何問(wèn)題也是如此.在教學(xué)中我們?nèi)绾稳ミM(jìn)行代數(shù)與幾何的互化呢？例如在講解一元二次方程組時(shí)，我們會(huì)利用圖形法求解一元二次方程組所構(gòu)成的區(qū)域面積.

問(wèn)題：直線y1、y2的圖形分別是怎么樣的？與坐標(biāo)軸相交后的圖形面積怎么求？

這個(gè)問(wèn)題是典型的代數(shù)問(wèn)題，但是用代數(shù)思維我們無(wú)法快速求解，也就是如果借助函數(shù)圖象學(xué)生很難做出來(lái)，所要先引導(dǎo)學(xué)生畫出兩條直線的圖象，再去求交點(diǎn)問(wèn)題和面積就很簡(jiǎn)單了.

根據(jù)圖象可得交點(diǎn)P為(2， 1)

代數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，我們要在教學(xué)中滲透代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化的辯證思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，用不同的角度去思考問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，這對(duì)學(xué)生的解決問(wèn)題能力十分重要.

4 聯(lián)系與發(fā)展

4.1 概念界定及背景

唯物辯證法告訴我們，事物之間存在著普遍的相互聯(lián)系，而且還在不斷地變化與發(fā)展[3].在數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)系是指數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著某種共性，并且由此共性能發(fā)展成下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)之間存在的包含關(guān)系.

4.2 教學(xué)實(shí)施

在教學(xué)中，我們不光是要學(xué)習(xí)一種知識(shí)，而是要從中找到知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)發(fā)展為一類連貫知識(shí)，由點(diǎn)形成面，又能從面中準(zhǔn)確找到點(diǎn)的位置，用聯(lián)系與發(fā)展的觀點(diǎn)看待知識(shí)，學(xué)生就會(huì)明白所學(xué)的知識(shí)都不是單獨(dú)存在的、靜止的，而是可以由點(diǎn)成面地存在著相互聯(lián)系和變化發(fā)展的.例如在學(xué)完平行四邊形一章節(jié)之后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的總結(jié)，從中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系與發(fā)展.

請(qǐng)你歸納一下本章我們所學(xué)的知識(shí)，試著尋找它們之間的聯(lián)系點(diǎn).

首先我們先從簡(jiǎn)單的平行四邊形出發(fā)，由邊的特性可以得到菱形，由角的特性可以得到矩形，而正方形又是特殊的矩形，由此我們可以發(fā)現(xiàn)菱形和矩形都是由平行四邊演變而來(lái)，只不過(guò)一個(gè)是領(lǐng)邊相等，一個(gè)是有一個(gè)為直角.由此讓學(xué)生由一個(gè)點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)變成一個(gè)面的知識(shí)點(diǎn)，那學(xué)生在遇到有關(guān)矩形或菱形問(wèn)題時(shí)就可以想到利用平行四邊形的相關(guān)知識(shí)求解，學(xué)生的知識(shí)面廣了，解決問(wèn)題的能力自然就提升了.

5 可逆性思維

5.1 概念與背景

可逆思維是辯證思想的一部分，可逆是學(xué)生在遇到正向思維無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)“倒”著思考問(wèn)題，改變思考問(wèn)題的角度的方向分析問(wèn)題.

5.2 教學(xué)實(shí)施

在初中數(shù)學(xué)中，運(yùn)用可逆思維解決問(wèn)題還是很多的， 比如：完全平方差公式的逆運(yùn)算，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)等.在一般考試中出現(xiàn)正面解決問(wèn)題的比較少，更多的是可逆的和綜合性的.所以，教師在教學(xué)時(shí)，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念和公式進(jìn)行剖析變式，培養(yǎng)其可逆性思維.比如在講解完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此公式進(jìn)行逆用.

(1) 計(jì)算1.232+0.762+2.46×0.76；

問(wèn)題：這三個(gè)題目怎么計(jì)算？

提示：(1)第一個(gè)題目直接就是完全平方公式的逆用，學(xué)生可自行完成.

分析：(2)對(duì)分母逆用平方差公式，這是學(xué)生思考該題目的難點(diǎn)，分母可以利用平方差公式解決.分母=(2 0082-1)+(2 0102-1)

=(2 008+1)(2 008-1)+(2 010+1)

(2 010-1)

=2 009×2 007+2 011×2 009.

至此，學(xué)生自然就能把這個(gè)問(wèn)題解決了.

解決：(3)看著難其實(shí)簡(jiǎn)單.第一步利用完全平方差展開(kāi)：第二步展開(kāi)之后看這些式子有沒(méi)有相似簡(jiǎn)便算法；第三步解決問(wèn)題.

在課堂中對(duì)學(xué)生多進(jìn)行可逆思維的訓(xùn)練，進(jìn)行正逆向問(wèn)題對(duì)比，學(xué)生能清晰地理解正問(wèn)題的已知和所求正好是逆問(wèn)題的所求和已知，解題思路相反，從列式上看運(yùn)算也是互逆的.這樣學(xué)生對(duì)應(yīng)用題，特別是對(duì)逆問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，有深刻的認(rèn)識(shí)，可逆性思維又得到培養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的可逆性思維.

6 不可忽視的批判性思維

6.1 概念與背景

思維批判性的高層次表現(xiàn)為思維的論證性[4].擁有這種思維的學(xué)生看問(wèn)題時(shí)總有自己獨(dú)特的見(jiàn)解，善于思考為什么，喜歡發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，他們會(huì)十分耐心地去判斷問(wèn)題的真實(shí)性和根據(jù)，從而去偽存真，揭示問(wèn)題正確的因果關(guān)系.

6.2 教學(xué)實(shí)施

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行反思訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析.教師要善于激發(fā)學(xué)生的批判性思維，多讓學(xué)生想一想“為什么要這么做？”“這樣的做法合不合理？”“怎樣做才是對(duì)的？”

例如在反比例教學(xué)中，有這樣一道練習(xí)題：

師：你為什么會(huì)想到這么做這個(gè)題目？

師：你覺(jué)得不等號(hào)的方向要改變嗎？

生：不用改變.

師：為什么不用改變呢？

生：應(yīng)該要改變吧，比較未知數(shù)的正負(fù)未定.

師：那你再想一想怎么做更合理呢？

生：可以分類討論和畫圖象.

在上面的教學(xué)過(guò)程中，老師利用學(xué)生比較容易犯的錯(cuò)誤，可以通過(guò)類似不斷地詢問(wèn)學(xué)生為什么，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方面思考，培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維.

基于辯證思維培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，不僅僅只是上面闡述的六點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)中的辯證關(guān)系是十分豐富的，作為一名教師，不僅是傳授知識(shí)，更重要的是通過(guò)知識(shí)的傳授，去培養(yǎng)學(xué)生辯證思考問(wèn)題的習(xí)慣，提高學(xué)生的辯證思維能力.因此，既要讓學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)透過(guò)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，也要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)和靜止的觀點(diǎn)看問(wèn)題，尋找問(wèn)題的聯(lián)系與發(fā)展，在代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題中互化，對(duì)問(wèn)題學(xué)會(huì)從反面思考，培養(yǎng)可逆思維，對(duì)問(wèn)題要敢于質(zhì)疑，培養(yǎng)批判性思維，最終達(dá)到更好地培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力.