傅蘭英

(浙江省杭州市西湖區(qū)教育發(fā)展研究院，浙江杭州，310020)

“學(xué)，源于思，始于問.”問題是知識(shí)的源泉，是智慧的搖籃. 在課堂教學(xué)中，問題貫穿整個(gè)課堂，問題的質(zhì)量很大程度上影響學(xué)生素養(yǎng)的培育和思維的發(fā)展，要在教學(xué)中落實(shí)思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 下面以浙教版八年級(jí)下冊(cè)第三章“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”為例，說明如何利用問題鏈引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想，幫助學(xué)生建立統(tǒng)計(jì)觀念.

1 分析內(nèi)容，構(gòu)建整體教學(xué)問題鏈

數(shù)據(jù)的分析是“統(tǒng)計(jì)與概率”板塊中的重要內(nèi)容，涉及分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度的常用方法，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對(duì)“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”一節(jié)的目標(biāo)要求是：體會(huì)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的方差. 在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量(平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù))，會(huì)描述一組數(shù)的集中趨勢(shì)，而“各數(shù)據(jù)之間的差異情況如何？”“如何用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行描述？”也是實(shí)際問題中值得研究的問題. 因此確定本節(jié)課教學(xué)的問題鏈(關(guān)鍵問題)：如何反映數(shù)據(jù)的離散程度；如何定量刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；如何運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量解決問題.

圖1

2 設(shè)計(jì)流程，突破統(tǒng)計(jì)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)

基于以上的分析，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思辨、分析、決策、審視獲得構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的方法，即通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題(如何反映數(shù)據(jù)的離散程度)；定量刻畫，解決問題(確定參照基準(zhǔn)→刻畫數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度→修正樣本容量不同對(duì)結(jié)果的影響)；合理規(guī)劃，應(yīng)用方法(解決實(shí)際問題)；梳理總結(jié)，類比遷移(歸納構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的方法)四個(gè)步驟，提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng).

2.1 思辨：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

為了讓學(xué)生接受學(xué)習(xí)反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量的意義，本環(huán)節(jié)將通過設(shè)置問題情境，讓學(xué)生體會(huì)到已學(xué)的統(tǒng)計(jì)量(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))無法解決新問題，引發(fā)認(rèn)知沖突.引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的離散程度，即研究數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，進(jìn)而提出關(guān)鍵問題：如何反映數(shù)據(jù)的離散程度？提出解決問題的方案，突出用新的特征數(shù)來解決問題的必要性.

問題1：甲、乙兩名射擊手的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下，現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，你認(rèn)為挑選哪一位比較適宜？為什么？

表1

追問1：你會(huì)先計(jì)算哪些特征數(shù)？結(jié)果如何？

追問2：如果要選擇發(fā)揮更穩(wěn)定的選手，應(yīng)該怎么選？

追問3：有什么方法來判斷兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？

2.2 分析：定量刻畫，解決問題

要研究一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小可以從定性、定量?jī)蓚€(gè)角度進(jìn)行，若是定性則可以利用折線統(tǒng)計(jì)圖直觀地呈現(xiàn)結(jié)果；若是定量則需要引入新的特征數(shù)，用于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，即解決“如何定量刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？”這一問題. 本環(huán)節(jié)通過三個(gè)探究(如何確定參照基準(zhǔn)→如何刻畫數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度→如何避免樣本容量不同對(duì)結(jié)果的影響)，讓學(xué)生完整經(jīng)歷方差概念和計(jì)算公式探究的全過程，對(duì)知識(shí)有更深刻的理解，并在不斷啟發(fā)學(xué)生思考的過程中，培育了學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維和學(xué)科素養(yǎng).

探究一：如何確定參照基準(zhǔn)

學(xué)生在構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的過程中，即探究數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度時(shí)，通常想到求“極差”(最大值-最小值)的方法，引導(dǎo)學(xué)生明確極差僅反映這組數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值的離散程度，沒有充分利用所有數(shù)據(jù)，不具有普遍性，讓學(xué)生進(jìn)一步探究.

問題2：通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)無法刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，但能否通過這三個(gè)特征數(shù)來反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況？

追問1：為考慮所有數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，你認(rèn)為將哪個(gè)量作為波動(dòng)時(shí)的參照基準(zhǔn)較合適？

追問2：回憶平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，思考刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)選擇哪個(gè)量為參照基準(zhǔn)？

探究二：如何刻畫數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度

通過分析，學(xué)生選擇合適的統(tǒng)計(jì)量(平均數(shù))作為反映一組數(shù)據(jù)上下波動(dòng)程度的參照基準(zhǔn).針對(duì)如何刻畫數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，在探究過程中讓學(xué)生小組合作，思維碰撞，對(duì)不同方式進(jìn)行比較和修正.

問題3：如何刻畫一個(gè)數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的程度？

追問1：如何刻畫一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的程度？

追問2：分析比較結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么問題？如何修正你的計(jì)算方法？

學(xué)生通過問題鏈思考，嘗試計(jì)算一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)做差來刻畫離散程度，分析思路并不斷修正計(jì)算方案. 為消除正負(fù)抵消的影響，學(xué)生會(huì)再嘗試以下方式：①將所得的差加上絕對(duì)值、求和；②將所得的差平方、求和. 以上兩種方法如何取舍，教師需要進(jìn)一步引導(dǎo)，接著通過以下的原題變式來實(shí)現(xiàn).

問題4：原題變式為“增加甲、乙第六次和第七次成績(jī)的數(shù)據(jù)”，以上算法能否客觀地比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？

表2

追問：根據(jù)前面結(jié)論(偏差的絕對(duì)值之和、偏差的平方之和)計(jì)算，是否都能反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度？

學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)計(jì)算偏差的絕對(duì)值之和某些情況下無法反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，而偏差的平方之和使原本較小的差距拉大，更精確地刻畫數(shù)據(jù)穩(wěn)定性大小，為后續(xù)繼續(xù)探究做鋪墊.

探究三：如何避免樣本容量不同對(duì)結(jié)果的影響

在探究過程中，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步考慮樣本容量對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算的影響. 教師通過原問題變式與學(xué)生一起探索和修正計(jì)算方法.

問題5：原題變式為“增加甲第六次和第七次成績(jī)，乙不變”，以上算法能否客觀地比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？

表3

追問：還可以怎么來修正你的計(jì)算方法？

通過原問題的再次變式，探究數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)對(duì)偏差的平方之和造成影響，得出結(jié)論：避免影響產(chǎn)生的解決方法是取結(jié)果的平均數(shù)(偏差平方的平均數(shù))，進(jìn)一步修正了計(jì)算方案，從而獲得方差的概念、計(jì)算公式和意義.

問題6：利用方差的知識(shí)解決下列練習(xí).

練習(xí)1：為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，分別從中抽出10株苗，測(cè)得苗高如下(單位：cm)，請(qǐng)問哪種小麥長(zhǎng)得比較整齊？

甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；

乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16.

追問1：在比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，一定要平均數(shù)相同嗎？

追問2：方差的單位是什么？怎么設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量令它具有實(shí)際意義？

通過練習(xí)幫助學(xué)生鞏固方差計(jì)算公式的運(yùn)用，在理解方差意義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步讓學(xué)生理解考察一組數(shù)據(jù)離散程度的必要性. 并順勢(shì)得到標(biāo)準(zhǔn)差的概念，并指出標(biāo)準(zhǔn)差也是反映數(shù)據(jù)的離散程度的. 并用以下兩個(gè)針對(duì)練習(xí)鞏固方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念.

2.3 決策：合理規(guī)劃，應(yīng)用方法

基于已學(xué)的各類統(tǒng)計(jì)量以及對(duì)它們含義的理解基礎(chǔ)，進(jìn)而設(shè)置綜合性習(xí)題進(jìn)行知識(shí)鞏固，讓學(xué)生感受“如何運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量解決問題？”實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)概念更全面地認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力. 通過練習(xí)2將學(xué)習(xí)過的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題，重點(diǎn)探究從不同的角度分析問題時(shí)，要選取不同的統(tǒng)計(jì)量，體現(xiàn)各統(tǒng)計(jì)量的不同意義.

練習(xí)2：甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績(jī)情況如圖所示：

圖2

(1) 填寫下表：

表4

(2) 請(qǐng)從下列四個(gè)不同的角度，結(jié)合不同的統(tǒng)計(jì)量對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析：①誰的成績(jī)更穩(wěn)定？②誰的總體成績(jī)好些？③誰得高分的機(jī)會(huì)大？④分析誰更有潛力？

2.4 審視：梳理總結(jié)，類比遷移

課堂總結(jié)時(shí)，利用問題鏈帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課方差概念的形成過程：

①為什么要學(xué)習(xí)方差？

②在引入方差的過程中為什么要與平均數(shù)作差？

③為什么取偏差的平方，不取絕對(duì)值？

④為什么在求出各偏差的平方后，要除以n？

⑤方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

⑥方差與標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的什么特性？

理解方差的意義和作用，梳理構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量(方差)的過程，即知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，形成統(tǒng)計(jì)的一般觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容做好鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生類比遷移的能力.

3 反思成效，尋求認(rèn)知結(jié)構(gòu)延伸區(qū)

科學(xué)教育的目的是培養(yǎng)知情的決策者，使學(xué)生具有進(jìn)行正確決策的知識(shí)基礎(chǔ)和能力.基于關(guān)鍵問題為導(dǎo)向，以問題鏈為各教學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié)的載體是初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的新思路，通過觀察，發(fā)現(xiàn)，質(zhì)疑、思考的過程，引發(fā)認(rèn)知沖突，主動(dòng)探究知識(shí)的建構(gòu)路徑，促進(jìn)知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成，為深度學(xué)習(xí)的理解與運(yùn)用尋找到一個(gè)有效的突破口，它可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，調(diào)動(dòng)深度思考的熱情，進(jìn)而由淺入深挖掘知識(shí)的聯(lián)系，打開認(rèn)知結(jié)構(gòu)延伸區(qū)，形成提出問題、分析問題、解決問題的習(xí)慣，逐步培養(yǎng)良好的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念.