白 羽,車君彥,王彥博,戴玉蓉

(東南大學(xué) a.物理學(xué)院，江蘇 南京 211189；b.吳健雄學(xué)院，江蘇 南京 211102)

在盧瑟福散射中，發(fā)生大角度散射的α粒子會(huì)和靶中其他原子發(fā)生多次小角度散射，導(dǎo)致出射α粒子角分布與盧瑟福散射微分截面所描述的角分布有所偏離. 在實(shí)驗(yàn)中對(duì)多次散射過程的處理會(huì)面臨如下困難：a.多次散射過程中主要過程的散射角很小，而小角度散射無法完全由盧瑟福散射微分截面來描述. 一方面，當(dāng)散射角趨于0時(shí)，不能僅考慮原子核與入射粒子間的庫侖力，還需要考慮核外電子的屏蔽效應(yīng)[1]；另一方面，盧瑟福散射微分截面描述的是α粒子與單個(gè)原子核的散射，當(dāng)散射角趨于0時(shí)該截面模型并不適用[2-5]. b.入射粒子的準(zhǔn)直性、靶厚度的不均勻性以及靶、放射源和探測(cè)器的空間位置和幾何尺寸[6]也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來影響.

實(shí)驗(yàn)中，小角度散射數(shù)據(jù)反映了多次散射過程的角分布，因此在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，可以采用小角度散射數(shù)據(jù)與盧瑟福散射模型相結(jié)合的方法來描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). 這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以直接通過小角度數(shù)據(jù)來分析多次散射、入射粒子準(zhǔn)直性等因素造成的影響，而不依賴于盧瑟福散射小角度極限下的理論模型，也不依賴于實(shí)驗(yàn)中難以確定的其他因素，例如入射粒子準(zhǔn)直性、靶孔邊緣散射等先驗(yàn)信息.

1 盧瑟福散射過程與多次散射過程

盧瑟福散射實(shí)驗(yàn)通過測(cè)量α粒子與重原子核(Au和Pb等)大角度散射的微分截面，揭示了原子具有核的結(jié)構(gòu)，即原子的正電荷與大部分質(zhì)量集中在原子尺度約萬分之一的區(qū)域內(nèi). 通過對(duì)經(jīng)典的靜電力場(chǎng)散射過程的推導(dǎo)，可以證明散射微分截面為[7]

(1)

其中，ε0為真空介電常量，Ek為入射α粒子的動(dòng)能，Z1e和Z2e分別為α粒子(Z1=2)與靶原子核(金箔Z2=79)的電荷，θ為α粒子的散射偏轉(zhuǎn)角.

然而在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過程中，α粒子除了發(fā)生盧瑟福模型描述的散射之外，還可能在金箔中發(fā)生多次小角度散射或與靶孔邊緣發(fā)生散射. 這些過程與盧瑟福模型的散射過程先后發(fā)生，對(duì)散射微分截面測(cè)量造成影響. 多次散射的影響如圖1所示. 假設(shè)α粒子與金箔中某一層的Au原子發(fā)生大角度散射，散射偏轉(zhuǎn)角為ψ2. 而在這次散射發(fā)生前，這個(gè)α粒子可能已經(jīng)通過多次小角度散射，與原有的飛行方向發(fā)生了一定的偏離，偏轉(zhuǎn)角為ψ1；而在發(fā)生散射后，α粒子也可能因?yàn)槎啻涡〗嵌壬⑸洌w行方向發(fā)生進(jìn)一步偏離，偏轉(zhuǎn)角為ψ3.

圖1 α粒子穿透金箔示意圖

因此，α粒子穿過金箔整個(gè)過程的效果是在發(fā)生1次大角度散射的基礎(chǔ)上，通過多次散射過程使粒子飛行方向進(jìn)一步發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而使出射α粒子的角分布發(fā)生彌散. 在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，不能簡(jiǎn)單地用總偏轉(zhuǎn)角ψ來代替大角度偏轉(zhuǎn)角ψ2. 如何理解和處理小角度偏轉(zhuǎn)造成的影響，是本文要討論的主要內(nèi)容.

2 實(shí)驗(yàn)裝置與測(cè)量簡(jiǎn)介

散射與粒子探測(cè)裝置被封裝在圓柱形金屬腔內(nèi)，如圖2所示.

圖2 盧瑟福散射裝置示意圖

該裝置包括圓形旋轉(zhuǎn)靶臺(tái)與Si-Au面壘半導(dǎo)體探測(cè)器. 旋轉(zhuǎn)靶臺(tái)可在步進(jìn)電機(jī)帶動(dòng)下進(jìn)行旋轉(zhuǎn). 靶臺(tái)中間，放射源腔室和靶槽位置沿靶臺(tái)直徑分布. 放射源為Am-241，活度為2 mCi，衰變時(shí)發(fā)射出動(dòng)能約為5.486 MeV的α粒子. 靶槽位于靶臺(tái)中心位置，在實(shí)驗(yàn)中，α粒子與靶片(放置于靶槽位置)上的金箔發(fā)生散射，經(jīng)過散射的α粒子可被Si-Au面壘型探測(cè)器(已經(jīng)調(diào)節(jié)好角度)探測(cè)到. α粒子在探測(cè)器中產(chǎn)生的信號(hào)經(jīng)過前置放大器放大和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的數(shù)字化后，被多道讀出系統(tǒng)記錄. 靶片由2.0 cm×2.5 cm的長(zhǎng)方形硬紙板做成，其長(zhǎng)度與靶槽寬度一致. 靶片中間開有圓形靶孔，孔中附有厚度為1.22 μm的金箔. 在α粒子的入射面，孔的直徑約為5 mm，可以起到準(zhǔn)直的作用；在α粒子的出射面，孔的直徑為8 mm，如圖3所示.

圖3 靶片照片

當(dāng)散射角為θ的α粒子指向探測(cè)器中心時(shí)，若只考慮單次大角度散射，并忽略散射角在探測(cè)器探測(cè)單元內(nèi)的變化，探測(cè)器探測(cè)到的α粒子計(jì)數(shù)率期望值為

(2)

其中，n為單位體積內(nèi)的Au原子數(shù)，約為5.91×1022cm-3；d為金箔厚度；I為單位時(shí)間內(nèi)入射到金箔上的α粒子數(shù)；η為探測(cè)器的探測(cè)效率；ΔΩ為探測(cè)器探測(cè)單元對(duì)靶中心的立體角(ΔΩ?4π).將式(1)代入式(2)，可得

(3)

實(shí)驗(yàn)使用CAKE1024軟件進(jìn)行控制和數(shù)據(jù)采集. CAKE1024集成了前端電子學(xué)控制、多道讀出系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集控制和記錄、步進(jìn)電機(jī)控制等功能. 實(shí)驗(yàn)過程基本遵從文獻(xiàn)[8]中的步驟，但在以下2方面做了改進(jìn)：

1)通過擬合小角度散射數(shù)據(jù)確定0°角的位置，而不是通過調(diào)整步進(jìn)電機(jī)來尋找計(jì)數(shù)率最高處對(duì)應(yīng)的角度，結(jié)果更加準(zhǔn)確.

2)根據(jù)對(duì)空靶測(cè)量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在θ<56°時(shí)，本底的計(jì)數(shù)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于實(shí)靶實(shí)驗(yàn)的計(jì)數(shù)率，因此忽略θ<56°時(shí)本底計(jì)數(shù)率；而當(dāng)θ>56°時(shí)，本底計(jì)數(shù)率顯著升高. 補(bǔ)充材料對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了介紹，并通過信號(hào)事例與本底事例能譜的顯著差別對(duì)二者進(jìn)行區(qū)分，補(bǔ)充材料二維碼如圖4所示.

圖4 補(bǔ)充材料二維碼

3 多次散射過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)及其影響

1940年，E. J. Willimas使用卷積研究帶電粒子在物質(zhì)中的多次散射過程[9]. 文獻(xiàn)[10]對(duì)多次散射理論做了全面的綜述，通過幾何方法對(duì)非相干多次散射過程角分布函數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，得到多次散射的角分布函數(shù)的傅里葉變換函數(shù)為單次小角度散射角分布函數(shù)傅里葉變換函數(shù)的乘積. 而根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，多次散射的角分布函數(shù)就是單次散射的角分布函數(shù)的卷積. 文獻(xiàn)[11]中提出多次散射直接以單次散射卷積為出發(fā)點(diǎn). 本文以該思想為基礎(chǔ)，描述采用卷積表示多次散射與單次散射角分布的聯(lián)系.

沿z軸方向(cosθ=0,并記此方向?yàn)棣?)飛行的準(zhǔn)直α粒子束在穿過1層Au原子時(shí)發(fā)生的散射角分布概率密度函數(shù)為

(4)

圖5 連續(xù)散射過程示意圖

這是球面上的卷積，可以被記為

F(2)=F(1)?F(1).

以此類推，如果粒子穿過N層Au原子，總散射截面可以記為N-1次單次散射微分截面的卷積

該角分布在總散射角足夠小時(shí)近似服從高斯分布.在角度足夠大時(shí)，可以認(rèn)為α粒子至少發(fā)生了1次大角度散射，其微分截面由式(1)描述；除了大角度散射外，在穿透金箔過程中，α粒子還與N-1層Au原子發(fā)生散射.因此大角度散射微分截面近似地表示為式(1)與N-1層散射截面的卷積，即

(5)

F(N-1)(Ω)和F(N)(Ω)在小角度處非常接近.另外，可以認(rèn)為只有觀測(cè)點(diǎn)附近的立體角微元對(duì)觀測(cè)結(jié)果有貢獻(xiàn).因此，式(5)中的F(N-1)(Ω)可以近似表示為F(N)(Ω)在小角度的分布，即

(6)

式(6)中卷積并非對(duì)全立體角進(jìn)行積分，而是只限于Ω附近的立體角范圍.如果考慮到入射粒子準(zhǔn)直性、靶孔邊緣的散射和金箔厚度的不均勻性等因素，式(5)中小角度的散射角分布并不能完全由高斯分布描述，但是式(6)仍然近似成立.而此時(shí)式(6)中的F(N)(Ω|θ→0)不僅包括由于多次散射造成偏轉(zhuǎn)的效果，還包含了由于入射粒子準(zhǔn)直性和靶孔邊緣散射等效應(yīng)造成的偏轉(zhuǎn)角大小.

式(5)是球面上的二維卷積，可化簡(jiǎn)為一維卷積，表示為

(7)

其中，Δθ表示對(duì)觀測(cè)點(diǎn)有貢獻(xiàn)的范圍.在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，還可以進(jìn)一步將式(7)中的積分近似由求和代替，即

(8)

(9)

(10)

上述結(jié)論可以通過蒙特卡洛模擬測(cè)試(Toy Monte-Carlo Test)來驗(yàn)證. 在測(cè)試中，模擬2類物理過程:一類是單次散射過程,服從散射角分布[式(1)]；另一類是多次散射過程，服從高斯分布[式(3)]，該分布的σθ=5.48°. 因?yàn)槭?1)有一定的適用范圍，在ψ2=10°處對(duì)單次散射最小偏轉(zhuǎn)角做了截?cái)? 對(duì)大角度散射的觀測(cè)中(要求偏轉(zhuǎn)角不小于30°)，單次散射ψ2<10°的貢獻(xiàn)很小. 在補(bǔ)充材料中對(duì)模擬的細(xì)節(jié)做了更詳細(xì)的說明. 對(duì)每個(gè)α粒子，如果在散射后的飛行方向在探測(cè)器的接受度內(nèi)時(shí)，就記錄下1個(gè)事例. 首先模擬了160億個(gè)先后發(fā)生單次散射和多次散射的α粒子的事例，并模擬對(duì)θ=30°～70°之間的事例進(jìn)行的探測(cè)；另外，還模擬了2億個(gè)只發(fā)生小角度散射的α粒子，并模擬了對(duì)偏轉(zhuǎn)角在θ=-15°～15°之間的事例進(jìn)行的探測(cè)，如圖6所示.

圖6 模擬得到的小角度散射事例率分布

使用小角度散射模擬數(shù)據(jù)分布作為式(8)中的F(N-1)(θ-ψ2)(其中|θ-ψ2|<Δθ=15°).由此，將式(8)計(jì)算的結(jié)果和模擬結(jié)果相比較，發(fā)現(xiàn)二者基本一致.如圖7所示，模型以及模擬結(jié)果都按照計(jì)數(shù)率最高的點(diǎn)(θ=30°)進(jìn)行了歸一化處理.結(jié)果證實(shí)了式(8)可以用來修正因?yàn)槎啻紊⑸鋵?duì)盧瑟福散射的微分截面角分布造成的影響.

圖7 模擬結(jié)果與模型的比較

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型比較

將角分布[式(6)]用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，從θ=-30°～70°的范圍內(nèi)進(jìn)行取數(shù). 其中在θ=-30°～31°的范圍內(nèi)，每隔1°取1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；在θ=32°～70°范圍內(nèi)，每隔2°取1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn). 為了保證統(tǒng)計(jì)量足夠多，在大角度取數(shù)時(shí)，適當(dāng)延長(zhǎng)取數(shù)時(shí)間. 因?yàn)閮x器連續(xù)工作時(shí)間的限制，取數(shù)過程分5批次完成. 在每次取數(shù)開始時(shí)，會(huì)重復(fù)上一次取數(shù)結(jié)束時(shí)的角度測(cè)量. 在θ>50°時(shí)，會(huì)有從靶邊緣之外直接射入探測(cè)器的本底過程. 補(bǔ)充材料中描述了對(duì)此類本底的扣除方法. 圖8所示為測(cè)量到的計(jì)數(shù)率隨角度的分布(不同顏色代表不同批次的數(shù)據(jù))，可以看出，在小散射角區(qū)域，散射截面呈現(xiàn)類似高斯分布的形狀；而在大散射角區(qū)域，數(shù)據(jù)分布明顯偏離高斯分布. 該結(jié)果與預(yù)期一致.

圖8 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)θ=-15°～18°的區(qū)域使用高斯分布擬合，如圖9所示. 在靠近0°的區(qū)域，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與高斯分布有明顯偏離，這是因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)域角分布除了受α粒子與金箔散射的影響，還受入射α粒子方向的準(zhǔn)直性影響.

圖9 使用高斯分布擬合不同角度下小角度散射數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)率

在數(shù)據(jù)中選取偏轉(zhuǎn)角為θ=30°～70°的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，認(rèn)為該范圍內(nèi)探測(cè)到的事例至少發(fā)生了1次大角度散射，并取式(7)中的Δθ=15°. 在圖10所示的大角度散射數(shù)據(jù)中(模型按計(jì)數(shù)率最高的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行了歸一化)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)隨角度的下降速度比盧瑟福散射公式預(yù)言的速度更快；而通過小角度數(shù)據(jù)與盧瑟福散射截面卷積的模型則與數(shù)據(jù)更加符合.

圖10 不同角度的大角度散射計(jì)數(shù)率與模型比較

也可以使用不同的模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖11所示.

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果討論

對(duì)可能影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素做進(jìn)一步分析和討論.

5.1 大角度散射造成的穿透距離的變化

在前面的討論中，假設(shè)了α粒子多次散射與大角度散射無關(guān)，該假設(shè)并不完全準(zhǔn)確. 在實(shí)際情況中，如果粒子在穿透金箔過程中較早發(fā)生大角度散射，那么其將在金箔中飛行更遠(yuǎn)的距離，如圖12所示. 飛行更遠(yuǎn)的距離意味著粒子會(huì)穿透更多層Au原子，因此大角度的多次散射效應(yīng)較之小角度的情況會(huì)更加顯著.

圖12 不同位置發(fā)生大角度散射示意圖

為了研究多次散射與大角度散射之間的相關(guān)性，在模擬的基礎(chǔ)上，進(jìn)行不同位置發(fā)生大角度散射的探究.具體步驟為：1)先隨機(jī)模擬出發(fā)生大角度散射的位置；2)在大角度散射發(fā)生前，根據(jù)粒子穿透的距離模擬多次散射；3)在多次散射的基礎(chǔ)上模擬大角度散射；4)根據(jù)粒子飛出金箔的距離模擬多次散射.

按照實(shí)驗(yàn)結(jié)果設(shè)置模擬參量，以便和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直接比較，最終的模擬結(jié)果如圖13所示(模型及模擬都根據(jù)計(jì)數(shù)率最高的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行歸一).從模擬結(jié)果可知，考慮了大角度散射穿透距離變化的模擬結(jié)果與沒有考慮該因素的模擬結(jié)果的角分布十分接近.

圖13 不同模型的大角度散射數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)率對(duì)比

5.2 電離能損及探測(cè)效率的影響

當(dāng)α粒子通過靶時(shí)，除了與原子核發(fā)生散射，也可以與核外電子發(fā)生散射，這樣的散射使α粒子動(dòng)能降低. 根據(jù)盧瑟福散射微分截面公式[式(1)]，動(dòng)能降低會(huì)導(dǎo)致散射截面變大，從而使得α粒子更容易發(fā)生散射. 對(duì)大角度散射而言，根據(jù)式(1)，動(dòng)能的改變并不會(huì)改變散射α粒子角分布函數(shù)；而對(duì)小角度散射而言，更大的散射截面意味著式(4)中的λ更大，因此相對(duì)于無電離能損的情況，α粒子在通過相同厚度的金箔發(fā)生更多次小角度散射，這會(huì)導(dǎo)致更大的角分布彌散. 另外，電離能損也會(huì)導(dǎo)致探測(cè)器探測(cè)效率的降低. 從數(shù)據(jù)中可以看到，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)隨角度變化的趨勢(shì)仍然快于考慮多次散射效應(yīng)的模型，探測(cè)效率隨散射角的變化可能是影響因素之一.

5.3 散射角度的誤差

在圖8中，同樣角度、但不同批次的數(shù)據(jù)存在顯著差異，例如θ=19°時(shí)第1與第2批次數(shù)據(jù)(分別為藍(lán)色與綠色數(shù)據(jù)點(diǎn))存在差異，θ=26°時(shí)第2與第3批次數(shù)據(jù)(分別為綠線與黑色數(shù)據(jù)點(diǎn))存在差異，這種差異可能來源于步進(jìn)電機(jī)指向角度的誤差. 從圖8中可以看到，第2批次θ=19°時(shí)測(cè)得的計(jì)數(shù)率明顯高于第1批次測(cè)得的計(jì)數(shù)率，這表明第2批次數(shù)據(jù)中散射角θ相較于第1批次數(shù)據(jù)中的θ偏大. 按同樣的道理，在θ=26°時(shí)第3批次測(cè)到的角度也大于第2批次測(cè)到的角度. 如果確實(shí)是角度誤差導(dǎo)致計(jì)數(shù)率發(fā)生突變，將會(huì)導(dǎo)致大角度測(cè)量結(jié)果中，對(duì)實(shí)際散射角估計(jì)偏大. 而小角度時(shí)計(jì)數(shù)率隨角度變化更加迅速，對(duì)散射角的高估將會(huì)導(dǎo)致計(jì)數(shù)率隨散射角變大而下降的速度更快.

6 結(jié)束語

本文研究了多次散射對(duì)盧瑟福散射實(shí)驗(yàn)的影響. 多次散射會(huì)改變出射α粒子的角分布，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析出現(xiàn)一定的偏差. 本文采用卷積來研究多次散射，提出了使用小角度數(shù)據(jù)角分布與盧瑟福散射模型的卷積來描述大角度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法，并通過模擬實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該方法可以較好地描述多次散射的影響. 與盧瑟福散射模型相比，該卷積模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得更好.