裴啟明,周祎凡,蔣 龍

(長江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湖北 荊州 434023)

0 引言

在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中,抗生素的引入為許多疾病提供了良好的治療,尤其是由細(xì)菌引起的嚴(yán)重感染,從而挽救了無數(shù)人的生命.然而,抗生素的廣泛使用和濫用導(dǎo)致其耐藥性逐漸增強(qiáng),而發(fā)現(xiàn)的新抗生素卻越來越少,這給全球健康帶來了危機(jī)[1].

持久性被認(rèn)為是抗生素耐藥性的根本原因[2],它是一種與異質(zhì)細(xì)菌種群相關(guān)的可逆表型轉(zhuǎn)換[3],可以引起抗生素敏感性的非遺傳編碼和可逆損失[4].目前,消除持久性已成為控制抗生素耐藥性的一種新方法.

術(shù)語“持久性”由J.W. Bigger[5]于1944年提出.他將金黃色葡萄球菌的遺傳同質(zhì)菌株長時(shí)間暴露于殺菌濃度的青霉素中,發(fā)現(xiàn)一小部分細(xì)菌能逃脫抗生素的殺傷而存活下來,但其后代仍對抗生素敏感,這就是細(xì)胞的“持久性”,這一小部分細(xì)菌被稱為“持留細(xì)胞”(persistent cells,簡寫為PCs).PCs只是暫時(shí)對抗生素有抗藥性,一旦抗生素壓力下降,它們就會恢復(fù)為正常細(xì)胞(normal cells,簡寫為NCs)[6-7].PCs不是遺傳變異,而是表型轉(zhuǎn)換[8-9].為了響應(yīng)環(huán)境觸發(fā)因素(如資源緊缺或抗生素)的存在,NCs和PCs可以相互轉(zhuǎn)化[5],從而形成雙向表型轉(zhuǎn)換級聯(lián).

目前,已在人類病原體(如金黃色葡萄球菌、結(jié)核分枝桿菌和銅綠假單胞菌)、真核微生物(如白色念珠菌和釀酒酵母)甚至腫瘤細(xì)胞群中發(fā)現(xiàn)了PCs[10],由于PCs可以在抗生素消失后重新啟動(dòng)細(xì)胞分裂[11],因此它們極大地增加了慢性感染的難治性[7],它們在臨床上的相關(guān)性已在實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證[12].因此,消除PCs的策略會改善感染治療的結(jié)果[13].

一方面,在定量生物學(xué)中,在生物分子水平上的隨機(jī)波動(dòng)被稱為“噪聲”或“漲落”[14-16].在細(xì)菌群落中,NCs和PCs除了相互轉(zhuǎn)化外,還可以自我增殖、程序性死亡.這些反應(yīng)均隨機(jī)發(fā)生,從而產(chǎn)生內(nèi)噪聲.微環(huán)境的變化將產(chǎn)生外部噪聲.由此可見,噪聲無處不在.統(tǒng)計(jì)物理理論表明,噪聲與近獨(dú)立粒子的個(gè)數(shù)呈反比.因此,通過NCs和PCs的噪聲特性也可以反映細(xì)胞個(gè)數(shù)的變化.

另一方面,穩(wěn)定性是非線性系統(tǒng)的一個(gè)基本問題.對于物理過程的數(shù)學(xué)模型,只有其穩(wěn)定解才對應(yīng)于自然界中可觀測到的實(shí)際運(yùn)動(dòng)[17].穩(wěn)定性分析是研究非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的關(guān)鍵步驟,如在病毒模型[18-19]、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20]以及種群競爭模型[21-22]中,通過穩(wěn)定性分析可以給出各種動(dòng)力學(xué)行為的參數(shù)范圍,從而為病毒傳播的控制和疾病的臨床治療提供建議和方案[23].

在細(xì)菌群落中,如何不破壞細(xì)胞平衡態(tài)的穩(wěn)定性能消除PCs呢?為了解決這個(gè)問題,本文從穩(wěn)定性角度對在細(xì)菌群落中細(xì)胞的噪聲特性進(jìn)行了研究.在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)中,Gillespie算法能夠解釋在實(shí)際生化反應(yīng)中的噪聲及其相關(guān)性[24].因此,本文理論公式的模擬數(shù)據(jù)均與Gillespie算法的模擬結(jié)果進(jìn)行了比較,以驗(yàn)證理論的正確性.

1 在細(xì)菌群落中的雙向表型轉(zhuǎn)換級聯(lián)

1.1 模型

在細(xì)菌群落中的雙向表型轉(zhuǎn)換級聯(lián)[25]如圖1所示.PCs和NCs都可以自我增殖,單位時(shí)間的增殖率分別為ai(i=1,2,以下相同,不再重復(fù)).由于營養(yǎng)物質(zhì)的限制,ai會受到環(huán)境承載力的影響.另外,為了獲得更多的資源,不同細(xì)胞間存在剝削競爭,使得一種細(xì)胞最大限度地將資源占為己有,從而耗盡另一種細(xì)胞的可用資源.因此,實(shí)際的自我增殖率為a1=k1(1-(N1+N2)/N0),a2=k2(1-(N1+N2)/N0),其中ki分別為NCs和PCs的最大自我增殖率,Ni為細(xì)胞個(gè)數(shù),N0為環(huán)境可承載的最大細(xì)胞數(shù).PCs和NCs可以相互轉(zhuǎn)換,單位時(shí)間的轉(zhuǎn)化率分別為r12、r21.其中PCs僅為一小部分,這表明轉(zhuǎn)化率相對較小,r12、r21可取為常數(shù).PCs和NCs都會死亡,單位時(shí)間的死亡率分別為b1、b2.通常,這2個(gè)死亡率bi也被視為常數(shù).

注:正常細(xì)胞(NCs)和持留細(xì)胞(PCs)可以自我增殖、死亡和相互轉(zhuǎn)化,相應(yīng)的概率分別為ai、bi、rij (i, j=1,2;i≠j).

根據(jù)質(zhì)量定律,這2種細(xì)胞的個(gè)數(shù)隨時(shí)間的演化方程為

dN1/dt=a1N1-b1N1-r12N1+r21N2,

(1)

dN2/dt=a2N2-b2N2-r21N2+r12N1,

(2)

(3)

其中ρ=(k1s2-k2s1+((k1s2-k2s1)2+4k1k2r12r21)1/2)/

(2k2r21);s1=k1-b1-r12,s2=k2-b2-r21,它們分別為NCs和PCs的凈固有增殖率.

1.2 對數(shù)增益

(4)

將式(4)與式(1)、式(2)相結(jié)合,可以得到級聯(lián)中的4個(gè)對數(shù)增益分別為

H11=(k1〈N1〉/N0+ρr21)/(a1+ρr21),

H21=ρ(k1〈N1〉/N0-r21)/(a1+ρr21),

H12=(k2〈N2〉/N0-r12)/(ρa(bǔ)2+r12),

H22=(r12+ρk2〈N2〉/N0)/(ρa(bǔ)2+r12).

(5)

1.3 平均壽命

τ1=(b1+r12)-1,τ2=(b2+r21)-1.

(6)

1.4 Langevin方程

(7)

求解式(7),可得

xi=exp(-Hit/τi).

由此可見,xi隨t呈指數(shù)變化.由于τi>0,所以平衡態(tài)的穩(wěn)定性由Hi唯一決定.當(dāng)Hi>0時(shí),第i種細(xì)胞的平衡態(tài)是穩(wěn)定的,否則不穩(wěn)定.從這個(gè)意義上來說,Hi也可以理解為細(xì)胞平衡態(tài)的穩(wěn)定因子,可被用來判斷細(xì)胞受到干擾后能否恢復(fù)到平衡態(tài).

根據(jù)式(7)中穩(wěn)定性因子Hi的定義,易得

H1=H11+H21,H2=H12+H22.

(8)

由于NCs和PCs可以相互轉(zhuǎn)化,一種細(xì)胞必定受到另一種細(xì)胞的影響,因此,一種細(xì)胞的穩(wěn)定性因子不僅與自身有關(guān),還與另一種細(xì)胞有關(guān).如H11和H21共同確定NCs平衡態(tài)的穩(wěn)定性,H22和H12共同確定PCs平衡態(tài)的穩(wěn)定性,正如式(8)所示.若Hi>0,則NCs和PCs均處于穩(wěn)定平衡態(tài),否則,它們處于不穩(wěn)定平衡態(tài).即一旦NCs或PCs受到干擾,它們就將遠(yuǎn)離平衡態(tài).

2 噪聲公式

在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)中,主方程可以給出每個(gè)生化反應(yīng)的聯(lián)合概率分布.然而,在大多數(shù)情況下,主方程不能精確求解.為了解決該問題,通常將主方程進(jìn)行Ω展開[27],得到Fokker-Planck方程.而在平衡態(tài)下,Fokker-Planck方程的系數(shù)滿足漲落-耗散關(guān)系[26]

MV+(MV)T+D=0,

(9)

其中V是協(xié)方差矩陣,其對角元Vii為方差,代表第i種細(xì)胞中的噪聲;非對角元Vik(k≠i)為協(xié)方差,表示第i種細(xì)胞的噪聲與第k種細(xì)胞的噪聲之間的關(guān)聯(lián)程度;M是漂移矩陣,矩陣元Mik(i,k=1,2)滿足

Mik=-Hki/τi;

(10)

D是擴(kuò)散矩陣,由式(1)～(2)可得

Dik=-(rik/〈Nk〉+rki/〈Ni〉)(k≠i).

(11)

(12)

(13)

由式(12)可知,任一細(xì)胞的噪聲可分解為3部分:內(nèi)噪聲、來自另一種細(xì)胞的傳輸噪聲以及2種細(xì)胞之間的轉(zhuǎn)換噪聲.不同于基因表達(dá)中的內(nèi)噪聲,NCs和PCs的內(nèi)噪聲不僅有純內(nèi)噪聲,還有附加內(nèi)噪聲.純內(nèi)噪聲與細(xì)胞的平均數(shù)成反比,這與公認(rèn)的結(jié)論一致.附加內(nèi)噪聲由擾動(dòng)環(huán)境產(chǎn)生,反映了NCs和PCs之間相互轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的間接影響.第j種細(xì)胞的內(nèi)噪聲可以通過級聯(lián)進(jìn)行傳播,產(chǎn)生第i種細(xì)胞的傳輸噪聲.轉(zhuǎn)換噪聲取決于2個(gè)轉(zhuǎn)換率,反映了NCs和PCs之間相互轉(zhuǎn)化的直接影響.

由式(13)可知,每個(gè)細(xì)胞的附加內(nèi)噪聲和2個(gè)細(xì)胞之間的轉(zhuǎn)換噪聲是協(xié)方差的來源.

3 模擬和結(jié)果

由式(3)可知,平衡細(xì)胞數(shù)取決于在級聯(lián)中每個(gè)生化反應(yīng)發(fā)生的概率.通常,死亡率bi和轉(zhuǎn)化率rij為常數(shù),PCs的最大自我增殖率k2變化也不大.因此,選擇參數(shù)k1為控制變量.為了確保本文中所有參數(shù)的生物學(xué)意義,取0.01≤k1≤0.25.其他參數(shù)值分別為k2=0.121、b1=b2=0.02、r12=r21=0.001、N0=1 000[28],所有參數(shù)均為無量綱.

3.1 穩(wěn)定性因子的特征

聯(lián)合式(5)和式(8),可得穩(wěn)定性因子Hi隨NCs的最大自我增殖率k1的變化曲線(見圖2)(其他參數(shù)值見正文,所有參數(shù)均為無量綱,以下各圖的參數(shù)相同,不再重復(fù)).由此可見,Hi>0.因此,NCs和PCs的平衡態(tài)是穩(wěn)定的,這意味著即使NCs或PCs受到ξ1(t)或ξ2(t)的干擾而瞬時(shí)偏離平衡態(tài),它們也會通過自我調(diào)控而恢復(fù)到平衡態(tài).另外,隨著k1的增加,H1近似線性增加;H2盡管變化不大,但也略有增加.因此,Hi越大,NCs和PCs的平衡態(tài)越難以被破壞.

3.2 穩(wěn)定性因子對平衡細(xì)胞數(shù)的影響

在圖3(a)中,隨著H1的增加,NCs的平衡數(shù)曲線呈“S”形,而PCs的平衡數(shù)曲線呈反“S”形.在圖3(b)中,隨H2的增加,NCs的平衡數(shù)曲線單調(diào)上升,而PCs的平衡數(shù)曲線單調(diào)下降.比較圖3(a)和圖3(b)可發(fā)現(xiàn):盡管最初PCs的平衡數(shù)較大,但隨著Hi的增加,這2種細(xì)胞的平衡數(shù)會發(fā)生交換(數(shù)值略有不同).最終,NCs的平衡數(shù)較大,而PCs的平衡數(shù)相對較小.

圖2 穩(wěn)定性因子Hi(i=1,2)隨NCs的最大自我增殖率k1的變化圖

注:實(shí)線是式(3)的理論預(yù)測,離散的空心符號是Gillespie算法的模擬結(jié)果,虛線和點(diǎn)劃線是輔助線.

3.3 穩(wěn)定性因子對協(xié)方差的影響

聯(lián)立式(5)～(6)和式(13)可得協(xié)方差V12(=V21)隨穩(wěn)定性因子Hi的變化關(guān)系圖(見圖4中的實(shí)線).其中,離散的空心符號是Gillespie算法[24]的模擬結(jié)果.可見,這2種模擬結(jié)果吻合較好.

注:實(shí)線是式(13)的理論預(yù)測,離散的空心符號是Gillespie算法[24]的模擬結(jié)果,點(diǎn)劃線是輔助線.

由圖4可知,對于任意Hi,總有V12<0.因此,NCs的噪聲與PCs的噪聲負(fù)相關(guān).這是因?yàn)樵诩?xì)菌群落中資源是有限的.為了獲得足夠的營養(yǎng),這2種細(xì)胞之間發(fā)生剝削競爭.一種細(xì)胞將盡可能耗盡另一種細(xì)胞的可用資源,導(dǎo)致另一種細(xì)胞的數(shù)量減少,而自身的數(shù)量大大增加.

在圖4(a)中,V12隨H1的變化曲線為較對稱的、開口向上的拋物線.當(dāng)H1=4.81(虛線所示)時(shí),V12的絕對值最大,這表明2個(gè)噪聲之間的關(guān)聯(lián)程度在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)最強(qiáng),細(xì)胞間的相互作用最大.在圖4(b)中,V12隨H2的變化曲線也是開口向上的拋物線,但幾乎不對稱.當(dāng)H2=4.81(虛線所示)時(shí),V12的絕對值也最大,細(xì)胞間的相互作用也最大.

因此,Hi值越大,細(xì)胞的平衡態(tài)越穩(wěn)定,每個(gè)細(xì)胞也相對越獨(dú)立.

3.4 穩(wěn)定性因子對噪聲的影響

聯(lián)立式(5)～(6)和式(12)可得方差Vii(i=1,2)隨穩(wěn)定性因子Hi的變化關(guān)系圖(見圖5中的實(shí)線).其中,離散的空心符號是Gillespie算法[24]的模擬結(jié)果,這2個(gè)模擬結(jié)果也吻合得較好.

注:實(shí)線是式(12)的理論預(yù)測,離散的空心符號是Gillespie算法[24]的模擬結(jié)果,虛線和點(diǎn)劃線為輔助線.

在圖5(a)中,隨著H1的增大,V11曲線呈“Z”字形,而V22曲線呈反“Z”字形.在H1=4.81附近(虛線所示)時(shí)2個(gè)噪聲相等.在圖5(b)中,隨著H2的增加,V11單調(diào)下降,最后趨近于較小的常數(shù),而V22單調(diào)增加,最后趨近于較大的常數(shù).同樣,在H2=4.81附近(虛線所示)時(shí)2個(gè)噪聲相等.

比較圖5(a)和圖5(b)可發(fā)現(xiàn):隨著Hi的增加,2個(gè)噪聲會發(fā)生交換(值略有不同),導(dǎo)致PCs的噪聲V22最終遠(yuǎn)大于NCs的噪聲V11.當(dāng)然,只有當(dāng)Hi的值達(dá)到某個(gè)閾值時(shí),這種交換才會發(fā)生.一旦交換發(fā)生,2種噪聲就將迅速超越強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū)(接近Hi=4.81),這2種細(xì)胞將達(dá)到相對獨(dú)立的平衡態(tài).

聯(lián)合圖5與圖3可知,當(dāng)Hi較大時(shí),PCs的噪聲V22遠(yuǎn)大于NCs的噪聲V11,而PCs的平衡數(shù)遠(yuǎn)小于NCs的平衡數(shù).這些均表明:PCs完全被NCs消除掉,感染即可被治愈.因此,Hi值越大,細(xì)胞的平衡態(tài)越穩(wěn)定,感染越容易被治愈.

4 結(jié)論

在細(xì)菌群落中,為了維持細(xì)胞平衡態(tài)的穩(wěn)定性并避免反復(fù)感染,本文從穩(wěn)定性角度對NCs和PCs的噪聲特性進(jìn)行了研究.研究結(jié)果表明:當(dāng)穩(wěn)定性因子Hi達(dá)到一定閾值時(shí),這2種細(xì)胞的噪聲相互交換并迅速超越強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū),最終導(dǎo)致PCs的噪聲遠(yuǎn)大于NCs的噪聲.此時(shí),PCs幾乎完全被NCs消除,從而感染被治愈.而且,穩(wěn)定性因子Hi越大,NCs和PCs的平衡態(tài)越穩(wěn)定,每種細(xì)胞相對越獨(dú)立,感染越容易被治愈.該結(jié)果可為臨床上治療反復(fù)感染提供理論解決方案.

盡管筆者的一項(xiàng)工作[29]涉及在細(xì)菌群落中的噪聲傳播,但忽略了細(xì)胞平衡態(tài)的穩(wěn)定性.本文從穩(wěn)定性的角度研究噪聲特性,從而得到了治愈反復(fù)感染的一種可能方案.然而,這種細(xì)菌群落的轉(zhuǎn)換級聯(lián)僅包含2種細(xì)胞表型.若級聯(lián)中有更多的細(xì)胞表型(如乳腺癌細(xì)胞系中的管腔細(xì)胞、基底細(xì)胞和干細(xì)胞樣細(xì)胞[30]),則不同細(xì)胞表型之間的相互作用會產(chǎn)生更加復(fù)雜的波動(dòng)環(huán)境,穩(wěn)定性角度下的噪聲特性將會更為豐富,這將是我們未來的工作.