李 聰,王忠華

(南昌航空大學信息工程學院,江西 南昌 330063)

0 引言

振鏡系統(tǒng)是一種高精度、高速矢量的伺服控制系統(tǒng),是實現(xiàn)激光成像的重要基礎設施,主要由掃描反射鏡、驅動電機和控制板組成,在工業(yè)、醫(yī)療、軍事等領域中得到了廣泛的應用,如激光定位、激光醫(yī)療美容、激光雷達掃描等.

在激光雷達掃描中,振鏡在給定期望角位置掃描時容易受到外部擾動和噪聲的影響,為了提高振鏡系統(tǒng)的抗干擾能力和動態(tài)性能,文獻[1]采用了PID控制和重復補償策略,使振鏡系統(tǒng)達到理想的速度和精度;文獻[2]通過引入前向模型干擾觀測器和基于模型的具有有限沖激響應結構的多速率采樣數(shù)據(jù)預測器,提出了一種多速率反饋控制解決策略,用來抑制振鏡系統(tǒng)中的窄帶超奈奎斯特干擾;文獻[3]和文獻[4]通過在振鏡系統(tǒng)PID控制器的微分部分中加入低通濾波器,對振鏡反饋信號進行一部分的處理,降低了系統(tǒng)對外部擾動的敏感度,提升了振鏡系統(tǒng)的抗擾性.

國內(nèi)外學者針對振鏡系統(tǒng)的控制問題,基本上是圍繞傳統(tǒng)的PID控制,而對于現(xiàn)代控制算法的研究相對較少.由于滑模變結構控制具有強魯棒性和強抗擾性,并且其控制結構相對簡單,因而可以將其引入到解決振鏡系統(tǒng)的控制問題中.目前,學者們將滑?？刂坪推渌刂撇呗韵嘟Y合,形成了自適應滑?？刂芠5-6]、滑模自抗擾控制[7]、基于趨近律的滑模控制[8-9]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡的滑?？刂芠10]等連續(xù)滑?？刂品椒?用于控制系統(tǒng)的運動狀態(tài),使之跟蹤上一個給定的期望軌跡,但這與實際中運用離散滑?？刂朴休^大的出入.離散滑模控制會因為外部擾動的變化大而導致切換函數(shù)的切換增益的變化較大,從而產(chǎn)生嚴重的抖振現(xiàn)象.卡爾曼濾波器作為最優(yōu)的狀態(tài)估計算法,具有較好的抗干擾和精確的估計性能[11],可以有效地抑制離散滑?？刂频亩墩駟栴}.

因此,本文提出一種結合卡爾曼濾波器和離散滑?？刂频恼耒R位置跟蹤方法,通過利用卡爾曼濾波器實時估計在振鏡系統(tǒng)中掃描反射鏡的運動狀態(tài),再利用離散滑?？刂七M行反饋控制,能夠使振鏡系統(tǒng)的各狀態(tài)量快速穩(wěn)定,提升振鏡系統(tǒng)的抗干擾能力和位置跟蹤能力.

1 振鏡驅動電機的離散數(shù)學模型

振鏡系統(tǒng)的執(zhí)行模塊主要由驅動電機和掃描反射鏡組成,掃描反射鏡與驅動電機轉子直接相連,因此本文將用直流驅動電機的電壓平衡方程和電機轉子運動方程來構造振鏡系統(tǒng)的驅動電機離散數(shù)學模型[12].

驅動電機電壓平衡方程為

(1)

其中La為電樞電感,ia為電樞電流,Ra為電樞電阻,ua為驅動電機控制電壓,ue為感應電動勢,ke為反電動勢系數(shù),ω為掃描反射鏡的角速度.

驅動電機轉子運動方程為

(2)

其中Te為電磁轉矩,T為掃描反射鏡的轉矩,J為轉動慣量,gm為驅動電機的阻尼系數(shù),kt為轉矩常數(shù).

結合式(1)和式(2),忽略驅動電機的電樞電感的影響,可得驅動電機機械角速度與電壓之間的關系表達式為

(3)

令a=kt/(JRa),b=(kekt/Ra+gm)/J,c=1/J,則式(3)化簡為

(4)

由式(4)可得振鏡系統(tǒng)的驅動電機狀態(tài)方程為

(5)

為實現(xiàn)驅動電機連續(xù)系統(tǒng)轉換成離散數(shù)字系統(tǒng),取采樣周期為Ts,將式(5)離散化可得

(6)

其中Ak、Bk、Ck、Dk分別為式(5)中系數(shù)矩陣的離散化形式,Ak=I+ATs,Bk=BTs,Ck=CTs,Dk=D,I為單位矩陣.

2 振鏡的抗擾位置跟蹤控制器設計

振鏡系統(tǒng)的抗擾位置跟蹤控制器主要由卡爾曼濾波器(KF,Kalman filter)和離散滑模控制器(DSMC,Discrete sliding mode controller)2個部分組成,其中這2個部分是相互解耦的;由于它們的參數(shù)設計互不影響,所以可以將KF和DSMC進行獨立設計.該控制器的結構及算法實現(xiàn)原理如圖1所示.

圖1 KF-DSMC的結構及算法實現(xiàn)原理

2.1 KF設計

在考慮實際應用環(huán)境中存在的外部擾動和噪聲的情況下,在理想狀況下的振鏡系統(tǒng)離散模型(6)可表示為

(7)

其中Wk、Vk分別為過程噪聲和測量噪聲,假設它們相互獨立,且滿足正態(tài)分布,則有

其中Q為過程噪聲協(xié)方差矩陣,Rm為測量噪聲協(xié)方差矩陣.

根據(jù)式(7)可以得出KF的迭代算法.

初始條件:協(xié)方差矩陣Q、Rm和系統(tǒng)狀態(tài)xk;

(ii)計算k時刻到k+1時刻的先驗估計誤差協(xié)方差矩陣p′k+1:

(iii)求出最優(yōu)卡爾曼增益Kk+1.求出卡爾曼增益的目的是消除噪聲和外界干擾對振鏡跟蹤系統(tǒng)的影響,使得卡爾曼濾波器估計的狀態(tài)與系統(tǒng)免受外部擾動和噪聲的真實狀態(tài)更為接近,從而滿足均方誤差最小的原則以實現(xiàn)實時自適應調(diào)整卡爾曼增益.其計算公式為

(v)更新k+1時刻的后驗估計值協(xié)方差矩陣Pk+1:

其中I為單位矩陣.

根據(jù)均方誤差最小原則,系統(tǒng)在外部擾動和噪聲作用時能夠實時自適應地調(diào)整卡爾曼增益Kk+1的值,優(yōu)化控制參數(shù),使掃描反射鏡可以逼近真實的運動狀態(tài).

2.2 DSMC設計

設計以角位置誤差ek為自變量的離散滑模切換函數(shù)為

sk=CeEk=Ce(Rk-xk)=hek+dek,

其中Ce=(h1)為系數(shù)矩陣,h為跟蹤誤差項系數(shù).

為了保證對應的特征多項式λ+h滿足Hurwitz穩(wěn)定,需要特征多項式λ+h的特征值為負數(shù),即要求跟蹤誤差項系數(shù)h>0.

結合振鏡系統(tǒng)的運動狀態(tài)方程(6),并由k時刻的離散滑模切換函數(shù)推導k+1時刻的切換函數(shù)為

sk+1=Ce(Rk+1-xk+1)=Ce(Rk+1-Akxk-Bkuk-CkT).

(8)

在離散滑?？刂破髟O計中,高為炳等[13]提出的趨近律是一種簡單且有效的設計方法,其核心思想是通過構造滿足離散滑模到達性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設計的切換函數(shù)求取離散滑?？刂坡?高為炳等[13]提出的離散指數(shù)趨近律為

sk+1=sk+Ts(-εsgn(sk)-qsk),

(9)

其中q>0,ε>0,1-qTs>0,Ts為采樣時間,sgn(·)為符號函數(shù).

通過式(9)設計的離散滑?？刂破骶哂姓`差收斂快的優(yōu)點,再結合所設計的卡爾曼濾波器對外部擾動的補償作用,可以降低外部擾動的上界值,從而有效抑制在滑模控制中的抖振現(xiàn)象.

結合k+1時刻的離散滑模切換函數(shù)(8)和離散指數(shù)趨近律(9),得出振鏡位置跟蹤系統(tǒng)的控制律為

uk=(CeBk)-1(CeRk+1-CeAkxk-CeCkT-sk+εTssgn(sk)+qTssk).

為保證所設計的離散滑?？刂坡煽梢允拐麄€振鏡系統(tǒng)穩(wěn)定,則趨近律(9)應滿足到達條件

|sk+1|<|sk|.

證由于離散指數(shù)趨近律滿足q<0,ε>0,1-qTs>0,所以有

(sk+1-sk)sgn(sk)=(-qTssk-εTssgn(sk))·sgn(sk)=-qTs|sk|-εTs|sk|<0,

(10)

又因為采樣時間Ts很小,2-qTs?0,故有

(sk+1+sk)sgn(sk)=(sk+1-sk+2sk)sgn(sk)=((2-qTs)sk-εTssgn(sk))sgn(sk)=(2-qTs)·|sk|-εTs|sk|>0.

(11)

將式(10)和式(11)相乘得

即有|sk+1|<|sk|.

所以,趨近律(9)滿足滑模到達條件,能使振鏡系統(tǒng)穩(wěn)定.

3 仿真與實驗

在非理想環(huán)境下,考慮振鏡系統(tǒng)的過程噪聲和測量噪聲,設計瞬時和連續(xù)性2種不同類型的外部擾動,然后采用Matlab仿真實驗和振鏡系統(tǒng)平臺實驗來驗證本文設計的結合卡爾曼濾波器和離散滑模控制的振鏡位置跟蹤方法的有效性.

3.1 仿真分析

振鏡系統(tǒng)驅動電機的參數(shù)如表1所示.

表1 振鏡驅動電機參數(shù)

振鏡系統(tǒng)的設計要滿足掃描反射鏡在-3°～3°之間跟隨給定期望角位置rk做線性往返運動,其中給定期望角位置rk是指驅動電機驅動掃描反射鏡旋轉的位置,給定期望角位置rk如圖2所示.

3.1.1 振鏡系統(tǒng)外加瞬時擾動 隨機在0.65 s、0.96 s和1.16 s時刻上,在掃描反射鏡上分別施加強度為0.5 Ngm、1.0 Ngm和5.0 Ngm的瞬時擾動,采用PID算法、KF-PID算法、DSMC算法和KF-DSMC算法進行對比仿真,仿真結果如圖3所示.

在未加入瞬時擾動時,由圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)可知,PID算法、KF-PID算法、DSMC算法和KF-DSMC算法都可以準確、快速地跟蹤上給定期望的三角波,并且其控制輸入量是一個穩(wěn)定的方波.但是在掃描反射鏡切換方向時,這4種控制算法都會出現(xiàn)不同大小的跟蹤誤差,控制輸入量也會出現(xiàn)短暫的波動,其中采用KF-DSMC和DSMC算法的跟蹤誤差比較接近,其值小于采用PID算法和KF-PID算法的跟蹤誤差,并且恢復穩(wěn)定跟蹤的調(diào)節(jié)時間也比采用PID算法和KF-PID算法短.

在加入瞬時擾動時,結合圖3中局部放大部分和表2,從振鏡系統(tǒng)的跟蹤性能、控制輸入量的穩(wěn)定性和離散滑模抖振抑制情況3個角度來對比分析PID算法、KF-PID算法、DSMC算法和KF-DSMC算法的跟蹤效果,具體如下:

(i)從振鏡系統(tǒng)的跟蹤性能角度來分析,由圖3(a)、圖3(b)及表2可知,KF-DSMC算法跟蹤效果和抑制瞬時擾動能力最優(yōu),其次是KF-PID算法,之后是DSMC算法,最后是采用PID算法.在分別施加3種不同強度的瞬時擾動之后,采用KF-DSMC算法,掃描反射鏡基本不受瞬時擾動的影響,在瞬時擾動消失后能夠迅速、準確地跟蹤給定期望角位置,但由于受初始狀態(tài)和掃描反射鏡方向狀態(tài)改變的影響,所以整個2 s的實驗過程仍然會產(chǎn)生很小的跟蹤誤差;而采用DSMC算法,其跟蹤誤差隨瞬時擾動強度的增大而增大,但在瞬時擾動消失后需要約0.02 s的調(diào)節(jié)時間來恢復穩(wěn)定的跟蹤狀態(tài);采用KF-PID算法,掃描反射鏡受瞬時擾動的影響比較小,在瞬時擾動消失后,盡管調(diào)節(jié)時間比DSMC算法長,但是產(chǎn)生的跟蹤誤差要比DSMC算法小.通過上述分析表明:加入卡爾曼濾波器可以補償不同強度的瞬時擾動對掃描反射鏡運動狀態(tài)的影響,極大地減小外界擾動的幅值,使得振鏡位置跟蹤不受外界瞬時擾動的影響.采用PID控制算法會導致掃描反射鏡在施加瞬時擾動之后的一段時間內(nèi)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象,與DSMC算法相比,需要更長的調(diào)節(jié)時間恢復穩(wěn)定,約為DSMC算法的3倍,這就表明DSMC算法在動態(tài)品質上優(yōu)于PID控制算法,能夠使掃描反射鏡的位置量快速穩(wěn)定.

(a)掃描反射鏡角位置跟蹤信息

(b)跟蹤誤差

(c)控制輸入量

(d)離散滑模切換函數(shù)

表2 在瞬時擾動影響下不同控制算法的位置跟蹤評價表

(ii)從控制輸入量的穩(wěn)定性角度來分析,由圖3(c)可知,在施加瞬時擾動之后,采用PID算法和DSMC算法都會使系統(tǒng)的控制輸入量存在明顯的抖動現(xiàn)象,并且施加的瞬時擾動強度越大,控制輸入量的抖動幅度越大;而采用KF-DSMC算法和KF-PID算法可以減弱控制輸入量的抖動現(xiàn)象,使得系統(tǒng)的控制輸入量平穩(wěn),進而減小振鏡系統(tǒng)驅動電機的抖動,降低驅動電機的損耗.

(iii)從離散滑模抖振抑制角度來分析,由圖3(d)可知,在施加瞬時擾動之后,采用DSMC算法的切換增益值隨著瞬時擾動強度的增大而增大;而采用KF-DSMC算法的切換增益幾乎不受擾動強度增大的影響,這就表明在DSMC算法的基礎上加入卡爾曼濾波器在很大程度上可以減小離散滑?？刂扑惴ǖ那袚Q幅度,有效抑制了抖振現(xiàn)象.

仿真結果表明:振鏡在處理應對不同強度的瞬時擾動時,采用KF-DSMC算法作給定期望角位置跟蹤控制,其跟蹤和抗擾效果要優(yōu)于KF-PID算法、DSMC算法和PID算法,并且通過幾組算法對比,還可以得知卡爾曼濾波器的加入能夠大幅減弱擾動對振鏡系統(tǒng)的影響.

3.1.2 振鏡系統(tǒng)外加連續(xù)性振動擾動 振鏡系統(tǒng)易受到外界環(huán)境的連續(xù)性振動擾動的影響,連續(xù)性振動擾動作用在振鏡上會間接導致掃描反射鏡擺角的變化,使掃描反射鏡偏離給定期望角位置,從而影響振鏡跟蹤給定期望角位置.施加到振鏡系統(tǒng)上的連續(xù)性振動擾動,轉化成掃描反射鏡的擾動角位置,其中在0～1 s內(nèi)的連續(xù)性振動擾動是周期性的,在1～2 s內(nèi)的連續(xù)性振動擾動是非周期性(見圖4).

圖4 連續(xù)性振動擾動

在連續(xù)性振動擾動的影響下,采用PID算法、KF-PID算法、DSMC算法和KF-DSMC算法進行對比仿真,結果如圖5所示.

從振鏡系統(tǒng)的跟蹤性能角度來分析,由圖5(a)和圖5(b)可知,采用KF-DSMC算法跟蹤效果最優(yōu),其次是KF-PID算法,之后是DSMC算法,最后是PID算法.在周期連續(xù)性振動擾動的作用下,與采用KF-DSMC算法和KF-PID算法相比,采用PID算法和DSMC算法對周期連續(xù)性振動擾動的抑制作用較弱,使振鏡系統(tǒng)的跟蹤誤差較大,其中采用PID控制算法產(chǎn)生的跟蹤誤差約為DSMC算法產(chǎn)生的跟蹤誤差的2倍.KF-PID算法盡管對擾動有抑制,但是在掃描反射鏡切換方向時,跟蹤誤差大,跟蹤效果弱于KF-DSMC算法.在非周期連續(xù)性振動擾動作用下,與采用KF-DSMC算法和KF-PID算法相比,采用PID算法和DSMC算法對非周期連續(xù)性振動擾動的抑制作用較弱,使得振鏡系統(tǒng)的跟蹤誤差較大,其中PID控制算法產(chǎn)生的跟蹤誤差比DSMC算法產(chǎn)生的跟蹤誤差大,KF-PID算法仍然在掃描反射鏡切換方向時,其跟蹤效果弱于KF-DSMC算法.通過圖5(b)局部放大部分可知,不管是周期連續(xù)性振動擾動,還是非周期連續(xù)性振動擾動,采用KF-DSMC算法和KF-PID算法,系統(tǒng)的跟蹤誤差極小,遠遠小于采用PID控制算法和DSMC算法產(chǎn)生的跟蹤誤差.

(a)掃描反射鏡角位置跟蹤信息

(b)跟蹤誤差

(c)控制輸入量

(d)滑模切換函數(shù)

從控制輸入量的穩(wěn)定性角度來分析,由圖5(c)可知,采用KF-DSMC算法和KF-PID算法的控制輸入穩(wěn)定性最好,其次是DSMC算法,最后是基于PID控制算法.采用KF-DSMC算法和KF-PID算法,系統(tǒng)的控制輸入量抖動幅度比采用DSMC算法和PID控制算法更小,因而采用KF-DSMC算法和KF-PID算法可以輸出相對較平穩(wěn)的方波,使得電機運行平穩(wěn).在采用PID控制算法作用下,系統(tǒng)的控制輸入抖動幅度比DSMC算法的抖動幅度更大.

從離散滑模抖振抑制角度來分析,由圖5(d)可知,由于連續(xù)性振動擾動的影響,DSMC算法的切換增益明顯大于基于KF-DSMC算法的切換增益.從圖5(c)局部放大圖上可以看出,采用KF-DSMC算法的切換增益遠遠小于DSMC算法的切換增益,這表明卡爾曼濾波器的加入可以抑制DSMC算法帶來的抖振問題.

從上述的3個角度分析,基于KF-DSMC算法下,振鏡系統(tǒng)處理連續(xù)性振動擾動效果要優(yōu)于KF-PID算法、DSMC算法和PID算法.

3.2 實驗分析

在本節(jié)中,將上述提出結合卡爾曼濾波器和離散滑模的振鏡位置跟蹤方法在如圖6所示的振鏡系統(tǒng)實驗平臺上進行了驗證性實驗.

振鏡系統(tǒng)實驗平臺的主控芯片采用的是ALTERAclone VI E系列中的EP4CE22E22I7,該芯片主要完成驅動電機中的光電編碼器解碼、控制算法和DA控制輸出、振鏡角位置串口輸出等功能,各個功能模塊通過采用Verilog HDL硬件描述語言在Quartus II 13.0版本的軟件平臺內(nèi)編寫,并將各個功能模塊組合在一個的頂層文件中,將其綜合成如圖7所示的振鏡系統(tǒng)控制器RTL視圖.掃描反射鏡的給定期望角位置的值是三角波計數(shù)值(02 710),其中0對應掃描反射鏡的實際位置-3°, 2710對應掃描反射鏡的實際位置3°,在單片機STM32F103VBT6的定時器TIM3中斷服務函數(shù)內(nèi)實現(xiàn),并將得到的期望掃描角位置送至FPGA的ANGLE_STM32端口.驅動電機參數(shù)如表1所述.

圖6 振鏡系統(tǒng)實驗平臺

圖7 振鏡系統(tǒng)控制器RTL視圖

在如圖6所示的振鏡系統(tǒng)平臺實驗中,設置計算機采樣步長為0.001 s,滑模面系數(shù)h=360,指數(shù)趨近律系數(shù)q=430,ε=125,卡爾曼濾波器參數(shù)取值Qk=0.000 025,Rm=0.05.在掃描反射鏡上加入阻礙其運動的力模擬瞬時擾動和連續(xù)性振動擾動,其中1 s為加入瞬時擾動的時刻,2.5～3.5 s為加入連續(xù)性振動擾動的時刻,其他時間段未加入外部擾動.

在不同擾動情況下振鏡系統(tǒng)位置跟蹤控制的實驗情況(見圖8)中,振鏡系統(tǒng)在無外部擾動的情況下卡爾曼濾波器的作用不大,但在系統(tǒng)加入瞬時擾動和連續(xù)性振動擾動時,卡爾曼濾波器就可以較好地濾除外部擾動,反映掃描反射鏡真實的掃描位置信息.由圖8(a)和圖8(b)曲線圖可知,在加入瞬時擾動和連續(xù)性振動擾動的時刻上,基于KF-DSMC算法輸出的掃描反射鏡位置量比原信號輸出的掃描反射鏡位置量更接近給定期望值.原因是原信號輸出的掃描反射鏡位置量包含了干擾引起的負載擺角,而基于KF-DSMC算法輸出掃描反射鏡位置量是掃描反射鏡運動的“真實狀態(tài)”的最優(yōu)估計值,濾除了大部分干擾的影響.由圖8(a)中可知,無論負載受到何種干擾,受到的干擾幅值有多大,基于KF-DSMC算法都能使掃描反射鏡的運動角位置快速地跟蹤給定期望值.

(a)掃描反射鏡的角位置信息

(b)跟蹤誤差

4 結論

針對振鏡系統(tǒng)的抗擾位置跟蹤控制器設計問題,結合卡離散滑?？刂扑枷牒涂柭鼮V波思想,提出了一種結合卡爾曼濾波器和離散滑?？刂频恼耒R位置跟蹤方法,能夠有效應對瞬時擾動和連續(xù)性振動擾動的影響,提高振鏡系統(tǒng)在有外部擾動環(huán)境下的跟蹤精度.同時,在卡爾曼濾波器的作用下,使得不確定性外部擾動的上界減小,從而減小滑模切換增益,有效抑制了使用離散滑?？刂飘a(chǎn)生抖振的現(xiàn)象,提高振鏡系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真和實驗結果都表明:本文設計的結合卡爾曼濾波器和離散滑模的振鏡位置跟蹤控制器,能夠處理應對不同類型的外部擾動對振鏡給定期望位置跟蹤控制系統(tǒng)的影響,使得所設計的控制器具有很強的抗干擾的能力.