盧家寬, 王 宇, 張博儒, 龐琳娜

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

設(shè)G是有限群，Irr(G)表示群G的全體不可約復(fù)特征標(biāo)組成的集合，cd(G)={χ(1)|χ∈Irr(G)}。集合cd(G)與群G之間的聯(lián)系已經(jīng)被廣泛研究，取得了相當(dāng)豐富的成果，并且新成果仍在不斷涌現(xiàn)中,讀者可參見Isaacs[1]的專著《有限群的特征標(biāo)理論》第12章、Berkovich等[2-3]的專著《有限群的特征標(biāo)理論》，以及Isaacs[4]最近出版的專著《可解群的特征標(biāo)理論》。Qian等[5]定義了不可約復(fù)特征標(biāo)的余次數(shù)。

定義 1[5]設(shè)χ∈Irr(G)，令

稱cod(χ)為χ的余次數(shù)。群G的全體不可約復(fù)特征標(biāo)余次數(shù)組成的集合記為cod(G)， 即cod(G)={cod(χ)|χ∈Irr(G)}。

下面是關(guān)于特征標(biāo)余次數(shù)最基本的性質(zhì)，可以保證有效使用歸納法， 便于開展深入研究。

引理 1[5]設(shè)χ∈Irr(G)，則

① 若N是G的正規(guī)子群，滿足N≤kerχ，則χ在G/N中的余次數(shù)與在G中的次數(shù)相等；

不可約特征標(biāo)的余次數(shù)最近10多年被越來越多的學(xué)者關(guān)注，從多方面開展研究， 取得了不少成果。下面從余次數(shù)的算術(shù)條件對有限群結(jié)構(gòu)的影響、余次數(shù)與其他算術(shù)量之間的聯(lián)系等方面綜述該領(lǐng)域的相關(guān)研究成果。本文只涉及有限群，采用的符號參看文獻(xiàn)[1]。

1 余次數(shù)的算術(shù)條件對有限群結(jié)構(gòu)的影響

與特征標(biāo)次數(shù)類似， 特征標(biāo)余次數(shù)的算術(shù)性質(zhì)也能提供有限群的結(jié)構(gòu)信息。例如，1999年Gagola等[13]證明了定理1。

定理1[13]設(shè)G是有限群，則G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)χ∈Irr(G)，有χ(1)|cod(χ)。

定理2[14]設(shè)G是有限群，p是素?cái)?shù)。若對每個(gè)χ∈Irr(G)，當(dāng)p整除χ(1)時(shí)， 都有bp(χ)≥0，則下列結(jié)論之一成立：

①G是p-閉的；

②p=2，G有合成因子A7；

③p=3，G有合成因子A7、A11、A13、M22之一。

若正整數(shù)m整除|G|，且gcd(m,|G|/m)=1，則稱m為群G的Hall-數(shù)。2007年，Liang等[15]對每個(gè)χ∈Irr(G),χ(1)都是Hall-數(shù)的有限群進(jìn)行分類。設(shè)χ∈Irr(G)， 若χ(1)是G/kerχ的Hall-數(shù)， 則稱χ為G的Hall-特征標(biāo)。2016年，Liang等[16]對每個(gè)χ∈Irr(G)都是Hall-特征標(biāo)的有限群進(jìn)行分類。為節(jié)約篇幅，這里略去這兩類群的結(jié)構(gòu)。

上述定理1也可以敘述為：有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)χ∈Irr(G)，有cod(χ)=αχχ(1)，這里αχ是正整數(shù)。2000年， Berkovich[17]證明一個(gè)強(qiáng)化版的定理1。

定理3[17]設(shè)G是有限非交換群，則G是p-群當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)χ∈Irr(G)， 有cod(χ)=psχχ(1)，這里sχ是與χ有關(guān)的正整數(shù)。

2020年，Yang等[18]給出了G可解的一個(gè)充分條件。

定理4[18]設(shè)G是有限群，若對每個(gè)χ∈Irr(G)，有cod(χ)≤pχχ(1)，則G可解，這里pχ是|G∶kerχ|的最大素因子。

最近，Gao等[19]又給出了G可解的一個(gè)充分條件。

定理5[19]設(shè)G是有限群，若對每個(gè)χ∈Irr(G)，有cod(χ)≤χ(1)α，則G可解，這里α≈1.887 6。

Berkovich證明定理3只使用了正規(guī)子群的特征標(biāo)理論， 而上述可解群的2個(gè)充分條件(定理4、5)，都是通過單群分類定理分析而得到。

在研究特征標(biāo)余次數(shù)的算術(shù)條件對有限群結(jié)構(gòu)的影響時(shí)，人們主要考慮與特征標(biāo)次數(shù)相對應(yīng)的問題。因此，為便于對比，有時(shí)候同時(shí)列舉特征標(biāo)次數(shù)和余次數(shù)的相關(guān)結(jié)果。

在特征標(biāo)次數(shù)的研究中，有以下2個(gè)著名定理(定理6、7)。

定理6[20](Thompson定理) 設(shè)G是有限群，若對每個(gè)χ∈Irr(G)，有p|χ(1)，則G有正規(guī)p-補(bǔ)。

定理6、7被廣泛研究和推廣，這里不再贅述。本文主要關(guān)心特征標(biāo)余次數(shù)版的相關(guān)結(jié)論。

首先，2007年Qian等[5]證明了以下定理8。

最近，Chen等[22-23]得到以下定理9。

定理9中p-可解的條件是不可缺少的。Chen等[23]對定理9做了一些推廣。

設(shè)H是G的極大子群，若χ∈Irr(G)是(1H)G的不可約組成，則χ為相對于H的P- 特征標(biāo)。G的所有P- 特征標(biāo)組成的集合記為IrrP(G)。Qian等[24]首先研究P- 特征標(biāo)對群結(jié)構(gòu)的影響，得到了許多有趣的結(jié)果。Lu等[25]使用P- 特征標(biāo)給出G有正規(guī)p-補(bǔ)的一個(gè)充分條件。

關(guān)于Ito-Michler定理的余次數(shù)版相關(guān)結(jié)論，Bahramian等[26]證明了定理11。

定理11[26]設(shè)G是p-可解群，素?cái)?shù)p不等2，也不是梅森素?cái)?shù)，則對每個(gè)1G≠χ∈Irr(G)，p|cod(χ)當(dāng)且僅當(dāng)G是p-群。

記

ep(G)=max{logp(χ(1))p|χ∈Irr(G)}，

cp(G)=max{logp(cod(χ))p|χ∈Irr(G)}，

則著名的Ito-Michler定理可以表述為：ep(G)=0當(dāng)且僅當(dāng)G有交換正規(guī)Sylowp-子群。文獻(xiàn)[27-29]已經(jīng)證明：當(dāng)ep(G)≤1時(shí)，有|G∶Op(G)|p≤p3。

Qian等[5]證明：只要p整除|G|，則cp(G)≥1。因此，cp(G)=0當(dāng)且僅當(dāng)G是p′-群。Bahramian等[30]證明了定理12。

定理12[30]設(shè)G是非p-可解群，且cp(G)≤1，則|G|p=p。

因此，當(dāng)cp(G)≤1時(shí)，G有初等交換的Sylowp-子群。

Qian等[31]給出當(dāng)cp(G)≤1時(shí)有限群G的特征性質(zhì)。

①P∈Sylp(G)初等交換，V=Op′p(G)是p′-群；

② 把P看作p元域上的線性空間，則H/CH(P)≤Z(GL(P))，這里H∈Hallp′(G/V)；

③V可解，且CV(P)=1；

對|cd(G)|較小的有限群，已經(jīng)有較多研究,可參見Isaacs[1]的專著《有限群的特征標(biāo)理論》第12章。例如，如果|cd(G)|≤3，那么G是可解群； Noritzsch[32]給出了滿足|cd(G)|=3的若干群類的結(jié)構(gòu)；Malle等[33]則分類了滿足|cd(G)|=3的非可解群。

2016年，Du等[34]證明：滿足|cod(G)|=2的p-群是初等交換的， 滿足|cod(G)|=3的p-群G的冪零類長c(G)至多為2。文獻(xiàn)[34]還提出以下問題：一般情況下，是否可以使用|cod(G)|來給出p-群G冪零類長c(G)的上界。

2019年，Alizadeh等[35]繼續(xù)研究|cod(G)|較小的有限群，得到如下定理14、15。

定理14[35]設(shè)G是有限群，則|cod(G)|=2當(dāng)且僅當(dāng)G是初等交換群。

定理15[35]設(shè)G是有限群，則|cod(G)|=3當(dāng)且僅當(dāng)G是可解群且滿足下列條件之一：

①G是冪零類為2的p-群，且cod(G)={1,p,ps}，其中s≥2；

②G是pn(pn-1)階Frobenius群，其中Frobenius補(bǔ)是p階循環(huán)群，π(G)={p,q}，cod(G)={1,p,ps}，其中s≥1。

2020年，Croome等[36]繼續(xù)討論|cod(G)|=4的p-群，得到許多有趣的結(jié)果。特別地，在附加一些條件下，部分回答了Du等[34]的上述問題。

定理16[36]設(shè)G是有限p-群，且cod(G)={1,p,pb,pa}，其中2≤b

① |cd(G)|=2；

② cod(G)={1,p,q2}；

③ |G∶G′|=p2,

則G的冪零類長c(G)至多為4。

冪零類長的更多上界參見文獻(xiàn)[37]。最近， Moretó[38]證明：一般情況下，可以使用|cd(G)|和|cod(G)|來給出p-群G冪零類長c(G)的上界。

定理17[38]設(shè)G是非交換p-群，則

c(G)≤(|cod(G)|-2)(|cd(G)|-1)+1。

設(shè)G是pn階p-群，且c(G)=c，則cc(G)=n-c稱為G的余類長。

定理18[38]設(shè)G是p-群，|cod(G)|=4且cc(G)=m，則c(G)≤m+3。

特征標(biāo)理論研究中有個(gè)著名的Taketa猜想：如果G是可解群，那么G的導(dǎo)列長dl(G)≤|cd(G)|。該猜想也稱為Taketa不等式，已經(jīng)有不少研究，這里不再贅述。自然可以提余次數(shù)版的Taketa問題：如果G是可解群，那么G的導(dǎo)列長dl(G)≤|cod(G)|。

Liu等[39]考慮|cod(G)|=4、5的非可解群，得到定理19、20。

定理19[39]設(shè)G是滿足|cod(G)|=4的非可解群，則G同構(gòu)于L2(2f)，其中f≥2。

定理20[40]設(shè)G是滿足|cod(G)|=5的非可解群，則G有唯一非平凡正規(guī)子群M，使得|M|=22f，G/M?L2(2f),并且M的所有非平凡元素構(gòu)成G的一個(gè)共軛類，每個(gè)非平凡λ∈Irr(G)的穩(wěn)定子群是G的Sylow 2-子群， 或者G同構(gòu)于L2(q)， 其中q=rf>5,r是奇素?cái)?shù)。

令I(lǐng)rr1(G)為群G的全體非線性不可約復(fù)特征標(biāo)組成的集合，cd1(G)={χ(1)|χ∈Irr1(G)}。若存在正整數(shù)n，使得|cd1(G)|=|Irr1(G)|-n，則稱G為Dn-群。易見，D0-群就是不同非線性不可約特征標(biāo)有不同次數(shù)的有限群。1992年，Berkovich等[41]確定了D0-群的結(jié)構(gòu)。

定理21[41]設(shè)G是D0-群，則G是下列群之一：

①G是超特殊2-群；

②G是pn(pn-1)階Frobenius群，其中 Frobenius核的階是pn，F(xiàn)robenius補(bǔ)循環(huán)；

③G是72階 Frobenius群，其中Frobenius補(bǔ)同構(gòu)于8階四元素群。

相應(yīng)地， 若存在正整數(shù)n， 使得|cod(G)|=|Irr(G)|-n， 則稱G為D′n-群。易見，D′0-群就是不同不可約特征標(biāo)有不同余次數(shù)的有限群。最近，Ebrahimi[42]發(fā)現(xiàn)這樣的群的結(jié)構(gòu)很簡單。

定理22[42]有限群G是D′0-群當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)于Z2或S3。

由此可見，D′0-群的結(jié)構(gòu)比D0-群簡單。Berkovich等[43-44]分類了D1-群。因此，考慮D′1-群的結(jié)構(gòu)也是有意義的問題。Berkovich在其特征標(biāo)理論專著中提出如下問題：

問題1[2]設(shè)G是有限群，對每個(gè)非線性χ∈Irr(G),cod(χ)是素?cái)?shù)， 則G的結(jié)構(gòu)如何?

2016年，Xiong[45]解決了上述問題。

定理23[45]設(shè)G是有限群，對每個(gè)非線性χ∈Irr(G),cod(χ)是素?cái)?shù)，則G是下列群之一：

① 2階或3階循環(huán)群；

② 交錯(cuò)群A4；

③ 對稱群S3；

④ 10階二面體群D10；

⑤ 21階非交換群。

也有學(xué)者從cod(χ)的素因子個(gè)數(shù)或公因子等情況入手，研究G的結(jié)構(gòu)。例如，2020年Sayanjali等[46]證明了定理24。

定理24[46]若對任意1≠d∈cod(G)，都有|π(d)|=2，則G/N?L2(q)，其中q∈{5,7,8,9,17},N是G的可解剩余。

最近，Alizadeh[47]證明了定理25。

定理25[47]設(shè)G的所有不可約特征標(biāo)余次數(shù)中只有一個(gè)是合數(shù)，則G是可解群，且|cod(G)|≤5。

設(shè)N是有限群G的非平凡正規(guī)子群，記Irr(G|N)=Irr(G)-Irr(G/N)。2021年， Ahanjideh[48]證明了定理26。

定理26[48]設(shè)N是G的非平凡正規(guī)子群，若對任意χ≠ψ∈Irr(G|N)，都有χ(1)和ψ(1)的最大公因子為1或?yàn)樗財(cái)?shù)，則N是可解群。

2 余次數(shù)與其他算術(shù)量之間的聯(lián)系

本章主要綜述特征標(biāo)余次數(shù)自身的性質(zhì)以及特征標(biāo)余次數(shù)與元素的階等其他算術(shù)量之間的聯(lián)系。

2011年，Qian[49]首先證明了如下定理27、28。

定理27[49]設(shè)G是可解群，g∈G， 則存在χ∈Irr(G)， 使得kerχ∩〈g〉=1， 并且對o(g)的每個(gè)素?cái)?shù)因子p，有p|cod(χ)。

定理28[49]設(shè)G是可解群，g∈G有素?cái)?shù)冪階，則存在χ∈Irr(G)，使kerχ∩〈g〉=1，且o(g)|cod(χ)。

隨后，Isaacs[50]使用有理特征標(biāo)理論，證明定理27對所有有限群成立。

定理29[50]設(shè)G是群，g∈G，則存在χ∈Irr(G)，使得kerχ∩〈g〉=1，并且對o(g)的每個(gè)素?cái)?shù)因子p，有p|cod(χ)。

最近，Qian[51]證明了定理28的加強(qiáng)版。

定理30[51]設(shè)G是可解群，g∈G，則存在χ∈Irr(G)，使得o(g)|cod(χ)。

Qian在文獻(xiàn)[51]也驗(yàn)證了定理30的結(jié)論對部分單群和非可解群也成立， 但對所有有限群是否成立，仍是未解決的問題。

設(shè)G是p-可解群，記G的p-長為lp(G)，即G的每個(gè)因子都是p-群或p-群的正規(guī)列中p-因子最小可能的個(gè)數(shù)。記

codp(G)={cod(χ)|χ∈Irr(G),p|cod(χ)}。

2020年，Grittini[52]給出了p-長lp(G)的一個(gè)上界。

定理31[52]設(shè)G是p-可解群，則lp(G)≤|cdp′(G)|。

2021年，Ahanjideh[53]給出了p-長lp(G)的余次數(shù)版的上界。

定理32[53]設(shè)G是p-可解群，則lp(G)≤|codp(G)|。

于是，自然可以問lp(G)是否可以達(dá)到上述2個(gè)上界，當(dāng)達(dá)到上界時(shí)，G的結(jié)構(gòu)是什么。

Ahanjideh[53]還證明了定理33。

定理33[53]設(shè)素?cái)?shù)p整除G的階，codp(G)={m}， 這里m是某個(gè)正整數(shù)， 則G是p-可解群，且lp(G)=1。

最近， Bahramian等[30]繼續(xù)使用特征標(biāo)余次數(shù)討論lp(G)的上界。

記

σ(G)=max{π(χ(1))|χ∈Irr(G)}。

ρ(G)={p是素?cái)?shù)|存在χ∈Irr(G)，使得p整除χ(1)}。

Huppert猜想可以使用ρ(G)描述|σ(G)|的上界，把該猜想稱為ρ-σ猜想。ρ-σ猜想是特征標(biāo)理論中的著名公開問題，該猜想已有許多研究，這里僅列舉關(guān)于特征標(biāo)余次數(shù)版的ρ-σ猜想的研究進(jìn)展。令

σ(cod(G))=max{|π(cod(χ))||χ∈Irr(G)},

ρ(cod(G))={p是素?cái)?shù)|存在χ∈Irr(G)，使得p|cod(χ)}。

文獻(xiàn)[5]提出如下問題2。

問題2[5]對有限群G，是否存在常數(shù)k，使得|ρ(cod(G))|≤kσ(cod(G))?特別地，當(dāng)σ(cod(G))=2時(shí)，是否有|ρ(cod(G))|=4?

2017年，Yang等[54]給出了問題2前半部分的肯定回答。最近， Moretó[55]給出了問題2后半部分否定的回答，特別地，文獻(xiàn)[55]提出如下問題3。

問題3[55]設(shè)G是有限可解群，χ∈Irr(G)，是否存在g∈G，使得π(cod(χ))?π(o(g))?

問題3似乎可以看作定理30的逆命題。最近，Jin等[56]給出該問題的否定回答。特別地，他們證明了定理35。

定理35[56]設(shè)G是可解群，χ∈Irr(G)是忠實(shí)本原特征標(biāo)，則π(cod(χ))=π(G)。

1990年，Huppert還提出另外一個(gè)猜想：設(shè)H是非交換單群，若G是有限群，滿足cd(G)=cd(H)，則G?H×A，這里A是交換群。

該猜想已有許多研究。2021年，Bahri等[57]提出余次數(shù)版的Huppert猜想， 即： 設(shè)H是非交換單群， 若G是有限群， 滿足cod(G)=cod(H)， 則G?H×A， 這里A是交換群。

定理36[57]設(shè)G是有限群， 滿足cod(G)=cod(PSL(2,q))， 則G?PSL(2,q)。