邵慧婷, 楊啟貴

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

混沌現(xiàn)象廣泛存在于自然現(xiàn)象中, 并在控制論、工程技術(shù)、密碼學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用, 已構(gòu)成非線性科學(xué)的核心研究內(nèi)容。自20世紀(jì)60年代以來, 混沌理論及其應(yīng)用已逐步成為非線性領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和重點(diǎn)。然而如何把混沌科學(xué)發(fā)展成為一門工程技術(shù)并應(yīng)用到生產(chǎn)生活中為人類服務(wù)，已成為21世紀(jì)非線性科學(xué)發(fā)展所面臨的巨大挑戰(zhàn)[1-2]。Lorenz系統(tǒng)是首個(gè)被提出的混沌系統(tǒng)。1963年, Lorenz[3]通過計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子，極大推動(dòng)了混沌系統(tǒng)的發(fā)展。隨著混沌研究的進(jìn)一步深入, 1979年R?ssler[4]提出首個(gè)四維超混沌系統(tǒng), 即R?ssler超混沌系統(tǒng), 這是首次提出超混沌系統(tǒng)的概念。超混沌吸引子是指系統(tǒng)吸引子至少存在2個(gè)正Lyapunov指數(shù), 其系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)比混沌系統(tǒng)的混沌吸引子更加復(fù)雜, 因此超混沌系統(tǒng)在實(shí)際中具有更為廣闊的應(yīng)用前景。

眾所周知，在有限維連續(xù)自治系統(tǒng)中, 系統(tǒng)的維數(shù)至少為四維且至少有1個(gè)非線性項(xiàng)才能產(chǎn)生超混沌吸引子。目前對超混沌系統(tǒng)的研究主要集中在四維系統(tǒng)和五維系統(tǒng), 對六維及以上的高維超混沌系統(tǒng)的研究還十分少, 即使是三維混沌系統(tǒng)仍有許多未解決的問題。1986年, Matsumoto等[5]在研究一個(gè)結(jié)構(gòu)簡單的四階電路時(shí)首次發(fā)現(xiàn)電路中的超混沌現(xiàn)象， 其他四維超混沌系統(tǒng)，如 Kapitaniak等[6]將2個(gè)Chua電路耦合生成超混沌系統(tǒng); Li 等[7]在廣義 Lorenz型系統(tǒng)基礎(chǔ)上通過增加反饋控制項(xiàng)得到四維超混沌系統(tǒng); Yang 等[8-9]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究Lorenz型超混沌系統(tǒng)； Hu[10]在Lorenz系統(tǒng)基礎(chǔ)上通過添加線性和非線性反饋控制，得到能產(chǎn)生超混沌吸引子的五維系統(tǒng)； 張美華[11]設(shè)計(jì)了比Hu更廣泛的五維超混沌系統(tǒng)， 這些五維超混沌系統(tǒng)具有比低維混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)；Yang等[12]基于Lorenz 系統(tǒng)提出一類新的具有2個(gè)零特征根的高階退化平衡點(diǎn)的五維超混沌系統(tǒng), 并嚴(yán)格證明其與Yang-5D超混沌系統(tǒng)不等價(jià)；Yang等[13]利用耦合和控制方法首次提出一類具有4 個(gè)正Lyapunov指數(shù)的六維超混沌系統(tǒng), 并研究其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性質(zhì)；Yang等[14]設(shè)計(jì)了一個(gè)新的具有5個(gè)正Lyapunov指數(shù)的新七維超混沌系統(tǒng)。

高維超混沌系統(tǒng)的研究較為復(fù)雜, 其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的證明及數(shù)值實(shí)現(xiàn)都十分困難, 相關(guān)研究至今仍處在起步階段?；诮?jīng)典Lorenz系統(tǒng), 本文構(gòu)造一類新的具有4個(gè)正Lyapunov指數(shù)的六維超混沌系統(tǒng), 并研究其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。運(yùn)用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則分析該系統(tǒng)雙曲平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性, 證明該系統(tǒng)Hopf分岔的存在性。利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬, 結(jié)合相圖、Lyapunov指數(shù)譜、Poincaré映射圖及分岔圖, 分析系統(tǒng)從周期、擬周期、混沌到超混沌的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)演化。

1 新六維超混沌系統(tǒng)

1963年, Lorenz在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了具有混沌吸引子的系統(tǒng)，即如下著名的Lorenz系統(tǒng)[3]。

(1)

該系統(tǒng)在參數(shù)(a,b,c)=(10,8/3,28)下具有混沌吸引子?；贚orenz系統(tǒng), Chen等[15]通過反饋控制技術(shù)提出一類新的混沌系統(tǒng), 被稱為Chen系統(tǒng)。

(2)

當(dāng)(a,b,d)=(35,3,28)時(shí), 可以觀察到系統(tǒng)(2)具有與Lorenz系統(tǒng)不同的混沌吸引子。反饋控制技術(shù)也進(jìn)一步成為研究混沌系統(tǒng)的重要途經(jīng)之一。Lü等[16]提出一類連接Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的新的3D系統(tǒng), 被稱為Lü系統(tǒng)。

(3)

當(dāng)(a,b,d)=(36,3,20),系統(tǒng)(3)存在混沌吸引子。

在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上, Yang等[17]研究一類具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)穩(wěn)定結(jié)焦點(diǎn)的三維系統(tǒng), 后來被稱為Yang系統(tǒng)。進(jìn)一步, 通過在三維Yang系統(tǒng)上設(shè)計(jì)一個(gè)線性反饋控制器, 得到如下具有2個(gè)正Lyapunov指數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)[8]。

(4)

Yang等對三維Yang系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步研究, 通過設(shè)計(jì)一個(gè)線性和非線性反饋控制, 獲得如下具有3個(gè)正Lyapunov指數(shù)的五維超混沌系統(tǒng)系統(tǒng)[12]。

(5)

基于Lorenz系統(tǒng)和Yang-5D超混沌系統(tǒng), 本文通過耦合技術(shù)和設(shè)計(jì)線性反饋控制, 提出如下一類新的六維超混沌系統(tǒng)。

(6)

式中{(a,b,c,e,h,k,r)∈R7|e≠0,k≠0}。

選取參數(shù)(a,b,c,e,h,k,r)=(10,8/3,28,0.1,-2,4.5,-0.9), 系統(tǒng)(6)存在唯一雙曲不穩(wěn)定平衡點(diǎn)O(0,0,0,0,0,0),此時(shí)系統(tǒng)存在1個(gè)超混沌吸引子，且具有4個(gè)正Lyapunov指數(shù)

L1=0.566 4,L2=0.297 4,L3=0.050 7,L4=0.012 2,L5=0.000 0,L6=-12.593 4。

根據(jù)系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)公式[18]

選取參數(shù)(a,b,c,e,h,k,r)=(6.1,8/3,28,40,100,10,1/28), 系統(tǒng)存在平衡點(diǎn)直線(-w/28,0,0,-61w/280,-61w/112,w),此時(shí)系統(tǒng)存在1個(gè)具有3個(gè)正Lyapunov指數(shù)的超混沌吸引子

L1=0.104 7,L2=0.045 0,L3=0.010 1,L4=-0.000 8,L5=-10.150 3,L6=-99.699 7。

系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)DL=4.015 7。圖2分別為該組參數(shù)下系統(tǒng)(6)的超混沌吸引子的3維相圖的投影圖和Poincaré映射。

圖 1 系統(tǒng)(6)在(a,b,c,e,h,k,r)=(10,8/3,28,0.1,-2,4.5,-0.9)下具有唯一平衡點(diǎn)的超混沌吸引子Fig.1 System (6) has a hyperchaotic attractor with anunique equilibrium point under (a,b,c,e,h,k,r)=(10,8/3,28,0.1,-2,4.5,-0.9)

圖2 系統(tǒng)(6)在(a,b,c,e,h,k,r)=(6.1,8/3,28,40,100,10,1/28)下具有平衡點(diǎn)直線的超混沌吸引子Fig.2 System (6) has a hyperchaotic attractor with an equilibrium line under (a,b,c,e,h,k,r)=(6.1,8/3,28,40,100,10,1/28)

2 局部動(dòng)力學(xué)分析

討論系統(tǒng)(6)在不同參數(shù)條件下平衡點(diǎn)的存在情況。令

(7)

由-ky=0可得y=0, 然后將y=0代入xy-bz=0, 可得z=0。再將y=0,z=0代入cx-y-xz+w=0,-x-rw=0, 可得方程組

(8)

① 當(dāng)cr≠1,ek≠0,系統(tǒng)(6)存在唯一平衡點(diǎn)O(0,0,0,0,0,0)；

下面討論cr≠1,e≠0,k≠0時(shí)雙曲平衡點(diǎn)O(0,0,0,0,0,0)的穩(wěn)定性。

易知系統(tǒng)(6)的線性化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O處的Jacobi矩陣為

(9)

定理 1當(dāng)e≠0,k≠0,cr≠1時(shí), 系統(tǒng)(6)存在雙曲平衡點(diǎn)O, 且

① 雙曲平衡點(diǎn)O是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)(a,b,c,e,h,k,r)∈Ω,

式中：σ1=-e+h+h2+a2(1-c+h)+a(-c+(1+h)2)+k；σ2=e+ah-ach+ak+hk；σ3=1+a+h；σ4=ek-cekr；σ5=e+ahk；σ6=a-ac+h+ah+k。

② 若(a,b,c,e,h,k,r)?Ω, 則雙曲平衡點(diǎn)O是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(6)的線性化系統(tǒng)的Jacobi矩陣(9)在平衡點(diǎn)O的特征方程為

P(λ)=(λ+b)(λ5+Aλ4+Bλ3+Cλ2+Dλ+E),

(10)

式中：A=a+h+1；B=a-ac+h+ah+k；C=e+ah-ach+ak+hk；D=e+ahk；E=ek-cekr。根據(jù)定理1的條件, 其中一個(gè)特征值λ1=-b<0。令

Δ0=λ5+Aλ4+Bλ3+Cλ2+Dλ+E，

(11)

由Routh-Hurwitz定理及定理1的條件可得：

Δ1=A=a+h+1>0，

此時(shí), 方程Δ0(λ)=0的所有根具有負(fù)實(shí)部, 從而當(dāng)(a,b,c,e,h,k,r)∈Ω時(shí), 雙曲平衡點(diǎn)O是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的; 否則O是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。證畢。

基于定理1,根據(jù)高維分岔理論,下面給出系統(tǒng)(6)平衡點(diǎn)O附近的Hopf分岔分析。

定理 2(Hopf分岔的存在性) 若系統(tǒng)(6)滿足條件

-e-ak+(1+a)(a-ac+k)≠0,-ae+(1+a)(e-cer)+acer=0,

(1+a)(ae-2ace-2acer+2ac2er)+ce(a2+a2r-a2cr-er+cer2)=0,

(1+a)(a2ce-a2c2e+3e2+a2cer-2a2c2er+a2c3er-2ce2r)-ae2(1+c+cr-c2r)≠0,

時(shí), 系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)O處產(chǎn)生Hopf分岔。

證明系統(tǒng)(6)的線性化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O處的特征方程如(10)所示。設(shè)系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)O處的特征方程的解有一對純虛根λ=±iω(ω∈R+)。將λ=±iω(ω∈R+)代入式(10)可得

E-Cω2+Aω4+(Dω-Bω3+ω5)i=0。

(12)

式中：A=a+h+1；B=a-ac+h+ah+k；C=e+ah-ach+ak+hk；D=e+ahk；E=ek-cekr。因此,

E-Cω2+Aω4=0，Dω-Bω3+ω5=0。

(13)

由定理?xiàng)l件

(1+a)(ae-2ace-2acer+2ac2er)+ce(a2+a2r-a2cr-er+cer2)=0,

(1+a)(a2ce-a2c2e+3e2+a2cer-2a2c2er+a2c3er-2ce2r)-ae2(1+c+cr-c2r)≠0,

-ae+(1+a)(e-cer)+acer=0,

可得

從上述分析可得λ1=-b<0,λ2=iω0,λ3=-iω0,根據(jù)定理2條件,

特征方程的其余3個(gè)特征根滿足

由Routh-Hurwitz定理可得，若

則系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)O處的其余3個(gè)特征根均有負(fù)實(shí)部, 滿足Hopf分岔的第一個(gè)條件[19-21]。

由式(11)可得

滿足Hopf存在的第2個(gè)條件[19-21]。因此, 系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)O處存在Hopf分岔。證畢。

3 數(shù)值復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析

利用數(shù)值模擬方法對系統(tǒng)(6)在某些參數(shù)下的性質(zhì)進(jìn)行分析, 獲得系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)。選取系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9)固定不變, 改變參數(shù)h∈[-2.5,3]時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)從超混沌、混沌、擬周期、周期、擬周期到超混沌的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)變化, 并且分別存在具有4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)正Lyapunov指數(shù)的超混沌吸引子。圖3為h∈[-2.5,3]時(shí), 系統(tǒng)(6)的Lyapunov指數(shù)譜; 表1為h取某些特殊值時(shí)其對應(yīng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。圖4為h∈[-2.5,3]時(shí), 系統(tǒng)(6)的分岔圖; 圖5為典型的h參數(shù)值下系統(tǒng)的吸引子相圖。圖5刻畫了系統(tǒng)(6)從超混沌吸引子退化到周期軌又演化到超混沌吸引子的過程。

選取系統(tǒng)參數(shù)(b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28)固定不變, 根據(jù)第2章關(guān)于系統(tǒng)平衡點(diǎn)的分布的分析可知, 系統(tǒng)(6)存在平衡點(diǎn)直線。改變參數(shù)a∈[0.1,10],系統(tǒng)出現(xiàn)從周期、擬周期、混沌到超混沌的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)變化, 并且分別存在具有2個(gè)、3個(gè)正Lyapunov 指數(shù)的超混沌吸引子。圖6為a∈[0.1,10]時(shí),系統(tǒng)(6)的Lyapunov 指數(shù)譜; 表2為a取某些特殊值時(shí)其對應(yīng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。圖7為a∈[0.1,10]時(shí), 系統(tǒng)(6)的分岔圖; 圖8為典型a參數(shù)值下系統(tǒng)的吸引子相圖。從圖7所示的系統(tǒng)分岔圖可知, 當(dāng)a∈[0.1,3]時(shí), 系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔進(jìn)而演化成超混沌吸引子。

圖3 系統(tǒng)(6)的Lyapunov指數(shù)： (a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9), h∈[-2.5,3]Fig.3 Lyapunov exponent graph of system (6): (a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9), h∈[-2.5,3]

圖4 系統(tǒng)(6)的分岔：(a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9), h∈[-2.5,3]Fig.4 Bifurcation diagram of system (6): (a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9), h∈[-2.5,3]

表 1 系統(tǒng)(6)在參數(shù)(a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9)下的動(dòng)力學(xué)行為

圖5 系統(tǒng)(6)在(a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9)的相圖Fig.5 Phase diagram of system (6) with parameters (a,b,c,e,k,r)=(10,8/3,28,0.1,4.5,-0.9)

圖6 系統(tǒng)(6)的Lyapunov指數(shù)：(b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28), a∈[0.1,10]Fig.6 Lyapunov exponent graph of system (6): (b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28), a∈[0.1,10]

圖7 系統(tǒng)(6)的分岔圖：(b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28), a∈[0.1,10]Fig.7 Bifurcation diagram of system (6): (b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28), a∈[0.1,10]

表2 系統(tǒng)(6)在參數(shù)(b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28)下的動(dòng)力學(xué)行為

圖8 系統(tǒng)(6)在(b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28)的相圖Fig.8 Phase diagram of system (6) with parameters (b,c,e,h,k,r)=(8/3,28,40,100,10,1/28)

4 結(jié)語

本文以Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ), 運(yùn)用耦合方法并設(shè)計(jì)線性反饋控制, 發(fā)現(xiàn)1個(gè)新的在僅有1個(gè)雙曲平衡點(diǎn)的情況下具有4個(gè)正Lyapunov指數(shù)，且在具有平衡點(diǎn)直線的情況下具有3個(gè)正Lyapunov指數(shù)的六維超混沌系統(tǒng)。運(yùn)用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則分析該系統(tǒng)雙曲平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性, 利用高維分岔理論證明該系統(tǒng)Hopf分岔的存在性。通過數(shù)值模擬, 分析該系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 有機(jī)融合相圖、Lyapunov 指數(shù)譜、Poincaré映射圖及分岔圖, 分析系統(tǒng)從周期、擬周期、混沌到超混沌的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)變化, 數(shù)值驗(yàn)證了新六維系統(tǒng)通過倍周期分岔產(chǎn)生超混沌吸引子的途徑。對該新六維超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析表明：該系統(tǒng)具有復(fù)雜的超混沌、分岔等動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 可在密碼學(xué)、控制論等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域提供一定的潛在應(yīng)用前景。