王錦瑞，張亞娣

數(shù)學悖論與數(shù)學發(fā)展關(guān)系分析

王錦瑞，張亞娣

（1. 陜西學前師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710100；2. 商丘市民主路第二小學，河南 商丘 476000）

基于數(shù)學悖論的定義，探討了數(shù)學悖論對數(shù)系、微積分、概率論、集合論、幾何學等方面發(fā)展的影響，分析了數(shù)學悖論在無理數(shù)的產(chǎn)生，歐氏幾何與非歐幾何的發(fā)展、概率論的公理化以及微積分基礎(chǔ)的完善等各方面發(fā)揮的不可替代作用．并由此表明，數(shù)學悖論的提出是數(shù)學發(fā)展過程中的必然產(chǎn)物，它反映出數(shù)學的概念、理論體系在當時歷史條件下或存在一定漏洞，從而打破了數(shù)學思維的慣性及局限性，不斷促進新的數(shù)學理論體系的產(chǎn)生，進而推動數(shù)學的發(fā)展與完善．

數(shù)學悖論；貝特朗悖論；羅素悖論；數(shù)學發(fā)展

公元前６世紀的古希臘，在克里特島上的哲學家巴門尼德說：“每一個克里特島人說的每一句話都是假話”．巴門尼德作為克里特島上的一員，這句話顯然是一個矛盾，這就是著名的巴門尼德悖論，是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最早的邏輯悖論[1]．各種哲學悖論、邏輯悖論、數(shù)學悖論的產(chǎn)生在一定程度上為當時的科學發(fā)展帶來困擾與恐慌，但從更深層面來看更為數(shù)學的進一步發(fā)展指明了方向．作為指路明燈的數(shù)學悖論，其分析與解決的過程促使數(shù)學理論體系逐步走向完善．本文通過分析數(shù)系、微積分、概率論、集合論、幾何學等內(nèi)容中提出的數(shù)學悖論及其解決方法，探討數(shù)學悖論對數(shù)學發(fā)展史產(chǎn)生的重要影響．

1　數(shù)學悖論的定義

悖論的定義可以這樣表述：由一個被承認是真的命題為前提，設(shè)為B，進行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B，反之，以非B為前提，亦可推得B，那么命題B就是一個悖論，當然非B也是一個悖論[2]．我國著名數(shù)學家徐利治曾指出產(chǎn)生悖論的根本原因在于舊的認識與新的事實的沖突．也就是說，一切事物總是在不斷發(fā)展的，而在這一過程中，可能會出現(xiàn)一些舊的認識無法解決的新的現(xiàn)實，從而引起思想認識方面的劇烈沖突，這種沖突發(fā)展成為悖論表現(xiàn)出來．

在數(shù)學研究過程中，根據(jù)嚴謹?shù)姆霞榷ㄒ?guī)則的推理，通常會得出正確的結(jié)論．但是在有些情況下，卻產(chǎn)生了與現(xiàn)有的數(shù)學規(guī)范互相沖突的認知矛盾，這就是數(shù)學悖論．數(shù)學悖論的產(chǎn)生通常是由于人的數(shù)學思維在特定歷史時期具有局限性，暴露了一定歷史階段下數(shù)學基礎(chǔ)體系的不足．與一些超越客觀事實的哲學悖論不同，數(shù)學悖論基于人類對于客觀事實的認識而產(chǎn)生，是人類依據(jù)客觀事實不斷追尋真理的產(chǎn)物．研究數(shù)學悖論，有助于了解數(shù)學內(nèi)部矛盾的產(chǎn)生、解決及發(fā)展進程．

2　數(shù)學悖論與數(shù)學發(fā)展的關(guān)系分析

2.1　數(shù)學悖論與數(shù)系發(fā)展

數(shù)系發(fā)展經(jīng)過了一個從模糊到清晰不斷擴充完善的過程．其中，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)對整個數(shù)系的發(fā)展起著不可忽視的作用．公元前600—500年，作為歷史上第一個數(shù)學共同體的畢達哥拉斯學派，在當時的古希臘數(shù)學界占據(jù)絕對的領(lǐng)導地位．他們所推崇的“唯數(shù)論”也被看作是絕對權(quán)威，不可撼動的真理．他們認為數(shù)的和諧即為宇宙的本質(zhì)，崇尚“萬物皆數(shù)”[3]．在其理論中，數(shù)被分為整數(shù)和分數(shù)（整數(shù)之比）２種，并認為萬物皆是可公度的．

但是，畢達哥拉斯學派的一個學生希帕索斯（Hippasus）在對正方形對角線長度的求解過程中得出其是一個不可公約量，可公度原理是不正確的．并且在此過程中證明了其作為一個量存在的合理性．畢達哥拉斯悖論的出現(xiàn)使“一切量皆可公度”這一理念不再被人信服．畢達哥拉斯學派陷入兩難的尷尬境地．

在之后的很長一段時間里不可通約量都被視為一種“怪數(shù)”而令人難以接受．直到19世紀也沒有學者能夠給予無理數(shù)一個明確的定義．隨著分析學的發(fā)展，人們不得不重視無理數(shù)的研究．19世紀下半葉，哈密頓、威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾等著名的數(shù)學家認真地研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴格定義，提出了一個同時含有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實數(shù)，并建立了完整的實數(shù)理論[4]51．至此，無理數(shù)終于被充分理解且有了合法的地位，人類對數(shù)的認識也自此擴充到完備的實數(shù)理論，之后，數(shù)系不斷擴大和發(fā)展，復數(shù)、四元數(shù)等多種數(shù)系逐漸被定義出來，數(shù)域的分類不斷細化．

2.2　數(shù)學悖論與微積分的發(fā)展

17世紀后期，微積分學快速發(fā)展起來并以其運算完整且應用范圍廣泛的優(yōu)勢在自然科學的理論研究和實際應用中發(fā)揮著重要作用，引起了人們廣泛重視．但是，剛剛建立起來的微積分在基礎(chǔ)問題中還存在許多缺陷，不能科學合理地給出無窮小量的概念，因此受到了來自不同方向的批判和攻擊．其中最有力的攻擊便來自英國大主教喬治·貝克萊（George Berkeley） 的評判，后人稱其為貝克萊悖論．

無窮小概念的混亂與不規(guī)范導致微分、積分等理論的基礎(chǔ)并不穩(wěn)固，存在缺陷．但由于許多實際問題都可以通過微積分方法快速地解決，使得一些數(shù)學家對微積分基礎(chǔ)問題的研究不再感興趣．直到19世紀20年代，為了滿足分析學的發(fā)展需要，微積分基礎(chǔ)完善工作迫在眉睫．法國數(shù)學家奧古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）在這一研究過程中做出了突出貢獻．但由于缺少嚴格的實數(shù)理論作為支撐，柯西的理論依舊存在缺陷．之后，經(jīng)過卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）的不懈努力，完備的實數(shù)理論才得以建立起來．由此，經(jīng)過眾多數(shù)學家一個多世紀的共同研究，微積分理論的邏輯基礎(chǔ)工作基本進入了尾聲．微積分嚴密基礎(chǔ)的實現(xiàn)解決了“無窮小量是否為零”的矛盾，分析學得到進一步發(fā)展．

2.3　數(shù)學悖論與概率論的發(fā)展

19世紀一門新的學科——幾何概率學興起，使得許多概率問題的計算更加快捷，而不用像以往一樣僅僅局限于運用微積分的知識解決問題．但是貝特朗（Bertrand ）在探討圓內(nèi)有關(guān)弦長的概率時發(fā)現(xiàn)的貝特朗悖論卻引發(fā)了爭論．

運用3種不同的解決思路得出了3個不同的結(jié)論，這嚴重違背了數(shù)學的準確性，令人產(chǎn)生困惑．其實3種解法都有其合理性，產(chǎn)生這一結(jié)果根本原因，是因為在“取弦”時沒有做具體的規(guī)定，通過給定相應“等可能假設(shè)”，我們可以得出與之對應的樣本空間．如果在解題前列出所求弦在圓內(nèi)分布3種情況，便可以得出3個相應的樣本空間．針對不同的樣本空間，產(chǎn)生了3種不同的答案．如果在題目中給出具體的樣本空間，便可以得出唯一正確的答案．貝特朗悖論的提出明確了概率問題的基礎(chǔ)，那就是首先應該確定樣本空間的范圍．

當時雖然借助分析法這一工具使得概率論得以進一步發(fā)展，但由于19世紀的分析學發(fā)展本身就不完善，導致概率論體系也存在一些缺陷．貝特朗悖論便是在這種背景中提出的．貝特朗悖論的提出引起了數(shù)學家們對概率論尤其是概率這一基本概念的深入思考，由此展開了關(guān)于概率論基礎(chǔ)的一系列研究．1900年希爾伯特就曾呼吁要把概率論公理化的工作提上日程．著名數(shù)學家伯恩斯坦最早對概率嚴格化進行嘗試，并在1927年出版的《概率論》中引進了3個公理：（1）概率的可比較性公理；（2）不相容事件公理；（3）事件組合公理[7]，并在之后給出了第一個系統(tǒng)的概率論公理化體系．但在他的體系中沒有對概率的數(shù)值定義一個基本概念，沒有從根本上解決問題．20世紀20年代起，數(shù)學家們通過不斷探索分析，逐漸將概率基礎(chǔ)問題的研究和集合論與函數(shù)論的思想聯(lián)系起來，找到了正確發(fā)展方向，建立起以測度論為基礎(chǔ)的概率論的公理化體系．至此，由貝特朗悖論引發(fā)的對概率論基礎(chǔ)問題的疑惑得以圓滿解決．

2.4　數(shù)學悖論與集合論的完善

其實，在羅素之前，一些數(shù)學家就已經(jīng)相繼給出關(guān)于集合論的一些其他悖論．但與羅素悖論相比這些悖論都相對繁瑣，難以理解，因此僅出現(xiàn)了一些小波動而并未引起較大影響．羅素悖論因為談論的是最基礎(chǔ)的問題而顯得通俗易懂，使其剛發(fā)現(xiàn)便被各界廣泛討論．眾多數(shù)學家為了解決以羅素悖論為代表的集合論中的各種悖論很快行動起來．羅素提出了惡性循環(huán)原則，雖然遵循該原則是消除集合論中已知悖論的一種方法，但并未從根本上解決問題．德國數(shù)學家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）認為集合論中的一些悖論和矛盾是由它的根本原理導出來的．為此他提出９條公理并建立了Z公理．Z公理規(guī)定該公理系統(tǒng)只承認在其允許的范圍內(nèi)所構(gòu)造的集合，羅素悖論由此排除．之后，經(jīng)弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）等一批數(shù)學家對Z公理作了進一步完善和改進，形成了今天著名的ZFC系統(tǒng)．由于ZFC系統(tǒng)本身的相容性并沒有解決，盡管如今現(xiàn)有的悖論都已解決，但依舊無法保證之后可能出現(xiàn)的情況．受到說謊者悖論的啟發(fā)，奧地利偉大的數(shù)量邏輯學家?guī)鞝柼亍じ绲聽枺↘urt Godel）提出了不完備性定理，不完備性定理指出：“如果形式算術(shù)系統(tǒng)是無矛盾的，則存在著這樣一個命題，該命題及其否定命題在該系統(tǒng)中都不能證明，也就是說它是不完備的”[4]52，這是關(guān)于數(shù)理邏輯研究的一個突破性成果．為數(shù)學家關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)問題的不休爭論畫上休止符，第三次數(shù)學危機基本結(jié)束．

2.5　數(shù)學悖論與幾何學的發(fā)展

第一次數(shù)學危機之前，古希臘人對幾何學具有絕對的研究優(yōu)勢．他們依據(jù)原子論為基礎(chǔ)，把幾何與算數(shù)聯(lián)系起來，獲得了巨大成就．由于希帕索斯發(fā)現(xiàn)了不可公約量，證明并非所有線段都可公度，可公度原理隨之被推翻．畢達哥拉斯學派的幾何學也隨之產(chǎn)生巨大漏洞．為了避開這一悖論，數(shù)學家工作的重點逐漸轉(zhuǎn)移到幾何上來．歐多克索斯（Eudoxus） 引入了“量”的概念，以“量”來表示線段、角等不是固定不變的東西，并以此與離散的數(shù)區(qū)別開來． 歐多克索斯用“量”表示不連續(xù)的數(shù)與幾何圖形聯(lián)系起來，重新給出了兩者間的對稱關(guān)系．雖然歐多克索斯的這種方法為不可公度比給出合理的解釋，促使當時的幾何學的研究不斷深入，但同時也將其與代數(shù)分裂開來，導致僅僅在幾何學中才能進行相關(guān)計算．同時使得希臘人意識到應該用更加嚴謹?shù)膽B(tài)度對待幾何研究問題，不能僅僅依靠直覺想法或生活經(jīng)驗給出結(jié)論．由此希臘人在幾何研究中加入推理和證明，不斷消除矛盾和解除危機，希臘數(shù)學進入巔峰時期．

公元前3世紀，歐幾里德通過對當時的幾何學研究成果進行詳細歸類和分析，編寫出《幾何原本》．《幾何原本》的出版標志著幾何學由此進入歐氏幾何時代 ．但隨著研究的不斷深入，該書中的第五條公設(shè)引起了質(zhì)疑．為了證明這一公設(shè)的合理性，數(shù)學家們進行了各種嘗試，但都以失敗告終．并且在這一過程中發(fā)現(xiàn)了許多“直觀悖論”，非歐幾何也由此逐漸發(fā)展起來．由于歐氏幾何其直觀與邏輯推理結(jié)果完全一致，而非歐幾何則是彼此對立的，因此由于非歐幾何中出現(xiàn)了“直觀悖論”，致使那些以直觀作為真理標準的數(shù)學家不承認非歐幾何的存在[10]．直至后來通過數(shù)學家克萊因等人的努力，非歐幾何才慢慢地得到認可．

3　數(shù)學悖論與數(shù)學發(fā)展的關(guān)系評價

數(shù)學悖論帶來的影響并不是負面消極的，更多的是為數(shù)學的進一步發(fā)展指引方向．在數(shù)系、幾何、概率等多個數(shù)學領(lǐng)域的發(fā)展過程中，數(shù)學悖論均發(fā)揮著不可忽視的作用．數(shù)學悖論作為源頭引發(fā)了３次重大數(shù)學危機，但每一次危機的解決又促使數(shù)學體系更加完備．經(jīng)過第一次危機，數(shù)系因無理數(shù)的加入得以擴充．同時使古希臘數(shù)學家認識到，對事物的判斷不能僅依靠直觀感覺和生活經(jīng)驗，嚴格的推理證明更加可靠．以致后來他們對待幾何知識更加嚴謹，歐氏幾何正是由此逐漸發(fā)展起來．第二次數(shù)學危機引發(fā)數(shù)學家對實數(shù)論的濃厚興趣，實數(shù)理論由此建立，為微積分的進一步完善奠定了更加穩(wěn)固的基礎(chǔ)．第三次數(shù)學危機發(fā)起了關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)問題檢查和鞏固的工作，修補了數(shù)學大廈根基的裂縫．經(jīng)過發(fā)現(xiàn)悖論——解決悖論這樣一個循環(huán)往復螺旋向上的過程．面對數(shù)學悖論帶來的恐慌與危機，人類逐漸從否認、逃避轉(zhuǎn)變?yōu)榻邮懿⒎e極尋找解決的方案．如今，數(shù)學悖論帶給我們的不僅僅是困惑，更多的是思維的開拓、數(shù)學的發(fā)展與完善，期待新的數(shù)學悖論的出現(xiàn)，并由此推動數(shù)學的進一步發(fā)展．

[1] 黃斌．破解說謊者悖論[J]．西南大學學報（社會科學版），2009，35（2）：59-65．

[2] 束永祥，盧蕊．數(shù)學悖論研究[J]．鎮(zhèn)江高專學報，2009，22（1）：53-58．

[3] 蘭林世．三次數(shù)學危機與悖論[J]．集寧師專學報，2003，25（4）：47-49．

[4] 李文銘．數(shù)學史簡明教程[M]．西安：陜西師范大學出版總社，2008：51-52．

[5] 王昭輝．數(shù)學文化之數(shù)學悖論[J]．教育教學論壇，2016（49）：93-94．

[6] 黃晶晶，黃世同．關(guān)于貝特朗悖論的新思考[J]．昆明師范高等?？茖W報，2004，26（4）：10-12．

[7] 程小紅，楊靜．概率論公理化源頭初探[J]．西北大學學報（自然科學版），2007，37（6）：1026-1028．

[8] 陶理．關(guān)于數(shù)學悖論的認識問題[J]．東北師大學報（哲學社會科學版），1993，6（17）：80-84．

[9] 凌曉牧．小議數(shù)學悖論[J]．江蘇教育學院學報（自然科學學報），2010，26（12）：28-30．

[10] 李春泰．悖論在幾何發(fā)展中的作用[J]．哈爾濱師范大學自然科學學報，1992，8（2）：27-32．

Analysis on the relationship between mathematical paradox and mathematical development

WANG Jinrui，ZHANG Yadi

（1. School of Mathematics and Statics，Shaanxi Xueqian Normal University，Xi′an 710100，China；2. Shangqiu Minzhu Road No.2 Primary School，Shangqiu 476000，China）

Based on the definition of mathematical paradox，the influence of mathematical paradox on the development of logarithm system，geometry，probability，calculus was discussed．The irreplaceable role of the mathematical paradox was specifically analyzed in the generation of irrational numbers，the development of Euclidean geometry and non Euclidean geometry，the axiomatization of probability theory，and the improvement of the foundation of calculus．it showed that emergence of mathematical paradox is the inevitable outcome in the process of mathematical development，it reflected that the concept and theoretical system of mathematics may have some loopholes under the historical conditions at that time，thus broken the inertia and limitations of mathematical thinking，constantly promoted the emergence of new mathematical theoretical system, and further promoted the development and improvement of mathematics.

mathematical paradox；Bertrand′s paradox；Russell′s paradox；mathematics development

1007-9831（2022）09-0022-04

N91

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.006

2022-01-05

國家社會科學基金項目（18BTJ014）

王錦瑞（1985-），女，陜西咸陽人，副教授，博士，從事數(shù)學史研究．E-mail：dreams1985@126.com