二第七章第一節(jié)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”為例,探討如何在課堂中用數(shù)學(xué)史帶動(dòng)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力,如何用數(shù)學(xué)史豐富課堂思政.2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施2.1 情境引入師: 同學(xué)們,大家好.很高興和大家共同學(xué)習(xí)必修二第七章第一節(jié)的有關(guān)內(nèi)容,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念.首先請(qǐng)同學(xué)們跟隨老師回顧一下我們從小到大的數(shù)是如何產(chǎn)生的.數(shù)這一概念源于事物個(gè)數(shù)的表示,在社會(huì)發(fā)展中,逐步學(xué)會(huì)了以對(duì)應(yīng)的方法來表示事物的個(gè)數(shù),如“屈指”計(jì)數(shù),“結(jié)繩”計(jì)數(shù)、“堆石子”計(jì)數(shù)等,然后人們從計(jì)數(shù)過程中抽象出數(shù)

數(shù)的必要性；了解數(shù)系的擴(kuò)充過程：自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)．(2)認(rèn)識(shí)虛數(shù)單位，掌握復(fù)數(shù)概念，實(shí)部、虛部相關(guān)概念，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．(3)類比有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集的關(guān)系，認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的關(guān)系，理解實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一種形式；通過從實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充過程和方法，提升抽象概括及邏輯推理素養(yǎng)．2 設(shè)計(jì)理念本節(jié)課的設(shè)計(jì)以杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論為基礎(chǔ)與依據(jù)，緊緊圍繞活動(dòng)(Action)、過程(Process)

數(shù)的必要性；了解數(shù)系的擴(kuò)充過程：自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)—復(fù)數(shù)．(2)認(rèn)識(shí)虛數(shù)單位，掌握復(fù)數(shù)概念，實(shí)部、虛部相關(guān)概念，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．(3)類比有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集的關(guān)系，認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的關(guān)系，理解實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一種形式；通過從實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充過程和方法，提升抽象概括及邏輯推理素養(yǎng)．2 設(shè)計(jì)理念本節(jié)課的設(shè)計(jì)以杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論為基礎(chǔ)與依據(jù)，緊緊圍繞活動(dòng)(Action)、過程(Process)

我們也知道了每次數(shù)系擴(kuò)充遵循的基本原則：第一，增加新元素；第二，原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立；第三，新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾。本章一開始以運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)為情境，讓我們感受到“數(shù)的開方”的必要性，順理成章地讓我們學(xué)習(xí)平方根的概念。我們?cè)谄吣昙?jí)就知道非完全平方數(shù)（如數(shù)2）的平方根（算術(shù)平方根）是客觀存在的，能用逼近法知道它是無限不循環(huán)小數(shù)，并能用數(shù)軸上的點(diǎn)將它表示出來。為了進(jìn)一步研究這樣的數(shù)，我們有必要用符號(hào)來表示。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾使用符號(hào)“[]”

數(shù)單元主要涉及復(fù)數(shù)系的探究，屬于數(shù)學(xué)代數(shù)內(nèi)容，所以本單元的大概念設(shè)定為“復(fù)數(shù)及其運(yùn)算”，結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將復(fù)數(shù)單元預(yù)期結(jié)果設(shè)計(jì)如下.2.1 基于課程標(biāo)準(zhǔn)制定學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過收集信息，整理總結(jié)解方程的發(fā)展歷史，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的現(xiàn)實(shí)需要和數(shù)學(xué)需要.回顧學(xué)習(xí)過的數(shù)系的擴(kuò)充過程，歸納出數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，并依據(jù)此規(guī)則，嘗試將實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，得到復(fù)數(shù)系，體會(huì)理性思維的作用.(2)體會(huì)一種事物的多種表示方式之間一定存在某種聯(lián)系，數(shù)學(xué)研究就是要把這種聯(lián)系找出來并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言

個(gè)理想的、統(tǒng)一的數(shù)系中選擇[1]。1 優(yōu)先數(shù)和優(yōu)先數(shù)系2 減速器樣機(jī)設(shè)計(jì)過程減速器是安裝于機(jī)器上的原動(dòng)件和執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間的一種精密傳動(dòng)裝置，它的作用主要是用來改變轉(zhuǎn)速，輸出轉(zhuǎn)矩。 它的根據(jù)其減速的級(jí)數(shù)、安裝的齒輪等不同，有許多種類，各個(gè)種類都有不同的用途。 減速器一般由箱體、齒輪、軸、軸承和附件組成。箱體是安置齒輪、軸及軸承等零件的固定機(jī)架，并起到存放潤(rùn)滑油和密封箱體內(nèi)零件的作用。箱體常采用上下剖分式的分體結(jié)構(gòu)， 箱蓋與箱座通過一組螺栓聯(lián)接，并通過兩個(gè)定位銷

數(shù)單元主要涉及復(fù)數(shù)系的探究，屬于數(shù)學(xué)代數(shù)內(nèi)容，所以本單元的大概念設(shè)定為“復(fù)數(shù)及其運(yùn)算”，結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將復(fù)數(shù)單元預(yù)期結(jié)果設(shè)計(jì)如下.2.1 基于課程標(biāo)準(zhǔn)制定學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過收集信息，整理總結(jié)解方程的發(fā)展歷史，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的現(xiàn)實(shí)需要和數(shù)學(xué)需要.回顧學(xué)習(xí)過的數(shù)系的擴(kuò)充過程，歸納出數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，并依據(jù)此規(guī)則，嘗試將實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，得到復(fù)數(shù)系，體會(huì)理性思維的作用.(2)體會(huì)一種事物的多種表示方式之間一定存在某種聯(lián)系，數(shù)學(xué)研究就是要把這種聯(lián)系找出來并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言

的引領(lǐng)。本文以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”一課為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c實(shí)踐。一、新課引入“新課引入”是一節(jié)新授課的基礎(chǔ)，它的立意對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性十分重要，會(huì)影響整節(jié)課學(xué)生的關(guān)注度和參與度。本課以數(shù)學(xué)史為切入點(diǎn)，融入中外數(shù)學(xué)家的經(jīng)典數(shù)學(xué)故事，以史料育人?！兜赖陆?jīng)》有言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！惫畔ＥD數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出“萬物皆數(shù)”，這節(jié)課我們就從數(shù)字“1”開始。歷史追溯到五萬年前，人類在認(rèn)識(shí)自然界的過程中，用手指、木棒、小石子來計(jì)數(shù)。隨著語(yǔ)言

我們也知道了每次數(shù)系擴(kuò)充遵循的基本原則：第一，增加新元素；第二，原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立；第三，新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾。本章一開始以運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)為情境，讓我們感受到“數(shù)的開方”的必要性，順理成章地讓我們學(xué)習(xí)平方根的概念。我們?cè)谄吣昙?jí)就知道非完全平方數(shù)（如數(shù)2）的平方根（算術(shù)平方根）是客觀存在的，能用逼近法知道它是無限不循環(huán)小數(shù)，并能用數(shù)軸上的點(diǎn)將它表示出來。為了進(jìn)一步研究這樣的數(shù)，我們有必要用符號(hào)來表示。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾使用符號(hào)“”很好

元角度整體把握.數(shù)系概念的發(fā)展與擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生源于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的矛盾，是在已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上的再一次數(shù)系擴(kuò)充，且虛數(shù)的引入帶來了數(shù)系結(jié)構(gòu)與運(yùn)算性質(zhì)的一系列變化.而在知識(shí)表象(如圖1)下數(shù)系擴(kuò)充及虛數(shù)引入的動(dòng)因、發(fā)現(xiàn)研究“擴(kuò)充”問題遵循的規(guī)律和方法以及探究過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)精神才是本單元學(xué)習(xí)的深層內(nèi)容.圖1 復(fù)數(shù)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖以單元整體角度出發(fā)的“復(fù)數(shù)”單元起始課需明確以下幾點(diǎn)：1)復(fù)數(shù)的起源與進(jìn)階點(diǎn).復(fù)數(shù)的誕生

創(chuàng)造的過程，掌握數(shù)系擴(kuò)充“規(guī)則”中蘊(yùn)含的方法論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。二、教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)課程內(nèi)容規(guī)劃，“復(fù)數(shù)”是必修“主題三幾何與代數(shù)”中的一章，本章學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的三角表示，重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)[1]，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，融數(shù)學(xué)文

東周加摘 要：數(shù)系在中職數(shù)學(xué)的教材中主要講解復(fù)數(shù)的應(yīng)用。在這一階段的教學(xué)過程中，教師要做好引導(dǎo)學(xué)生增加對(duì)數(shù)論知識(shí)的接觸，了解數(shù)論的發(fā)展歷程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)論知識(shí)的求知欲和探索欲。關(guān)鍵詞：數(shù)系;數(shù)論;學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)是研究客觀世界存在的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，相比之下數(shù)論產(chǎn)生較晚，在十五世紀(jì)末十六世紀(jì)初才逐步形成，到十九世紀(jì)，發(fā)展成為一個(gè)有著完整理論體系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。對(duì)于中職生來說，素?cái)?shù)的學(xué)習(xí)由原先的初等數(shù)論擴(kuò)大到高等數(shù)論的范疇中;由

活中不斷加深的，數(shù)系的每一次擴(kuò)充都源于實(shí)際生活的需要.在非負(fù)有理數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上引進(jìn)負(fù)數(shù)，數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴(kuò)充;但隨著人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷加深，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)，在引入無理數(shù)的概念后，數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴(kuò)充.理解無理數(shù)是學(xué)好實(shí)數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意：1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)q/p的形式（這里p，q是互質(zhì)的整數(shù)，且p≠0）;2.掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)

技能 (1)了解數(shù)系發(fā)展歷史和數(shù)集的擴(kuò)展過程;(2) 理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念以及符號(hào)表示.過程與方法 經(jīng)歷數(shù)系的擴(kuò)充過程,體驗(yàn)復(fù)數(shù)引入的必要,探究復(fù)數(shù)相等的概念,領(lǐng)悟類比的思想方法.情感與態(tài)度 在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會(huì)實(shí)際需求;由數(shù)系的擴(kuò)充過程,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn) 對(duì)引入復(fù)數(shù)的必要性的認(rèn)識(shí),理解復(fù)數(shù)的基本概念.難點(diǎn) 虛數(shù)單位i的引入以及復(fù)數(shù)概念的生成.三、教學(xué)流程與設(shè)計(jì)意圖1. 設(shè)置情境,再現(xiàn)歷史問

、復(fù)數(shù)和四元數(shù)等數(shù)系的“基數(shù)”聯(lián)系比較，得到一個(gè)結(jié)論，即以四象和八卦為“基數(shù)”，可以構(gòu)成與復(fù)數(shù)、四元數(shù)并行但是又不同的數(shù)系。然后，將四象和八卦的代數(shù)運(yùn)算推廣到六十四卦。現(xiàn)代社會(huì)進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，算法起著越來越重要的作用，相當(dāng)數(shù)系的出現(xiàn)，會(huì)導(dǎo)致新的算法出現(xiàn)，這就是說，這種基于易卦的代數(shù)研究，可能對(duì)于數(shù)字社會(huì)和信息技術(shù)的發(fā)展具有相當(dāng)重要的意義。2 兩爻四象八卦的共軛運(yùn)算和乘法運(yùn)算2.1 爻和卦的共軛運(yùn)算前人在研究卦象時(shí)發(fā)現(xiàn)，這些卦“二二相耦，非覆即變”。所謂“覆”

用.請(qǐng)看案例1《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》.案例1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念首先，我們要講清數(shù)系發(fā)展的緣由，數(shù)系發(fā)展的規(guī)律.這樣才能使學(xué)生明了復(fù)數(shù)產(chǎn)生的背景，理解復(fù)數(shù)發(fā)展的緣由，感受數(shù)系發(fā)展的規(guī)律，深刻體會(huì)復(fù)數(shù)產(chǎn)生的必然性，發(fā)展的合理性.也為今后數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充打下基礎(chǔ).因此，在《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》這堂課中，一定要講清從自然數(shù)發(fā)展到實(shí)數(shù)的產(chǎn)生緣由：一是由于實(shí)際生活的需要；二是數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的要求.如從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，最初源于古代物物交換的需要，以及物物交

數(shù)是我們最熟悉的數(shù)系（數(shù)的集合），它們都可以用十進(jìn)制數(shù)字來表示，比如5、8.2、-13.712、0、10.33333…和π≈3.1415926…。我們可以加減乘除這些實(shí)數(shù)，在課堂上和日常生活中，我們經(jīng)常用它們來處理各種問題。但是，實(shí)數(shù)并不足以解決所有的數(shù)學(xué)問題。16世紀(jì)時(shí)，意大利學(xué)者、“解方程大師”吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾正試圖求解多項(xiàng)式方程。他求解諸如x2-8x+12=0這樣的方程是沒有問題，因?yàn)楹苋菀渍业絻蓚€(gè)數(shù)總和為8且乘積為12的數(shù)，即2和6。這意味著x2

二部分，在原有的數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了復(fù)數(shù)的三角形式等[1]．近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查基本圍繞復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，使得師生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)單元不夠重視，僅僅考慮使用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，因此教師和學(xué)生對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充過程及復(fù)數(shù)的幾何意義的認(rèn)識(shí)較為模糊．在數(shù)學(xué)史上，虛數(shù)以及復(fù)數(shù)概念的引入經(jīng)歷了一個(gè)曲折過程，其中充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓的精神，對(duì)于培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解有著較好的作用．基于此我們對(duì)復(fù)數(shù)單元的

級(jí)近期舉辦了以“數(shù)系的擴(kuò)充”為主題的同課異構(gòu)的教學(xué)觀摩活動(dòng)，兩位執(zhí)教老師在同一內(nèi)容上的理解、思考與表達(dá)均表現(xiàn)出了不同，尤其是在數(shù)學(xué)史的處理上令人印象頗深.現(xiàn)結(jié)合兩位教師的教學(xué)表現(xiàn)及自身的思考談?wù)剶?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透.一、課例實(shí)錄A老師在教學(xué)之初首先給出了一個(gè)方程，教師在學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程無解之后提出了需要進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充，以下是A老師在處理數(shù)系擴(kuò)充史時(shí)的教學(xué)片段：師：人類因?yàn)橛?jì)數(shù)的需要而發(fā)明了自然數(shù)，因?yàn)榭坍嬒喾匆饬x的需要而發(fā)明了相反數(shù)，因?yàn)榈阮~分配和測(cè)

算，叫做開立方.數(shù)系擴(kuò)充：有了開方運(yùn)算，出現(xiàn)了一些開方開不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，并規(guī)定無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這樣我們把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)這個(gè)大家庭里有有理數(shù)和無理數(shù)兩大成員.實(shí)數(shù)的分類可從兩個(gè)角度去思考，即（1）按定義來分類；（2）按正、負(fù)數(shù)來分類.最后，我們列一個(gè)“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”，幫助同學(xué)們直觀理解“

這類無理數(shù)，于是數(shù)系再一次擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系.經(jīng)過“實(shí)數(shù)”這一章的學(xué)習(xí)，我對(duì)實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)或簡(jiǎn)單的運(yùn)算也有了一定的了解，借數(shù)學(xué)周記的機(jī)會(huì)，進(jìn)行一次梳理.1.與實(shí)數(shù)有關(guān)的概念.2.與實(shí)數(shù)有關(guān)的運(yùn)算.在學(xué)習(xí)這一章時(shí)，老師并沒有帶領(lǐng)我們學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，這令我很費(fèi)解.后來我才發(fā)現(xiàn)帶有“根號(hào)”的綜合運(yùn)算情況很復(fù)雜，需要專門學(xué)習(xí)，在后面（八年級(jí)下學(xué)期）會(huì)有專門的章節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算.但是我在一些練習(xí)冊(cè)上，也見到一些帶根號(hào)的算式，比如：3.點(diǎn)的坐標(biāo)也可以是無理數(shù).（1）將點(diǎn)

算，叫做開立方.數(shù)系擴(kuò)充：有了開方運(yùn)算，出現(xiàn)了一些開方開不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，并規(guī)定無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這樣我們把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)這個(gè)大家庭里有有理數(shù)和無理數(shù)兩大成員.實(shí)數(shù)的分類可從兩個(gè)角度去思考，即（1）按定義來分類；（2）按正、負(fù)數(shù)來分類.[實(shí)數(shù) [有理數(shù)正有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負(fù)無

1100)引言“數(shù)系”是中小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”部分的核心內(nèi)容，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中都有很多關(guān)與“數(shù)系”的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)系的發(fā)展某種程度上也反映了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的歷史軌跡，而數(shù)學(xué)本身的發(fā)展客觀上也要求數(shù)系的不斷擴(kuò)充。高師師范生的培養(yǎng)與專業(yè)發(fā)展是教師教育的重要環(huán)節(jié)，也是教師教育所直接面臨的重要問題。數(shù)學(xué)師范教育的一個(gè)顯著的特點(diǎn)是注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)師范生在中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如有理數(shù)，自然數(shù)，整數(shù)，

10000)一、數(shù)系：理應(yīng)擴(kuò)充1. 理念重溫本節(jié)課旨在讓學(xué)習(xí)者回顧數(shù)系的擴(kuò)充過程，進(jìn)而激發(fā)學(xué)者探索欲望.本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備停留在實(shí)數(shù)集，在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)數(shù)集之間的內(nèi)在包含關(guān)系都是比較明確的，但是對(duì)數(shù)的發(fā)展歷程缺乏系統(tǒng)的認(rèn)知，知識(shí)體系還未形成.另一方面,從方程解的角度來看，學(xué)生只能在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)進(jìn)行求解，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.所以本節(jié)課讓學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，

意義；邏輯結(jié)構(gòu)；數(shù)系【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2018）25-0079-01近日，筆者聽了蘇教版五上《小數(shù)的意義》一課，其中一段教學(xué)是這樣設(shè)計(jì)的：將正方形平均分成10份，涂色的占1份，讓學(xué)生猜涂色的部分怎么表示，學(xué)生說是0.1；接著再把正方形平均分成100份，涂色的占1份，讓學(xué)生猜涂色的部分怎么表示。筆者不禁產(chǎn)生疑問，為什么說涂色部分就是0.01，難道是因?yàn)榍懊嬗辛?.1，這兒就可以表示為0.01嗎？通過

問題。筆者依托“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，對(duì)上述問題進(jìn)行了探討，取得了較好的效果?，F(xiàn)將部分教學(xué)過程設(shè)計(jì)呈現(xiàn)如下。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)文化;問題思路中圖分類號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2018）17-0207-01一、概

問題，筆者依托《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，對(duì)上述問題進(jìn)行了探討，取得了較好的效果，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)與同行進(jìn)行交流.1教學(xué)設(shè)計(jì)意圖數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)教材中典型的富有濃厚數(shù)學(xué)思想與文化的內(nèi)容，復(fù)數(shù)概念的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及到數(shù)學(xué)中類比、抽象、符號(hào)化等重要的數(shù)學(xué)思想，是典型的數(shù)學(xué)抽象過程，是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化的最好契機(jī).1.1教材分析數(shù)系的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充.本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心

利的。本文結(jié)合《數(shù)系的擴(kuò)充》這一課題，談?wù)勥@節(jié)課的設(shè)計(jì)及感想。一、背景分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提道：在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。本節(jié)是蘇教版數(shù)學(xué)選修2-2第三章第一節(jié)，復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)的概念的最后一次擴(kuò)充。本節(jié)課是該章的起始課、基礎(chǔ)課，是一節(jié)典型的概念課，在教學(xué)中起著承上啟下的作用，通過讓學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過程，能

的研究——基于《數(shù)系的擴(kuò)充》（第1課時(shí)）教學(xué)案例設(shè)計(jì)與實(shí)踐.活動(dòng)共分四次進(jìn)行，首先是通過微型課的方式來進(jìn)行《數(shù)系的擴(kuò)充》這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，然后進(jìn)行研究討論并提出修改方案，在第二次和第三次分別進(jìn)行課堂模擬，最后總結(jié)得失，在課堂實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)文化，最終體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.這樣的活動(dòng)，不僅讓我們的課堂變得更加生動(dòng)，也讓我們?cè)俅胃惺艿綌?shù)學(xué)文化對(duì)于目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要之處，筆者頗有感悟.主題敘述本研究報(bào)告立足于《數(shù)系的擴(kuò)充》這節(jié)課，本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版高中數(shù)學(xué)

學(xué)素養(yǎng)* ——“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)實(shí)踐與思考江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) (215512)殷偉康“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是高中教材中經(jīng)典內(nèi)容之一，富有濃厚的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化，復(fù)數(shù)概念的發(fā)展具有豐厚的歷史背景.由于不少教師對(duì)“問題情境的創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)”認(rèn)識(shí)不到位，導(dǎo)致復(fù)數(shù)概念教學(xué)的弱化，即復(fù)數(shù)概念的本質(zhì)屬性突出不夠，缺乏思想方法引領(lǐng)，學(xué)生對(duì)虛數(shù)單位i的引入難以理解.因此，筆者從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運(yùn)用數(shù)學(xué)史的有效融入方式，對(duì)教材進(jìn)行

3)中的第三章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)實(shí)例,談一些章引言課教學(xué)的看法,供同行參考,以期拋磚引玉.1 對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解1.1 何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大家普遍認(rèn)可北師大林崇德教授及其團(tuán)隊(duì)對(duì)核心素養(yǎng)所做的描述：核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力.對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，仁者見仁，智者見智，但基本認(rèn)同應(yīng)涵蓋用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，還有些學(xué)者認(rèn)為應(yīng)加上用數(shù)學(xué)知

中的若干經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)系的發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，淺談其與數(shù)學(xué)其他課程的若干聯(lián)系。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)史；有理數(shù)；無理數(shù)；數(shù)系的完備化O156一、有理數(shù)和無理數(shù)自然數(shù)及相應(yīng)的加法運(yùn)算，在公元前三千多年的古巴比倫文明和古埃及文明中就已經(jīng)出現(xiàn)。但直到公元前600年到公元前300年的古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)才正式作為一個(gè)學(xué)科登上歷史舞臺(tái)。古希臘人研究自然數(shù)的比值，即可公度比，產(chǎn)生了有理數(shù)的概念。而不可公度比，即所謂無理數(shù)，是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)并

道生 ——例談“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)楊海燕(江蘇省南京市第十三中學(xué),210008)“本立而道生”出自《論語(yǔ)》,即做任何事情都要明白事情的根本.教師在教學(xué)中同樣需要以學(xué)生的發(fā)展為根本.在具體數(shù)學(xué)教學(xué)中,除了要幫助學(xué)生獲得基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力之外,更要幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)問題.本文基于“本立而道生”的思想，談?wù)劇?span id="syggg00" class="hl">數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì).一、教材與學(xué)情分析“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-2第

楊靜梅摘 要：數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，同時(shí)也標(biāo)志著人的認(rèn)識(shí)水平的一次飛躍.通過廣泛查閱文獻(xiàn)資料，對(duì)數(shù)的起源與數(shù)系的發(fā)展進(jìn)行了全面的闡述，進(jìn)而闡述了數(shù)系由自然數(shù)到整數(shù)、整數(shù)到有理數(shù)、有理數(shù)到實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的四個(gè)擴(kuò)充過程及擴(kuò)充方法，進(jìn)而研究了數(shù)系擴(kuò)充的思維過程分析，提出了數(shù)系擴(kuò)充的應(yīng)用，并從中得到啟示，為更好的研究數(shù)系奠定了基礎(chǔ).關(guān)鍵詞：數(shù)系 整數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)引言數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用的工具，從

（旅順三高中）從數(shù)系學(xué)習(xí)引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)論的興趣張霜月 （旅順三高中）數(shù)論在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較晚，在15世紀(jì)末16世紀(jì)初才漸有雛形，到19世紀(jì)已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)有著強(qiáng)大理論體系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。而對(duì)高中生的學(xué)習(xí)來說，素?cái)?shù)的學(xué)習(xí)將知識(shí)面由有原先接觸到的初等數(shù)論擴(kuò)大到了高等數(shù)論的范疇中。如何引領(lǐng)學(xué)生充分理解課本知識(shí)，鼓勵(lì)有志于此的學(xué)生對(duì)數(shù)論難題發(fā)起挑戰(zhàn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)艱巨任務(wù)。一、數(shù)論前沿理論與高中數(shù)學(xué)課程數(shù)論，是研究數(shù)字特性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支學(xué)科。數(shù)論產(chǎn)生的早期主要

李莉摘 要 數(shù)系在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中主要是講解復(fù)數(shù)的引入。在這一部分教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，自由發(fā)揮，增加對(duì)超越數(shù)論知識(shí)的接觸，了解數(shù)論發(fā)展的歷史，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)論知識(shí)的求知欲和探索欲。關(guān)鍵詞 數(shù)系 數(shù)論 學(xué)習(xí) 興趣中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）20-0035-02數(shù)論在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較晚，在十五世紀(jì)末十六世紀(jì)初才漸有雛形，但到十九世紀(jì)，已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)有著強(qiáng)大理論體系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。而對(duì)于高中生的學(xué)習(xí)來

與11/30太極數(shù)系”的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與重大意義陳 偉（上海市嘉定區(qū)規(guī)劃和土地管理局 上海 201800）在充分認(rèn)識(shí)地球歷史及地殼運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)的漸變與突變交替發(fā)生的演變規(guī)律、以中國(guó)古代太極理論及自然宇宙觀為指導(dǎo)、吸收近現(xiàn)代西方科學(xué)特別是非線性科學(xué)理論成果基礎(chǔ)上，在對(duì)全球地震時(shí)間分布規(guī)律的研究過程中，發(fā)現(xiàn)和建立了“11/30全球地震周期分布律”及其背后所隱藏的本質(zhì)物理規(guī)律“11/30二維時(shí)間坐標(biāo)系”；并揭示它們賴以確立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即“11/30二維交互數(shù)系暨11/30太

王志華數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，但復(fù)數(shù)中的虛數(shù)畢竟是歷史上經(jīng)歷很長(zhǎng)時(shí)間才被數(shù)學(xué)家接受的，與實(shí)數(shù)相比較為難以理解，因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，一些同學(xué)由于對(duì)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的異同辨析不清，對(duì)相關(guān)概念理解不透或錯(cuò)誤，加上審題不嚴(yán)，考慮不周，忽視、甚至挖掘不出題中隱含條件，常使解題發(fā)生錯(cuò)誤，本文就復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以期幫助同學(xué)們走出復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中的誤區(qū)，讓復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)不再困

1/30二維交互數(shù)系暨11/30太極數(shù)系》[6]，獲得“2013中國(guó)科技創(chuàng)新卓越成果獎(jiǎng)”。5.2014年8月參加第五屆中國(guó)科技創(chuàng)新發(fā)展論壇（北京），提交科研創(chuàng)新成果 [8]，獲得“2014中國(guó)科技創(chuàng)新發(fā)展論壇年度科技人物”榮譽(yù)稱號(hào)。本文對(duì)“11/30二維時(shí)間坐標(biāo)系”數(shù)理模型的發(fā)現(xiàn)論證與應(yīng)用研究作一比較完整的綜述。1.研究課題、指導(dǎo)思想及主要成果在對(duì)“全球地震時(shí)間周期分布”問題整個(gè)研究過程中，可以分為對(duì)近現(xiàn)代西方科學(xué)觀及其數(shù)理邏輯公理化假設(shè)提出反思和質(zhì)疑、提

1/30二維交互數(shù)系暨11/30太極數(shù)系陳偉(上海市嘉定區(qū)規(guī)劃和土地管理局,上海 201800)從2001年以來,在充分認(rèn)識(shí)地球歷史及地殼運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)的漸變與突變交替發(fā)生的演變規(guī)律、以中國(guó)古代太極理論及自然宇宙觀為指導(dǎo),吸收近現(xiàn)代西方科學(xué)特別是混沌理論成果基礎(chǔ)上;在對(duì)全球地震時(shí)間分布規(guī)律的研究過程中,發(fā)現(xiàn)和建立了“11/30全球地震周期分布律”及其背后所隱藏的本質(zhì)物理規(guī)律“11/30二維時(shí)間坐標(biāo)系”。本文則揭示它們賴以確立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即“11/30二維交互數(shù)系暨

王志華數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后endprint數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后endprint數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的最后endprint

學(xué)習(xí)生活中出現(xiàn)，數(shù)系——數(shù)字的家園，也從正數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，請(qǐng)你思考一個(gè)問題：為什么數(shù)系需要不斷擴(kuò)充呢？本文從生活生產(chǎn)實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要兩個(gè)方面帶你了解為什么數(shù)系需要不斷擴(kuò)充，endprint進(jìn)入七年級(jí)，很多數(shù)字朋友開始在我們的學(xué)習(xí)生活中出現(xiàn)，數(shù)系——數(shù)字的家園，也從正數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，請(qǐng)你思考一個(gè)問題：為什么數(shù)系需要不斷擴(kuò)充呢？本文從生活生產(chǎn)實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要兩個(gè)方面帶你了解為什么數(shù)系需要不斷擴(kuò)充，en

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中數(shù)系這部分內(nèi)容的重點(diǎn)。在講解這部分內(nèi)容時(shí)，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，增強(qiáng)對(duì)數(shù)論知識(shí)的理解和掌握，不僅從數(shù)論發(fā)展的歷史進(jìn)行了解，而且也要激發(fā)學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的探求。本文重點(diǎn)從數(shù)論的產(chǎn)生和如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)論的興趣這兩個(gè)方面進(jìn)行闡述，希望為今后學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)論這部分知識(shí)的興趣培養(yǎng)提供一點(diǎn)的參考價(jià)值。關(guān)鍵詞：數(shù)系；數(shù)論；學(xué)習(xí)興趣一、高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)論的產(chǎn)生學(xué)生在高中階段對(duì)素?cái)?shù)的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展到高等數(shù)論的范圍當(dāng)中。因此，在教學(xué)中教師要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)

人類第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系是自然數(shù)系，由于自然數(shù)系離散、不稠密且除法不能在自然數(shù)系通行無阻，因此分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是必要的，由于在自然數(shù)系中減法不能通行無阻，為了彌補(bǔ)這一缺陷，引入負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)是學(xué)生進(jìn)入中學(xué)課堂首先接觸到的一個(gè)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)史上負(fù)數(shù)不同于分?jǐn)?shù)那樣容易被人接受，對(duì)于準(zhǔn)中學(xué)生來說負(fù)數(shù)既神秘又好奇。

，可以建立起復(fù)數(shù)數(shù)系與幾何平面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.然而，在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不難發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)中與虛數(shù)相對(duì)應(yīng)矢量和復(fù)數(shù)中與實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)的矢量，此兩者總是相互垂直的.這是為什么呢?這種垂直關(guān)系是人為規(guī)定的，還是復(fù)數(shù)數(shù)系所固有的?對(duì)于這一問題，本文研究發(fā)現(xiàn)，在復(fù)數(shù)與平面相互應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，虛數(shù)矢量與實(shí)數(shù)矢量相互垂直的幾何特性，并非是人為規(guī)定，而是由復(fù)數(shù)的數(shù)系結(jié)構(gòu)所固有.要想弄清復(fù)數(shù)系中虛數(shù)與實(shí)數(shù)存在著固有的幾何垂直關(guān)系，我們首先就必須復(fù)數(shù)系中引入一種全新的復(fù)數(shù)運(yùn)算，這種新的