陳國(guó)仙

最近，筆者參加了一次頗有特色的高中數(shù)學(xué)省市級(jí)課題研討教研活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)文化的研究——基于《數(shù)系的擴(kuò)充》（第1課時(shí)）教學(xué)案例設(shè)計(jì)與實(shí)踐.活動(dòng)共分四次進(jìn)行，首先是通過(guò)微型課的方式來(lái)進(jìn)行《數(shù)系的擴(kuò)充》這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，然后進(jìn)行研究討論并提出修改方案，在第二次和第三次分別進(jìn)行課堂模擬，最后總結(jié)得失，在課堂實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)文化，最終體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.這樣的活動(dòng)，不僅讓我們的課堂變得更加生動(dòng)，也讓我們?cè)俅胃惺艿綌?shù)學(xué)文化對(duì)于目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要之處，筆者頗有感悟.

主題敘述

本研究報(bào)告立足于《數(shù)系的擴(kuò)充》這節(jié)課，本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2-2第3.1節(jié)第一課時(shí). 在此之前，學(xué)生已有的知識(shí)體系中，數(shù)集的范圍已擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，而本課是把實(shí)數(shù)集再次擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，完成中學(xué)課程的最后一次擴(kuò)充. 從這個(gè)角度看本節(jié)課承載著建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要任務(wù).

本微課例的研究主要是對(duì)其中為什么以及如何從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集的引入和講解作剖析. 復(fù)數(shù)是一個(gè)全新的概念，而且比較抽象，學(xué)生雖然對(duì)于實(shí)數(shù)比較了解，但對(duì)于實(shí)數(shù)的由來(lái)可能并不能系統(tǒng)的歸納，不了解事物的本質(zhì). 所以筆者試圖從整理所有的數(shù)開(kāi)始，喚起學(xué)生對(duì)于數(shù)的再次認(rèn)識(shí)，從已有知識(shí)出發(fā)，溫故而知新，通過(guò)歸納類比，從而掌握新知，這樣才符合人的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值.

第一次教學(xué)案例

問(wèn)題情境：五百多年前的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，然而他們的智力又面臨了一個(gè)新的“怪物”的挑戰(zhàn)，因?yàn)橐獯罄麛?shù)學(xué)家卡爾丹在所著的《重要的藝術(shù)》（1545）中提出了一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使其乘積為40. 你能做到嗎？

學(xué)生活動(dòng)：列式x（10-x）=40，化簡(jiǎn)得x2-10x+40=0，因?yàn)棣?-60<0，所以方程無(wú)解.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從一個(gè)具體的實(shí)例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題得不到解決，從而引發(fā)思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

教師引導(dǎo)：從數(shù)的發(fā)展的需要，或者說(shuō)解方程的需要，回顧數(shù)系的擴(kuò)充歷程：

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)酒饘W(xué)生對(duì)于數(shù)的意識(shí)，對(duì)于數(shù)的發(fā)展的歷史的回顧，對(duì)于數(shù)學(xué)文化的了解和認(rèn)識(shí)，起到承上啟下的作用，為更好地掌握新知識(shí)做好鋪墊.

建構(gòu)新知：于是我們引入虛數(shù)單位i，并定義（略）.

設(shè)計(jì)意圖：回顧數(shù)的發(fā)展歷史，為解方程的需要，定義虛數(shù)單位，把數(shù)系再次擴(kuò)充，讓學(xué)生加深對(duì)于新知的掌握.

課后反思及研究：這一次的教學(xué)設(shè)計(jì)主要是從數(shù)學(xué)史中的一個(gè)小故事出發(fā)，引發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)的發(fā)展的一點(diǎn)思考，并從解方程的角度回顧了數(shù)的發(fā)展歷程，從課堂上學(xué)生的反映來(lái)看，還是比較容易接受的. 學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下完成數(shù)的發(fā)展歷程的回顧，從而想到把數(shù)系再次進(jìn)行擴(kuò)充. 但在如何擴(kuò)充這一環(huán)節(jié)，學(xué)生的能力還達(dá)不到預(yù)想的效果，在實(shí)施過(guò)程中，并不能直接想到引入新數(shù)，當(dāng)然就更難把握這個(gè)新數(shù)的定義. 所以，回顧數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程時(shí)要充分展示數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，最后運(yùn)用于生活，所以如何在教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)文化是筆者考慮的重點(diǎn). 另外，在新知引入時(shí)，學(xué)生也有困難，所以在第二次備課時(shí)，筆者考慮結(jié)合前幾次擴(kuò)充的特征設(shè)計(jì)幾個(gè)探究思考題，讓學(xué)生找到前行的方向，并且思考題的設(shè)計(jì)要層層推進(jìn)，讓學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，升華思維.

新的教學(xué)案例

情境引入：從社會(huì)生活的角度來(lái)看數(shù)的發(fā)展：為了計(jì)數(shù)的需要，產(chǎn)生了自然數(shù);為了刻畫(huà)相反意義的量的需要，產(chǎn)生了負(fù)數(shù);為了滿足測(cè)量與分配的需要，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù);為了滿足度量正方形對(duì)角線長(zhǎng)的需要，產(chǎn)生了無(wú)理數(shù). 這一切在今天看來(lái)是那么的自然，然而在數(shù)學(xué)史上，每一步的跨出都充滿了艱難與曲折. 如“0”這個(gè)自然數(shù)的出現(xiàn)就比其他自然數(shù)要晚很多年，而且有人還因此受了酷刑;如在無(wú)理數(shù)誕生之前，人們發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)既不能用整數(shù)來(lái)表示，又不能用兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)表示，這就與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”相矛盾，從而引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機(jī)，致使蘇帕薩斯被投入大海，為之獻(xiàn)出了生命.

設(shè)計(jì)意圖：這樣可以讓學(xué)生通過(guò)自己的回憶、歸納，體會(huì)出一次次數(shù)系擴(kuò)充的根本原因，感受數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，數(shù)學(xué)文化滲透課堂，更能進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)整個(gè)數(shù)系的理解.

從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要（同第一次設(shè)計(jì)）.

問(wèn)題1：（1）研究了這么多，我們回頭看看這些數(shù)的發(fā)展歷程，能不能從中獲得一些啟發(fā)，總結(jié)出一些共性呢？

（2）為什么要對(duì)數(shù)集進(jìn)行一次又一次的擴(kuò)充？

（3）每一次對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充時(shí)，是如何解決矛盾的？

（4）數(shù)集擴(kuò)充后，有沒(méi)有影響到原有的運(yùn)算性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)前幾次數(shù)系擴(kuò)充的歸納與梳理，感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性，并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則，為數(shù)系的再一次擴(kuò)充以及如何擴(kuò)充打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);同時(shí)，有利于讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的美妙之處，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的數(shù)學(xué)品質(zhì).由此，突破本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

問(wèn)題2：（1）我們的數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，是不是對(duì)所有的方程都有解了呢？比如意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的《重要的藝術(shù)》（1545）中提出一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使其乘積為40.

（2）還有像x2+1=0這種方程我們能解嗎？x2-2x+6=0這種方程我們會(huì)解嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生由此而想到，如果負(fù)數(shù)可以開(kāi)根號(hào)，那么這類問(wèn)題也就迎刃而解了. 同時(shí)又有數(shù)學(xué)家鮮活的實(shí)例，引發(fā)學(xué)生的興趣，并反映了數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分. 以上三個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)平方等于負(fù)數(shù)的形式（x2=-1）而得解，根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則，你認(rèn)為該怎么辦？引導(dǎo)學(xué)生給出定義.？搖

根據(jù)第二次方案實(shí)施的行動(dòng)跟進(jìn)

根據(jù)修改后的新教案，首先在學(xué)生活動(dòng)這方面進(jìn)行調(diào)整，筆者把學(xué)生按“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的規(guī)律對(duì)學(xué)生進(jìn)行了分組，組內(nèi)合作、組間競(jìng)爭(zhēng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)積極交往的課堂氛圍，并在講授新課之前，讓學(xué)生寫(xiě)了一篇數(shù)學(xué)小論文《我對(duì)“數(shù)系擴(kuò)充”的了解》，目的是為了讓學(xué)生課前先通過(guò)查資料了解數(shù)學(xué)的文化歷程，從而產(chǎn)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣.在尋找數(shù)系擴(kuò)充所遵循的共同原則時(shí)，讓學(xué)生分組討論，使學(xué)生能在討論中獲得新知，逐步培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)定理的印象也更為深刻，在不知不覺(jué)中，提高了數(shù)學(xué)修養(yǎng). 其次，教師講述這個(gè)定理時(shí)，盡量以學(xué)生為主體，教師起到輔助的作用即可，在學(xué)生遇到不能解決的問(wèn)題時(shí)，給予一定的幫助，期望學(xué)生通過(guò)自己的探索來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

第二次上課后的反思、研究和提升

通過(guò)這樣的兩次備課和實(shí)踐，才能發(fā)現(xiàn)在講解時(shí)的問(wèn)題所在. 對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多學(xué)生都有這樣的感覺(jué)，“懂而不會(huì)”即聽(tīng)得懂，但是不會(huì)做，而這個(gè)問(wèn)題的歸因就是在新授課和習(xí)題的講解中，我們灌輸?shù)谋容^多，缺乏讓學(xué)生考慮、探索的一個(gè)過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生不能把所學(xué)到的知識(shí)很好的內(nèi)化，進(jìn)而進(jìn)行靈活的應(yīng)用. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中倡導(dǎo)“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì);數(shù)學(xué)的社會(huì)需求;社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用;數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系;數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值;數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.我們的數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.

在這兩次備課的過(guò)程中，筆者深入研究了三個(gè)問(wèn)題.

1. 滲透數(shù)學(xué)文化，學(xué)會(huì)分組討論，合作學(xué)習(xí)

合作學(xué)習(xí)是一種古老的教育理念和實(shí)踐，我國(guó)古典教育名著《學(xué)記》中就有“獨(dú)學(xué)而無(wú)友，則孤陋而寡聞”這一說(shuō)，主要強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)者要相互合作. 合作教學(xué)理論認(rèn)為個(gè)體由于智力水平、興趣愛(ài)好、發(fā)展水平的不同，對(duì)同一事物的理解、認(rèn)識(shí)有著一定的差異，而這種差異可以通過(guò)學(xué)生之間的討論、合作學(xué)習(xí)來(lái)互相彌補(bǔ)，筆者在第二次備課后就運(yùn)用了這個(gè)理論，讓學(xué)生分組后合作學(xué)習(xí).

2. 滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)

在整節(jié)課的過(guò)程中，筆者穿插了許多數(shù)學(xué)家的故事. 在人類文明發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，這些數(shù)學(xué)家用他們的堅(jiān)持，做了許許多多我們常人無(wú)法想象的努力和奮斗，甚至有人為了這份執(zhí)著而付出了寶貴的生命，他們?cè)阡仢M荊棘的探索道路上一步步走到了今天，為人類社會(huì)的進(jìn)步做出了貢獻(xiàn). 而今天，我們更應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)意志品質(zhì)的培養(yǎng)，要學(xué)習(xí)并體會(huì)到科學(xué)家的這種精神，運(yùn)用到實(shí)際生活中，遇到難題時(shí)要盡自己最大的努力去完成，不退縮，不放棄，這也是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).

3. 滲透數(shù)學(xué)文化，努力提升學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

維果斯基將學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，借助成人的幫助所能達(dá)到解決問(wèn)題的水平與在獨(dú)立活動(dòng)中所達(dá)到的解決問(wèn)題的水平之間的差異稱為“最近發(fā)展區(qū)”. 我們要清楚地認(rèn)識(shí)到，更重要的并不是已有的，到今天為止已經(jīng)發(fā)展好的智力水平，而是那些剛剛開(kāi)始萌芽，正渴望發(fā)展的智力水平，但是這種發(fā)展是有前提的，必須借助于一定的外力. 作為教師，我們要做的就是給學(xué)生創(chuàng)造一定的情境，讓他們一步步慢慢接近目標(biāo)，跳一跳便能夠著.

在本次微課例研究中，筆者進(jìn)行了兩次備課，在這個(gè)過(guò)程中不僅發(fā)現(xiàn)了教學(xué)中存在的一些問(wèn)題，還進(jìn)行了教學(xué)理論的研究，從而來(lái)改進(jìn)筆者的教學(xué)實(shí)踐，這樣不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握知識(shí)的能力，同時(shí)也提升了筆者的個(gè)人專業(yè)素養(yǎng)，受益匪淺.