楊武健 張啟蒙

(浙江省天臺(tái)中學(xué) 317200)

一、當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，仍然存在輕“概念學(xué)習(xí)”，重“例題講解、練習(xí)模仿、習(xí)題鞏固”的現(xiàn)象.為獲得學(xué)生眼前的數(shù)學(xué)成績(jī)，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)只剩下干巴巴的“一個(gè)定義，兩項(xiàng)注意，幾個(gè)反例……”.因此，造成概念的產(chǎn)生是空降的，概念的過(guò)程是空泛的，概念的體驗(yàn)是膚淺的，概念的規(guī)定是莫名的.數(shù)學(xué)課堂的“習(xí)題教學(xué)”與“概念教學(xué)”是割裂的、互斥的，甚至是風(fēng)馬牛不相及的.由于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的腦海中只殘留下模糊的片段，導(dǎo)致學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)只能是簡(jiǎn)單的模仿，機(jī)械的重復(fù)，熟能生巧而已.

數(shù)學(xué)從根本上來(lái)說(shuō)是玩概念的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最好載體.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為什么要提出一個(gè)概念？如何恰當(dāng)?shù)囟x一個(gè)概念？如何體現(xiàn)一個(gè)概念定義的合理性，如何讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成的過(guò)程，體會(huì)概念定義之科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性？如何及時(shí)鞏固概念教學(xué)之成果，是值得每一個(gè)數(shù)學(xué)教育者深思的.

二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)改進(jìn)

1.講清數(shù)學(xué)概念的源和流

概念的“源”即指概念的“前世今生”，概念的“流”即指概念的“實(shí)際應(yīng)用”、“未來(lái)走向”.一個(gè)學(xué)生剛開始接觸一個(gè)概念，只有清楚它的來(lái)龍去脈，才能深深地留下“初識(shí)”.這一“初體驗(yàn)”能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘惑學(xué)生的“探索欲望”，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).對(duì)于數(shù)學(xué)概念，學(xué)生只有“知其然，知其所以然”，才能避免機(jī)械地記憶，生搬硬套地使用.請(qǐng)看案例1《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》.

案例1 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

首先，我們要講清數(shù)系發(fā)展的緣由，數(shù)系發(fā)展的規(guī)律.這樣才能使學(xué)生明了復(fù)數(shù)產(chǎn)生的背景，理解復(fù)數(shù)發(fā)展的緣由，感受數(shù)系發(fā)展的規(guī)律，深刻體會(huì)復(fù)數(shù)產(chǎn)生的必然性，發(fā)展的合理性.也為今后數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充打下基礎(chǔ).

因此，在《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》這堂課中，一定要講清從自然數(shù)發(fā)展到實(shí)數(shù)的產(chǎn)生緣由：一是由于實(shí)際生活的需要；二是數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的要求.如從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，最初源于古代物物交換的需要，以及物物交換所產(chǎn)生的多少問(wèn)題，原有的自然數(shù)就不夠用了，它無(wú)法解決負(fù)數(shù)問(wèn)題，于是引入負(fù)整數(shù)成為一種必然.這樣既繼承了原有的加法法則即原有的算律不變，又發(fā)展了新的算律——“減法”產(chǎn)生了，既解決了實(shí)際問(wèn)題，又解決了形如方程“x+3=2”在自然數(shù)范圍內(nèi)的無(wú)解情況，使得數(shù)學(xué)得到了進(jìn)一步的發(fā)展.這樣復(fù)數(shù)的產(chǎn)生就不難理解了.它要解決負(fù)數(shù)開方問(wèn)題.讓原有的一些在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法解決的問(wèn)題得以解決.

一個(gè)概念，只有了解概念之“源”，才能思考概念之“流”，從而學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)之思.概念之“流”，是數(shù)學(xué)發(fā)展之“未來(lái)”，也是數(shù)學(xué)未來(lái)之趨勢(shì).了解數(shù)學(xué)之“流”，有利于提升對(duì)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識(shí).請(qǐng)看案例2《復(fù)數(shù)域還能擴(kuò)大嗎？》.

案例2復(fù)數(shù)域還能擴(kuò)大嗎？

我們經(jīng)歷了數(shù)集從自然數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)張，在每一次擴(kuò)張中，人們都遵循了如下的幾條原則：(1)擴(kuò)張的目的；(2)擴(kuò)張后的集合要擴(kuò)大；(3)保持原有的運(yùn)算；(4)擴(kuò)張的最小性與唯一性.我們已經(jīng)看到，數(shù)集的每一次擴(kuò)張，人們都能夠解決一些在原數(shù)集中不能解決的問(wèn)題，所以人們自然會(huì)想到，能否將復(fù)數(shù)集再進(jìn)行擴(kuò)充，使得在擴(kuò)充后的新數(shù)集中能夠進(jìn)行四則運(yùn)算，并且復(fù)數(shù)集是新數(shù)集的一個(gè)特例.不僅如此，還希望這新的數(shù)集可以同空間向量等同起來(lái)(類比實(shí)數(shù)是一元數(shù)，復(fù)數(shù)是二元數(shù)，自然猜想新數(shù)集是三元數(shù))，使兩者的加法運(yùn)算相一致.

假設(shè)K是這樣一個(gè)新數(shù)集.于是在取定了直角坐標(biāo)系的空間中表示向量的三元數(shù)組(a,b,c)其中a,b,c∈R應(yīng)該同K中的元素q=a+bi+cj對(duì)應(yīng)起來(lái)，其中i是虛數(shù)單位，即i2=-1，j是添加到復(fù)數(shù)集中的一個(gè)新數(shù).為了與復(fù)數(shù)集一致，在K中自然規(guī)定：a1+b1i+c1j=a2+b2i+c2j，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2，b1=b2，c1=c2.于是當(dāng)a+bi+cj=0時(shí)，必有a=b=c=0.由于向量加法的定義是(a1,b1,c1)+(a2,b2,c2)=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)，所以在K中的兩個(gè)元素的加法自然規(guī)定為(a1+b1i+c1j)+(a2+b2i+c2j)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j.i與j相乘的結(jié)果自然要求屬于K.故設(shè)i×j=a+bi+cj ①.用i左乘①式的兩端，且由i2=-1，有-j=ai-b+ci×j， 也就是ci×j=b-ai-j. ②用c乘①式兩端后減去②式的兩端得(ac-b)+(bc+a)i+(c2+1)j=0.

由此得c2+1=0，這與c是實(shí)數(shù)矛盾.這表明新數(shù)集K是不可能存在的,所以復(fù)數(shù)集是滿足加減乘除的最大集合.

清晰概念之“源”是對(duì)概念之“流”的進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)，也是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與思考的再經(jīng)歷，他是數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，也是數(shù)學(xué)思維之源，方法之根.

當(dāng)然，教師要想把握好每個(gè)概念的“源”與“流”，必須練好內(nèi)功，苦讀數(shù)學(xué)史，清楚數(shù)學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷程.只有不斷積累，才能厚積薄發(fā)，得心應(yīng)手.

2.道明數(shù)學(xué)概念給出的“情” 與“ 理”

數(shù)學(xué)概念給出的“情”即指“合情”，指的是每一次說(shuō)明能符合我們的直觀感知,也能經(jīng)得起邏輯推理；數(shù)學(xué)概念的“理”即指數(shù)學(xué)概念的給出都能經(jīng)得起嚴(yán)格推理，具有科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.同時(shí)數(shù)學(xué)概念的給出還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)所要追求的“簡(jiǎn)潔”、“優(yōu)美”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的美，散發(fā)數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力.只有這樣，才能用數(shù)學(xué)的“冰冷”催生學(xué)生的“火熱”.

(1)數(shù)學(xué)的概念要符合人的直觀感知，也為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究提供最優(yōu)的奠基

如：為什么要規(guī)定平行于x軸或與x軸平行的直線的傾斜角為0°呢？一為概念的完備性與嚴(yán)謹(jǐn)性，因?yàn)橹本€傾斜角剛開始定義了直線與x軸相交時(shí)，未包括這一類，若不加以補(bǔ)充，數(shù)學(xué)研究對(duì)象不完備；二為對(duì)象的唯一性，若定義為0°或180°，那就不能建立傾斜角與直線的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也構(gòu)建不了函數(shù)關(guān)系.另一角度，也可從規(guī)定的延續(xù)性與合理性角度理解.因?yàn)橹本€與x軸相交時(shí)，規(guī)定x軸正方向與直線向上方向的夾角，而一般向上方向指的是正方向，而0°也比180°更符合人的視覺(jué)感受.再如：為什么把直線的斜率定位為傾斜角的正切值，而不是正弦值或余斜值？若定義為正弦值，一則會(huì)出現(xiàn)兩條直線對(duì)應(yīng)同一斜率，如45°與135°，而正弦的有界性也與傾斜角給人的視覺(jué)感受不符，如傾斜角為90°直線是非?！岸浮钡?，正余弦都無(wú)法體現(xiàn)這一點(diǎn).那么用正切值去定義即符合人的直觀感知，又能從數(shù)值上體現(xiàn)傾斜角的變化規(guī)律.

(2)數(shù)學(xué)的概念是講“理”的

如：為什么將復(fù)數(shù)的形式寫成z=a+bi(a,b∈R)，若教師不解釋，學(xué)生將會(huì)疑惑不解.為此，我們可以為學(xué)生設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題. 根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)律，數(shù)系擴(kuò)充后，原有的運(yùn)算律在新的數(shù)系中仍然適用，那么將復(fù)數(shù)i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，它能產(chǎn)生哪些結(jié)果？它們能否用一種形式加以概括？這樣設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生明了復(fù)數(shù)定義的“理”.

再如：一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)為什么不能比較大小呢？若復(fù)數(shù)可以比較大小，如i與1，若i>1，則i2>12，得-1>1顯然不成立；同樣可以證明i<1，i=1都是不正確的.否則，復(fù)數(shù)系就不能繼承原有實(shí)數(shù)系范圍內(nèi)的運(yùn)算律.這樣又從另一方面說(shuō)明數(shù)學(xué)是講“理”的.

(3)數(shù)學(xué)的概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

如：規(guī)定a0=1(a≠0)，目的為了使得指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)am·an=am+n(a>0,m,n∈R)成立，否則當(dāng)m+n=0時(shí)，上述運(yùn)算性質(zhì)不成立.同樣規(guī)定 0！=1，也是如此.

(4)數(shù)學(xué)的概念是求美的

(5)數(shù)學(xué)的概念追尋一種尋“定”求“最”的原則

如在直線與平面的所成角定義中，規(guī)定平面內(nèi)的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角為直線與平面所成的角.這既符合人的直觀想象，也符合數(shù)學(xué)的邏輯推理、數(shù)學(xué)定義的一貫原則.因?yàn)樽钚〗嵌ɡ肀ＷC了斜線與它在平面內(nèi)射影所成的銳角為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角中最小的且唯一.異面直線所成角，二面角等概念亦是如此.

3.創(chuàng)好情境，舉對(duì)例子，設(shè)好問(wèn)題

數(shù)學(xué)的一個(gè)本質(zhì)是抽象，它的一個(gè)突出表現(xiàn)即為概念.學(xué)生對(duì)于概念的把握總有許多困難，這就要求我們?cè)O(shè)好問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生思維，逐步化解難點(diǎn)，直擊數(shù)學(xué)本質(zhì).

4.準(zhǔn)確定位“例題教學(xué)”與“ 概念教學(xué)” 之間的關(guān)系

在當(dāng)前功利心的驅(qū)使下，很多概念教學(xué)常?！白儺悺背伞?5分鐘的概念講解”+“25分鐘的例題講解及練習(xí)鞏固”，這樣的授課把概念的講解服務(wù)于例題教學(xué)，看似得到了很大的眼前利益，實(shí)則犧牲了學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.因?yàn)槊恳粋€(gè)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用以及背后的“過(guò)程”蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法、深刻的數(shù)學(xué)精神.明確例題教學(xué)也是概念教學(xué)的有機(jī)組成部分，并在例題教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì).

高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，是培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的主陣地，它要求我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維解決問(wèn)題.