張霜月（旅順三高中）

從數(shù)系學(xué)習(xí)引發(fā)學(xué)生對數(shù)論的興趣

張霜月
（旅順三高中）

數(shù)論在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較晚，在15世紀(jì)末16世紀(jì)初才漸有雛形，到19世紀(jì)已經(jīng)發(fā)展成為一個有著強(qiáng)大理論體系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。而對高中生的學(xué)習(xí)來說，素?cái)?shù)的學(xué)習(xí)將知識面由有原先接觸到的初等數(shù)論擴(kuò)大到了高等數(shù)論的范疇中。如何引領(lǐng)學(xué)生充分理解課本知識，鼓勵有志于此的學(xué)生對數(shù)論難題發(fā)起挑戰(zhàn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個艱巨任務(wù)。

一、數(shù)論前沿理論與高中數(shù)學(xué)課程

數(shù)論，是研究數(shù)字特性的一個數(shù)學(xué)分支學(xué)科。數(shù)論產(chǎn)生的早期主要是歐幾里得關(guān)于素?cái)?shù)的無窮多個證明，即歐幾里得發(fā)現(xiàn)的求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法以及中國南北朝時期發(fā)現(xiàn)的孫子定理。之后，由于生產(chǎn)、生活水平的限制，人們并不需要更多的理論去支持生產(chǎn)，于是數(shù)論理論一度停滯不前，直到費(fèi)馬、梅森、歐拉、高斯等人發(fā)展，他們研究數(shù)論的主要目標(biāo)是素?cái)?shù)，主線思想是尋找素?cái)?shù)的通項(xiàng)公式。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)初等數(shù)論無法解決這一問題，于是數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生了更多分支。

高中數(shù)學(xué)的數(shù)系學(xué)習(xí)中引入了復(fù)數(shù)的概念，這是在學(xué)生已有的數(shù)系知識中添加的全新內(nèi)容。在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)之前，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識僅限于實(shí)數(shù)范圍。學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識還表現(xiàn)在日常所能接觸到的范圍內(nèi)，盡管諸如π、、e等一系列無理數(shù)的存在對學(xué)生的理解有一定的難度，但它們都可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例來分析理解。

二、引發(fā)學(xué)生興趣，探索數(shù)論難題

1.打好基礎(chǔ)，掌握知識

初中時候?qū)W生就已經(jīng)對實(shí)數(shù)系有了比較深刻的了解。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。其中有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)也就是無限不循環(huán)小數(shù)。在引入復(fù)數(shù)概念之前，首先要保證學(xué)生對實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)的數(shù)要分類準(zhǔn)確，理解清晰，比如、e、π、0.3、7等數(shù)字到底是屬于哪個范疇內(nèi)。在學(xué)生充分理解了之后，就可以通過引入一元二次方程解得問題啟發(fā)學(xué)生的思維。這里的教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的思路為主，學(xué)生會回憶相關(guān)一元二次方程根個數(shù)判定的相關(guān)問題。提問式的教學(xué)在這里會起到意想不到的效果，讓學(xué)生思考為什么有些方程沒有或者只有一個實(shí)數(shù)根。這樣的教學(xué)更能引發(fā)學(xué)生的興趣，也會讓學(xué)生記憶深刻。復(fù)數(shù)是指能寫成a+bi形式的數(shù)，a、b為實(shí)數(shù)，i表示虛數(shù)單位，也就是。

例題1：若復(fù)數(shù)z滿足z（1＋i）＝1－（ii是虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)z=。

2.正確引導(dǎo)，增加信心

在這一部分的學(xué)習(xí)中，由于復(fù)數(shù)本身的特性，導(dǎo)致學(xué)生可能會不容易理解。這就要求我們更加耐心的指導(dǎo)。建立平面直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)的平面。教學(xué)中，應(yīng)該由淺入深，先講解清楚概念，再進(jìn)行四則運(yùn)算練習(xí)。在四則運(yùn)算中，加減法的運(yùn)算不容易出錯，而乘除法的運(yùn)算還有一定難度。i+i=2i。這里復(fù)數(shù)乘除法的運(yùn)算，教師可以類比根式，二者對比進(jìn)行，他們同樣需要對分母進(jìn)行處理。在無理數(shù)分式中，這一過程叫做分母有理化；而在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，是將分母化成實(shí)數(shù)。

3.開闊視野，放眼未來

毋庸置疑，對不同層次的學(xué)生，教學(xué)方法不盡相同。對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很困難的學(xué)生，我們要盡可能教會他們?nèi)绾谓忸}、如何理解；而對于熱愛數(shù)學(xué)，甚至是投身數(shù)學(xué)探索行列的學(xué)生，我們要多加引導(dǎo)，使他們保持對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在這一部分的教學(xué)中引入棣莫佛定理：對于復(fù)數(shù)z=r（cosθ+isinθ），有Zn=rn［cos（nθ）+isin（nθ）］，其中n為正整數(shù)。將棣莫佛定理于歐拉公式相聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇之處。數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅僅在于讓學(xué)生學(xué)會一個知識，更重要的是興趣的培養(yǎng)。在這部分知識的學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生了解，數(shù)學(xué)并不是一個死板教條的課程，在歷史上也存在很多不足，也是在很多數(shù)學(xué)家不斷地努力下，才將整個關(guān)于數(shù)的體系發(fā)展為現(xiàn)在較為完善的水平。在遠(yuǎn)古時期，為了滿足人們生活的需求，自然數(shù)就應(yīng)運(yùn)而生。隨著時代發(fā)展，出現(xiàn)了正負(fù)數(shù)之分，后來由于除法的產(chǎn)生，還有了分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

對幾何圖形圓進(jìn)行深入研究后有了圓周率，對勾股定理進(jìn)行計(jì)算后又出現(xiàn)了平方根。最后，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，原先的實(shí)數(shù)理論已經(jīng)不能完全適應(yīng)計(jì)算的需求，于是數(shù)學(xué)家們又創(chuàng)造出一種自然界中不存在的數(shù)——復(fù)數(shù)。對于學(xué)生的思考，我們應(yīng)該多給予肯定，并鼓勵他們繼續(xù)思考。復(fù)數(shù)之于數(shù)論的知識并不限于i=這樣一個簡單表示，鼓勵學(xué)生更多地了解和學(xué)習(xí)才能拓展視野，教好課程。

數(shù)論中的很多問題一直困擾著人們，一代又一代的數(shù)學(xué)大師在不斷探索中摸索前行。高中數(shù)學(xué)教師擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)人才的重任，只有在教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，了解學(xué)生心理，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，才能真正起到拋磚引玉的作用。數(shù)系的擴(kuò)充這部分內(nèi)容的教學(xué)，是一個合理的契機(jī)，作為教師應(yīng)該好好把握，激發(fā)學(xué)生對數(shù)論知識的興趣。

張美琴.從數(shù)系學(xué)習(xí)引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣［J］.新課程：上，2013（9）.

·編輯李琴芳