林京榕

數(shù)學(xué)文化在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色，如何把數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，“潤物細(xì)無聲”般地讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，在發(fā)揮數(shù)學(xué)文化育人功能的同時，追求學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，是每一位數(shù)學(xué)教師都必須直面的問題，筆者依托《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計與實(shí)施，對上述問題進(jìn)行了探討，取得了較好的效果，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計與同行進(jìn)行交流.

1教學(xué)設(shè)計意圖

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)教材中典型的富有濃厚數(shù)學(xué)思想與文化的內(nèi)容，復(fù)數(shù)概念的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及到數(shù)學(xué)中類比、抽象、符號化等重要的數(shù)學(xué)思想，是典型的數(shù)學(xué)抽象過程，是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化的最好契機(jī).

1.1教材分析

數(shù)系的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充.本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心教育價值是理解復(fù)數(shù)的基本概念和感受數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)文化，認(rèn)識到數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展既來自于外部的動力，也來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的動力，形成正確的數(shù)學(xué)觀.

1.2學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已學(xué)過實(shí)數(shù)，理解各種數(shù)集之間的包含關(guān)系，但對數(shù)的發(fā)展歷史和生成規(guī)律還缺乏整體認(rèn)識與理性思考.本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)困難主要表現(xiàn)在：為什么要引入i？如何引i？i是什么？

1.3教學(xué)任務(wù)

本節(jié)課的核心教學(xué)任務(wù)是在問題情境中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)系的擴(kuò)充過程與復(fù)數(shù)的概念，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用.引導(dǎo)學(xué)生通過類比發(fā)現(xiàn)和提出問題，滲透數(shù)系擴(kuò)充的基本思想.

1.4教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生通過具體問題情境感受引入復(fù)數(shù)的必要性，類比實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，感受類比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要作用.

（2）在復(fù)數(shù)概念的形成階段，通過提供典型豐富的具體例證，讓學(xué)生進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)；

（3）理解復(fù)數(shù)的基本概念，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號的），培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

1.5教學(xué)重點(diǎn)

充分展現(xiàn)從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程，理解復(fù)數(shù)的基本概念.

1.6教學(xué)難點(diǎn)

數(shù)系擴(kuò)充的基本思想及虛數(shù)單位i的理解.

2教學(xué)過程設(shè)計

情境導(dǎo)入教師講授無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，引發(fā)學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充過程的興趣.

（一）概念引入

問題1數(shù)學(xué)家Cardan在《重要的藝術(shù)》（1545年）中出了這么一個題目：把10分成兩部分，使其乘積為40.

他按照自己的習(xí)慣，設(shè)其中一部分為x.列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌，你知道這是為什么嗎？

師生活動：因為方程x（10-x）=40，即X²-10x+40 =0在實(shí)數(shù)集內(nèi)無解，雖然我們認(rèn)為不可能的，但卡爾丹卻自豪地認(rèn)為，他找到了解決方法，那就是10=（5+√一15）（5-√15），40=（5+√-15）（5-√-15），但卡爾丹寫得并不輕松，“不管良心受到多大的責(zé)備”也要寫出這兩個怪東西，而且發(fā)現(xiàn)它們的之和為10，之積為40，正是要找的數(shù).

你認(rèn)為√-15能作為“數(shù)”嗎？它表示什么意義？

設(shè)計意圖一是激發(fā)學(xué)生學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法做到，產(chǎn)生認(rèn)知沖突；二是充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，

問題2根據(jù)已有經(jīng)驗，你認(rèn)為怎么辦就可以解決Cardan的問題？回顧數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充？每一次擴(kuò)充分別解決了哪些問題？

師生活動讓學(xué)生充分交流、合作、討論，感受到每一次擴(kuò)充都要引入新數(shù)，與此同時，感受到數(shù)系擴(kuò)充是社會發(fā)展的需要，如計數(shù)、平均分配、測量等，同時也是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，如：不夠減了、不能整除了、不能總可以開方了等，特別強(qiáng)調(diào)：在正數(shù)范圍內(nèi)，方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似地，在有理數(shù)范圍內(nèi)，X²=2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？

設(shè)計意圖一是幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過程，即自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集一實(shí)數(shù)集，并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則.這是本節(jié)課知識的生長點(diǎn)，二是使學(xué)生從（x - 5）²= -15出發(fā)，自然想到只要“負(fù)數(shù)開方”行得通，這樣的方程就能解了.

問題3（）²=-15=15×（-l）.

設(shè)計意圖教師引領(lǐng)學(xué)生再現(xiàn)卡當(dāng)問題，將問題轉(zhuǎn)化為求x²=-1有解.

教師講授i的引入歷史.簡略介紹意大利數(shù)學(xué)家邦貝利給出了虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算；強(qiáng)調(diào)在進(jìn)行四則運(yùn)算時原有的加法與乘法的運(yùn)算律（包括交換律、結(jié)合律和分配律）仍然成立.

（二）概念形成

問題4在成功地引入i后，請說出方程X²=-1的解？你能寫出卡當(dāng)要找的數(shù)嗎？根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們希望i能與實(shí)數(shù)一起進(jìn)行運(yùn)算，你覺得會產(chǎn)生哪些類型的新數(shù)？ 設(shè)計意圖讓學(xué)生自己“創(chuàng)造”出2i，31，2+3i，2-3i，-i，……

追問1這些“新數(shù)”能用一種統(tǒng)一的形式表示嗎？

追問2如果把實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加、乘后得到的數(shù)集記作C，那么實(shí)數(shù)集R與集合C有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象，得出這種“新數(shù)”的一般符號表示a+bi（其中a，b為實(shí)數(shù)），感受為什么把集合{a+bi|a，b∈R}作為實(shí)數(shù)集擴(kuò)充后的新數(shù)集，并得出實(shí)數(shù)集R是C的子集.

（三）概念固化

（1）復(fù)數(shù)的定義；（2）復(fù)數(shù)的表示；（3）復(fù)數(shù)的分類；（4）復(fù)數(shù)集，

問題5閱讀教科書（人教版選修2-2第103頁第一、二自然段），復(fù)數(shù)的基本概念有哪些？endprint

師生活動學(xué)生自主完成復(fù)數(shù)的概念學(xué)案，教師介紹“復(fù)數(shù)”的概念，“實(shí)部”、“虛部”的概念及概念中的注意點(diǎn)，并簡單介紹德國著名數(shù)學(xué)家高斯首先給出了復(fù)數(shù)的概念.

設(shè)計意圖由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，初步理解復(fù)數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.

問題6形如a+bi（a，b，∈R）一定是虛數(shù)嗎？那么什么情況下是實(shí)數(shù)呢？有沒有比虛數(shù)更簡單的虛數(shù)？

師生活動學(xué)生經(jīng)歷對a+bi中，a，b是否為零的討論的全過程，

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)數(shù)a，b的不同取值對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，從而深化復(fù)數(shù)的概念，攻克本節(jié)課的重點(diǎn).

問題7請你說出下列集合之間的關(guān)系：N，Z，Q， R，C.

教師結(jié)合PPT簡單介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，

設(shè)計意圖采用概念同化的方式完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用符號語言重現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的過程，像樹的年輪一樣的生長.通過向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史，說明雖然現(xiàn)在看來簡單的數(shù)系，但它的發(fā)展卻歷經(jīng)艱難與艱險.數(shù)學(xué)的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展需要經(jīng)歷幾代數(shù)學(xué)家付諸于長時間的努力與毅力才能得到完善，通過暗線的設(shè)置順利地完成了本節(jié)課的情感態(tài)度價值觀的教學(xué)目標(biāo).

（四）概念應(yīng)用

問題8實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m²-1+（m-1）i？

A.實(shí)數(shù) B.虛數(shù) C.純虛數(shù)

設(shè)計意圖讓學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，在解決問題的過程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，

問題9在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ax²+ bx+c=0（a≠0）解的情況如何？

設(shè)計意圖首尾呼應(yīng)，要讓學(xué)生自始自終地參與這一探索過程，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展.

（五）回顧反思

問題10請大家談?wù)勎覀冞@堂課學(xué)習(xí)了哪些知識？運(yùn)用了哪些思想？又有哪些體驗和感悟呢？

其中，教師結(jié)合PPT展現(xiàn)復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)及其他學(xué)科中的應(yīng)用，例如，利用i2=一1由它所創(chuàng)造的復(fù)變函數(shù)理論，成為解決電磁理論、航空理論、原子能及核物理等尖端科學(xué)的數(shù)學(xué)工具，讓學(xué)生明白知識是什么？知識為什么？知識可怎么樣？知識有什么用？

設(shè)計意圖對于數(shù)系擴(kuò)充過程方面以及復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)理解方面的收獲進(jìn)行小結(jié)

（六）布置作業(yè)（略）

3教學(xué)反思

3.1數(shù)學(xué)文化的傳播是自然流淌的

數(shù)學(xué)文化的滲透以數(shù)學(xué)思想方法為主要載體.本節(jié)課的教學(xué)思路，就是通過引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念來滲透數(shù)學(xué)文化，本節(jié)課的主要數(shù)學(xué)思想方法是類比，

首先，類比“自然數(shù)一有理數(shù)一實(shí)數(shù)”的擴(kuò)充過程，教師從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展要求和解決實(shí)際問題的需要出發(fā)，闡述數(shù)系擴(kuò)充的歷史、原則與方法，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)及其運(yùn)算中得到啟發(fā)，自然地提出數(shù)系如何擴(kuò)充、擴(kuò)充應(yīng)研究哪些問題，學(xué)生借助具體事例，再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念，感受類比在數(shù)學(xué)研究中的重要作用，感悟數(shù)學(xué)對人類及社會發(fā)展的價值.

其次指導(dǎo)學(xué)生類比方程X²-2=0來解X²+1=0.再次，指導(dǎo)學(xué)生類比a+b√2（a，b∈Q）探討a+bi（a，b∈R）.

本節(jié)課的另一數(shù)學(xué)思想是分類.教師指導(dǎo)學(xué)生對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分類解一元二次方程ax²+ bx+c=O（a≠0）.學(xué)生在思考數(shù)學(xué)中，自然實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的熏陶，

數(shù)學(xué)文化的滲透，以數(shù)學(xué)參與為主要途徑.在概念引入環(huán)節(jié)，教師通過問題1～問題3的設(shè)置，從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，再現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)膯栴}，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程，感受到數(shù)學(xué)家就在自己的身邊，數(shù)學(xué)大師并不神秘，他們也曾有解不開的難題；在虛數(shù)單位i引入環(huán)節(jié)：讓學(xué)生追隨數(shù)學(xué)大師的足跡一步一步接近復(fù)數(shù)與虛數(shù)，慢慢地揭開復(fù)數(shù)與虛數(shù)的神秘面紗，小小的“i”硬是經(jīng)過了兩個世紀(jì)的努力才被人接受；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，大師們通常是在別人習(xí)以為常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)新問題并窮追不舍的精神，

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)的價值追求，是數(shù)學(xué)文化的重要體現(xiàn).在本堂課中，學(xué)生體會復(fù)數(shù)是包含實(shí)數(shù)的更大數(shù)系，體驗了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.學(xué)生歸納出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式，體驗數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，公式e^iπ+1=0則向?qū)W生展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.

3.2數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是水到渠成的

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，自然體現(xiàn)在學(xué)生的再創(chuàng)造復(fù)數(shù)過程中，復(fù)數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)過程是典型的數(shù)學(xué)抽象過程.學(xué)生通過再創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).本節(jié)課從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要（社會需要、運(yùn)算需要、求解方程需要）出發(fā)，構(gòu)建問題情境1～3，提供契機(jī)讓學(xué)生思考每一次數(shù)系擴(kuò)充的主要原因是什么？每一次擴(kuò)充遵循哪些規(guī)律？啟發(fā)學(xué)生從具體問題中提出實(shí)數(shù)擴(kuò)充問題，指導(dǎo)學(xué)生從歷次數(shù)系擴(kuò)充過程中抽象出數(shù)系擴(kuò)充的主要研究問題：引入一個新的數(shù)，就要定義其運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算律.進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)系擴(kuò)充的基本原則：使算術(shù)的運(yùn)算律保持不變.引導(dǎo)學(xué)生在問題指引下，逐步抽象出“虛數(shù)單位”i，探討i的運(yùn)算及性質(zhì)，在構(gòu)建復(fù)數(shù)有關(guān)概念這一核心環(huán)節(jié)中，通過設(shè)置問題4—問題9，引領(lǐng)學(xué)生合乎情理地建構(gòu)新知.其中問題4的追問具有概括性、抽象性和挑戰(zhàn)性，為攻克“復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為z=a+bi（a，b∈R）”這一難關(guān)奠定基礎(chǔ).學(xué)生在上述問題的引導(dǎo)下，有充分的從具體進(jìn)入抽象規(guī)定的獨(dú)立認(rèn)識機(jī)會，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).endprint