陳華曲

如何更好地落實數(shù)學學科育人目標？我們嘗試以“思維育人、史料育人、審美育人、活動育人”四個維度為抓手，在數(shù)學教學各環(huán)節(jié)挖掘?qū)W科育人內(nèi)涵，努力使數(shù)學教學從形式到內(nèi)容都有“立德樹人”目標的引領(lǐng)。本文以“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”一課為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c實踐。

一、新課引入

“新課引入”是一節(jié)新授課的基礎(chǔ)，它的立意對調(diào)動學生學習的積極性十分重要，會影響整節(jié)課學生的關(guān)注度和參與度。本課以數(shù)學史為切入點，融入中外數(shù)學家的經(jīng)典數(shù)學故事，以史料育人。

《道德經(jīng)》有言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！?/p>

古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯提出“萬物皆數(shù)”，這節(jié)課我們就從數(shù)字“1”開始。

歷史追溯到五萬年前，人類在認識自然界的過程中，用手指、木棒、小石子來計數(shù)。隨著語言的發(fā)展、生產(chǎn)和交換的增多，古人漸漸把數(shù)從具體事物中抽象出來，就有了數(shù)字“1”，以后逐次加1，就得到2，3，4，5，6……用“0”來表示“無”，“1”就是從無到有。這樣就有了自然數(shù)集，自然數(shù)集包括正整數(shù)和零。

在歷史的發(fā)展中，人們逐漸認識到僅有自然數(shù)是遠遠不夠的，例如，1份獵物要平均分給2個人，每個人分到的獵物數(shù)該怎么表示呢？于是人們提出了分數(shù)的概念 。

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，產(chǎn)生了借貸關(guān)系中量的不同意義的需要。我國三國時期數(shù)學家劉徽曾說：“今兩算得失相反，要令正負以名之?！笔紫冉o出了負數(shù)的定義、記法和加減運算法則。古代數(shù)學家們在研究中也常常遇到小數(shù)減大數(shù)的情況，負數(shù)的概念應(yīng)運而生。于是數(shù)系從自然數(shù)、分數(shù)擴充到了有理數(shù) （見圖1）。

在公元前500年的古希臘，數(shù)學受到了前所未有的尊崇。畢達哥拉斯認為，萬物發(fā)展的規(guī)律和秩序都遵循一些數(shù)學原則。這些秩序就是美的根源。他在音樂的世界里，通過測量音階振動的弦長，發(fā)現(xiàn)最美的三個音階的弦長分別是2∶1，3∶2，4∶3。他興奮地認為世界的秩序都能由整數(shù)和整數(shù)之比來掌控、調(diào)節(jié)。畢達哥拉斯還在有理數(shù)的世界中證明了畢達哥拉斯定理（即揭示直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理）。但是，他的學生希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形，對角線卻無法用整數(shù)或分數(shù)來表達，于是無理數(shù)開始登上歷史的舞臺。數(shù)系擴充到了實數(shù)。

【設(shè)計意圖】本節(jié)課是高中階段完成的最后一次數(shù)系的擴充，復數(shù)是高中數(shù)學非常重要的一個知識點。我們從數(shù)學的起源開始，用大量的史料引入，讓學生回顧每一次數(shù)系擴充的歷史背景，使數(shù)學教學與數(shù)學學習不枯燥、不乏味，在擴充學生的眼界、提高學生學習熱情的同時，也增強了數(shù)學課堂的文化體驗。加入史料教學可以使學生不走彎路，更深刻地理解教材中的知識點以及文化內(nèi)涵，明白自己解決不了的問題與前人不解的問題有一致性，從而不懼怕數(shù)學。以史料怡情，以史料育人。

二、概念形成

“概念形成”是一節(jié)課的重點，它對學生構(gòu)建自身的認知結(jié)構(gòu)起關(guān)鍵作用。這一環(huán)節(jié)的重要任務(wù)就是讓學生理解概念形成的合理性。本環(huán)節(jié)通過六個問題的層層推進，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程，一步一步接近復數(shù)。

我們用一個解方程的過程再次演示數(shù)系擴充的必要性。

方程x+1=0在自然數(shù)集中無解，添加新數(shù)（負數(shù)）后，解為x=?1，自然數(shù)集擴充到整數(shù)集。方程2x?1=0在整數(shù)集中無解，添加新數(shù)（分數(shù)）后，解為x=，整數(shù)集擴充到有理數(shù)集。方程x2?2=0在有理數(shù)集中無解，添加新數(shù)（無理數(shù)）后，解為x =±，有理數(shù)集擴充到實數(shù)集。

問題1：幾次數(shù)系的擴充有什么共同點？

共同點有以下幾個方面。

擴充的方法：在原有的數(shù)系中添加新數(shù)。

擴充的規(guī)則：添加新數(shù)后，原來的運算和性質(zhì)仍然適用。

擴充的效果：解決了原數(shù)系中不能解決的運算。

通俗地說，每一次數(shù)系的擴充都是因為原數(shù)系中的數(shù)“不夠用”了。

【設(shè)計意圖】問題1意在幫助學生重新構(gòu)建數(shù)集的擴充過程，是本節(jié)課的生長點。教師要讓學生了解每個數(shù)的產(chǎn)生并不是從天而降，而是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要。教師通過對前幾次數(shù)系擴充的梳理，讓學生感受到數(shù)系擴充的合理性，并歸納、概括、提煉出數(shù)系擴充的一般原則，為數(shù)系的進一步擴充以及如何擴充打下堅實的基礎(chǔ)。

問題2：在方程運算中，實數(shù)系是否“夠用”？你能舉一個例子嗎？

生：不夠用。如在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0，x2=?2，x2=?3無解。

師：所以數(shù)系還需要擴充！接下來我們就以一元二次方程為背景，一起來研究數(shù)系應(yīng)該如何進一步擴充。請大家通過配方法把以下一元二次方程轉(zhuǎn)化為的形式。

① x2? + 2x + 1= 0（x+1）2 =0x=?1。

② x2? ? 2x + 5= 0（x ? 1）2 =?4在實數(shù)集中無解。

③ x2? + 2x ? 8= 0（x+1）2 =9x1=2，x2=?4。

問題3：所有的一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化為（x?a）2=k的形式，通過這個形式，如何判斷一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解？

生：只需要關(guān)注k的取值就可以了，k<0時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。

師：當k<0時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。為了解決這個問題，我們需要對數(shù)系進一步擴充。根據(jù)數(shù)系擴充的方法，首先，我們得添加一個新數(shù)。

【設(shè)計意圖】問題2的設(shè)問生活化、平易近人，減輕了學生的畏難情緒。問題3精準設(shè)問，以在實數(shù)范圍內(nèi)無解的一元二次方程為背景，尋找出最簡單的條件，歸納出無解的原因。數(shù)學學習需要尋根溯源，不能脫離背景孤立地學習某一個知識點，而要想方設(shè)法呈現(xiàn)與這個知識點相關(guān)聯(lián)的東西，挖掘隱含在背后的數(shù)學本質(zhì)，讓學生的認知形成一個整體。在生活中遇到難題也要學會從源頭找原因，這樣才能想出最簡單、最有效的解決方法。以數(shù)學理性思維育人。

問題4：數(shù)系的擴充需要添加“新數(shù)”，要使（x?a）2=k（k<0）有解，我們添加的“新數(shù)”要具備什么功能？

生：要使新數(shù)的平方等于一個負數(shù)！

師追問：如果我們要定義某個數(shù)的平方等于一個負數(shù)，當k取不同的值時，我們是否需要定義無數(shù)次呢？

生甲：好像是需要添加無數(shù)個新數(shù)才行。

生乙：不需要添加無數(shù)個新數(shù)。當k取不同的負數(shù)時，我們都可以把k寫成?1×（?k）的形式，然后方程x2 =k（k<0）可以轉(zhuǎn)化為=?1（k<0），我們只需要定義一個新數(shù)的平方等于?1就可以了。

師：數(shù)學定義應(yīng)該簡明，同學乙給出了一個很好的思路。我們只需要定義一個數(shù)的平方等于?1就可以了。那么這個數(shù)應(yīng)該用什么符號來表示呢？

生：既然是符號，就沒有特別的規(guī)定，如果讓我穿越到過去，我希望用一朵小花來表示這個數(shù)，不知道可不可以。

師：我想應(yīng)該沒有大問題。引入新數(shù)，我們尊重歷史習慣吧。這個新數(shù)用一個字母符號“i”來表示。歷史上，新數(shù)i是瑞士數(shù)學家歐拉在1777年首次提出使用的，他用了“imaginary（本義是虛幻的）”一詞的首字母。

【設(shè)計意圖】問題4培養(yǎng)學生的類比和遷移能力。“追問”意在沿著“專注—直覺—分析—權(quán)衡”的思維路線，讓學生突破直覺，尋找出更全能的解決辦法。教師要讓學生體會到引入一個新數(shù)，不是要解決一個問題，而是要解決一類問題。最有價值的知識，是方法的知識。數(shù)學問題的設(shè)置要從學生的最近發(fā)展區(qū)入手。最近發(fā)展區(qū)有利于發(fā)展學生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生知識遷移能力，引導學生從新的角度看問題，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

問題5：定義了i2=?1，你能否寫出方程（x?1）2 =?4的解？

解法如下：

=i x=12i

追問：定義了i2=?1，你能否寫出方程（x?a）2= k （k<0）的解？

解法如下：

師：在表達式中，a為實數(shù)，也是實數(shù)，那么我們就可以把表達式記為x=a+bi，這樣在結(jié)構(gòu)上能夠更簡潔，數(shù)學就講簡潔美。

【設(shè)計意圖】學生在參與和體驗數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程之后，就可以運用數(shù)學知識及其思想方法對具體問題進行分析研究，對數(shù)學結(jié)論產(chǎn)生頓悟和靈感，提高運算求解能力，增強成功的體驗。

問題6：實數(shù)a能否寫成a+bi的形式呢？

生：b=0時，a+bi=a，即a=a+0i。

師：由于i的加入，實數(shù)集可以擴充到一種新的數(shù)集，我們把形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫作復數(shù)。把集合叫作復數(shù)集。

【設(shè)計意圖】從實數(shù)表達式過渡到復數(shù)表達式，如何才能滿足代數(shù)表達式在結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一性？這是一個看似簡單卻需要點撥突破的問題。數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)是統(tǒng)一、和諧的。教師在學生豁然開朗的同時給出新概念，讓學生自然而然地習得新概念。

三、概念深化

“概念深化”是一節(jié)新授課的靈魂，它直接影響了學生能否以更高的觀點去看待問題。這個環(huán)節(jié)要善于挖掘概念的內(nèi)涵、外延，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

根據(jù)數(shù)系擴充的“包容性”原則，添加的新數(shù)i也可以跟實數(shù)進行四則運算。

問題7：你能從運算的角度解讀復數(shù)a+bi（a，

b ∈R）的結(jié)構(gòu)特征嗎？

生：從結(jié)構(gòu)上看，復數(shù)可以看作由兩部分組成，一部分是一個實數(shù)a，另一部分是一個實數(shù)b與i相乘，那么a+bi就可以看成一個實數(shù)a加上實數(shù)b乘i。

師：復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈

R），這一形式叫作復數(shù)的代數(shù)形式。a叫作復數(shù)的實部，b叫作復數(shù)的虛部，i叫作虛數(shù)單位。

問題8：把實部和虛部特殊化，復數(shù)如何分類？

師：我任意寫出6個復數(shù)，兩兩分成一組，你會怎么分組呢？例如，3，4+5i，3i，?2i，?2?4i，6。

生：3和6為一組，4+5i和?2?4i為一組，3i和?2i為一組。

根據(jù)分組，學生很快就能總結(jié)出復數(shù)的分類。

顯然，實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即RC。（在黑板上畫出韋恩圖）

類比實數(shù)的性質(zhì)，我們一起來研究復數(shù)的性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】問題7讓學生剖析復數(shù)的代數(shù)形式，透過結(jié)構(gòu)特征揭示數(shù)學本質(zhì)，體會數(shù)系擴充后其內(nèi)在方法和思想的一致性。問題8通過復數(shù)的分類，揭示出統(tǒng)一的數(shù)學結(jié)構(gòu)中不同的數(shù)學個性。在強化新知的同時，培養(yǎng)學生個性和共性的辯證統(tǒng)一思維：一個有人格的人，必定是社會化和個性化相統(tǒng)一的人。再次滲透數(shù)學思維育人。

問題9：如何確定一個復數(shù)？

我們可以從兩個維度來看兩個復數(shù)是否相等：實部是否相等，虛部是否相等。也就是說，當兩個復數(shù)的實部、虛部都相等了，這兩個復數(shù)就相等，即復數(shù)由它的實部和虛部來確定。因此可以說復數(shù)是一種二維數(shù)。

追問：如何判斷兩個復數(shù)相等？

在復數(shù)集C中，任取兩個數(shù)a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），我們規(guī)定a+bi和c+di相等的充要條件是a=c且b=d。

追問：復數(shù)能比大小嗎？

生：不能比，因為復數(shù)是“二維”的數(shù)，“二維”的數(shù)不能比大小。

師：如果復數(shù)的虛部為0，那么復數(shù)就是實數(shù)了，實數(shù)能比大小嗎？

生：應(yīng)該補充一下，當復數(shù)是實數(shù)時，可以比大小;但當復數(shù)是虛數(shù)時，就不能比大小了。

【設(shè)計意圖】問題9以及“追問”引導學生學會多角度思考和理解概念的本質(zhì)特征，引導學生找出微小的不同點加以分析。這對培養(yǎng)學生思維的深刻性有著很高的價值。教師在教學時使用對比效應(yīng)可以刺激學生的大腦，讓學習更輕松。

問題10：實數(shù)是一維的，它與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。復數(shù)是二維的，它的幾何意義是什么？

師：這個問題請同學們課后思考，這是我們下節(jié)課需要研究的內(nèi)容。

【設(shè)計意圖】從幾何意義的角度給學生拋出問題。小小的遺憾能帶來大大的思考，也為后續(xù)知識的連貫性做好鋪墊。

師：經(jīng)過這幾個問題的研究，相信同學們對復數(shù)有了進一步的認識，接下來我們通過幾個例題來檢驗強化新知。

四、應(yīng)用探索

“應(yīng)用探索”是新授課的關(guān)鍵，也是學生數(shù)學學習的根本目的之一，它對學生能否靈活運用知識關(guān)系重大。這一環(huán)節(jié)教師要教會學生從正確的解題思路中總結(jié)方法，提高對數(shù)學思想的理解能力。

練習1：實數(shù)m取何值時，復數(shù)z=m+1+（m?1）i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

練習2：說出下列復數(shù)的實部和虛部。

i，i，，，i，0

練習3：指出下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，為什么？

2+，0.618，i，0，i，5i+8，3?，

i（1?），

練習4：如果（x+y）+（y?1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求實數(shù)x，y的值。

【設(shè)計意圖】數(shù)學解題中學生時而“驚心動魄”，時而“深陷絕境”，時而“絕處逢生”。只有經(jīng)歷了解題的過程，學生才能提高解題能力。學生在快速解答的過程中，很容易出現(xiàn)“想當然”的錯誤，及時糾正，實現(xiàn)數(shù)學教學的知行合一，踐行數(shù)學課堂實踐育人。

五、總結(jié)歸納

“總結(jié)歸納”是一節(jié)新授課的升華 ，它對學生能否深入理解新知識的重點、能否構(gòu)建起知識網(wǎng)絡(luò)，起著十分重要的作用。教師要精心設(shè)計課堂總結(jié)，讓學生真正獲得提高，從而對整節(jié)課產(chǎn)生充實、愉悅的感受。

師生共同完成了一次新的數(shù)系擴充，學習了復數(shù)的結(jié)構(gòu)特征（見圖2）。

圖2 復數(shù)

師總結(jié)：短短40分鐘我們就完成了數(shù)系擴充，那是因為我們站在了前人的肩膀上，接下來我們一起看看復數(shù)的發(fā)展歷史。

1545年，意大利數(shù)學家“怪杰”卡當?shù)谝淮伍_始討論復數(shù)開平方的問題，當時復數(shù)被他稱為“詭辯量”。

1637年，法國數(shù)學家笛卡爾才把這種虛幻的數(shù)命名為“虛數(shù)”。

1777年，歐拉說這種數(shù)只存在于“幻想之中”，并用“i”來表示它的單位。

1832年，德國數(shù)學家高斯把復數(shù)看作復平面的點，使之通行于世。

現(xiàn)在看起來簡單的數(shù)系，它的發(fā)展卻經(jīng)歷了各種艱難，數(shù)學的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展一樣，需要幾代數(shù)學家長時間的努力才得以完善！

任何新事物的產(chǎn)生都不能迅速地被人們接受，它必然會受到舊事物的阻撓。數(shù)學家們追求真理、獻身科學的精神深深地影響著我們！

【設(shè)計意圖】回顧數(shù)系擴充的發(fā)展順序，讓學生對本節(jié)課究竟學習了什么內(nèi)容有一個更充實、飽滿的認識。展示復數(shù)近三百年的發(fā)展歷史，能夠讓學生體會到在漫長的歷史時期，復數(shù)的創(chuàng)立是需要創(chuàng)新精神的，數(shù)學家們要敢于向傳統(tǒng)觀念挑戰(zhàn)，更要有鍥而不舍的精神。課堂最后再次加強數(shù)學文化育人，讓學生回味無窮。

（作者單位：廣西壯族自治區(qū)南寧市第三中學）

責任編輯：趙繼瑩