孫傳正

(江蘇省南京市人民中學(xué)　210000)

一、數(shù)系：理應(yīng)擴(kuò)充

1. 理念重溫

本節(jié)課旨在讓學(xué)習(xí)者回顧數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，進(jìn)而激發(fā)學(xué)者探索欲望.本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備停留在實(shí)數(shù)集，在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)數(shù)集之間的內(nèi)在包含關(guān)系都是比較明確的，但是對(duì)數(shù)的發(fā)展歷程缺乏系統(tǒng)的認(rèn)知，知識(shí)體系還未形成.另一方面,從方程解的角度來(lái)看，學(xué)生只能在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)進(jìn)行求解，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.所以本節(jié)課讓學(xué)生在問(wèn)題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根)在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用，感受人類理性思維的作用以及與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.本節(jié)課也需要理解復(fù)數(shù)的基本概念.一方面讓學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需求，體會(huì)虛數(shù)引入的必要性和合理性．另一方面，讓學(xué)生體驗(yàn)復(fù)數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從生活中挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力.

2．課例重現(xiàn)

(1)創(chuàng)設(shè)情境——形成問(wèn)題

以卡爾丹的困惑入手：

能否將10分成兩部分，且使兩者的乘積為40？

貫穿歷史長(zhǎng)河，看看數(shù)集是如何發(fā)展的．

(2)重溫“擴(kuò)充”——分析問(wèn)題

問(wèn)題1數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，感受由于生活實(shí)際需要，數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展都要引入新數(shù)，擴(kuò)充數(shù)集．

問(wèn)題2這幾次數(shù)系的擴(kuò)充共同特點(diǎn)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性，并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則：“①引入新數(shù)；②在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來(lái)數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾．”為數(shù)系的再一次擴(kuò)充以及如何擴(kuò)充打好了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；同時(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括與表達(dá)能力．

歷史在前進(jìn)，社會(huì)在發(fā)展，生活中的矛盾不斷涌現(xiàn)，如何解決卡爾丹的困惑．

(3)引入新元——解決問(wèn)題

問(wèn)題2五百多年前擺在數(shù)學(xué)家面前的困惑如何破解？

引入一個(gè)新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：

①i2=-1;

②實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立.

介紹數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生了解相關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

i是imagination(想象力)的首字母，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉(Leonhard Euler1707-1783)在1777年首次提出用i表示平方等于-1的新數(shù)，又由德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家高斯(Johann Carl Friedrich Gauss1777—1855)在1801年使之系統(tǒng)的通行于世.

(4)形成擴(kuò)充——深化問(wèn)題

問(wèn)題3①引入新元i后，卡爾丹要找的數(shù)是什么呢？

我們把這些含i的數(shù)叫做虛數(shù).還能寫出其它的數(shù)？

②你能寫出一個(gè)形式把所有的實(shí)數(shù)和虛數(shù)都包含在內(nèi)嗎？

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)其中a是實(shí)部，b是虛部，i叫做虛數(shù)單位.后面還會(huì)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，三角形形式.

目前為止，把所有的實(shí)數(shù)和虛數(shù)都放在一起形成新的集合就叫做復(fù)數(shù)集.

追問(wèn)：既然復(fù)數(shù)的代數(shù)形式既能表示實(shí)數(shù)，也能表示虛數(shù)，那什么時(shí)候表示實(shí)數(shù)，什么時(shí)候表示虛數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖：先用卡爾丹的數(shù)引出虛數(shù)概念，然后再模仿、嘗試寫出其他數(shù)(包含實(shí)數(shù))，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從而概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,b∈R)，并學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，從而完成從實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充．又根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式再來(lái)對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，從而深化復(fù)數(shù)概念，攻克本節(jié)課的重點(diǎn)，數(shù)系擴(kuò)充表得以完善．

二、課堂，也要擴(kuò)充

每一節(jié)課，其實(shí)就是學(xué)生和老師在知識(shí)上的擴(kuò)充，知識(shí)的獲得是第一層次，學(xué)生在課堂上學(xué)到了新的內(nèi)容，擴(kuò)充了自己的知識(shí)層面，教師通過(guò)學(xué)生的反饋，從教學(xué)能力的角度收獲也很大.但是知識(shí)獲取的多少，就要看第二層次，也就是知識(shí)的外延和內(nèi)涵，通過(guò)一節(jié)課的相關(guān)知識(shí)，了解知識(shí)的前身后世，從點(diǎn)的知識(shí)擴(kuò)充到面的知識(shí)，另外通過(guò)所學(xué)知識(shí)能夠解決一些新的問(wèn)題，掌握了一種數(shù)學(xué)工具.

要想通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)受益終生，那就要看第三層次，知識(shí)的獲得方式和效率.本節(jié)課首先拋出一個(gè)問(wèn)題——負(fù)數(shù)開(kāi)方，在學(xué)生已有的實(shí)數(shù)集上無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題，筆者帶著學(xué)生一起回顧數(shù)集發(fā)展歷史，從原始社會(huì)結(jié)繩記事、在獸皮上刻橫來(lái)計(jì)數(shù)，引入了自然數(shù)到欠賬，引入了負(fù)數(shù)，接著度量正方形邊長(zhǎng)為1的對(duì)角線引入了無(wú)理數(shù)，再到一個(gè)蘋果四人分，引入了分?jǐn)?shù)……都是根據(jù)社會(huì)生活實(shí)際需要引入了新數(shù)，另一邊，從數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，從運(yùn)算角度都是有必要擴(kuò)充數(shù)集，加減乘除開(kāi)奇次方在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)才能實(shí)行.通過(guò)這樣的引導(dǎo)，讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課堂，從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的探求欲望，并且能夠根據(jù)自己的已有知識(shí)，體會(huì)新數(shù)引出的歷程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的不凡與偉大數(shù)學(xué)家思考問(wèn)題的普通.這樣的數(shù)學(xué)課堂才是非常飽滿的，學(xué)生學(xué)習(xí)到知識(shí)才足夠的有價(jià)值，課堂的擴(kuò)充才顯性.

三、目標(biāo)，更需擴(kuò)充

三維目標(biāo)是指教育教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該達(dá)到的三個(gè)目標(biāo)維度，即：知識(shí)與技能(Knowledge & skills)；過(guò)程與方法(Process & steps )；情感態(tài)度與價(jià)值觀(emotional attitude & values).“三維目標(biāo)”是一個(gè)教學(xué)目標(biāo)的三個(gè)方面，而不是三個(gè)獨(dú)立的教學(xué)目標(biāo)，它們是統(tǒng)一的不可分割的整體.關(guān)于三維目標(biāo)，新課改方案中已提出多年，但在具體實(shí)施的過(guò)程中，有些教師總感覺(jué)很難把握，還是停留在傳統(tǒng)的知識(shí)灌輸?shù)膶哟紊?，不能真正理解三維目標(biāo)就無(wú)法讓課堂真正成為學(xué)生的伊甸園，無(wú)法真正培養(yǎng)社會(huì)需要的人才.所以目標(biāo)的理解是更加緊要的，每一節(jié)課都應(yīng)該有明確的目標(biāo)，不能只停留在傳授學(xué)生書本知識(shí)，要充分理解三維目標(biāo)，三位一體只有當(dāng)真正理解三維目標(biāo)，才能在教學(xué)中貫徹目標(biāo)的達(dá)成度，才能使得初定的目標(biāo)得到進(jìn)一步的擴(kuò)充，從而讓學(xué)生的知識(shí)、思維、能力都得到進(jìn)一步的擴(kuò)充.

四、思維，素養(yǎng)的擴(kuò)充

數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集以后解決不了負(fù)數(shù)開(kāi)偶次方，歐拉首次提出i表示平方等于-1的新數(shù)，高斯系統(tǒng)地使用這個(gè)符號(hào)i并且使它通行于世，這樣把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).這個(gè)偉大的擴(kuò)充解決了負(fù)數(shù)開(kāi)偶次方問(wèn)題，縱觀整個(gè)擴(kuò)充過(guò)程，如果每一個(gè)數(shù)學(xué)家都能為了解決某一類問(wèn)題勤于思考，那數(shù)學(xué)的重大難題會(huì)一步一步克服，也能為生活實(shí)際解決更多的問(wèn)題，這樣的解決問(wèn)題的能力和決心，就是需要我們教師每一節(jié)課的課堂擴(kuò)充和目標(biāo)擴(kuò)充，拓寬他們的眼界，讓學(xué)生的思維更加的活躍，從而助力于素養(yǎng)的提高.這樣的課堂教學(xué)容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹(shù)立遠(yuǎn)大的理想，無(wú)形中教育學(xué)生要像偉大的數(shù)學(xué)家一樣從細(xì)微處著手，從生活實(shí)際著手敢于思考，讓自己的思維插上翅膀，翱翔天空，讓自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一種質(zhì)的飛躍，從而拓寬數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，解決更多的問(wèn)題，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦.總之，一句話“讓他們都有成為數(shù)學(xué)家的心”.