所有經(jīng)典物理量，虛數(shù)僅僅是為了計(jì)算方便而引入的計(jì)算工具。在薛定諤、海森堡等量子力學(xué)先驅(qū)建立量子力學(xué)的過(guò)程中，虛數(shù)以第一原理的形式被引入理論。但它在量子力學(xué)中仍是抽象的概念，物理學(xué)家并沒(méi)有賦予其任何實(shí)際的物理意義。因?yàn)椋ㄟ^(guò)實(shí)數(shù)概率值的形式可以完成對(duì)量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)的描述，并不需要虛數(shù)。然而，物理學(xué)的目標(biāo)是通過(guò)理論來(lái)解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，而非描述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。鑒于上述原因，物理學(xué)家對(duì)在量子力學(xué)中使用虛數(shù)是極其忐忑和糾結(jié)的。為了消除顧慮，一些物理學(xué)家試圖去除量子力學(xué)理論中的虛

的.試想,當(dāng)x是虛數(shù)且非純虛數(shù)時(shí),x2仍是虛數(shù),而|x|2卻是實(shí)數(shù),所以它們是不相等的.A.2 B.4 C.6 D.8錯(cuò)解由x2－5|x|＋6＝0,得(|x|－2)(|x|－3)＝0,那么|x|＝2或3,從而x＝±2或x＝±3,故選B.剖析上述錯(cuò)解就是把實(shí)數(shù)中的x2＝|x|2的結(jié)論無(wú)條件地搬到復(fù)數(shù)運(yùn)算中,從而導(dǎo)致計(jì)算失誤.正解設(shè)x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即為得誤區(qū)2無(wú)論x在什么范圍內(nèi),xmn＝(xm)n恒成立.顯然,當(dāng)x∈R 時(shí),xmn＝(xm

數(shù)？復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)與虛數(shù)的統(tǒng)稱(chēng).對(duì)于實(shí)數(shù)，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)過(guò)，因此這里的焦點(diǎn)是虛數(shù).虛數(shù)真的是虛無(wú)縹緲的數(shù)嗎？教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧虛數(shù)形成的這段歷史.在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展史中，對(duì)虛數(shù)的假設(shè)是需要勇氣的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們都無(wú)法接受，認(rèn)為虛數(shù)是想象出來(lái)的一種數(shù)，是不存在的，但數(shù)學(xué)家們還是對(duì)虛數(shù)進(jìn)行了長(zhǎng)期的研究.首次認(rèn)真研究虛數(shù)的是意大利數(shù)學(xué)家卡丹（Cardano，1501—1576），他生活在文藝復(fù)興時(shí)期，堪稱(chēng)數(shù)學(xué)“怪杰”，他從1545年開(kāi)始研究虛數(shù)，當(dāng)時(shí)他把虛數(shù)叫做

∈R),則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0(D)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=1,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心,以1為半徑的圓11.定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下:對(duì)任意的向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),令a⊙b=x1y2-x2y1,則下列說(shuō)法正確的是( )(A)若a與b共線(xiàn),則a⊙b=0(B)a⊙b=b⊙a(bǔ)(C)對(duì)任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)(D)(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|212.在?ABC中,a,b,c是角

(a+1)i是純虛數(shù);②若a,b∈R,且a＞b,則a+i＞b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±2;④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集。其中正確命題的序號(hào)是_____。解：對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0且b≠0時(shí),a+bi為純虛數(shù)。對(duì)于①,若a=-1,則(a+1)i=0,不是純虛數(shù),①錯(cuò)誤。兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,②錯(cuò)誤。對(duì)于③,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(shí)(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是純虛數(shù)

一般情況，設(shè)i為虛數(shù)單位，zj=xj+iyj,j=1,2,3.則由已知①，②兩式，得z1+z2+z3=0.④令zj′=eiθzj(1≤j≤3),并且z1′=1.即將zj旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角θ，使得z1′成為x1′=1,y1′=0的點(diǎn).由④式可得z1′+z2′+z3′=0.所以x1′+x2′+x3′=0,y1′+y2′+y3′=0.同前面的證明，可得⑤⑥當(dāng)然，不先做簡(jiǎn)單情況，直接做一般情況也無(wú)不可，但“從簡(jiǎn)單的做起”，將一般情況化歸為簡(jiǎn)單情況，也是一種趣向，一種愛(ài)好

、選擇題1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：iz =3+i，則z=（）。A.1+3iB.1 3iC.-1+3iD.-1-3i3.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（1+2i）=i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是（）。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），則z是純虛數(shù)的必要不充分條件是（）。A.a=0且b≠0B.a≠0且b=0C.a=0且b=0D.a=08.設(shè)復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），Z=iZ1，若復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛

（a+b）i是純虛數(shù);③復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z=z;④在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示虛數(shù)。其中正確命題的序號(hào)是。解：i2=-l，顯然①不正確。當(dāng)a=b=0時(shí)，（a一b）+（a+b）i不是純虛數(shù)，②不正確。由共軛復(fù)數(shù)的定義知，③正確。虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù)，④不正確。答案為③。評(píng)注：準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵。考點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的幾何意義評(píng)注：當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)

b∈R）為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的依據(jù)。對(duì)復(fù)數(shù)的基本概念的理解是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基礎(chǔ)。評(píng)析：復(fù)數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿(mǎn)足的條件，即把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再列出實(shí)部和虛部滿(mǎn)足的方程（不等式）。復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），當(dāng)b=0時(shí)，z為實(shí)數(shù);當(dāng)b≠0時(shí)，z為虛數(shù);當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，z為純虛數(shù)。評(píng)析：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等。解答本題的關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)概念，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。評(píng)析：實(shí)系數(shù)一

.復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)的虛部為( ).A.－2 B.i C.－2i D.12.設(shè)a∈R,若(a－i)2i(i為虛數(shù)單位)為正實(shí)數(shù),則a＝( ).A.2 B.1 C.－2 D.－13.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為( ).A.－3 B.－1 C.1 D.34.已知復(fù)數(shù)z＝是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位,a∈R),則z的虛部為( ).A.1 B.－1 C.i D.－i5.在復(fù)平面內(nèi),若A(2,－1),B(0,3),則平行四邊形OACB

數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充,虛數(shù)和實(shí)數(shù)都是復(fù)數(shù)的組成部分,純虛數(shù)隸屬虛數(shù),它的虛部不可為零.例1若復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i是純虛數(shù),則m的值為_(kāi)_______.錯(cuò)解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,則m＝3或－1.綜上,m＝3.復(fù)數(shù)是數(shù)的大家庭,其成員有實(shí)數(shù)與虛數(shù),而虛數(shù)又含有純虛數(shù),純虛數(shù)的實(shí)部一定是零,實(shí)部為零的數(shù)不一定是純虛數(shù),如實(shí)數(shù)0.2 忽視兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件由復(fù)數(shù)相等,可以得到方程組,進(jìn)而將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化,但解

a,b∈R,i為虛數(shù)單位,i2＝－1),其中a為實(shí)部,b為虛部,復(fù)數(shù)是既有“大小”又有方向的量,其“大小”又稱(chēng)為復(fù)數(shù)的“?！?表示為|z|＝;實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù);當(dāng)實(shí)部為0,虛部不為0時(shí),z為純虛數(shù),當(dāng)虛部為0時(shí),z為實(shí)數(shù).這些都是復(fù)數(shù)最基本的概念,以這些概念為視角的試題是高考?？碱}型.解題中要注意對(duì)概念進(jìn)行辨析.例1“a＝0”是“復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)為純虛數(shù)”的( ).A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

，由“實(shí)數(shù)”和“虛數(shù)”組成。盡管在數(shù)學(xué)中，虛數(shù)扮演著很重要的角色，但由于物理公式只適用于實(shí)數(shù)，所以很多人都認(rèn)為虛數(shù)是“虛構(gòu)”的，而復(fù)數(shù)這一概念對(duì)物理沒(méi)有實(shí)際用處。用來(lái)代表微觀世界量子理論的出現(xiàn)，改變了“游戲規(guī)則”，成為第一個(gè)用復(fù)數(shù)表述的物理理論。如量子理論的核心——著名的薛定諤方程中就包含有虛數(shù)的基本單位i。最近發(fā)表在《自然》雜志上的一項(xiàng)研究證明，如果量子假設(shè)僅用實(shí)數(shù)來(lái)表述，那么關(guān)于量子網(wǎng)絡(luò)的一些預(yù)測(cè)就會(huì)有所不同。研究小組提出了一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)建議，涉及兩個(gè)

，由“實(shí)數(shù)”和“虛數(shù)”組成。盡管在數(shù)學(xué)中，虛數(shù)扮演著很重要的角色，但由于物理公式只適用于實(shí)數(shù)，所以很多人都認(rèn)為虛數(shù)是“虛構(gòu)”的，而復(fù)數(shù)這一概念對(duì)物理沒(méi)有實(shí)際用處。用來(lái)代表微觀世界量子理論的出現(xiàn)，改變了“游戲規(guī)則”，成為第一個(gè)用復(fù)數(shù)表述的物理理論。如量子理論的核心——著名的薛定諤方程中就包含有虛數(shù)的基本單位i。最近發(fā)表在《自然》雜志上的一項(xiàng)研究證明，如果量子假設(shè)僅用實(shí)數(shù)來(lái)表述，那么關(guān)于量子網(wǎng)絡(luò)的一些預(yù)測(cè)就會(huì)有所不同。研究小組提出了一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)建議，涉及兩個(gè)

縛模型討論了體系虛數(shù)勢(shì)能對(duì)其能譜的影響, 但文章只討論了偶數(shù)格點(diǎn)系統(tǒng)能譜變化的特點(diǎn). 本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上, 對(duì)PT 對(duì)稱(chēng)的非厄米體系的能譜性質(zhì)重新進(jìn)行了討論.1 PT對(duì)稱(chēng)的非厄米模型為了文章的完整性, 我們從文獻(xiàn)[3]建立的一維緊束縛模型出發(fā)重新進(jìn)行問(wèn)題的討論. 系統(tǒng)的哈密頓量為(1)其中γ為虛數(shù)勢(shì)的強(qiáng)度,t為相鄰格點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度的大小,N為系統(tǒng)格點(diǎn)的總數(shù).(3)(4)對(duì)應(yīng)的本征值為λk=-2tcosk(5)式中k=mπ/(N+1),m∈[1,N]表

又多了一個(gè)選擇—虛數(shù)空間360i。別具一格的外觀設(shè)計(jì)很多人可能對(duì)虛數(shù)空間（IMAGINARY）這一品牌并不了解，這是一個(gè)專(zhuān)注于打造高端MOD產(chǎn)品的品牌，品牌屬性與邢凱（號(hào)稱(chēng)國(guó)內(nèi)MOD第一人）有些類(lèi)似。其代表作品有M POWER主題的華碩太陽(yáng)神、變色龍版的喬思伯MOD-3、賽博朋克版的骨伽征服者機(jī)箱，并且還擁有分體式水冷套裝等產(chǎn)品，而這款虛數(shù)空間360i則是該品牌下自主設(shè)計(jì)的機(jī)箱。作為一款I(lǐng)TX的小型機(jī)箱，虛數(shù)空間360i的定位很明確，首先要能裝水冷散熱器、

研卷）復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位，下同）的虛部是（ ）2.（2021·西安模擬）復(fù)數(shù)z=2i2+i3的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.（2020·揭陽(yáng)一模）已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若則a=（ ）C.2 D.-24.（2021·河北六校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（2，-1），（0，-1），則+｜z2｜=（ ）A.2+2i B.2-2iC.-2+i D.-2-i5.（課本題改編）在復(fù)數(shù)集

二、虛數(shù)的爭(zhēng)議虛數(shù)產(chǎn)生之后，在數(shù)學(xué)界引起了巨大的爭(zhēng)議，主要分成三派.一派認(rèn)為虛數(shù)是存在的，比如微積分的先驅(qū)者之一沃利斯，他試圖用幾何方法解釋虛數(shù).另一派是以數(shù)學(xué)家笛卡爾為代表的學(xué)派，他們不承認(rèn)或反對(duì)虛數(shù)，認(rèn)為虛數(shù)是想象的、虛構(gòu)的.第三派是以萊布尼茨為代表的學(xué)派，萊布尼茲在1702年曾說(shuō)：復(fù)數(shù)“猶如存在和不存在的兩棲物”.虛數(shù)的名稱(chēng)是笛卡爾給出的，他不能接受復(fù)根.于是，在他1637年出版的《幾何》這本書(shū)中解釋復(fù)根時(shí)說(shuō)“但它們始終是虛的”.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐拉

：為了讓學(xué)生了解虛數(shù)是怎么產(chǎn)生的、為何一定要引入i2=-1讓無(wú)解方程有解，筆者將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生切實(shí)感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性及數(shù)學(xué)家在研究虛數(shù)過(guò)程中的曲折與創(chuàng)新。關(guān)鍵詞：虛數(shù);數(shù)系擴(kuò)充;數(shù)學(xué)史高考中復(fù)數(shù)的考察方式僅局限于填空或選擇，教師在教學(xué)中往往偏重于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等內(nèi)容，對(duì)虛數(shù)單位的引入常用書(shū)本給出的方程x2+1=0的求解問(wèn)題，但許多學(xué)生學(xué)完復(fù)數(shù)后并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，認(rèn)為既然“負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根”是眾所周知的，為何一定要引入i2=-1讓無(wú)解方程有解呢

i2020（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)=（ ）。A.-1+i B.1-iC.1+i D.-1-i錯(cuò)解：選A。剖析：本題錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)于共軛復(fù)數(shù)的概念不清楚。一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，即復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi（a，b∈R）。正解：因?yàn)閦=i2019+i2020=（i2）1009·i+（i2）1010=-i+1，所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i。故選C。例 2（2020年全國(guó)名校

為四元數(shù)的一個(gè)虛數(shù)單位，簡(jiǎn)稱(chēng)虛數(shù)單位.如：等都是虛數(shù)單位.在 R3空間中，x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)的內(nèi)積為我們可以把四元數(shù)q 的虛部 Im(q)=q1i+q2j+q3k 視作三維向量 (q1,q2,q3)，則我們有引理1設(shè) u=u1i+u2j +u3k ，v=v1i+v2j+v3k，則：uv=-u·v+u×v.證明由四元數(shù)計(jì)算規(guī)則知：2 四元數(shù)上的歐拉公式定理1設(shè)u 是四元數(shù)虛數(shù)單位，θ∈R，則有證明因?yàn)閡 為虛數(shù)單位，所以u(píng)3

詩(shī)中的數(shù)字，那叫虛數(shù)。虛數(shù)自然有些夸張，但夸張也是狀物，狀物的意圖很明顯，就是為了表達(dá)詩(shī)人的情感。你看，寫(xiě)到白發(fā)三千丈，詩(shī)人的愁就有那么長(zhǎng)；寫(xiě)飛流直下三千尺，瀑布就有多么壯觀，詩(shī)人的喜愛(ài)就有那樣深厚。用了這些虛數(shù)，情感一目了然。”深思點(diǎn)頭道：“原來(lái)如此。大數(shù)據(jù)時(shí)代的數(shù)據(jù)，有精準(zhǔn)型的實(shí)數(shù)，也有夸張型的虛數(shù)啊。問(wèn)題的關(guān)鍵是，我們寫(xiě)狀物文的時(shí)候，該如何區(qū)別呢？什么時(shí)候用精準(zhǔn)的實(shí)數(shù)，什么時(shí)候用夸張的虛數(shù)呢？”這個(gè)問(wèn)題，大家都想問(wèn)，所以都聽(tīng)得特別認(rèn)真，特別在意。長(zhǎng)眉

是11.已知i為虛數(shù)單位，a∈R.若a2-1+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=a+（a-2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.12.在△ABC 中，已知AC=3，∠A=45°，點(diǎn)D 滿(mǎn)足，且則BC的長(zhǎng)為13.已知O 是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，，則△AOB 與△AOC 的面積的比值為二、解4題（1）求|b|；（2）求△ABC的面積.16. （2019年貴陽(yáng)摸底考試）已知函數(shù)f（x）=kx-lnx（k＞0）.（1）若k=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）有

津卷文數(shù))設(shè)i是虛數(shù)單位,則2.|z1·z2|=|z1|·|z2|例2(2017年江蘇卷理數(shù))已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是_____。解法1：(常規(guī)法)因?yàn)閦=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i,所以|z|=解法2：(性質(zhì)法)|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=練習(xí)2.(2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)z=2i,則|z|=( )。答案：C。3.|z|2=a2+

功倍的效果。一、虛數(shù)i的性質(zhì)及其應(yīng)用與虛數(shù)單位i相關(guān)的性質(zhì)有：①i2=-1(即-1的平方根是±i)；②若n∈N*,則i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i；③（1±i）2=±2i；⑤in+in+1+in+2+in+3=0,in·in+1·in+2·in+3=-1(n∈N*)；⑥若w=則w3=1,|w|=評(píng)注:運(yùn)用與虛數(shù)單位i相關(guān)的性質(zhì),可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化,提高運(yùn)算速度。二、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)及其應(yīng)用②|z1·z2|=|z1|·|z2|,推廣：

復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件錯(cuò)解 C.例2(2015年高考上海卷·理15)設(shè)z1,z2∈C，則“z1、z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2是虛數(shù)”的( ).A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件錯(cuò)解認(rèn)為虛數(shù)與虛數(shù)的差一定為虛數(shù)，選C.剖析當(dāng)兩個(gè)虛數(shù)的虛部相等時(shí)，它們的差為實(shí)數(shù)，故不是充分條件，而必要性顯然,故選B.①(z1+z2)*z3

著z=a+b;為虛數(shù)，并且在理解這一虛數(shù)時(shí)，要分類(lèi)探討，比如當(dāng)a=0時(shí)，復(fù)數(shù)就是個(gè)純虛數(shù)，而a≠0時(shí)，它是個(gè)不為純虛數(shù)的虛數(shù).通過(guò)分類(lèi)探討，把實(shí)數(shù)和虛數(shù)對(duì)比起來(lái)，便能理解實(shí)數(shù)和虛數(shù)的關(guān)系：復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)與虛數(shù).接下來(lái)對(duì)比學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的模與虛數(shù)的模.現(xiàn)舉一個(gè)實(shí)數(shù)4，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，把實(shí)數(shù)4的模理解成4+0×i，然后利用模的公式即可計(jì)算實(shí)數(shù)的模，應(yīng)用這樣的方法，可得實(shí)數(shù)的模等于它的絕對(duì)值.那么復(fù)數(shù)的?？梢岳斫鉃閨z|=|a+bi|=|OZ |= a2+b2 .兩個(gè)復(fù)

得：(2)由z是虛數(shù),得m2+2m-3≠0,且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3。解得m=0或m=-2。解得m=-1。33.(1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=2i+3-3i-4=-1-i。34.由題意知z1·z2=(a+bi)·(cosA+cosBi)=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i。所以acosA -bcosB=0,且acosB+bcosA≠0。則2A=2B或2A+2B=π,且sinC≠0。所以△ABC為等腰三角形或直角三

(a-1)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為( )。A.1 B.2 C.1或2 D.-1A.-2-i B.-2+iC.2-i D.2+i5.下面四個(gè)命題：①0比-i大;②兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù);③x+yi=1+i的充要條件為x=y=1;④如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng),那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)。其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )。A.0 B.1 C.2 D.36.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為( )。7.已知0＜a＜2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為

元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式純虛數(shù)四元根的一種方法；文獻(xiàn)[9]討論了四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式有某些特殊根的充分必要條件；文獻(xiàn)[10]給出了畢達(dá)哥拉斯運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)可由次數(shù)較低的另一條曲線(xiàn)生成的充分必要條件是其生成四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式有一個(gè)復(fù)根.經(jīng)典的Sturm算法是確定常系數(shù)多項(xiàng)式實(shí)根個(gè)數(shù)的一種有效方法[11]，但對(duì)于具有符號(hào)系數(shù)的多項(xiàng)式，該算法極不方便. 參數(shù)多項(xiàng)式完全根的分類(lèi)已應(yīng)用于多問(wèn)題的研究中，并建立了多種方法[12-16]. 而對(duì)四元數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的根進(jìn)行計(jì)數(shù)和分類(lèi)卻未發(fā)現(xiàn)類(lèi)似結(jié)

際。誤區(qū)一：對(duì)純虛數(shù)的概念把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤例1設(shè)m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=_________。錯(cuò)解：因?yàn)閙∈R，復(fù)數(shù)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)，所以m2+m-2=0。解得m=1或m=-2。正解：m∈R，復(fù)數(shù)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)的充要條件是：也即m=-2。故m=-2時(shí)，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù)。剖析：(1)若忽視“純虛數(shù)的虛部不為0”這一條件，易得出m=1或m=-2的錯(cuò)誤結(jié)論。

有重大缺陷的。2虛數(shù)i說(shuō)起虛數(shù)i的意義，可能你的第一反應(yīng)就是-1的平方根，除此之外再無(wú)其他。其實(shí)很多數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)虛數(shù)時(shí)感覺(jué)也和你一樣。16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡爾達(dá)諾在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》（Arsmagna）一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱(chēng)之為“卡爾達(dá)諾公式”。他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫(xiě)到公式中的數(shù)學(xué)家，盡管他認(rèn)為這個(gè)表示是沒(méi)有意義的，是想象的、虛無(wú)縹緲的。給出“虛數(shù)”這一名稱(chēng)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《幾何學(xué)》（1637年）中將其命名為

【摘 要】虛數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一，具有很重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，然而筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)開(kāi)平方依然存在疑慮，對(duì)于虛數(shù)的概念的理解不夠深刻。本文采用實(shí)證研究方法，對(duì)吉林和上海兩地225名高中生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，了解學(xué)生對(duì)虛數(shù)的有關(guān)概念、代數(shù)運(yùn)算、幾何意義、實(shí)際應(yīng)用等四方面理解和掌握情況。經(jīng)過(guò)問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)分析以及對(duì)部分教師的訪(fǎng)談，運(yùn)用SOLO分類(lèi)理論對(duì)部分主觀題目進(jìn)行分析，了解學(xué)生對(duì)虛數(shù)的理解程度，探究其原因并得出相應(yīng)的結(jié)論，意義在于為今后的虛數(shù)教學(xué)提供

數(shù)。(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí),則有m2-3m+2≠0,解得m≠1且m≠2。故m≠1且m≠2時(shí),z為虛數(shù)。62.由定義可知,假設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),z∈R;當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0時(shí),z為純虛數(shù);當(dāng)a＜0,b＞0時(shí),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限;復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是直線(xiàn)方程的解,則這個(gè)點(diǎn)就在這條直線(xiàn)上。(1)由m2+2m-3=0且m-1≠0,得m=-3。故當(dāng)m=-3時(shí),z∈R。解得m=0,或m=-2。故當(dāng)m=0或m=-2時(shí),z為純虛

、選擇題1.i是虛數(shù)單位,若集合S={-1,0,1},則( )。2.a=0是復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分也不必要條件3.適合x(chóng)-3i=(8x-y)i的實(shí)數(shù)x,y的值為( )。A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3C.x=5且y=2 D.x=3且y=04.復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i為虛數(shù),則實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足( )。5.已知復(fù)數(shù)z1=2-ai(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x-3y

0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數(shù)。2.復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。3.共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)。例1 (1)設(shè)x∈R,則“x=1”是“復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù)”的____(選填充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件和既不充分也不必要條件)。解析：因?yàn)閍+bi=__5__=1-2i(a,b∈1+2i R),所以a=1,b=

是如何被發(fā)現(xiàn)的,虛數(shù)單位是如何被定義的,也不可能體會(huì)到引入復(fù)數(shù)的必要性以及復(fù)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值.學(xué)情分析認(rèn)知基礎(chǔ):學(xué)生已學(xué)習(xí)了正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集以及相應(yīng)的數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律,有了數(shù)系擴(kuò)充的一些經(jīng)驗(yàn);學(xué)生已掌握一元一次方程、二元一次方程的求解方法以及方程的解的概念,了解乘方運(yùn)算與開(kāi)方運(yùn)算的互逆關(guān)系、數(shù)學(xué)的邏輯用語(yǔ)以及推理與證明的相關(guān)知識(shí),這些都是引入復(fù)數(shù)概念的基礎(chǔ).認(rèn)知障礙:①缺乏從整體上重新審視數(shù)系發(fā)展的過(guò)程,不知道數(shù)系是如何擴(kuò)充的以及它與生產(chǎn)

學(xué)法指導(dǎo)下，基于虛數(shù)產(chǎn)生的歷史，在實(shí)踐中探究了如何借助數(shù)學(xué)史讓學(xué)生獲得深層次的思維活動(dòng)，展示了一個(gè)適用于教學(xué)的“歷史套裝”.【關(guān)鍵詞】發(fā)生教學(xué)法；虛數(shù)；復(fù)數(shù)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)數(shù)學(xué)史的介入體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教育價(jià)值的好素材.很多教師在上公開(kāi)課的時(shí)候，喜歡選擇這個(gè)課題，覺(jué)得能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)文化味，能打破數(shù)學(xué)課堂的冷漠與沉悶.大家在課堂的不同時(shí)段以各自不同的方式引入了數(shù)學(xué)史料.那如何借助數(shù)學(xué)史，提升教師的教學(xué)知識(shí)？如何成功地把數(shù)學(xué)史運(yùn)用于

等。復(fù)數(shù)；實(shí)數(shù)；虛數(shù)；向量一、復(fù)數(shù)概念（4）復(fù)數(shù)全體所組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示.1.2 復(fù)平面。建立直角坐標(biāo)系用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面（如圖所示），在這里x 軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上，原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0。 一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)了一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（1）復(fù)數(shù)模的概念是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念在復(fù)數(shù)集中的推廣；當(dāng)復(fù)數(shù)是虛數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)的模與絕對(duì)值是不同的。兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，兩個(gè)虛數(shù)的模能比較大小。1.

m2-1)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=____.命題立意 本題考查純虛數(shù)的概念.對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)b=0時(shí),z是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí),z是虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí),z是純虛數(shù)bi.例2 若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為( ).命題立意 本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、模的運(yùn)算以及虛部的概念.注意實(shí)部、虛部均包含其前面的正負(fù)號(hào),特別是虛部為i前面的系數(shù),而不包含虛數(shù)單位i.A.-3 B.-1 C.1 D.3考點(diǎn)2:復(fù)數(shù)

；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫作虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫作純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，. 兩個(gè)復(fù)數(shù)中有一個(gè)為虛數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.2. 兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等. 這就是說(shuō)，如果，那么.例1 在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。虎谌羰羌?span id="syggg00" class="hl">虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；③是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是；④若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；⑤的一個(gè)充要條件是；⑥=1的充要條件是.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析 復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，

實(shí)數(shù)。②復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是:故當(dāng)m≠-3且m≠-2時(shí),復(fù)數(shù)z為虛數(shù)。③復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是:故當(dāng)m=1時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)。點(diǎn)評(píng):要注意m的取值范圍是m≠-3,它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的必要條件。特別注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0。題型2：考查in(n∈N+)的周期性計(jì)算:1+2i+3i2+…+1000i999。解：設(shè)S=1+2i+3i2+…+1000i999,則iS=i+2i2+3i3+…+999

（第13集）分清虛數(shù)和實(shí)數(shù)文/何捷名師小卡片何捷，作家，全國(guó)“新作文寫(xiě)作聯(lián)盟”盟主、福建省語(yǔ)文學(xué)會(huì)小學(xué)專(zhuān)委會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)、福建省語(yǔ)文學(xué)科帶頭人、《小學(xué)時(shí)代·妙筆作文》專(zhuān)欄作家。目前已出版《作文真經(jīng)》《不會(huì)寫(xiě)作文的作文大王》等十余部個(gè)人專(zhuān)著。你們知道嗎？在作文中寫(xiě)好數(shù)字，能對(duì)你的表達(dá)效果有很大幫助。今天咱們就來(lái)聊聊這個(gè)話(huà)題吧！說(shuō)到作文中的數(shù)字，大致可以分為“實(shí)數(shù)”和“虛數(shù)”兩類(lèi)。什么是實(shí)數(shù)呢？舉些例子大家就明白了。課文《長(zhǎng)城》中用到數(shù)字的地方很多：從東頭的山海關(guān)到

—變化多端巧用‘虛數(shù)。”“哦？您快說(shuō)說(shuō)！”阿藕一下子來(lái)了精神?！跋日f(shuō)例子，你比較容易明白。在古詩(shī)中這樣的表達(dá)手法屢見(jiàn)不鮮：《詠柳》中‘萬(wàn)條垂下綠絲絳的‘萬(wàn)條；《夜宿山寺》中‘危樓高百尺的‘百尺；《贈(zèng)汪倫》中‘桃花潭水深千尺的‘千尺……你發(fā)現(xiàn)了么，詩(shī)句中的‘萬(wàn)條、‘百尺、‘千尺難道詩(shī)人都曾經(jīng)測(cè)量過(guò)么？”“不！我想沒(méi)有?！卑⑴汉芸隙??！皩?duì)！”荷老師說(shuō)，“它們都是‘虛數(shù)。作者寫(xiě)的時(shí)候，并非經(jīng)過(guò)測(cè)量，也未曾做過(guò)近似的估計(jì)，只是借助大膽的想象，運(yùn)用夸張的手法，依托這

（4）班 劉燁錕虛數(shù)到底有多能？再奇妙也不是萬(wàn)能河南省鄭州一中西校區(qū)高三（4）班 劉燁錕本文通過(guò)從虛數(shù)和復(fù)數(shù)的概念入手，嘗試尋找一個(gè)數(shù)“與 0相乘等于1”，但是通過(guò)對(duì)概念進(jìn)行分析和數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算不難發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候?yàn)榱藢?shí)現(xiàn)一些不可能的運(yùn)算而進(jìn)行的假設(shè)，確實(shí)是違背數(shù)學(xué)常理的。虛數(shù)；復(fù)數(shù)；0；1數(shù)學(xué)是一門(mén)神奇的科學(xué)，小時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)想：為什么0乘以任何數(shù)都等于0呢？隨著年齡的增長(zhǎng)，高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)容越來(lái)越多，在講到虛數(shù)和復(fù)數(shù)時(shí)，更加感受到數(shù)學(xué)的奧妙之處！在虛數(shù)

i(a∈R，i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部相等則a等于( )。A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限A．圓 B．橢圓C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)A.-15 B.3 C.-3 D.158.i+i2+i3+…+i2 014=( )。A.1+i B.-1-iC.1-i D.-1+i9.“復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)”的充分而不必要條件是( )。A．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．若復(fù)數(shù)z1=z+b(b∈R)為純虛數(shù)，則b=4A.第一象限 B.第二象限C.第三象

以比較大小;兩個(gè)虛數(shù)或一個(gè)虛數(shù)與一個(gè)實(shí)數(shù)不能比較大小。聚焦二：利用復(fù)數(shù)相等的充要條件化虛為實(shí)聚焦三：復(fù)數(shù)運(yùn)算中的“分母實(shí)數(shù)化”解析：分母實(shí)數(shù)化。聚焦四：利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)整體求解復(fù)數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，z=a，|a-2|=2，則a=0或4。當(dāng)a=0時(shí)不合題意舍去，所以z=4。當(dāng)b≠0時(shí)，a2+b2=1。又|z-2|=2，則：解法2： 利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。聚焦五：數(shù)形結(jié)合法探究模的最值例5 設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|，求|z|的最大值和

中至少有1個(gè)數(shù)是虛數(shù),z1-z2一定是虛數(shù)，即充分性成立.容易判斷必要性成立.故選C.正解若z1、z2皆是實(shí)數(shù),則z1-z2一定不是虛數(shù),因此當(dāng)z1-z2是虛數(shù)時(shí),則“z1、z2中至少有1個(gè)數(shù)是虛數(shù)”成立,即必要性成立;當(dāng)z1、z2中至少有1個(gè)數(shù)是虛數(shù),z1-z2不一定是虛數(shù),如z1=z2=i,即充分性不成立.故選B.易錯(cuò)點(diǎn)提醒本題目易錯(cuò)點(diǎn)在于首先要分清復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中a、b分別是它的實(shí)部和虛部.若b=0,則a+b

么呢？它是一個(gè)純虛數(shù)。禮佳興奮起來(lái)，立刻說(shuō)：也必定是純虛數(shù)。我看著她，她有所悟，補(bǔ)充說(shuō)：也可以是0，即有可能？棕=0。禮佳接著說(shuō)：是純虛數(shù) ?，由此便不難得到？棕所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡了。“既然可以由z在以O(shè)A為直徑的圓上，知道是一個(gè)純虛數(shù)，那么知道了是純虛數(shù)，？棕所對(duì)應(yīng)點(diǎn)又有什么特征呢？”我向她提出了問(wèn)題。禮佳自言自語(yǔ)：？棕所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在圓外，也不可能在圓內(nèi)，對(duì)??？棕對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在以O(shè)A為直徑的圓上。至此，我們共同探討得到了問(wèn)題的解：？棕-i=1，？棕≠2i

q，p,q是共軛虛數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}是周期數(shù)列的充分必要條件是并且周期是T.（4）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p=q時(shí)，數(shù)列{an}不是周期數(shù)列.證明 p,q為（2）的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).也就是，p,q是方程（1）當(dāng)a1=p或者a1=q時(shí)，由于p,q為（2）的不動(dòng)點(diǎn),顯然，數(shù)列{an}是常數(shù)列，an=a1(=p或者q)，T=1.（2）當(dāng)a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p≠q時(shí)，根據(jù)引理1和引理2，顯然，數(shù)列{an}是周期為T(mén)的周期數(shù)列的充分必要條件是：從而，